26.1 反比例函数 同步培优训练（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级下册

26.1　反比例函数
任务一　求反比例函数的解析式
子任务1　根据表格信息确定反比例函数的解析式
母题1　已知y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:
x 　 -2 -1 1 　
y 　 2 　 　 -1
(1)求这个反比例函数的解析式.
(2)根据函数解析式完成上表.
【关键点拨】
变式练1：若矩形的长为x,宽为y,面积保持不变,下表给出了x与y的一些值求矩形面积.
x 1 　 8 　
y 　 　 4 2 　 2
(1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数解式.
(2)根据函数解析式完成表格.
子任务2　根据实际问题确定反比例函数的解析式
母题2　某货轮以每小时10千米的速度从A港到B港,共用6小时.
(1)写出时间t(单位:时)与速度v(单位:千米/时)的函数关系式.
(2)如果返航速度增至每小时12千米,那么从B港返回A港(沿原水路)需几小时
变式练2：在物理学中,由欧姆定律知,电压U不变时,电流I与电阻R成反比例关系,已知电压U不变,当电阻R=20 Ω时,电流I为0.25 A.
(1)求I关于R的函数表达式.
(2)当R=12.5 Ω时,求I.
任务二　用待定系数法解决与正比例、反比例有关的问题
母题3　已知y=y1+y2,y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例,当x=0时,y=-3;当x=1时,y=-1.
(1)求y与x的函数解式.
(2)求当x=-时,y的值.
【关键点拨】
变式练3：若y=y1-y2,y1-1与x成反比例,2y2与x-2成正比例,且当x=1时,y=0;当x=-1时,y=10.求y与x的函数解析式.
任务三　反比例函数的图象与性质的应用
子任务1　利用反比例函数的增减性求函数值的取值范围
母题4　已知反比例函数y=,当1　　A.y>10 B.5C.1变式练4：已知在反比例函数y=(x<0)的图象上有两个点(x1,y1),(x2,y2),当x1>x2时,y1>y2,则k的值可以是 (　 　)
A.0 B.2 C.3 D.4
子任务2　利用反比例函数的图象与性质比较函数值的大小
母题5　已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点都在反比例函数y=(k<0)的图象上,且x1A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1
C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2
变式练5：已知点A(x1,2),B(x2,4),C(x3,-1)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 (　 　)
A.x3C.x1子任务3　利用反比例函数图象的对称性解决问题
母题6　如图,设直线y=kx(k<0)与反比例函数y=-的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,A、B两点关于原点对称,则x1y2-3x2y1的值为 (　 　)
A.-10 B.-5
C.5 D.10
变式练6：如图,若直线y=kx(k>0)与反比例函数y=的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,A,B两点关于原点对称,则x1y2+x2y1的值为 (　 　)
A.3 B.-3
C.6 D.-6
任务四　与反比例函数图象有关的面积问题
子任务1　由反比例函数解析式确定图形的面积
母题7　如图,A是反比例函数y=(x>0)的图象上任意一点,AB∥x轴交反比例函数y=(x<0)的图象于点B,以AB为边作平行四边形ABCD,其中C,D在x轴上,若平行四边形ABCD的面积为5,则k的值为　　　　.
变式练7：如图,点A,B分别在反比例函数y=和y=的图象上,且AB∥x轴,点C,D都在x轴上,若四边形ABCD是矩形,则它的面积为　　　　.
子任务2　由图形的面积确定反比例函数的解析式
母题8　如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的面积为12,点B在y轴上,点C在反比例函数y=(x<0)的图象上,则k的值为　　　　.
【关键点拨】
变式练8：如图,反比例函数y=的图象经过平行四边形ABCD对角线的交点P,已知点A,C,D在坐标轴上,BD⊥DC,平行四边形ABCD的面积为10,则k=　　　　.
任务五　反比例函数与一次函数的综合
母题9　如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).
(1)求这两个函数的解析式.
(2)根据图象,直接写出满足k1x+b>的x的取值范围.
(3)连接OA,OB,求△AOB的面积.
(4)点P在线段AB上,且S△AOP∶S△BOP=1∶2,求点P的坐标.
