上海理工大附中2016届高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 上海理工大附中2016届高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 201.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-23 21:21:21 | ||
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文档简介
2015-2016学年上海理工大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一．填空题
1．集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的取值范围为 ．
2．所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为 ．
3．kx2﹣kx+2＞0恒成立，则k的取值范围是 ．
4．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）= ．
5．设a∈{﹣2，﹣ }，已知幂函数y=xa为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为 ．
6．函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为 ．
7．不等式≥1的解集为 ．
8．已知不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，则实数a的取值范围为 ．
9．方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是 ．
10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为 ．
11．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是 ．
12．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 ．
13．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=logx，则不等式f（x）≤2的解集是 ．
14．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞﹣1且∈Z}= ．
二．选择题
15．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的（ ）
A．仅充分条件 B．仅必要条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
16．从空间一点出发的三条射线PA，PB，PC均成60°角，则二面角B﹣PA﹣C的大小为（ ）
A． B． C． D．
17．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不能确定
18．某同学在研究函数f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数 f （x） 的值域为 （﹣1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；
④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
三、解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分）
19．已知a，b∈R，求证：a2﹣ab+b2≥0．
20．设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若 B=C，求a的值．
21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，异面直线A1B与B1C1所成角的大小为．
（1）求侧棱AA1的长．
（2）求A1B与平面A1ACC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
22．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m2
（1）将y表示成x的函数，并求定义域；
（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．
23．设f（x）=为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．
24．已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．
2015-2016学年上海理工大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．填空题
1．集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的取值范围为 a≥3 ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；集合．
【分析】由A与B的交集为A，得到A为B的子集，根据A与B，求出a的范围即可．
【解答】解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，且A∩B=A，
∴A B，
则a的取值范围为a≥3，
故答案为：a≥3．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为 arccos ．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】空间角．
【分析】由所有棱长都相等的正三棱锥，令S在底面ABC上的投影为O，则O为正三角形ABC的中心，则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角，根据等边三角形的性质，求出AO后，解三角形SAO，即可求出答案．
【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC为正三棱锥，
∴S在底面ABC上的投影为ABC的中心O
连接SO，AO，则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角
设AB=AC=BC=SA=SB=SC=3
∴AO=，
在Rt△SAO中，cos∠SAO==
∴∠SAO=arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成角，其中根据正三棱锥的几何牲，构造出∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角，是解答本题的关键．
3．kx2﹣kx+2＞0恒成立，则k的取值范围是 [0，8） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】讨论k是否为0，当k不等于0时，根据判别式与系数的关系得到不等式恒成立的等价条件．
【解答】解：①k=0时，不等式为2＞0恒成立，故满足题意；
②k≠0时，x∈R时，kx2﹣kx+2＞0恒成立，
等价于，解得0＜k＜8；
综上x∈R时，kx2﹣kx+2＞0恒成立，
k的取值范围是0≤k＜8；
故答案为：[0，8）．
【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立时求参数范围；首先要考虑二次项系数是否为0，然后根据判别式与系数的关系得到关于k的不等式解之．
4．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）= ﹣ ．
【考点】反函数．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的知识点是：原函数的定义域是反函数的值域，只要会这个概念解题较简单，也可以直接求出反函数，再求值！
【解答】解：f（x）=log2（x2+1）（x≤0），
要求f﹣1（2）的值，可以使log2（x2+1）=2，
即22=x2+1，解得x=或x=﹣，
由x≤0，得出x=﹣
f﹣1（2）=﹣
【点评】此题提供的解法是最优解，学生还可以根据反函数的定义，求出反函数再代入求值也可以，但是要求注意原函数的定义域！
