24.1 圆的有关性质 同步培优训练 （含答案）2024-2025学年数学人教版九年级上册

24.1　圆的有关性质
任务一　垂径定理的应用
子任务1　利用垂径定理求距离
母题1　已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=12 cm,CD=16 cm,求AB和CD之间的距离.
【关键点拨】
变式练1：已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为　　　　cm.
子任务2　利用垂径定理证明
母题2　MN是☉O的直径,弦AB,CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM.
(1)如图1,AB和CD的长度关系是什么 请说明理由.
(2)如图2,交点P在☉O的外部,上述结论是否成立 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【关键点拨】
变式练2：如图,在☉O中,AB,AC为弦,CD为直径,AB⊥CD于点E,BF⊥AC于
点F,BF与CD相交于点G.
(1)求证:ED=EG.
(2)若AB=8,OG=1,求☉O的半径.
子任务3　垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
母题3　如图,在平面直角坐标系中,☉P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被☉P截得的弦AB的长为4.
(1)求点P到弦AB的距离.
(2)求a的值.
变式练3：如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4(k≠0)与☉O交于B,C两点,则弦BC的长的最小值为　　　　.
子任务4　利用垂径定理解决实际问题
母题4　如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为16 m,拱高(的中点C到弦AB的距离)CD为4 m.
(1)求圆弧形拱桥所在圆的半径.
(2)有一艘宽为10 m的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面2 m,则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥,并说明理由.
【关键点拨】
变式练4：某蔬菜基地搭建一座圆弧形蔬菜棚如图所示,跨度AB=3.2米,拱高CD=0.8米(C为AB的中点,D为的中点).
(1)求该圆弧所在圆的半径.
(2)在距蔬菜棚B点0.4米处有竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的高度.
任务二　弧、弦、圆心角之间关系的应用
母题5　如图,在☉O中,C是的中点,D,E分别是OA,OB上的点,且AD=BE,
弦CM,CN分别过点D,E.
求证:(1)CD=CE;
(2)=.
变式练5：如图,在☉O中,=,D与E分别是☉O的半径OA与OB的中点.
求证:CD=CE.
任务三　圆周角定理及其推论的综合应用
母题6　如图,点A,B,C在☉O上,弦BD与AC相交于点E,连接BO,且∠OBC=∠ABD.
(1)如图1,求证:AC⊥BD.
(2)如图2,在BE上取一点F,使EF=DE,直线CF与AB相交于点G,若∠ABC=60°,求证:BF=BO.
变式练6：如图,点A,B,C在☉O上,AF是☉O的弦,AF⊥BC,垂足为D,E为上一点,且=.
(1)求证:AE是☉O的直径.
(2)若∠ABC=∠EAC,AE=8,求AC的长.
任务四　巧构隐形圆解决问题
母题7　在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为　　　　　　.
【关键点拨】
由已知∠ADB=45°,AB=2,根据定角定弦,以AB的长为半径可作出辅助圆,由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知,点D在以O为圆心,OB的长为半径的圆上,线段CD长度的最小值为CO-OD.
变式练7：如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,E是AB上的动点,连接DE,F,G分别是BC,DE的中点,连接AG,FG,当AG=FG时,线段DE长为 (　　)
A.
B.
C.
D.4
变式练8：如图,在Rt△ABC中,D为斜边BC的中点,过点D作EF⊥BC,且使D为EF的中点,EF=BC.求证:∠BAE=∠EAC=∠CAF.
参考答案
母题1　解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1所示,过点O作OF⊥AB于点F,交CD于点E,
连接OA,OC.
∵AB∥CD,∴OE⊥CD.
∵AB=12 cm,CD=16 cm,
∴AF=6 cm,CE=8 cm,
∵OA=OC=10 cm,
∴EO=6 cm,OF=8 cm,
∴EF=OF-OE=2 cm;
②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2所示,
过点O作EF⊥AB于点E,交CD于点F,连接OA,OC.
∵AB∥CD,∴EF⊥CD.
∵AB=12 cm,CD=16 cm,
∴AE=6 cm,CF=8 cm.
∵OA=OC=10 cm,
∴EO=8 cm,OF=6 cm,
∴EF=OF+OE=14 cm.
综上所述,AB和CD之间的距离为2 cm或14 cm.
变式练1　2或4　提示:连接AC,AO.
