上海交大附中2016届高三（上）摸底数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 上海交大附中2016届高三（上）摸底数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 216.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-23 21:59:18 | ||
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文档简介
2015-2016学年上海交大附中高三（上）摸底数学试卷
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（ UA）∩B= ．
2．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ．
3．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是 ．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30= ．
5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=2b2，则= ．
6．若点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，则y0的取值范围是 ．
7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是 ．
8．已知b∈R，若（1+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|= ．
9．已知，且x+2y=1，则的最小值是 ．
10．已知一圆锥的底面是半径为1cm的圆，若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积是 cm3．
11．抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则= ．
12．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b= ．
13．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列说法
（1）y=f（x）的最大值为；
（2）y=f（x）是以π为最小正周期的函数；
（3）y=f（x）在区间（，）上单调递减；
（4）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是 ．
14．定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：
①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；
④为函数f（x）=x2的一个承托函数．
其中正确的命题有 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15．在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3项的系数为（ ）
A．210 B．120 C．80 D．60
16．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
17．甲乙两人进行相棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是（ ）
A．0.6 B．0.8 C．0.2 D．0.4
18．圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心坐标是（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，） D．（2，）
三．解答题（本大题共五题，满分74分，12+14+14+16+18=74）
19．已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
（2）求式 的值．
20．已知函数f（x）=|3x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．
（1）证明：AB1⊥BC1；
（2）求点B到平面AB1C1的距离；
（3）求二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．
22．已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积SABCD的最大值．
23．给定数列{cn}，如果存在常数p、q使得cn+1=pcn+q对任意n∈N*都成立，则称{cn}为“M类数列”．
（1）若{an}是公差为d的等差数列，判断{an}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若{an}是“M类数列”且满足：a1=2，an+an+1=3 2n．
①求a2、a3的值及{an}的通项公式；
②设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3 2n+1﹣4n﹣6，且集合M={n|≥λ，n∈N*}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．
2015-2016学年上海交大附中高三（上）摸底数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（ UA）∩B= {x|﹣2＜x＜1} ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．
【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≤﹣2}，
∴ UA={x|x＞﹣2}，
∵B={x|x＜1}，
∴（ UA）∩B={x|﹣2＜x＜1}．
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ．
【考点】集合的相等．
【专题】集合．
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．
3．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是 ．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】先由二次不等式的解集形式，判断出，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．
【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，
∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根
韦达定理×2=，解得 a=﹣2；
则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，
解得
故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30= 60 ．
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和，…仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解S30的值．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，
则S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列，
由S10=10，S20=30，得2×20=10+S30﹣30，
∴S30=60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，关键是对性质的理解与运用，是中档题．
5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=2b2，则= ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理代入进行化简即可．
