上海市虹口区2016届高三（上）12月模拟数学试卷（解析版）

2015-2016学年上海市虹口区高三（上）12月模拟数学试卷
　
一、填空题（本大题共15题，每题3分，满分45分）
1．复数z=3﹣i，i为虚数单位，则=　　　　　　．
　
2．已知集合M={x|x≤a}，N={﹣2，0，1}，若M∩N={﹣2，0}，则实数a的取值范围是　　　　　　．
　
3．（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是　　　　　　（用数字表示）
　
4．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左顶点，则p=　　　　　　．
　
5．在△ABC中，，则=　　　　　　．
　
6．已知=i2015+i2016（其中i为虚数单位），则cosθ=　　　　　　．
　
7．直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值为　　　　　　．
　
8．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦点为　　　　　　．
　
9．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有　　　　　　 种．
　
10．若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+1，则an=　　　　　　．
　
11．在棱长为a的正四面体A﹣BCD中，M是棱AB的中点，则CM与底面BCD所成的角的正弦值是　　　　　　．
　
12．若函数f（x）=为奇函数，则满足f（t﹣1）＜f（2t）的实数t的取值范围是　　　　　　．
　
13．在圆x2+y2=5x内，过点（，）有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差d∈[，]，那么n的可能取值为　　　　　　．
　
14．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是　　　　　　．
　
15．已知向量序列：，，，…，…满足如下条件：，，，且（n=2，3，4，…），则，，，…，，…中第　　　　　　项最小．
　
　
二、选择题（本大题共5题，每题5分，满分25分）
16．“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
　
17．如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：
①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
　
18．已知函数f（x）=logm（2﹣x）+1（m＞0，且m≠1）的图象恒过点P，且点P在直线ax+by=1（a＞0，b＞0）上，那么ab的（　　）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
　
19．不共面的三条定直线l1，l2，l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a（定值），则三棱锥A﹣BCD的体积（　　）
A．由A点的变化而变化 B．由B点的变化而变化
C．有最大值，无最小值 D．为定值
　
20．若函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）没有零点，则a2+b2的取值范围是（　　）
A．[0，1） B．[0，π2） C． D．[0，π）
　
　
三、解答题
21．已知函数f（x）=asinxcosx﹣cos2x的图象过点，
（1）求函数y=f（x）的单调减区间；
（2）求函数y=f（x）在上的最大值和最小值．
　
22．某甜品店制作一种蛋筒冰激凌，其上部分是半球形，下半部分呈圆锥形（如图），现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形蛋皮，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计）．
（1）求该蛋筒冰激凌的高度；
（2）求该蛋筒冰激凌的体积（精确到0.01cm3）．
　
23．已知函数f（x）=3x﹣1的反函数y=f﹣1（x），g（x）=log9（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f﹣1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）设函数，当x∈D时，求H（x）的值域．
　
24．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴为4，且过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点O为原点，若点P在曲线C上，点Q在直线y=2上，且OP⊥OQ，试判断直线PQ与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
　
25．已知x1、x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记，设（n∈N*）．
（1）用m、t表示T1、T2；
（2）求证：T5=﹣mT4﹣tT3；
（3）求证：对任意的n∈N*，Tn∈Z．
　
26．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）
（1）求实数a、b的值；
（2）若不等式成立，求实数k的取值范围；
（3）对于任意满足p=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=q（n∈N，n≥3）的自变量x0，x1，x2，…，xn﹣1，xn，如果存在一个常数M＞0，使得定义在区间[p，q]上的一个函数m（x），有|m（x1）﹣m（x0）|+|m（x2）﹣m（x1）|+…+|m（xn）﹣m（xn﹣1）|≤M恒成立，则称m（x）为区间[p，q]上的有界变差函数，试判断f（x）是否区间[0，3]上的有界变差函数，若是，求出M的最小值；若不是，请说明理由．
　
　
