湖北省武汉市武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月考试 数学（含答案）
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| 名称 | 湖北省武汉市武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月考试 数学（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 444.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-14 16:52:07 | ||
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武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考
高三数学试卷
命题教师： 审题教师：
考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．若，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114 B. 120 C．126 D．132
7．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
B． C． D．
8. 已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A．数据，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B．已知随机变量，若，，则
C．若一组样本数据（，2，…，n）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
D．若事件M，N的概率满足，且，则M与N相互独立
10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）
平行四边形 B．梯形
C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形
设函数，则（ ）
A．当时，直线是曲线的切线
B．若有三个不同的零点，则
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是等差数列的前n项和，若，，则 ．
13. 已知函数，写出函数的单调递减区间 ．
14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；
（2）恰好得n分的概率为 ．（用与n有关的式子作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本题满分13分）
已知的面积为，且满足,设和的夹角为，
求的取值范围；
求函数的值域．
16.（本题满分15分）
如图，已知四棱锥，，侧面为正三角形，底面是边长为4的菱形，侧面与底面所成的二面角为120°．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的正弦值．
17.（本题满分15分）
已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
（本题满分17分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点A
（1）求椭圆E的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
（本题满分17分）
设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质．
（1）设函数，其中为实数
① 求证：函数具有性质；
② 讨论函数的单调性；
（2）已知函数具有性质，给定，，且，若，求的取值范围．
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D B C C A B D ABD BCD ABD
二、填空题
12. 13. 14. （1）；（2）
三、解答题
15、解：（1）由题，可得，
又，所以，得到或
因为，所以
6分
（2），化简得，
进一步计算得，因为，故
故可得
13分
16、解：（1）过点作垂直于平面，垂足为，连接交于，
连接，则有，
又，所以，
因为，所以，
又，所以为得中点
依题侧面与底面所成的二面角为120°，即有，
所以，因为侧面为正三角形，
所以，则，
所以
7分
（2）如图，在平面内过点作得垂线，依题可得两两垂直，
以为建立空间直角坐标系
可得，，，取得中点为，则
因为，所以，由（1)，，知
所以，可得所成角即为二面角的平面角，
求得，，则
则
15分
17、解：（1）当时，，，
所求切线方程为：，即
5分
（2）转化为，可得
构造函数，易得在单调递增
所以有，由在单调递增,
故可得，即有在恒成立
令，，得到，
可得时，；时，，所以在时取最大值
所以，得到
15分
18、解：（1）∵椭圆E经过点A，
∴，解得，∴椭圆E：；
4分
（2）由（1）可知，，
思路一：
由题意，，
设角平分线上任意一点为，则
得或
∵斜率为正，∴的角平分线所在直线为
思路二：椭圆在点A处的切线方程为，
根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为，
∴，的角平分线所在直线即
10分
（3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点，
设，
∴
∴线段中点为在的角平分线上，即得
∴与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．
思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点，
由点差法，，
∴，
∴，
与点A重合，舍去，
故不存在满足题设条件的相异的两点．
17分
19、解：（1）① ，
∵，恒成立，∴函数具有性质；
3分
② 设，
(i) 当即时，，，故此时在区间上递增；
(ii) 当时
当即时，，，故此时在区间上递增；
当即时，，
∴时，，，此时在上递减；
时，，，此时在上递增.
综上所述，当时，在上递增；
当时，在上递减，在上递增.
9分
（2）由题意， ，
又对任意的都有，
所以对任意的都有，在上递增.
10分
∵，，
∴
先考虑的情况
即，得，
此时，
∴
∴满足题意
13分
当时，
，
，
∴
∴，
∴，不满足题意，舍去
16分
综上所述，
17分
高三数学试卷
命题教师： 审题教师：
考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．若，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114 B. 120 C．126 D．132
7．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
B． C． D．
8. 已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A．数据，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B．已知随机变量，若，，则
C．若一组样本数据（，2，…，n）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
D．若事件M，N的概率满足，且，则M与N相互独立
10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）
平行四边形 B．梯形
C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形
设函数，则（ ）
A．当时，直线是曲线的切线
B．若有三个不同的零点，则
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是等差数列的前n项和，若，，则 ．
13. 已知函数，写出函数的单调递减区间 ．
14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；
（2）恰好得n分的概率为 ．（用与n有关的式子作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本题满分13分）
已知的面积为，且满足,设和的夹角为，
求的取值范围；
求函数的值域．
16.（本题满分15分）
如图，已知四棱锥，，侧面为正三角形，底面是边长为4的菱形，侧面与底面所成的二面角为120°．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的正弦值．
17.（本题满分15分）
已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
（本题满分17分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点A
（1）求椭圆E的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
（本题满分17分）
设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质．
（1）设函数，其中为实数
① 求证：函数具有性质；
② 讨论函数的单调性；
（2）已知函数具有性质，给定，，且，若，求的取值范围．
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D B C C A B D ABD BCD ABD
二、填空题
12. 13. 14. （1）；（2）
三、解答题
15、解：（1）由题，可得，
又，所以，得到或
因为，所以
6分
（2），化简得，
进一步计算得，因为，故
故可得
13分
16、解：（1）过点作垂直于平面，垂足为，连接交于，
连接，则有，
又，所以，
因为，所以，
又，所以为得中点
依题侧面与底面所成的二面角为120°，即有，
所以，因为侧面为正三角形，
所以，则，
所以
7分
（2）如图，在平面内过点作得垂线，依题可得两两垂直，
以为建立空间直角坐标系
可得，，，取得中点为，则
因为，所以，由（1)，，知
所以，可得所成角即为二面角的平面角，
求得，，则
则
15分
17、解：（1）当时，，，
所求切线方程为：，即
5分
（2）转化为，可得
构造函数，易得在单调递增
所以有，由在单调递增,
故可得，即有在恒成立
令，，得到，
可得时，；时，，所以在时取最大值
所以，得到
15分
18、解：（1）∵椭圆E经过点A，
∴，解得，∴椭圆E：；
4分
（2）由（1）可知，，
思路一：
由题意，，
设角平分线上任意一点为，则
得或
∵斜率为正，∴的角平分线所在直线为
思路二：椭圆在点A处的切线方程为，
根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为，
∴，的角平分线所在直线即
10分
（3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点，
设，
∴
∴线段中点为在的角平分线上，即得
∴与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．
思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点，
由点差法，，
∴，
∴，
与点A重合，舍去，
故不存在满足题设条件的相异的两点．
17分
19、解：（1）① ，
∵，恒成立，∴函数具有性质；
3分
② 设，
(i) 当即时，，，故此时在区间上递增；
(ii) 当时
当即时，，，故此时在区间上递增；
当即时，，
∴时，，，此时在上递减；
时，，，此时在上递增.
综上所述，当时，在上递增；
当时，在上递减，在上递增.
9分
（2）由题意， ，
又对任意的都有，
所以对任意的都有，在上递增.
10分
∵，，
∴
先考虑的情况
即，得，
此时，
∴
∴满足题意
13分
当时，
，
，
∴
∴，
∴，不满足题意，舍去
16分
综上所述，
17分
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