6.4 平面向量的应用 课时训练（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 课时训练
2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
一、单选题
1．已知在 中，若 ，则 的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，则（　　）
A． B． C． D．
3． 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，已知（a+b）∶（a+c）∶（b+c）=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（　　）
A．3∶5∶7 B．7∶5∶3 C．6∶5∶4 D．4∶5∶6
5．在 ABC中， ．则A的取值范围是（　　）
A．（0， ] B．[ ， ）
C．（0， ] D．[ ， ）
6．在中，，则此三角形的解的情况是（　　）
A．有两解 B．有一解 C．无解 D．有无数个解
7．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为 ，则山高BC=（　　）
A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米
8．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面 点看楼顶点 的仰角为30°，沿直线前进79米到达 点，此时看点 的仰角为45°，若 ，则楼高 约为（　　）．
A．65米 B．74米 C．83米 D．92米
9．点C是线段AB上任意一点， 是直线AB外一点， ，不等式 对满足条件的 及 恒成立，则实数 的取值范围（　　）
A． B． C． D．
10．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
11．在下列情况的三角形中，有两个解的是（　　）
A． B．
C． D．
12．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（　　）
A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为
C．当时， D．当时，
13．在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，且，，则的可能取值为（　　）
A．1 B． C． D．
14．已知圆，点P是圆C上的一个动点，点，，则下列选项中正确的是（　　）
A． B．的最大值为
C．的最大值为12 D．的最大值为9
三、填空题
15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及．从点C测得，已知山高，则山高MN=　 　m．
16．在 中，角 所对的边为 ，若 ，且边 ， ，则边 　 　.
17．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则 　 　，若 的外接圆的周长为 ，则 面积的最大值为　 　．
18． 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是　 　.
19．如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是　 　.
四、解答题
20．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
21．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE= ，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN= .已知CD=4m，CE=2m.
（1）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.
22． 中，三内角 所对的边分别为 ，已知 成等差数列．
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求角 的取值范围．
23．今年某地洪水泛滥，当地政府积极组织救援.如图，已知A，B两点是洪水两岸南北方向的两个观测点，A，B相距 米，在点C处有人需要救援，点C在B的南偏东60°方向，在A的北偏东45°方向，救生艇在B的南偏西60方向，且距离B为50米的点D处.
（1）求BC；
（2）若救生艇从点D出发，沿DC以 米/分钟的速度进行救援，则多长时间可以到达点C？
24．在 中， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的面积为 ，求c的值.
25．为了测量一个不规则湖泊 两端之间的距离，如图，在东西方向上选取相距 的 两点，点 在点 的正东方向上，且 四点在同一水平面上．从点 处观测得点 在它的东北方向上，点 在它的西北方向上；从点 处观测得点 在它的北偏东 方向上，点 在它的北偏西 方向上．
（1）求 之间的距离；
（2）以点 为观测点，求点 的方位角．
26．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点处，2号机器人在点处，3号机器人在点处，且，，米，如图所示
（1）求1号机器人和2号机器人之间的距离；
（2）若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球.若已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，则2号机器人最快可在何处截住足球？
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】A,D
12．【答案】A,C
13．【答案】A,D
14．【答案】A,C
15．【答案】960
16．【答案】3或5
17．【答案】；
18．【答案】
19．【答案】
20．【答案】（1）由正弦定理， 可化为：
，
也就是 ．
由三角形内角和定理得 ．
即 ． 由正弦定理可得 ，故 ．
（2）由 可知 ．而 ，
由余弦定理可知 ．
又 ，于是 ．
．
21．【答案】（1）解：当M，D重合时，
由余弦定理知，
∴
∵
∴ ，
∵
∴
∵
∴在ΔEMN中，由正弦定理可知，
解得 ；
答：路灯在路面的照明宽度为 m；
（2）解：易知E到地面的距离 =5m
由三角形面积公式可知，
∴ ，又由余弦定理可知， ，
当且仅当EM=EN时，等号成立，
∴ ，解得
答：照明宽度MV的最小值为 .
22．【答案】解:(Ⅰ) 成等差数列，
， ，即 ，当且仅当 时取等号
由正弦定理得
(Ⅱ)由余弦定理 ，当且仅当 时取等号
由(Ⅰ)得 ，
， ，故角 的取值范围是
23．【答案】（1）在△ABC中， ， ，则 .
又
因为 ，
所以 米.
（2）在△DBC中， ， ，则 .
因为 ， ，所以
.
所以 米.
因为 ，所以从点D出发，2分钟后救生艇可以到达点C处.
24．【答案】（1）解：在 中，因为 ， 即
所以 .
（2）解：因为 . 所以 ，解得 .
又因为 .
所以 ,所以 .
25．【答案】（1）解：由已知得 ，
所以
在 中，由正弦定理得 ．
同理，在 中， ，所以 ，
由正弦定理得 ．可以计算出 ，
在 中， 所以
（2）解：作 ．由（1）知 ，
所以 ，即点 在点 的北偏东 方向上．
26．【答案】（1）解：在中，由正弦定理得，
即，
故1号机器人和2号机器人之间的距离为米
（2）解：如图，
设2号机器人最快可在点处截住足球，点在线段上
设米.由题意，米.米
在中，由余弦定理得，
整理得.解得，.
所以，或(不合题意，舍去)
故2号机器人最快可在线段上离点7米的点处截住足球