2015-2016学年上海市虹口区高三（上）12月模拟数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共15题，每题3分，满分45分）
1．复数z=3﹣i，i为虚数单位，则=　10　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；对应思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】写出复数的共轭复数，利用多项式乘法求解即可．
【解答】解：复数z=3﹣i（其中i为虚数单位），则=3+i，
∴=（3﹣i）（3+i）=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查复数的基本运算，共轭复数的运算，考查复数基本的计算．
　
2．已知集合M={x|x≤a}，N={﹣2，0，1}，若M∩N={﹣2，0}，则实数a的取值范围是　[0，1）　．
【考点】交集及其运算．
【专题】探究型；集合思想；分析法；集合．
【分析】由已知集合M，N，以及M交N，可得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合M={x|x≤a}，N={﹣2，0，1}，
又M∩N={﹣2，0}，
∴实数a的取值范围是：0≤a＜1．
故答案为：[0，1）．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
　
3．（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是　﹣80　（用数字表示）
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】在（1﹣2x）5的展开式中，令通项x的指数等于3，求出r，再求系数
【解答】（1﹣2x）5的展开式的通项为Tr+1=C5r（﹣2x）r，令r=3，得x3的项的系数是C53（﹣2）3=﹣80
故答案为：﹣80
【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用，属于基础题．
　
4．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左顶点，则p=　2　．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先求出x2﹣y2=1的左顶点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．
【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左顶点为（﹣1，0），
故抛物线y2=2px的准线为x=﹣1，
∴=1，∴p=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y2=2px中p的意义．
　
5．在△ABC中，，则=　　．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得的值．
【解答】解：△ABC中，，∴sinA=，则=sinAcos+cosAsin=+=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
　
6．已知=i2015+i2016（其中i为虚数单位），则cosθ=　　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；方程思想；三角函数的求值；数系的扩充和复数．
【分析】利用行列式展开，复数的幂运算化简，然后求解即可．
【解答】解：因为=2tanθ﹣i，i2015+i2016=1﹣i，
所以tan，
cosθ==±．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的幂运算，三角函数的化简求值，考查计算能力．
　
7．直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值为　0或﹣1　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用直线垂直的性质求解．
【解答】解：∵直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直，
∴3m+m（2m﹣1）=0，
解得m=0或m=﹣1．
故答案为：0或﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．
　
8．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦点为　（±2，0）　．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线的一条渐近线方程为，可得b=，c=2，即可求出双曲线的焦点．
【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴b=，
∴c=2，
∴双曲线的焦点为（±2，0）．
故答案为：（±2，0）．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程、焦点坐标，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
9．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有　24　 种．
【考点】计数原理的应用．
【专题】概率与统计．
【分析】把4个空车位捆绑在一起，当一个元素，与需要停放的3辆车做全排列，即可得到结论．
【解答】解：把4个空车位捆绑在一起，当一个元素，与需要停放的3辆车做全排列，即=4×3×2×1=24，
故答案为：24．
【点评】本题考查排列知识，考查捆绑法的运用，属于基础题．
　
10．若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+1，则an=　﹣2n﹣1　．
【考点】数列递推式．
【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵Sn=2an+1，
∴当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1．
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an+1﹣（2an﹣1+1），
化为an=2an﹣1，
∴数列{an}是等比数列，首项为﹣1．公比为2．
∴an=﹣2n﹣1．
故答案为：﹣2n﹣1．
【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
11．在棱长为a的正四面体A﹣BCD中，M是棱AB的中点，则CM与底面BCD所成的角的正弦值是　　．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】过A做BD的垂线，垂足为F，连接CF，过A做AO⊥BCD故M在平面BCD的投影也在CF上，设为O′，连接O′C，令正四面体的棱长为a，通过解三角形求出即可．
【解答】解：过A做BC的垂线，垂足为F，连接CF，易知CF⊥BC，故平面AFD⊥BCD，
过A做AO⊥BCD，O应为BCD的中心，在CF上，因此AC投影在CF上．
故M在平面BCD的投影也在CF上，设为O′，连接O′C，知O′C⊥MO′，
如图示：
因PO′∥AO，故==，
令正四面体的棱长为a
AF=CM=，FO═，AO=，
∴MO′=，∴sin∠PDO′==，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线和平面所成角的问题，考查解三角形问题，正确作出辅助线是解题的关键．
　
12．若函数f（x）=为奇函数，则满足f（t﹣1）＜f（2t）的实数t的取值范围是　t＞﹣1　．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由函数f（x）是奇函数，可得 f（1）+f（﹣1）=0，解得a=1，画图可知f（x）单调递增，所以 f（t﹣1）＜f（2t） t﹣1＜2t t＞﹣1．
【解答】解：由函数f（x）是奇函数，可得 f（1）+f（﹣1）=0，
即2a﹣（a+1）=0，
解得a=1，
故f（x）=，
其图象如下图所示：
由图可知f（x）单调递增，
∴f（t﹣1）＜f（2t）可化为：t﹣1＜2t
解得：t＞﹣1．
故答案为：t＞﹣1．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性，函数的单调性，解不等式，其中根据函数的奇偶性，求出a值，进而求出函数的解析式，是解答的关键．
　
13．在圆x2+y2=5x内，过点（，）有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差d∈[，]，那么n的可能取值为　4，5，6，7　．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．
【分析】由已知条件推导出4+（n﹣1）d=5，d=，由d∈[，]，得4≤n≤7．由此能求出n的值．
【解答】解：圆x2+y2=5x的圆心为C（，0），半径为r=，
过点P（，），最短弦的弦长为a1=2=4，
过点P（，）最长弦长为圆的直径长an=5，
∴4+（n﹣1）d=5，
d=，∵d∈[，]，
∴≤≤，
∴4≤n≤7．∴n的值为4，5，6，7．
故选A．故答案为：4，5，6，7．
【点评】本题考查实数的可能求值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆、等差数列等知识点的合理运用．
　
14．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是　[，）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题．
【分析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=kx+k过点（3，1）与直线y=kx+k过点（2，1）之间即可．
【解答】解：∵函数，
∴函数的图象如下图所示：
∵y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（﹣1，0）点
若f（x）=kx+k有三个不同的根，
则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点
当y=kx+k过（2，1）点时，k=，
当y=kx+k过（3，1）点时，k=，
故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是[，）
【点评】本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，其中将方程的根转化为函数的零点，然后利用图象法结合数形结合的思想，分析函数图象交点与k的关系是解答本题的关键．
　
15．已知向量序列：，，，…，…满足如下条件：，，，且（n=2，3，4，…），则，，，…，，…中第　5　项最小．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意得到，从而||2=[]2=．由此能求出结果．
【解答】解：∵，∴，
∵，，，
∴=﹣，
∴||2=[]2=
=4+﹣（n﹣1）
=（n﹣5）2+2．
∴当n=5时，||2取最小值，即||取小．
故答案为：5．
【点评】本题考查数列的应用，是中档题，涉及到平面向量、二次函数、数列等知识点的合理运用．
　
二、选择题（本大题共5题，每题5分，满分25分）
16．“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．
若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，
即“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用椭圆的定义和方程是解决本题的关键，比较基础．
　
17．如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：
①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】应用题；解三角形．