【解答】解：∵c（acosB﹣bcosA）=2b2，
∴由余弦定理可得 ac ﹣bc =2b2，
即a2+c2﹣b2﹣b2﹣c2+a2=4b2，
即a2=3b2，
则a=b，
∴=．
再利用正弦定理可得=，
故答案为：
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，比较基础．要求熟练掌握相应的公式．
6．若点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，则y0的取值范围是 （3，+∞） ．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．
【专题】直线与圆．
【分析】由不等式与平面区域的关系可得y0的不等式，解不等式可得．
【解答】解：∵点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，
∴（2﹣2×3+5）（1﹣2y0+5）＜0，解得y0＞3
故答案为：（3，+∞）
【点评】本题考查不等式与平面区域，属基础题．
7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题．
【分析】掷一枚硬币，正面向上的概率是，将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，相当于做了三次独立重复试验，利用独立重复试验的概率公式写出结果．
【解答】解：由题意知掷一枚硬币，正面向上的概率是，
将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，
相当于做了三次独立重复试验，
∴恰好出现一次正面的概率是
故答案为：
【点评】本题考查独立重复试验的概率公式，解题的关键是看出试验符合什么条件，注意应用概率的公式，本题是一个基础题．
8．已知b∈R，若（1+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|= ．
【考点】复数求模．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】通过化简可知（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i，利用纯虚数的定义计算即可．
【解答】解：∵（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i为纯虚数，
∴，
解得b=﹣2，
∴|1+bi|===，
故答案为：．
【点评】本题考查复数求模，弄清纯虚数的概念是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．
9．已知，且x+2y=1，则的最小值是 ．
【考点】两向量的和或差的模的最值．
【专题】计算题．
【分析】根据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式，把两个向量的系数用一个字母来表示，求向量的模长，利用二次函数的最值，做出结果．
【解答】解：∵x+2y=1
∴ =
=
=84y2﹣72y+16
∴当y=时，原式=，
故答案为：，
【点评】本题考查向量的模长的最值，本题解题的关键是表示出向量的模长，再用函数求最值的方法来求解，这是这一类题目共同的特征．
10．已知一圆锥的底面是半径为1cm的圆，若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积是 cm3．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的3倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r=1cm，侧面积是底面积的3倍，
∴圆锥的母线长l=3cm，
故圆锥的高h==2cm，
故圆锥的体积V=Sh=πr2 h==cm3，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．
11．抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则= ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
∴AF的方程是y=（x﹣1）
设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），
与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，
利用韦达定理x3x1=1
∴x3=，
∴y3=k0（x3﹣1）=﹣
即C（，﹣）
同理D（，﹣）
∴k2==2k1，
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b= 5 ．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】因为定义域和值域都是[a，b]，说明函数最大值和最小值分别是a和b，所以根据对称轴进行分类讨论即可．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：
①当b＜2时，函数在区间[a，b]上递减，又∵值域也是[a，b]，∴得方程组
即，两式相减得（a+b）（a﹣b）﹣3（a﹣b）=b﹣a，又∵a≠b，∴a+b=，
由，得3a2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f（2）=1≠，故舍去．
②当a＜2＜b时，得f（2）=1=a，又∵f（1）=＜2，∴f（b）=b，得，∴b=（舍）
或b=4，∴a+b=5
③当a＞2时，函数在区间[a，b]上递增，又∵值域是[a，b]，∴得方程组，
即a，b是方程x2﹣3x+4=x的两根，即a，b是方程3x2﹣16x+16=0的两根，∴，但a＞2，故应舍去．
故答案为：5
【点评】本题考查了二次函数的单调区间以及最值问题，属于基础题．
13．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列说法
（1）y=f（x）的最大值为；
（2）y=f（x）是以π为最小正周期的函数；
（3）y=f（x）在区间（，）上单调递减；
（4）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是 （1）（2）（3） ．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），由三角函数的性质逐个选项验证可得．
【解答】解：化简可得f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）
=cos（2x+﹣）+cos（2x+）
=sin（2x+）+cos（2x+）
=sin（2x++）
=sin（2x+）
∴函数f（x）的最大值为，（1）正确；
函数的周期T==π，（2）正确；
由2kπ+＜2x+＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，
当k=0时可得函数y=f（x）在区间（，）上单调递减，（3）正确；
（4）y=cos2x的图象向左平移个单位后，可得y=cos2（x+）
=cos（2x+）≠sin（2x+），错误；
综上可知（1）（2）（3）正确，
故答案为：（1）（2）（3）．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及两角和与差的三角函数公式和诱导公式，属中档题．
14．定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：
①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；
④为函数f（x）=x2的一个承托函数．
其中正确的命题有 ①③ ．
【考点】函数最值的应用．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①举例可以说明，如f（x）=cosx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，反例如
y=tanx或y=lgx就没有承托函数；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③要说明g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；即证明F（x）=ex﹣2x的图象恒在x轴上方；④举反例即可．