5．设a∈{﹣2，﹣ }，已知幂函数y=xa为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为 ﹣2， ．
【考点】幂函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．
【解答】解：a∈{﹣2，﹣ }，
幂函数y=xa为偶函数，所以a∈{﹣2，，2}，即y=x﹣2，y=x2，y=x，
在（0，+∞）上递减，有y=x﹣2，y=x，
所以a的可能值为：﹣2，．
故答案为：﹣2，．
【点评】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．
6．函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为 或 ．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，由f（2）﹣f（1）=，解得a的值．当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，由f（1）﹣f（2）=，
解得a的值，综合可得结论．
【解答】解：由题意可得：
∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．
∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．
综上可得，a=，或 a=．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
7．不等式≥1的解集为 {x|} ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由已知得，从而得到或，由此能求出不等式≥1的解集．
【解答】解：∵≥1，∴﹣1=，
∴或，
解得．
∴不等式≥1的解集为{x|}．
故答案为：{x|}．
【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
8．已知不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，则实数a的取值范围为 （﹣∞，﹣3] ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题；不等式的解法及应用；集合．
【分析】先解出不等式组的解集，再由题设中的包含关系得出参数a的不等式组解出其范围．
【解答】解：由即，解得，2＜x＜3．
不等式2x2+ax﹣9＜0相应的函数图象开口向上，
令f（x）=2x2+ax﹣9，
故欲使不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，
只需，即有即，
解得，a≤﹣3．
故答案为：（﹣∞，﹣3]
【点评】本题考查一元二次不等式的解法以及已知一元二次不等式的解集求参数，综合考查了一元二次函数的图象与性质．
9．方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是 2 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题．
【分析】方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，结合图象得出结论．
【解答】解：方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，如图所示：
函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数为2，
故答案为 2．
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．
10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为 cm3 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为6cm的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求圆锥的底面的半径r，求出底面圆的面积，求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．
【解答】解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为半径为6cm的扇形
∴圆锥的母线长为l=6，底面周长即扇形的弧长为×6=8π，
∴底面圆的半径r=4，可得底面圆的面积为π×r2=16π
又圆锥的高h===2
故圆锥的体积为V=×8π×2=，（cm3）．
故答案为： cm3．
【点评】本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．
11．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是 y= ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．
【解答】解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），
所以f（2﹣x）==，
又f（x）为周期为2的偶函数，
所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，
故答案为：y=．
【点评】本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．
12．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 π ．
【考点】球面距离及相关计算．
【专题】计算题．
【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角∠BOC，将其置于三角形BOC中解决．
【解答】解答：解：∵AC是小圆的直径．
所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点．
O’C=，AC=3，
∴BC=3，即BC=OB=OC．∴，
则B、C两点的球面距离=．
故答案为：π．
【点评】点评：高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度．在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁．解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．
13．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=logx，则不等式f（x）≤2的解集是 {x|﹣4≤x≤0，或x≥} ．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据奇函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，此时满足不等式f（x）≤2，此时x=0，
当x＞0时，由f（x）=logx≤2，解得x≥，
当x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=log（﹣x）=﹣f（x），
解得f（x）=﹣log（﹣x），x＜0，
此时由﹣log（﹣x）≤2，
即log（﹣x）≥﹣2
解得﹣x≤4，
即﹣4≤x＜0，
综上﹣4≤x≤0，或x≥
综上不等式的解集为{x|﹣4≤x≤0，或x≥}，
故答案为：{x|﹣4≤x≤0，或x≥}
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据减函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．
14．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞﹣1且∈Z}= {2﹣，2+，1，，2， } ．
【考点】集合的表示法．
【专题】集合．
【分析】根据基本不等式，可求出∈（0，]，解方程求出满足条件的x值，可得答案．
【解答】解：∵x＞﹣1，
∴≥2，
∴=∈（0，]，
若∈Z，
则=1，或=2，或=3，
解得：x=2﹣，或x=2+，或x=1，或x=，或x=2，或x=，
故M={2﹣，2+，1，，2， }，
故答案为：{2﹣，2+，1，，2， }