∵☉O的直径CD=10 cm,AB⊥CD,AB=8 cm,
∴AM=AB=×8=4 cm,OD=OC=5 cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5 cm,AM=4 cm,CD⊥AB,
∴OM==3 cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8 cm,
∴AC==4cm;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3 cm,
∵OC=5 cm,
∴MC=5-3=2 cm,
在Rt△AMC中,AC==2cm.
故答案为 2或4.
母题2　解:(1)AB=CD.
理由:如图1,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,连接OB,OD.
∵∠APM=∠CPM,∠APM=∠BPN,∠CPM=∠DPN,
∴∠BPN=∠DPN.
∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴OE=OF.
在Rt△BEO和Rt△DFO中,OF=OE,OD=OB,由勾股定理得BE=DF.
∵OF⊥CD,OE⊥AB,
∴由垂径定理得CD=2DF,AB=2BE,
∴AB=CD.
(2)AB=CD成立.
证明:如图2,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,连接OB,OD,
∵∠APM=∠CPM,
∴OE=OF.
在Rt△BEO和Rt△DFO中,OE=OF,OB=OD,由勾股定理得BE=DF.
∵OF⊥CD,OE⊥AB,
∴由垂径定理得CD=2DF,AB=2BE,
∴AB=CD.
变式练2　解:(1)证明:如图1,连接BD.
∵AB⊥CD于点E,BF⊥AC于点F,
∴∠CFG=∠GEB,
∵∠CGF=∠BGE,
∴∠C=∠GBE,
∵∠C=∠DBE,
∴∠GBE=∠DBE,
∵AB⊥CD于点E,
∴∠GEB=∠DEB,
在△GBE和△DBE中,
∴△GBE≌△DBE(ASA),
∴ED=EG.
(2)如图2,连接OA.
设OA=r,∵OG=1,则DG=r+1,
由(1)可知ED=EG,
∴OE=,
∵AB⊥CD于E,AB=8,
∴AE=BE=4,
∴在Rt△OAE中,根据勾股定理得OE2+AE2=OA2,
即+42=r2,
解得r=(负值舍去),
即☉O的半径为.
母题3　解:(1)如图,作PE⊥AB于点E,连接PB,
则BE=AB=×4=2(垂径定理).
在Rt△PBE中,PB=3,
由勾股定理得PE==1,
即点P到弦AB的距离是1.
(2)如图,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,
∵☉P的圆心坐标是(3,a),
∴OC=3,PC=a.
∵把x=3代入y=x,
∴y=3,
∴D点坐标为(3,3),
∴CD=3,
∴OC=CD,
∴∠COD=∠ODC=45°,
∴∠PDE=∠ODC=45°.
由(1)可知PE=1,
∴PD=PE=,
∴a=CD+PD=3+.
变式练3　24　提示:如图,连接OB,
∵直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),
∴最短的弦CB是过点D且与OD垂直的弦,此时BD=CD=BC.
∵点D的坐标是(3,4),
∴OD==5.
∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),
∴圆的半径为13,
∴OB=13,
∴BD===12,
∴BC=2BD=24,
∴BC的长的最小值为24.
故答案为24.
母题4　解:(1)如图,设点O为该圆弧形拱桥所在的圆心,连接OD,OB.∵CD为拱高,C,D,O三点共线,
∴CD⊥AB,
∴D为AB的中点.
∵AB=16 m,
∴BD=AB=8 m.
而CD=4 m,
设OB=OC=ON=r,则OD=(r-4)m.
在Rt△BOD中,根据勾股定理得r2=(r-4)2+82,
解得r=10,
∴圆弧形拱桥所在圆的半径为10 m.
(2)此货船能顺利通过这座拱桥.
理由:∵CD=4 m,船舱顶部为长方形并高出水面2 m,
∴在CD上截取DE=2 cm,过点E作MN∥AB交于点M,N,连接ON,
∴CE=4-2=2(m),
∴OE=r-CE=10-2=8(m).
在Rt△OEN中,EN2=ON2-OE2=102-82=36,
∴EN=6(m).
∵MN=2EN=2×6=12>10.
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
变式练4　解:(1)如图,设所在的圆心为O,D为的中点,CD⊥AB于点C,延长DC经过O点,连接OB,
则BC=AB=1.6(米).
设☉O的半径为R,则OC=(R-0.8)米.
在Rt△OBC中,OB2=OC2+CB2,
∴R2=(R-0.8)2+1.62,
解得R=2,
即该圆弧所在圆的半径为2米.