【解答】解：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；
③令F（x）═|3x|﹣2x=，
可见在x≥0时，函数F（x）单调递增，最小值F（0）=0，
在x＜0时，函数F（x）单调递减，最小值大于F（0）=0，
∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定义
∴命题③正确；
④x=1时，g（1）=，f（1）=1，显然g（1）＜f（1），
当x=时，g（）=，f（）=，显然g（）＞f（），
命题④不正确．
故答案为：①③
【点评】本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，如③，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，如①，对于不正确的命题，举反例即可，如②③，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15．在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3项的系数为（ ）
A．210 B．120 C．80 D．60
【考点】二项式定理的应用．
【专题】二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式求得（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项，可得含x4y3项的系数．
【解答】解：在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项为 x3 2 y3=120x4y3，
故含x4y3项的系数为120，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】高阶矩阵．
【专题】选作题；矩阵和变换．
【分析】方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，配方可得结论．
【解答】解：方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，
所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，
所以a=b=c，
故选：B．
【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．
17．甲乙两人进行相棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是（ ）
A．0.6 B．0.8 C．0.2 D．0.4
【考点】概率的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】欲求甲不输的概率，利用等量关系：甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解，根据题意，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2
所以甲不输的概率为0.4+0.2=0.6．
故选A．
【点评】本题考查了等可能事件的概率，解答本题的关键是要判断出“甲获胜的概率，和棋的概率和乙获胜的概率的和是1”．
18．圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心坐标是（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，） D．（2，）
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】利用化为直角坐标方程，进而得出．
【解答】解：圆ρ=（cosθ+sinθ）即（cosθ+sinθ），
∴，
化为．
∴圆心坐标是，
∴=1，θ=arctan1=．
极坐标为．
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．
三．解答题（本大题共五题，满分74分，12+14+14+16+18=74）
19．已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
（2）求式 的值．
【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．
（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．
【解答】解：（1）∵|OP|=，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得
sinα=﹣
（2）原式=
=..
由余弦的定义可知，cosα=
即所求式的值为
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题．
20．已知函数f（x）=|3x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，
∴①，或②，或③．
解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈ ．
综上可得，不等式的解集为（﹣，）．
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．
再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．
设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，
再由+a≤4，求得 0＜a≤．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．
（1）证明：AB1⊥BC1；
（2）求点B到平面AB1C1的距离；
（3）求二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．
【专题】综合题．
【分析】（1）以C点为坐标原点，CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB1与BC1的方向向量，代入数量积公式，得到其数量积为0，即可得到AB1⊥BC1；
（2）求出平面AB1C1的一个法向量，则AB的方向向量，代入到公式，即可求出
点B到平面AB1C1的距离；
（3）结合（2）的结合，再求出平面AB1A1的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．
【解答】证明：（1）如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，
题意A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2）．
∵，∴∴AB1⊥BC1
解：（2）设的一个法向量，
由得
令
∵，∴点B到平面AB1C1的距离．
（3）解设是平面A1AB1的一个法向量
由
∴令
∵，
∴二面角C1﹣AB﹣A1的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到面的距离，异面直线的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将问题转化为向量夹角及向量长度问题是解答本题的关键．
22．已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积SABCD的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（I）设椭圆E的标准方程为，由已知|PF1|+|PF2|=4，，由此能求出椭圆E的标准方程．
（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S△ABCD=4S△OAB，设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用弦长公式能求出S△BCD的最大值．
【解答】解：（I）设椭圆E的标准方程为，
由已知|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，∴a=2，…
又点P（1，）在椭圆上，∴，∴b=，
椭圆E的标准方程为=1．…