【点评】本题考查的知识点是集合表示法，基本不等式，是集合和不等式的综合应用，难度中档．
二．选择题
15．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的（ ）
A．仅充分条件 B．仅必要条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】探究型．
【分析】函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，函数是一个奇函数也不一定使得在x=0处的函数值等于0，有的函数在x=0处没有意义．得到既不充分又不必要条件．
【解答】解：函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，
函数是一个奇函数也不一定使得在x=0处的函数值等于0，有的函数在x=0处没有意义，
故前者不能推出后者，后者也不能推出前者，
故选D．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
16．从空间一点出发的三条射线PA，PB，PC均成60°角，则二面角B﹣PA﹣C的大小为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；空间角．
【分析】取PA=PB=PC=2，PE=1，连接BE，CE，运用题目的条件得出∠BEC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，△BEC中，BE=CE=，BC=2，运用余弦定理求解即可．
【解答】解：取PA=PB=PC=2，PE=1，连接BE，CE
∵∠BPE=∠CPE=60°，
∴△PBE≌△PCE，
∴BE=CE，
根据余弦定理得出：BE=CE=，
∴根据勾股定理判断出BE⊥PE，CE⊥PE，
∠BEC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，
∵△BEC中，BE=CE=，BC=2，
∴cos∠BEC==，
∠BEC=．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角转化为三角形中求解是解答本题的关键．
17．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不能确定
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，从而解得．
【解答】解：作函数f（x）=的图象，
∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，
∴方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，
∴1+x1=﹣b，1 x1=c，
故b+c=﹣1﹣x1+x1=﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了函数方程的转化思想和数形结合的思想应用及根与系数的关系应用，属于中档题．
18．某同学在研究函数f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数 f （x） 的值域为 （﹣1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；
④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【考点】函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】可以先研究函数的奇偶性，然后做出函数的图象，据此求解．
【解答】解：易知函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），故函数为奇函数．故①正确；
当x＞0时，f（x）==，该函数在（0，+∞）上递增，且x→0时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→1．
结合奇偶性，作出f（x）的图象如下：
易知函数的值域是（﹣1，1），故②正确；
结合函数为定义域内的增函数，所以③正确；
又x≥0时，g（x）=f（x）﹣x=，
令f（x）﹣x=0得x=0，故此时g（x）只有一个零点0，g（x）显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以④错误．
故正确的命题是①②③．
故选B
【点评】本题考查了函数的性质．一般先研究定义域，然后判断函数的奇偶性、单调性等性质作为突破口，有一些要结合函数的图象加以分析，注意数形结合的思想的应用．
三、解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分）
19．已知a，b∈R，求证：a2﹣ab+b2≥0．
【考点】不等式的证明．
【专题】综合法；不等式的解法及应用；推理和证明．
【分析】运用配方法可得，a2﹣ab+b2=（a﹣）2+b2，再由非负数的思想，即可得证．
【解答】证明：a2﹣ab+b2=a2﹣ab+b2+b2
=（a﹣）2+b2，
由（a﹣）2≥0， b2≥0，可得（a﹣）2+b2≥0，
当a=b=0时，取得等号．
即有a2﹣ab+b2≥0．
【点评】本题考查不等式的证明，注意运用配方的思想方法，以及非负数的概念，属于基础题．
20．设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若 B=C，求a的值．
【考点】集合的相等．
【专题】计算题；分类讨论；定义法；集合．
【分析】先求出集合B，C，需要分类讨论，再根据集合相等即可求出a的值．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），
∴B={y|y=x+1，x∈A}=[0，a+1]，
当﹣1＜a≤1时，C={y|y=x2，x∈A}=[0，1]，
∵B=C，
∴a+1=1，解得a=0；
当a＞1时，C={y|y=x2，x∈A}=[0，a2]，
∵B=C，
∴a+1=a2，解得a=（舍去），a=；
综上所述a的值为0，或．
【点评】本题考查了集合相等的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．
21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，异面直线A1B与B1C1所成角的大小为．
（1）求侧棱AA1的长．
（2）求A1B与平面A1ACC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）设AA1=a，求侧棱AA1的长，需要找到与它有关的方程，由题设条件及图形知，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，由于此角余弦值已知，且△A1BC的边A1B，A1C的长度都可以用侧棱AA1的长度a表示出来，由此可以利用余弦定理建立关于AA1的方程．
（2）作出直线与平面所成角，利用三角形的解法求解角的大小即可．
【解答】解：（1）∵B1C1∥BC，
∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，…
设AA1=a，则在△A1BC中，A1B=A1C=，BC=2，…
于是cos∠A1BC==，…
解得a=4．…．
所以，侧棱AA1的长为4．…
（2）做BO⊥AC于O，连结A1O，几何体是正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，
可知AO=1，BO=，并且BO⊥AA1，BO⊥平面A1ACC1，
A1B与平面A1ACC1所成角就是∠BA1O，A1O==，
A1B与平面A1ACC1所成角的大小为θ，tanθ===，
θ=arctan．…
【点评】本题考查空间的距离求法，直线与平面所成角的求法，此类题求解时，技巧是转换角度，且点所对的多边形的面积易求，若这些条件不满足，则此法不好用，学习一种典型题的解法，要注意它的适用范围，适时总结．
22．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m2
（1）将y表示成x的函数，并求定义域；
（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】（1）通过对xy+ π =8变形、计算即得结论；
（2）通过（1）可知框架用料l=（2+）x+，进而利用基本不等式计算即得结论．
【解答】解：（1）依题意，xy+ π =8，