变式练9：如图,已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P,8,Q(4,m)两点,与x轴交于点A.
(1)分别求出这两个函数的解析式.
(2)连接OP,OQ,求△OPQ的面积.
(3)不等式k1x+b>的解集是　　　　.
任务六　反比例函数与特殊平行四边形的综合
母题10　如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的直角边AC在x轴上,
∠ACB=90°,AC=1,反比例函数y=(k>0)的图象经过BC边的中点D(3,1).
(1)求这个反比例函数的解析式.
(2)已知△ABC与△EFG成中心对称,且△EFG的边FG在y轴的正半轴上,点E在这个函数的图象上.
①求OF的长;
②连接AF,BE,证明:四边形ABEF是正方形.
变式练10：如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=(x>0,
0(1)设m=4,n=20.
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数解析式;
②若P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否为正方形 若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,请说明理由.
任务七　与反比例函数有关的探究
母题11　阅读理解:对于任意正实数a,b,∵(-)2≥0,
∴a-2+b≥0,∴a+b≥2,只有当a=b时,等号成立.
结论:在a+b≥2(a,b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥2,只有当a=b时,a+b有最小值2.
(1)根据上述内容,回答下列问题:
若m>0,只有当m=　　　　时,m+有最小值　　　　.
(2)探索应用:如图,已知A(-3,0),B(0,-4),P为双曲线y=(x>0)图象上的任意一点,过点P作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值.
(3)判断此时四边形ABCD的形状,说明理由.
【关键点拨】
第(3)问利用(2)中结论以及勾股定理,得出AB=BC=CD=AD,即可得出四边形ABCD是菱形.
另解:证OA=OC=OD=OB=4,得四边形ABCD是平行四边形,再由AC⊥BD知平行四边形ABCD是菱形.
变式练11：背景:点A在反比例函数y=(k>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,分别在射线AC,BO上取点D,E,使得四边形ABED为正方形.如图1,点A在第一象限内,当AC=4时,小李测得CD=3.
图1
探究:通过改变点A的位置,小李发现点D,A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.
(1)求k的值.
(2)设点A,D的横坐标分别为x,z,将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2,小李画出了x>0时“Z函数”的图象.
①求“Z函数”的表达式;
②补画x<0时“Z函数”的图象;
③并写出这个函数的性质(两条即可).
图2
【关键点拨】
(1)由四边形ABED是正方形,得AB=1,从而得出A(4,1),则k=4.
(2)①由题意,A(x,x-z),则x(x-z)=4,即可得出“Z函数”的表达式;
②利用描点法画出图象;
③根据图象可得出性质.
参考答案
母题1　解:(1)设反比例函数的解析式为y=,
把(-1,2)代入y=,得k=-1×2=-2,
∴反比例函数的解析式为y=-.
(2)-3,1,-4,-2,2.
提示:当y=时,-=,解得x=-3;
当x=-2时,y=-=1;
当x=时,y=-=-4;
当x=1时,y=-=-2;
当y=-1时,-=-1,解得x=2.
故答案为-3,1,4,-2,2.
变式练1　解:(1)设函数解析式为y=,
由于点(1,4)在此函数图象上,那么k=1×4=4,
∴y=.
(2)当x=时,y=4×=6,
当x=时,y==2,
当y=2时,x=4÷2=2,
当x=8时,y==,
当y=2时,x==.
故答案为6;2;2;;.
母题2　解:(1)设函数的解析式是t=,把v=10,t=6代入,得k=60,
则函数的解析式是t=.
(2)当v=12时,t=5.
∴从B港返回A港(沿原水路)需5小时.
变式练2　解:(1)根据题意,设I=,
将R=20,I=0.25代入,得U=5,
故I=.
(2)当R=12.5 Ω时,I==0.4(A),
∴当R=12.5 Ω时,I=0.4 A.
母题3　解:(1)∵y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例,
∴y1=k1(x-1),y2=.
∵y=y1+y2,当x=0时,y=-3,当x=1时,y=-1,
∴
∴k2=-2,k1=1,
∴y=x-1-.
(2)当x=-时,y=x-1-=--1-=-.