（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，
∴S ABCD=4S△OAB，
设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，
∴y1+y2=，y1y2=﹣，…
S△OAB=+=|OF1||y1﹣y2|=
==6，…
令m2+1=t，则t≥1，S△OAB=6=6，…
又∵g（t）=9t+在[1，+∞）上单调递增
∴g（t）≥g（1）=10，∴S△OAB的最大值为．
∴S ABCD的最大值为6．…
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
23．给定数列{cn}，如果存在常数p、q使得cn+1=pcn+q对任意n∈N*都成立，则称{cn}为“M类数列”．
（1）若{an}是公差为d的等差数列，判断{an}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若{an}是“M类数列”且满足：a1=2，an+an+1=3 2n．
①求a2、a3的值及{an}的通项公式；
②设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3 2n+1﹣4n﹣6，且集合M={n|≥λ，n∈N*}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．
【考点】数列的应用．
【专题】点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）通过an+1=an+d与cn+1=pcn+q比较可知p=1、q=d，进而可得结论；
（2）①通过a1=2、an+an+1=3 2n计算出a2、a3的值，进而利用数列{an}是“M类数列”代入计算可知数列{an}是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1=3 2n+1﹣4n﹣6，利用2bn=（2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）﹣（22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）计算可知bn=2n﹣1，从而M={n|≥λ，n∈N*}，分别计算出当n=1、2、3时λ的值，进而可得结论．
【解答】（1）结论：公差为d的等差数列是“M类数列”．
理由如下：
∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴an+1=an+d，
此时p=1、q=d，
即公差为d的等差数列是“M类数列”；
（2）①∵a1=2，an+an+1=3 2n，
∴a2=3 2﹣a1=4， =8，
又∵数列{an}是“M类数列”，
∴，即，
解得：p=2，q=0，
即an+1=2an，
又∵a1=2，
∴数列{an}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
②由①可知a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3 2n+1﹣4n﹣6，
即2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1=3 2n+1﹣4n﹣6，
∴2bn﹣1+22bn﹣2+23bn﹣3+…+2n﹣1b1=3 2n﹣4（n﹣1）﹣6=3 2n﹣4n﹣2，
∴22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1=3 2n+1﹣8n﹣4，
∴2bn=（2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）﹣（22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）
=（3 2n+1﹣4n﹣6）﹣（3 2n+1﹣8n﹣4）
=4n﹣2，
即bn=2n﹣1，
∴集合M={n|≥λ，n∈N*}={n|≥λ，n∈N*}，
当n=1时，λ≤=；
当n=2时，λ≤=；
当n=3时，λ≤=；
当n≥4时，λ≤=；
又∵集合M={n|≥λ，n∈N*}中有且仅有3个元素，
∴＜λ≤，
故实数λ的取值范围是（，]．
【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（ UA）∩B= ．
2．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ．
3．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是 ．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30= ．
5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=2b2，则= ．
6．若点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，则y0的取值范围是 ．
7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是 ．
8．已知b∈R，若（1+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|= ．
9．已知，且x+2y=1，则的最小值是 ．
10．已知一圆锥的底面是半径为1cm的圆，若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积是 cm3．
11．抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则= ．
12．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b= ．
13．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列说法
（1）y=f（x）的最大值为；
（2）y=f（x）是以π为最小正周期的函数；
（3）y=f（x）在区间（，）上单调递减；
（4）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是 ．
14．定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：
①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；
④为函数f（x）=x2的一个承托函数．
其中正确的命题有 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15．在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3项的系数为（ ）
A．210 B．120 C．80 D．60
16．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
17．甲乙两人进行相棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是（ ）
A．0.6 B．0.8 C．0.2 D．0.4
18．圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心坐标是（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，） D．（2，）
三．解答题（本大题共五题，满分74分，12+14+14+16+18=74）
19．已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
（2）求式 的值．
20．已知函数f（x）=|3x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．
（1）证明：AB1⊥BC1；
（2）求点B到平面AB1C1的距离；
（3）求二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．
22．已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积SABCD的最大值．
23．给定数列{cn}，如果存在常数p、q使得cn+1=pcn+q对任意n∈N*都成立，则称{cn}为“M类数列”．