整理得：y==﹣ x，
定义域为：0＜x＜；
（2）由（1）可知框架用料l=2x+2y+ 2π
=2x+2（﹣ x）+ x
=（2+）x+
≥2
=4，
当且仅当（2+）x=，即x=时取等号，
此时x≈2.397m，y=﹣=≈2.397m，
故当x=y≈2.397m时用料最省．
【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
23．设f（x）=为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值，根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）＞恒成立，等价于f（x）﹣＞m恒成立，构造函数g（x）=f（x）﹣，x∈（3，4），转化为求函数g（x）在（3，4）上的最值问题即可解决．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．
令（x﹣1）（1﹣ax）=0，得x1=1，x2=，∴ =﹣1，解得a=﹣1．
令u（x）==1+，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），
则u（x1）﹣u（x2）=，
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，
∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．
∴u（x）=1+（x＞1）是减函数，
又为减函数，
∴f（x）=在（1，+∞）上为增函数．
（2）由题意知﹣＞m，x∈（3，4）时恒成立，
令g（x）=﹣，x∈（3，4），由（1）知在[3，4]上为增函数，
又﹣在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（3）=﹣=﹣，
∴m≤﹣，故实数m的范围是（﹣∞，﹣]．
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．
24．已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．
【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．
【专题】新定义；数形结合．
【分析】（1）由y=﹣x3在R上单减，可得，可求a，b
（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知即，结合对数函数的单调性可判断
（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围
另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，可求
（2）取特值说明即可，不是闭函数．
（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的 图象可求
【解答】解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足
解得a=﹣1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则
即
∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组
有解，方程x=k+至少有两个不同的解
即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．
∴得，即所求．
另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则
即
∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，
但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根，
所以，函数y=2x+lgx是不是闭函
（3）由函数f（x）=k+是闭函数，
易知函数是增函数，
则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，
说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，
令k+
则有k=x﹣=，
（令t=），如图
则直线若有两个交点，则有k．
【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思想．
一．填空题
1．集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的取值范围为 ．
2．所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为 ．
3．kx2﹣kx+2＞0恒成立，则k的取值范围是 ．
4．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）= ．
5．设a∈{﹣2，﹣ }，已知幂函数y=xa为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为 ．
6．函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为 ．
7．不等式≥1的解集为 ．
8．已知不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，则实数a的取值范围为 ．
9．方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是 ．
10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为 ．
11．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是 ．
12．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 ．
13．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=logx，则不等式f（x）≤2的解集是 ．
14．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞﹣1且∈Z}= ．
二．选择题
15．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的（ ）
A．仅充分条件 B．仅必要条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
16．从空间一点出发的三条射线PA，PB，PC均成60°角，则二面角B﹣PA﹣C的大小为（ ）
A． B． C． D．
17．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不能确定
18．某同学在研究函数f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数 f （x） 的值域为 （﹣1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；
④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
三、解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分）
19．已知a，b∈R，求证：a2﹣ab+b2≥0．
20．设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若 B=C，求a的值．
21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，异面直线A1B与B1C1所成角的大小为．
（1）求侧棱AA1的长．
（2）求A1B与平面A1ACC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
22．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m2
（1）将y表示成x的函数，并求定义域；
（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．
