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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第五章：二元一次方程组
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二元一次方程组 ，则等于（ ）
A． B．5 C． D．3
3．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．某校为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球．若购买3个篮球和1个足球共需420元，购买2个篮球和3个足球共需560元，求每个篮球和每个足球的售价．
5．甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发后，大客车从乙地出发相向而行，又经过两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象交于点， 则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A．33 B．28 C．27 D．22
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若二元一次方程组的解，也是关于x、y的二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A．4 B． C． D．5
二、填空题:（每小题3分共15分）
11．把方程改写成用含x的代数式表示y，则 ．
12．若关于x，y的方程组的解满足，则 ．
13．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为 ．
14．已知方程组，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限的点，点的坐标是， O是坐标原点，的面积为S，则S关于x的函数关系式是 ．
三、解答题：（共55分）
16．（8分）解方程组：
(1) (2) (3) (4)
17．（6分）已知与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？
18．（8分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)在x轴上存在一点P，使得的面积为10，求点P的坐标．
19．（7分）6月份，甲、乙两个工厂用水量共为195吨．为了积极响应上级节约用水的号召，7月份，甲工厂用水量比6月份减少了，乙工厂用水量比6月份减少了，两个工厂7月份用水量共为162吨，试求甲、乙两工厂6月份的用水量分别为多少吨？（注：列二元一次方程组解答）
20．（8分）2022年上半年在抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为上海捐赠物资，某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)该物流公司现有14吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问有哪几种租车方案？
21．（9分）如图，正比函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴负半轴交于点，且．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求线段的长度；
(3)求的面积．
22．（9分）如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标．
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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第五章：二元一次方程组
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故选：D．
2．已知二元一次方程组 ，则等于（ ）
A． B．5 C． D．3
解：，
得：，
则．
故选：B．
3．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
解：在方程组中，
两方程相加得：，
．
把代入中得：，
．
所以原方程组的解为．
故选：A
4．某校为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球．若购买3个篮球和1个足球共需420元，购买2个篮球和3个足球共需560元，求每个篮球和每个足球的售价．
解：设每个篮球的售价是x元，每个足球的售价是y元．根据题意得：
解得：，
答：每个篮球的售价是100元，每个足球的售价是120元．
5．甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发后，大客车从乙地出发相向而行，又经过两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
解：设大客车每小时行，小轿车每小时行，
由题意得：，
故选：B．
6．已知一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象交于点， 则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
解：一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象交于点，
方程组的解，
故选A．
7．一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵一次函数满足时，；时，，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为，
故选：B
8．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A．33 B．28 C．27 D．22
解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴，
∵关于的不等式组有且只有2个整数解，
∴，
∴，
解方程得：，
∵关于的方程的解是负整数，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
∴符合条件的所有整数为和，
∵，
∴符合条件的所有整数的和是，
故选：D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，
所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确；
②由函数图象可知，一次函数一次函数与的图象交点坐标为，
所以方程组的解为，故②正确；
③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，
所以方程的解为，故③正确；
④由函数图象可知，直线过点，
所以当时，，故④错误；
故选：C．
10．若二元一次方程组的解，也是关于x、y的二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A．4 B． C． D．5
解：解方程组，
得：，
得：，
将代入①可得：
故方程组的解是：，
将代入中得：，
解得：，
故选：B．
二、填空题:（每小题3分共15分）
11．把方程改写成用含x的代数式表示y，则 ．
解∶∵，
∴，
故答案为∶ ．
12．若关于x，y的方程组的解满足，则 ．
解：，
得：③，
把代入③得：，
解得：，
把代入得：，
把和代入②得：，
解得：，
故答案为：．
13．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为 ．
解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤，
由题意得．
故答案为：．
14．已知方程组，则 ．
解：，
得：，
则．
故答案为：6．
15．如图，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限的点，点的坐标是， O是坐标原点，的面积为S，则S关于x的函数关系式是 ．
解：把代入，
，
解得：，
即点在第一象限，且在直线的横坐标的取值范围是：，
点到的距离为：，
线段的长度为：4，
，
即关于的函数关系式是．
故答案为：．
三、解答题：（共55分）
16．（8分）解方程组：
(1) (2) (3) (4)
（1）解：，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为；
（2）解：，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为；
（3）解：，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为；
（4）解：方程整理得，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为．
17．（6分）已知与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？
（1）解：∵与成正比例，
∴设，
当时，,
所以,
解得，，
∴
∴，
故y与x之间的函数关系式：；
（2）解：由（1）知：，
所以将图象向上平移5个单位后得到直线，
∴直线对应的函数解析式为，即，
当时，故点不在直线上．
18．（8分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)在x轴上存在一点P，使得的面积为10，求点P的坐标．
（1）解：把代入得：，
解得：，
∴；
把代入得：，
∴；
（2）解：∵的面积为10，
∴，
又∵，
∴．
∵A点坐标为，
∴点P的坐标为或．
19．（7分）6月份，甲、乙两个工厂用水量共为195吨．为了积极响应上级节约用水的号召，7月份，甲工厂用水量比6月份减少了，乙工厂用水量比6月份减少了，两个工厂7月份用水量共为162吨，试求甲、乙两工厂6月份的用水量分别为多少吨？（注：列二元一次方程组解答）
解：设甲工厂6月份的用水量是吨，乙工厂6月份的用水量是吨，
依题意，得，
解得．
答：甲工厂6月份的用水量是75吨，乙工厂6月份的用水量是120吨．
20．（8分）2022年上半年在抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为上海捐赠物资，某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)该物流公司现有14吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问有哪几种租车方案？
（1）解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨，
根据题意得： ，
解得： ，
答：辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨.
（2）解：根据题意得：
，
∵均为正整数，
或 ，
∴共有种租车方案，
方案：租用型车4辆，型车2辆；
方案：租用型车辆，型车辆.
21．（9分）如图，正比函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴负半轴交于点，且．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求线段的长度；
(3)求的面积．
（1）解：∵经过点，
∴代入正比例函数得，，
解得，，
∴正比例函数解析式为：，
∴，
∴，即，
把点代入一次函数解析式得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：根据题意，，
∴的长度为：；
（3）解：根据图示可得，．
22．（9分）如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标．
（1）解：由，当，得，解得，
所以点D坐标为；
（2）解：设直线的解析表达式为，
由图象知直线经过和，
得方程组，解得，
直线的解析表达式为；
（3）解：由，解得，则．
∴，
∵．
∴．
与底都是，由面积相等得高相等．则高就是C到边的距离．
即C纵坐标的绝对值，则P到距离为．
∴P纵坐标的绝对值3，又点P不与点C重合．
∴点P纵坐标是3．
由，解得，
所以点P坐标为．
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