（1）若{an}是公差为d的等差数列，判断{an}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若{an}是“M类数列”且满足：a1=2，an+an+1=3 2n．
①求a2、a3的值及{an}的通项公式；
②设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3 2n+1﹣4n﹣6，且集合M={n|≥λ，n∈N*}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．
2015-2016学年上海交大附中高三（上）摸底数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（ UA）∩B= {x|﹣2＜x＜1} ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．
【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≤﹣2}，
∴ UA={x|x＞﹣2}，
∵B={x|x＜1}，
∴（ UA）∩B={x|﹣2＜x＜1}．
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ．
【考点】集合的相等．
【专题】集合．
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．
3．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是 ．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】先由二次不等式的解集形式，判断出，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．
【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，
∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根
韦达定理×2=，解得 a=﹣2；
则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，
解得
故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30= 60 ．
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和，…仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解S30的值．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，
则S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列，
由S10=10，S20=30，得2×20=10+S30﹣30，
∴S30=60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，关键是对性质的理解与运用，是中档题．
5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=2b2，则= ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理代入进行化简即可．
【解答】解：∵c（acosB﹣bcosA）=2b2，
∴由余弦定理可得 ac ﹣bc =2b2，
即a2+c2﹣b2﹣b2﹣c2+a2=4b2，
即a2=3b2，
则a=b，
∴=．
再利用正弦定理可得=，
故答案为：
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，比较基础．要求熟练掌握相应的公式．
6．若点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，则y0的取值范围是 （3，+∞） ．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．
【专题】直线与圆．
【分析】由不等式与平面区域的关系可得y0的不等式，解不等式可得．
【解答】解：∵点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，
∴（2﹣2×3+5）（1﹣2y0+5）＜0，解得y0＞3
故答案为：（3，+∞）
【点评】本题考查不等式与平面区域，属基础题．
7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题．
【分析】掷一枚硬币，正面向上的概率是，将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，相当于做了三次独立重复试验，利用独立重复试验的概率公式写出结果．
【解答】解：由题意知掷一枚硬币，正面向上的概率是，
将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，
相当于做了三次独立重复试验，
∴恰好出现一次正面的概率是
故答案为：
【点评】本题考查独立重复试验的概率公式，解题的关键是看出试验符合什么条件，注意应用概率的公式，本题是一个基础题．
8．已知b∈R，若（1+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|= ．
【考点】复数求模．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】通过化简可知（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i，利用纯虚数的定义计算即可．
【解答】解：∵（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i为纯虚数，
∴，
解得b=﹣2，
∴|1+bi|===，
故答案为：．
【点评】本题考查复数求模，弄清纯虚数的概念是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．
9．已知，且x+2y=1，则的最小值是 ．
【考点】两向量的和或差的模的最值．
【专题】计算题．
【分析】根据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式，把两个向量的系数用一个字母来表示，求向量的模长，利用二次函数的最值，做出结果．
【解答】解：∵x+2y=1
∴ =
=
=84y2﹣72y+16
∴当y=时，原式=，
故答案为：，
【点评】本题考查向量的模长的最值，本题解题的关键是表示出向量的模长，再用函数求最值的方法来求解，这是这一类题目共同的特征．
10．已知一圆锥的底面是半径为1cm的圆，若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积是 cm3．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的3倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r=1cm，侧面积是底面积的3倍，
∴圆锥的母线长l=3cm，
故圆锥的高h==2cm，
故圆锥的体积V=Sh=πr2 h==cm3，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．
11．抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则= ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
∴AF的方程是y=（x﹣1）
设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），
与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，
利用韦达定理x3x1=1
∴x3=，
∴y3=k0（x3﹣1）=﹣
即C（，﹣）
同理D（，﹣）
∴k2==2k1，