23．设f（x）=为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．
24．已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．
2015-2016学年上海理工大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．填空题
1．集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的取值范围为 a≥3 ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；集合．
【分析】由A与B的交集为A，得到A为B的子集，根据A与B，求出a的范围即可．
【解答】解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，且A∩B=A，
∴A B，
则a的取值范围为a≥3，
故答案为：a≥3．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为 arccos ．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】空间角．
【分析】由所有棱长都相等的正三棱锥，令S在底面ABC上的投影为O，则O为正三角形ABC的中心，则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角，根据等边三角形的性质，求出AO后，解三角形SAO，即可求出答案．
【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC为正三棱锥，
∴S在底面ABC上的投影为ABC的中心O
连接SO，AO，则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角
设AB=AC=BC=SA=SB=SC=3
∴AO=，
在Rt△SAO中，cos∠SAO==
∴∠SAO=arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成角，其中根据正三棱锥的几何牲，构造出∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角，是解答本题的关键．
3．kx2﹣kx+2＞0恒成立，则k的取值范围是 [0，8） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】讨论k是否为0，当k不等于0时，根据判别式与系数的关系得到不等式恒成立的等价条件．
【解答】解：①k=0时，不等式为2＞0恒成立，故满足题意；
②k≠0时，x∈R时，kx2﹣kx+2＞0恒成立，
等价于，解得0＜k＜8；
综上x∈R时，kx2﹣kx+2＞0恒成立，
k的取值范围是0≤k＜8；
故答案为：[0，8）．
【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立时求参数范围；首先要考虑二次项系数是否为0，然后根据判别式与系数的关系得到关于k的不等式解之．
4．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）= ﹣ ．
【考点】反函数．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的知识点是：原函数的定义域是反函数的值域，只要会这个概念解题较简单，也可以直接求出反函数，再求值！
【解答】解：f（x）=log2（x2+1）（x≤0），
要求f﹣1（2）的值，可以使log2（x2+1）=2，
即22=x2+1，解得x=或x=﹣，
由x≤0，得出x=﹣
f﹣1（2）=﹣
【点评】此题提供的解法是最优解，学生还可以根据反函数的定义，求出反函数再代入求值也可以，但是要求注意原函数的定义域！
5．设a∈{﹣2，﹣ }，已知幂函数y=xa为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为 ﹣2， ．
【考点】幂函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．
【解答】解：a∈{﹣2，﹣ }，
幂函数y=xa为偶函数，所以a∈{﹣2，，2}，即y=x﹣2，y=x2，y=x，
在（0，+∞）上递减，有y=x﹣2，y=x，
所以a的可能值为：﹣2，．
故答案为：﹣2，．
【点评】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．
6．函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为 或 ．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，由f（2）﹣f（1）=，解得a的值．当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，由f（1）﹣f（2）=，
解得a的值，综合可得结论．
【解答】解：由题意可得：
∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．
∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．
综上可得，a=，或 a=．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
7．不等式≥1的解集为 {x|} ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由已知得，从而得到或，由此能求出不等式≥1的解集．
【解答】解：∵≥1，∴﹣1=，
∴或，
解得．
∴不等式≥1的解集为{x|}．
故答案为：{x|}．
【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
8．已知不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，则实数a的取值范围为 （﹣∞，﹣3] ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题；不等式的解法及应用；集合．
【分析】先解出不等式组的解集，再由题设中的包含关系得出参数a的不等式组解出其范围．
【解答】解：由即，解得，2＜x＜3．
不等式2x2+ax﹣9＜0相应的函数图象开口向上，
令f（x）=2x2+ax﹣9，
故欲使不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，
只需，即有即，
解得，a≤﹣3．
故答案为：（﹣∞，﹣3]
【点评】本题考查一元二次不等式的解法以及已知一元二次不等式的解集求参数，综合考查了一元二次函数的图象与性质．
9．方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是 2 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题．
【分析】方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，结合图象得出结论．
【解答】解：方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，如图所示：
函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数为2，
故答案为 2．
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．
10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为 cm3 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为6cm的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求圆锥的底面的半径r，求出底面圆的面积，求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．
【解答】解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为半径为6cm的扇形
∴圆锥的母线长为l=6，底面周长即扇形的弧长为×6=8π，
∴底面圆的半径r=4，可得底面圆的面积为π×r2=16π
又圆锥的高h===2