变式练3　解:设y1-1=(k1≠0),2y2=k2(x-2)(k2≠0).
∵y=y1-y2,
∴y=-k2x+k2+1.
∵x=1时,y=0,当x=-1时,y=10,
∴
∴
∴y=--2x+5.
母题4　B　提示:∵k=10>0,
∴在每个象限内,y随x的增大而减小.
又∵当x=1时,y=10,
当x=2时,y=5,
∴当1故选B.
变式练4　A　提示:∵在反比例函数y=(x<0)的图象上有两个点(x1,y1),(x2,y2),当x1>x2时,y1>y2,
∴k-2<0,
解得k<2,
∴k的值可以为0.
故选A.
母题5　A　提示:∵反比例函数y=(k<0)的图象分布在第二、第四象限,
在每一象限内,y随x的增大而增大,
而x1∴y3<0即y2>y1>y3.
故选A.
变式练5　D　提示:如图,
∵点A(x1,2),B(x2,4),C(x3,-1)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,
∴x1故选D.
母题6　A　提示:由图象可知点A(x1,y1),B(x2,y2)关于原点对称,
即x1=-x2,y1=-y2,
把A(x1,y1)代入y=-,得x1y1=-5,
则原式=x1y2-3x2y1
=-x1y1+3x1y1
=5-15
=-10.
故选A.
变式练6　D　提示:∵点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=图象上的点,
∴x1·y1=x2·y2=3①.
∵直线y=kx(k>0)与反比例函数y=的图象交于A,B两点,
∴x1=-x2,y1=-y2②,
∴原式=-x1y1-x2y2=-3-3=-6.
故选D.
母题7　-3　提示:过点B作BM⊥x轴,过点A作AN⊥x轴,则∠BMC=∠AND=90°.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD,
∴∠BCM=∠ADN.
在△BCM和△ADN中,
∴△BCM≌△ADN,∴S BCDA=S矩形BMNA=5,
又∵S矩形BMNA=-k+2=5,∴k=-3.故答案为-3.
变式练7　3　提示:延长BA交y轴于点E.
∵点A在反比例函数y=的图象上,
∴S矩形ADOE=|k|=1.
又∵点B在反比例函数y=的图象上,
∴S矩形BCOE=|k|=4,
∴S矩形ABCD=S矩形BCOE-S矩形ADOE=4-1=3.
故答案为3.
母题8　-6　提示:连接AC,交y轴于点D.
∵四边形ABCO为菱形,
∴AC⊥OB,且CD=AD,BD=OD.
∵菱形OABC的面积为12,
∴△CDO的面积为3,
∴|k|=6.
∵反比例函数图象位于第二象限,
∴k<0,
∴k=-6.
故答案为-6.
变式练8　-5　提示:过点P作PE⊥y轴于点E.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD.
又∵BD⊥x轴,
∴四边形ABDO为矩形,
∴AB=DO,
∴S矩形ABDO=S平行四边形ABCD=10.
∵P为对角线的交点,PE⊥y轴,
∴四边形PDOE为矩形,且面积为5.
∵反比例函数y=的图象经过 ABCD对角线的交点P,
∴|k|=S矩形PDOE=5.
∵图象在第二象限,
∴k<0,
∴k=-5.
故答案为-5.
母题9　解:(1)∵反比例函数y=的图象过点A(-1,4),B(4,n),
∴k2=-1×4=-4,k2=4n,
∴n=-1,∴B(4,-1).
∵一次函数y=k1x+b的图象过点A,B,
∴
解得k1=-1,b=3,
∴一次函数的解析式y=-x+3,反比例函数的解析式为y=-.
(2)点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,-1),
由图象可得k1x+b>的x的取值范围是x<-1或0(3)如图1,设直线AB与y轴的交点为C,
图1
∴C(0,3),
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×4=.
(4)如图2,
∵S△AOP∶S△BOP=1∶2,
∴S△AOP=×=.
图2
∵S△AOC=×3×1=,
∴S△AOC∴×3·xP=1,
∴xP=.
∵点P在线段AB上,
∴yP=-+3=,
∴P,.
