6.2 平面向量的运算 课时训练（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2 平面向量的运算 课时训练
2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
一、单选题
1．化简 等于（　　）
A． B． C． D．
2．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有
(　　)
A． B． C． D．
3．已知平面直角坐标系上三点、、，那么（　　）
A． B．3 C． D．
4．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
5．设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（　　）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（　　）
A． B．
C． D．
8．已知平面向量满足，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中正确的是（　　）
A．若 ，则
B．
C．若向量 、 是非零向量，则 与 的方向相同
D．若 ，则存在唯一实数 使得
10．下列说法中正确的是（　　）
A．两个非零向量 ， ，若 ，则
B．若 ，则有且只有一个实数 ，使得
C．若 ， 为单位向量，则
D．
11．如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，是的中点，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．在长方体 中，则 （　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若 ，则 ＝　 　.
14．如图，在平行六面体中，设，N是的中点，则向量　 　．（用表示）
15．设点P是的重心，过点P的直线分别与线段交于两点，已知，则　 　；若，则　 　．
16．设 ， 是两个不共线的向量，若向量 与 的方向相反，则实数 　 　.
17．已知，是不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则实数，满足　 　．
18．给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是　 　（填序号）
四、解答题
19．一辆汽车从点出发向西行驶了到达点，然后又改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东行驶了到达点.
（1）作出向量、、；
（2）求
20．如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，设M是上底面A1B1C1D1的中心．
（1）化简（）；
（2）若，求实数x，y，z的值．
21．如图所示，在中，，，，.
（1）试用向量，来表示，；
（2）若，求证：D，O，N三点共线.
22．向量与的夹角为，，，，．
（1）请用，t的关系式表示；
（2）在时取得最小值．当时，求夹角的取值范围．
23．已知 中，过重心 的直线 交边 于 ，交边 于 ，连结 并延长交 于点 ，设 的面积为 ， 的面积为 ， ， .
（1）求 ；
（2）求证： ；
（3）求 的取值范围.
24．如图，在中，点，满足，点满足为的中点，且，，三点共线．
（1）用表示；
（2）求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】B,C
10．【答案】A,D
11．【答案】A,B,C
12．【答案】A,B
13．【答案】（－3，－5）
14．【答案】
15．【答案】；
16．【答案】
17．【答案】.
18．【答案】①⑤
19．【答案】（1）解：向量 、 、 ，如图所示：
（2）由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，
又| |=| |，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD．且AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ = ，
∴| |=| |=200km
20．【答案】（1）解：在底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是上底面A1B1C1D1的中心；
∴（）（）
；
（2）解：∵
（）
（）
（）
，
且，
∴，，z＝1．
21．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
（2）解：因为，所以，
则，
，
所以，即证D，O，N三点共线.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
，
且，故．
23．【答案】（1） ，
G是重心，
，
；
（2）设 ，
， ，
， ，
三点共线，则存在 ，使得 ，
即 ，
即 ，
，整理得 ，
即 ，
即 ，
即 ；
（3）由（2） ， ，
，
， ，可知 ，
， ，
则当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 ，
，则 的取值范围为 .
24．【答案】（1）解：因为，则，所以，，
因为为的中点，故.
（2）解：因为、、三点共线，则，
所以，存在，使得，即，
所以，，
又因为，且、不共线，所以，，
所以，，故.