故圆锥的体积为V=×8π×2=，（cm3）．
故答案为： cm3．
【点评】本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．
11．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是 y= ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．
【解答】解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），
所以f（2﹣x）==，
又f（x）为周期为2的偶函数，
所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，
故答案为：y=．
【点评】本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．
12．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 π ．
【考点】球面距离及相关计算．
【专题】计算题．
【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角∠BOC，将其置于三角形BOC中解决．
【解答】解答：解：∵AC是小圆的直径．
所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点．
O’C=，AC=3，
∴BC=3，即BC=OB=OC．∴，
则B、C两点的球面距离=．
故答案为：π．
【点评】点评：高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度．在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁．解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．
13．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=logx，则不等式f（x）≤2的解集是 {x|﹣4≤x≤0，或x≥} ．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据奇函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，此时满足不等式f（x）≤2，此时x=0，
当x＞0时，由f（x）=logx≤2，解得x≥，
当x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=log（﹣x）=﹣f（x），
解得f（x）=﹣log（﹣x），x＜0，
此时由﹣log（﹣x）≤2，
即log（﹣x）≥﹣2
解得﹣x≤4，
即﹣4≤x＜0，
综上﹣4≤x≤0，或x≥
综上不等式的解集为{x|﹣4≤x≤0，或x≥}，
故答案为：{x|﹣4≤x≤0，或x≥}
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据减函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．
14．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞﹣1且∈Z}= {2﹣，2+，1，，2， } ．
【考点】集合的表示法．
【专题】集合．
【分析】根据基本不等式，可求出∈（0，]，解方程求出满足条件的x值，可得答案．
【解答】解：∵x＞﹣1，
∴≥2，
∴=∈（0，]，
若∈Z，
则=1，或=2，或=3，
解得：x=2﹣，或x=2+，或x=1，或x=，或x=2，或x=，
故M={2﹣，2+，1，，2， }，
故答案为：{2﹣，2+，1，，2， }
【点评】本题考查的知识点是集合表示法，基本不等式，是集合和不等式的综合应用，难度中档．
二．选择题
15．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的（ ）
A．仅充分条件 B．仅必要条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】探究型．
【分析】函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，函数是一个奇函数也不一定使得在x=0处的函数值等于0，有的函数在x=0处没有意义．得到既不充分又不必要条件．
【解答】解：函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，
函数是一个奇函数也不一定使得在x=0处的函数值等于0，有的函数在x=0处没有意义，
故前者不能推出后者，后者也不能推出前者，
故选D．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
16．从空间一点出发的三条射线PA，PB，PC均成60°角，则二面角B﹣PA﹣C的大小为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；空间角．
【分析】取PA=PB=PC=2，PE=1，连接BE，CE，运用题目的条件得出∠BEC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，△BEC中，BE=CE=，BC=2，运用余弦定理求解即可．
【解答】解：取PA=PB=PC=2，PE=1，连接BE，CE
∵∠BPE=∠CPE=60°，
∴△PBE≌△PCE，
∴BE=CE，
根据余弦定理得出：BE=CE=，
∴根据勾股定理判断出BE⊥PE，CE⊥PE，
∠BEC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，
∵△BEC中，BE=CE=，BC=2，
∴cos∠BEC==，
∠BEC=．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角转化为三角形中求解是解答本题的关键．
17．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不能确定
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，从而解得．
【解答】解：作函数f（x）=的图象，
∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，
∴方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，
∴1+x1=﹣b，1 x1=c，
故b+c=﹣1﹣x1+x1=﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了函数方程的转化思想和数形结合的思想应用及根与系数的关系应用，属于中档题．
18．某同学在研究函数f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数 f （x） 的值域为 （﹣1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；
④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【考点】函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】可以先研究函数的奇偶性，然后做出函数的图象，据此求解．
【解答】解：易知函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），故函数为奇函数．故①正确；
当x＞0时，f（x）==，该函数在（0，+∞）上递增，且x→0时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→1．
结合奇偶性，作出f（x）的图象如下：
易知函数的值域是（﹣1，1），故②正确；
结合函数为定义域内的增函数，所以③正确；
又x≥0时，g（x）=f（x）﹣x=，
令f（x）﹣x=0得x=0，故此时g（x）只有一个零点0，g（x）显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以④错误．
故正确的命题是①②③．
故选B
【点评】本题考查了函数的性质．一般先研究定义域，然后判断函数的奇偶性、单调性等性质作为突破口，有一些要结合函数的图象加以分析，注意数形结合的思想的应用．