变式练9　解:(1)∵反比例函数y=的图象过P,8,
∴k2=×8=4,
∴反比例函数解析式为y=.
将Q(4,m)代入y=,得m==1,
将P,8,Q(4,1)
代入一次函数y=k1x+b,
得
解得k1=-2,b=9,
∴一次函数解析式为y=-2x+9.
(2)设一次函数图象与y轴的交点为D,如图所示,
∴点D的坐标为(0,9),
将y=0代入y=-2x+9,可得x=,
∴点A的坐标为,0,
∴S△AOD=××9=,
S△DPO=×9×=,
S△OQA=××1=,
∴S△OPQ=S△AOD-S△DPO-S△OQA=.
(3)由图象可知,不等式k1x+b>的解集是为故答案为母题10　解:(1)∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D(3,1),
∴k=3×1=3,
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)①∵D为BC的中点,
∴BC=2.
∵△ABC与△EFG成中心对称,
∴△ABC≌△EFG(中心对称的性质),
∴GF=BC=2,GE=AC=1.
∵点E在反比例函数的图象上,
∴E(1,3),
即OG=3,
∴OF=OG-GF=1.
②证明:如图,连接AF,BE.
∵AC=1,OC=3,
∴OA=GF=2.
在△AOF和△FGE中,
∴△AOF≌△FGE(SAS),
∴AF=FE,∠GFE=∠FAO,
∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°,
∴∠AFE=∠BAF=90°,
∴EF∥AB,且EF=AB,
∴四边形ABEF为平行四边形.
又∵AF=FE,
∴四边形ABEF为菱形.
∵AF⊥EF,
∴四边形ABEF为正方形.
变式练10　解:(1)①如图1,∵m=4,
图1
∴反比例函数为y=.
当x=4时,y=1,
∴B(4,1).
当y=2时,
∴2=,
∴x=2,
∴A(2,2).
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴
∴
∴直线AB的解析式为y=-x+3.
②四边形ABCD是菱形.
理由如下:如图2,由①知,B(4,1).
图2
∵BD∥y轴,
∴D(4,5).
∵P是线段BD的中点,
∴P(4,3).
当y=3时,由y=,得x=,∴点A的坐标为,3,
由y=,得x=,∴点C的坐标为,3
∴PA=4-=,PC=-4=,
∴PA=PC.
∵PB=PD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)四边形ABCD能为正方形.
当四边形ABCD是正方形时,记AC,BD的交点为P,
∴BD=AC.
当x=4时,y==,y==,
∴B4,,D4,,
∴P4,,
∴A,,C,.
∵AC=BD,
∴-=-,
∴m+n=32.
母题11　解:(1)3;6　提示:根据题意知,m+≥2=6,当m=时,等号成立.
由m=,
解得m=3或m=-3(不合题意,舍去),
故当m=3时,m+有最小值,其最小值是6.
故答案是3;6.
(2)∵P为双曲线y=(x>0)图象上的任意一点,
∴不妨可设Px,,则C(x,0).
∵S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC,
∴S四边形ABCD=AC×OD+AC×OB=AC·(OD+OB)
=(3+x)·+4=+2x+12=2x++12.
又∵x>0,>0,
∴由阅读理解中的结论可知,x+≥2=2=6,
∴当x=,即x=3时,S四边形ABCD=2×6+12=24,此时为最小值.
(3)此时四边形ABCD是菱形.理由如下:
由(2)可知,当x=3时,点P的坐标为P(3,4),
∴AB==5,BC==5,CD==5,DA==5,∴AB=BC=CD=AD,
∴此时四边形ABCD是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
变式练11　解:(1)∵AC=4,CD=3,
∴AD=AC-CD=1.
∵四边形ABED是正方形,∴AB=1.
∵AC⊥y轴,AB⊥x轴,
∴∠ACO=∠COB=∠OBA=90°,
∴四边形ABOC是矩形,∴OB=AC=4,
∴A(4,1),∴k=4.
(2)①由题意知A(x,x-z),
∴x(x-z)=4,∴z=x-.
②图象如图所示.
③性质1:x>0时,y随x的增大而增大.
性质2:x<0时,y随x的增大而增大.(答案不唯一)