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b= 5 ．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】因为定义域和值域都是[a，b]，说明函数最大值和最小值分别是a和b，所以根据对称轴进行分类讨论即可．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：
①当b＜2时，函数在区间[a，b]上递减，又∵值域也是[a，b]，∴得方程组
即，两式相减得（a+b）（a﹣b）﹣3（a﹣b）=b﹣a，又∵a≠b，∴a+b=，
由，得3a2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f（2）=1≠，故舍去．
②当a＜2＜b时，得f（2）=1=a，又∵f（1）=＜2，∴f（b）=b，得，∴b=（舍）
或b=4，∴a+b=5
③当a＞2时，函数在区间[a，b]上递增，又∵值域是[a，b]，∴得方程组，
即a，b是方程x2﹣3x+4=x的两根，即a，b是方程3x2﹣16x+16=0的两根，∴，但a＞2，故应舍去．
故答案为：5
【点评】本题考查了二次函数的单调区间以及最值问题，属于基础题．
13．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列说法
（1）y=f（x）的最大值为；
（2）y=f（x）是以π为最小正周期的函数；
（3）y=f（x）在区间（，）上单调递减；
（4）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是 （1）（2）（3） ．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），由三角函数的性质逐个选项验证可得．
【解答】解：化简可得f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）
=cos（2x+﹣）+cos（2x+）
=sin（2x+）+cos（2x+）
=sin（2x++）
=sin（2x+）
∴函数f（x）的最大值为，（1）正确；
函数的周期T==π，（2）正确；
由2kπ+＜2x+＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，
当k=0时可得函数y=f（x）在区间（，）上单调递减，（3）正确；
（4）y=cos2x的图象向左平移个单位后，可得y=cos2（x+）
=cos（2x+）≠sin（2x+），错误；
综上可知（1）（2）（3）正确，
故答案为：（1）（2）（3）．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及两角和与差的三角函数公式和诱导公式，属中档题．
14．定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：
①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；
④为函数f（x）=x2的一个承托函数．
其中正确的命题有 ①③ ．
【考点】函数最值的应用．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①举例可以说明，如f（x）=cosx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，反例如
y=tanx或y=lgx就没有承托函数；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③要说明g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；即证明F（x）=ex﹣2x的图象恒在x轴上方；④举反例即可．
【解答】解：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；
③令F（x）═|3x|﹣2x=，
可见在x≥0时，函数F（x）单调递增，最小值F（0）=0，
在x＜0时，函数F（x）单调递减，最小值大于F（0）=0，
∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定义
∴命题③正确；
④x=1时，g（1）=，f（1）=1，显然g（1）＜f（1），
当x=时，g（）=，f（）=，显然g（）＞f（），
命题④不正确．
故答案为：①③
【点评】本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，如③，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，如①，对于不正确的命题，举反例即可，如②③，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15．在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3项的系数为（ ）
A．210 B．120 C．80 D．60
【考点】二项式定理的应用．
【专题】二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式求得（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项，可得含x4y3项的系数．
【解答】解：在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项为 x3 2 y3=120x4y3，
故含x4y3项的系数为120，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】高阶矩阵．
【专题】选作题；矩阵和变换．
【分析】方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，配方可得结论．
【解答】解：方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，
所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，
所以a=b=c，
故选：B．
【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．
17．甲乙两人进行相棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是（ ）
A．0.6 B．0.8 C．0.2 D．0.4
【考点】概率的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】欲求甲不输的概率，利用等量关系：甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解，根据题意，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2
所以甲不输的概率为0.4+0.2=0.6．
故选A．
【点评】本题考查了等可能事件的概率，解答本题的关键是要判断出“甲获胜的概率，和棋的概率和乙获胜的概率的和是1”．
18．圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心坐标是（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，） D．（2，）
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】利用化为直角坐标方程，进而得出．
【解答】解：圆ρ=（cosθ+sinθ）即（cosθ+sinθ），
∴，
化为．
∴圆心坐标是，
∴=1，θ=arctan1=．
极坐标为．
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．
三．解答题（本大题共五题，满分74分，12+14+14+16+18=74）
19．已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
（2）求式 的值．
【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．
（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．
【解答】解：（1）∵|OP|=，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得
sinα=﹣
（2）原式=
=..