三、解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分）
19．已知a，b∈R，求证：a2﹣ab+b2≥0．
【考点】不等式的证明．
【专题】综合法；不等式的解法及应用；推理和证明．
【分析】运用配方法可得，a2﹣ab+b2=（a﹣）2+b2，再由非负数的思想，即可得证．
【解答】证明：a2﹣ab+b2=a2﹣ab+b2+b2
=（a﹣）2+b2，
由（a﹣）2≥0， b2≥0，可得（a﹣）2+b2≥0，
当a=b=0时，取得等号．
即有a2﹣ab+b2≥0．
【点评】本题考查不等式的证明，注意运用配方的思想方法，以及非负数的概念，属于基础题．
20．设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若 B=C，求a的值．
【考点】集合的相等．
【专题】计算题；分类讨论；定义法；集合．
【分析】先求出集合B，C，需要分类讨论，再根据集合相等即可求出a的值．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），
∴B={y|y=x+1，x∈A}=[0，a+1]，
当﹣1＜a≤1时，C={y|y=x2，x∈A}=[0，1]，
∵B=C，
∴a+1=1，解得a=0；
当a＞1时，C={y|y=x2，x∈A}=[0，a2]，
∵B=C，
∴a+1=a2，解得a=（舍去），a=；
综上所述a的值为0，或．
【点评】本题考查了集合相等的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．
21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，异面直线A1B与B1C1所成角的大小为．
（1）求侧棱AA1的长．
（2）求A1B与平面A1ACC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）设AA1=a，求侧棱AA1的长，需要找到与它有关的方程，由题设条件及图形知，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，由于此角余弦值已知，且△A1BC的边A1B，A1C的长度都可以用侧棱AA1的长度a表示出来，由此可以利用余弦定理建立关于AA1的方程．
（2）作出直线与平面所成角，利用三角形的解法求解角的大小即可．
【解答】解：（1）∵B1C1∥BC，
∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，…
设AA1=a，则在△A1BC中，A1B=A1C=，BC=2，…
于是cos∠A1BC==，…
解得a=4．…．
所以，侧棱AA1的长为4．…
（2）做BO⊥AC于O，连结A1O，几何体是正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，
可知AO=1，BO=，并且BO⊥AA1，BO⊥平面A1ACC1，
A1B与平面A1ACC1所成角就是∠BA1O，A1O==，
A1B与平面A1ACC1所成角的大小为θ，tanθ===，
θ=arctan．…
【点评】本题考查空间的距离求法，直线与平面所成角的求法，此类题求解时，技巧是转换角度，且点所对的多边形的面积易求，若这些条件不满足，则此法不好用，学习一种典型题的解法，要注意它的适用范围，适时总结．
22．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m2
（1）将y表示成x的函数，并求定义域；
（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】（1）通过对xy+ π =8变形、计算即得结论；
（2）通过（1）可知框架用料l=（2+）x+，进而利用基本不等式计算即得结论．
【解答】解：（1）依题意，xy+ π =8，
整理得：y==﹣ x，
定义域为：0＜x＜；
（2）由（1）可知框架用料l=2x+2y+ 2π
=2x+2（﹣ x）+ x
=（2+）x+
≥2
=4，
当且仅当（2+）x=，即x=时取等号，
此时x≈2.397m，y=﹣=≈2.397m，
故当x=y≈2.397m时用料最省．
【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
23．设f（x）=为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值，根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）＞恒成立，等价于f（x）﹣＞m恒成立，构造函数g（x）=f（x）﹣，x∈（3，4），转化为求函数g（x）在（3，4）上的最值问题即可解决．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．
令（x﹣1）（1﹣ax）=0，得x1=1，x2=，∴ =﹣1，解得a=﹣1．
令u（x）==1+，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），
则u（x1）﹣u（x2）=，
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，
∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．
∴u（x）=1+（x＞1）是减函数，
又为减函数，
∴f（x）=在（1，+∞）上为增函数．
（2）由题意知﹣＞m，x∈（3，4）时恒成立，
令g（x）=﹣，x∈（3，4），由（1）知在[3，4]上为增函数，
又﹣在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（3）=﹣=﹣，
∴m≤﹣，故实数m的范围是（﹣∞，﹣]．
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．
24．已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．
【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．
【专题】新定义；数形结合．
【分析】（1）由y=﹣x3在R上单减，可得，可求a，b
（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知即，结合对数函数的单调性可判断
（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围
另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，可求
（2）取特值说明即可，不是闭函数．
（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的 图象可求
【解答】解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足
解得a=﹣1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则
即
∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组
有解，方程x=k+至少有两个不同的解
即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．
∴得，即所求．
另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则
即
∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，
但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根，
所以，函数y=2x+lgx是不是闭函
（3）由函数f（x）=k+是闭函数，
易知函数是增函数，
则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，
说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，
令k+
则有k=x﹣=，
（令t=），如图
则直线若有两个交点，则有k．
【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思想．
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