(2)如图,过点O作OH⊥FE于点H,连接OF,
则OH=CE=1.6-0.4=1.2(米),OF=2米.
在Rt△OHF中,HF===1.6(米).
∵HE=OC=OD-CD=2-0.8=1.2(米),
∴EF=HF-HE=1.6-1.2=0.4(米),
即支撑杆EF的高度为0.4米.
母题5　证明:(1)如图,连接OC.
∵=,
∴∠COD=∠COE.
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE.
∵OC=OC,
∴△COD≌△COE(SAS),
∴CD=CE.
(2)如图,分别连接OM,ON.
∵△COD≌△COE.∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE.
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC,
∴∠OMD=∠ONE.
∵∠ODC=∠DMO+∠MOD,∠CEO=∠CNO+∠EON,
∴∠MOD=∠NOE,
∴=.
变式练5　证明:如图,连接CO.
∵OA=OB,且D,E分别是OA,OB的中点,
∴OD=OE.
又∵=,
∴∠COD=∠COE,
在△COD和△COE中,
∴△COD≌△COE(SAS),∴CD=CE.
母题6　证明:(1)如图1,延长BO与☉O相交于点K,连接CK.
∵BK为☉O的直径,∴∠BCK=90°.
∵∠OBC=∠ABD,∠A=∠K,
∴∠AEB=∠180°-∠ABD-∠A=180°-∠OBC-∠K=∠BCK,
∴∠AEB=∠BCK=90°,
∴AC⊥BD.
(2)如图2,连接CD.
由(1)与已知可得AC垂直平分DF,
∴CD=CF,
∴∠DCA=∠ACF 且∠D=∠CFD.
延长CG与☉O相交于点H,连接BH,OH.
∵=,∴∠DCA=∠DBA.
∵=,∴∠ACH=∠ABH,
∴∠ABH=∠ABD=∠OBC.
又∵∠BFH=∠CFD,
∴∠BGF=∠CEF=90°=∠BGH,
∴∠BHG=∠HFB,∴BH=BF.
∵∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠ABO+∠ABH=∠OBH=60°,OH=OB,
∴△OBH为等边三角形,
∴OB=BH=BF,即BF=BO.
变式练6　解:(1)证明:∵=,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AF⊥BC,∴∠ADC=90°,
∴∠FAC+∠ACD=90°.
∵∠E=∠ACB,∴∠E+∠BAE=90°,
∴∠ABE=90°,∴AE是☉　O的直径.
(2)如图,连接OC,
∴∠AOC=2∠ABC.
∵∠ABC=∠CAE,∴∠AOC=2∠CAE.
∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO=∠AOC,
∴△AOC是等腰直角三角形.
∵AE=8,∴AO=CO=4,∴AC=4.
母题7　-
提示:如图,以O为圆心,OB的长为半径作圆,则点D在圆O上,
以AB的长为半径作圆,过圆心O作ON⊥AB于点N,OM⊥BC于点M.
∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.
∵AB=2,∴AN=BN=1,
∴AO==.
∵ON=OM=AB=1,BC=3,
∴OC==,
∴CD=CO-OD=CO-AO=-,
即线段CD长度的最小值为-.
故答案为-.
变式练7　A
提示:如图,连接DF,EF,过点F作FN⊥AC于点N,FM⊥AB于点M.
∵在△DAE中,∠BAC=90°,G是DE的中点,
∴AG=DG=EG.
又∵AG=FG,
∴A,D,F,E四点共圆,且DE是圆的直径,
∴∠DFE=90°.
∵在Rt△ABC中,AB=AC=5,F是BC的中点,
∴CF=BF=BC=,FN=FM=.
又∵FN⊥AC,FM⊥AB,∠BAC=90°,
∴四边形NAMF是正方形,
∴AN=AM=FN=.
又∵∠NFD+∠DFM=90°,∠DFM+∠MFE=90°,
∴∠NFD=∠MFE,
∴△NFD≌△MFE(ASA),
∴ME=DN=AN-AD=,
∴AE=AM+ME=3,
∴在Rt△DAE中,DE==.
故选A.
变式练8　证明:由题意知DB=DC,DE=DF,EF=BC,
∴DB=DC=DE=DF.
如图,以点D为圆心,DB的长为半径作圆,则B,C,E,F四点都在圆D上.
又∵△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,
∴点A也在圆D上.
∵BC⊥EF,点D为圆心,
∴==,
∴∠BAE=∠EAC=∠CAF.