由余弦的定义可知，cosα=
即所求式的值为
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题．
20．已知函数f（x）=|3x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，
∴①，或②，或③．
解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈ ．
综上可得，不等式的解集为（﹣，）．
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．
再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．
设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，
再由+a≤4，求得 0＜a≤．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．
（1）证明：AB1⊥BC1；
（2）求点B到平面AB1C1的距离；
（3）求二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．
【专题】综合题．
【分析】（1）以C点为坐标原点，CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB1与BC1的方向向量，代入数量积公式，得到其数量积为0，即可得到AB1⊥BC1；
（2）求出平面AB1C1的一个法向量，则AB的方向向量，代入到公式，即可求出
点B到平面AB1C1的距离；
（3）结合（2）的结合，再求出平面AB1A1的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．
【解答】证明：（1）如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，
题意A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2）．
∵，∴∴AB1⊥BC1
解：（2）设的一个法向量，
由得
令
∵，∴点B到平面AB1C1的距离．
（3）解设是平面A1AB1的一个法向量
由
∴令
∵，
∴二面角C1﹣AB﹣A1的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到面的距离，异面直线的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将问题转化为向量夹角及向量长度问题是解答本题的关键．
22．已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积SABCD的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（I）设椭圆E的标准方程为，由已知|PF1|+|PF2|=4，，由此能求出椭圆E的标准方程．
（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S△ABCD=4S△OAB，设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用弦长公式能求出S△BCD的最大值．
【解答】解：（I）设椭圆E的标准方程为，
由已知|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，∴a=2，…
又点P（1，）在椭圆上，∴，∴b=，
椭圆E的标准方程为=1．…
（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，
∴S ABCD=4S△OAB，
设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，
∴y1+y2=，y1y2=﹣，…
S△OAB=+=|OF1||y1﹣y2|=
==6，…
令m2+1=t，则t≥1，S△OAB=6=6，…
又∵g（t）=9t+在[1，+∞）上单调递增
∴g（t）≥g（1）=10，∴S△OAB的最大值为．
∴S ABCD的最大值为6．…
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
23．给定数列{cn}，如果存在常数p、q使得cn+1=pcn+q对任意n∈N*都成立，则称{cn}为“M类数列”．
（1）若{an}是公差为d的等差数列，判断{an}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若{an}是“M类数列”且满足：a1=2，an+an+1=3 2n．
①求a2、a3的值及{an}的通项公式；
②设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3 2n+1﹣4n﹣6，且集合M={n|≥λ，n∈N*}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．
【考点】数列的应用．
【专题】点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）通过an+1=an+d与cn+1=pcn+q比较可知p=1、q=d，进而可得结论；
（2）①通过a1=2、an+an+1=3 2n计算出a2、a3的值，进而利用数列{an}是“M类数列”代入计算可知数列{an}是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1=3 2n+1﹣4n﹣6，利用2bn=（2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）﹣（22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）计算可知bn=2n﹣1，从而M={n|≥λ，n∈N*}，分别计算出当n=1、2、3时λ的值，进而可得结论．
【解答】（1）结论：公差为d的等差数列是“M类数列”．
理由如下：
∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴an+1=an+d，
此时p=1、q=d，
即公差为d的等差数列是“M类数列”；
（2）①∵a1=2，an+an+1=3 2n，
∴a2=3 2﹣a1=4， =8，
又∵数列{an}是“M类数列”，
∴，即，
解得：p=2，q=0，
即an+1=2an，
又∵a1=2，
∴数列{an}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
②由①可知a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3 2n+1﹣4n﹣6，
即2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1=3 2n+1﹣4n﹣6，
∴2bn﹣1+22bn﹣2+23bn﹣3+…+2n﹣1b1=3 2n﹣4（n﹣1）﹣6=3 2n﹣4n﹣2，
∴22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1=3 2n+1﹣8n﹣4，
∴2bn=（2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）﹣（22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）
=（3 2n+1﹣4n﹣6）﹣（3 2n+1﹣8n﹣4）
=4n﹣2，
即bn=2n﹣1，
∴集合M={n|≥λ，n∈N*}={n|≥λ，n∈N*}，
当n=1时，λ≤=；
当n=2时，λ≤=；
当n=3时，λ≤=；
当n≥4时，λ≤=；
又∵集合M={n|≥λ，n∈N*}中有且仅有3个元素，
∴＜λ≤，
故实数λ的取值范围是（，]．
【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．
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