【分析】根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．
【解答】解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．
对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．
故选：D．
【点评】本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．
　
18．已知函数f（x）=logm（2﹣x）+1（m＞0，且m≠1）的图象恒过点P，且点P在直线ax+by=1（a＞0，b＞0）上，那么ab的（　　）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】求出函数f（x）的图象恒过点P的坐标，把点P代入直线方程，利用基本不等式求出ab的最值．
【解答】解：当2﹣x=1，即x=1时，y=f（1）=logm（2﹣1）+1=1，
∴函数f（x）的图象恒过点P（1，1）；
又点P在直线ax+by=1（a＞0，b＞0）上，
∴a+b=1，
∴ab≤=，
当且仅当a=b=时，“=”成立．
故答案为：A．
【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据对数函数恒过定点（1，0）求出定点坐标，再求目标函数的最值，是基础题．
　
19．不共面的三条定直线l1，l2，l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a（定值），则三棱锥A﹣BCD的体积（　　）
A．由A点的变化而变化 B．由B点的变化而变化
C．有最大值，无最小值 D．为定值
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题．
【分析】通过三条平行直线是固定的，推出三角形的面积固定，三棱锥顶点到底面的距离是固定的，说明棱锥的体积是定值即可．
【解答】解：因为三条平行线是固定的，所以B到CD的距离是定值，所以三角形BCD的面积是定值，A到三角形BCD的距离也是定值，所以三棱锥A﹣BCD的体积V==定值．
故选D．
【点评】本题考查棱锥的体积的求法，同底等高体积相等，考查基本知识的应用．
　
20．若函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）没有零点，则a2+b2的取值范围是（　　）
A．[0，1） B．[0，π2） C． D．[0，π）
【考点】函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
【分析】先假设函数存在零点x0，得出方程： sin（x0+φ）=2kπ+，再根据三角函数的性质得出结果．
【解答】解：假设函数f（x）存在零点x0，即f（x0）=0，
由题意，cos（asinx0）=sin（bcosx0），
根据诱导公式得：asinx0+bcosx0=2kπ+，
即， sin（x0+φ）=2kπ+（k∈Z），
要使该方程有解，则≥|2kπ+|min，
即，≥（k=0，取得最小），
所以，a2+b2≥，
因此，当原函数f（x）没有零点时，a2+b2＜，
所以，a2+b2的取值范围是：[0，）．
故答案为：C．
【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及三角函数的诱导公式，辅助角公式，方程有解条件的转化，以及运用假设的方式分析和解决问题，属于难题．
　
三、解答题
21．已知函数f（x）=asinxcosx﹣cos2x的图象过点，
（1）求函数y=f（x）的单调减区间；
（2）求函数y=f（x）在上的最大值和最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）化简函数f（x），根据函数图象过点，求出a的值，从而求出f（x）的单调减区间；
（2）根据函数y=f（x）的单调区间得出f（x）在上先增后减，从而求出它的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）=asinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x，且图象过点，
∴sin﹣cos=0，解得a=2；
∴f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数y=f（x）的单调减区间是[+kπ， +kπ]，k∈Z；
（2）∵函数y=f（x）的单调减区间是[+kπ， +kπ]，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z；
∴在上有x∈[0，]时，f（x）单调递增，
x∈[，]时，f（x）单调递减；
∴f（x）的最大值是f（）=sin（2×﹣）=，
最小值是f（0）=sin（0﹣）=﹣1．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化法与数形结合思想的应用问题，是基础题目．
　
22．某甜品店制作一种蛋筒冰激凌，其上部分是半球形，下半部分呈圆锥形（如图），现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形蛋皮，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计）．
（1）求该蛋筒冰激凌的高度；
（2）求该蛋筒冰激凌的体积（精确到0.01cm3）．
【考点】组合几何体的面积、体积问题．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】（1）圆锥的侧面积等于扇形蛋皮的面积，圆锥的母线等于扇形蛋皮的半径10，则可求出圆锥的底面半径，同时也是球的半径．利用勾股定理可求出圆锥的高．
（2）该蛋筒冰激凌的体积等于圆锥的体积与半球的体积和．
【解答】解：（1）由题意可知圆锥的母线l=10，
设圆锥的底面半径为r，则πrl=πl2，
∴r=2．
∴圆锥的高h==4．
∴该蛋筒冰激凌的高度为h+r=4+2．
（2）V=πr2h+×πr3=+≈57.80cm3．
【点评】本题考查了简单几何体的结构特征及其组合体的体积计算，是基础题．
　
23．已知函数f（x）=3x﹣1的反函数y=f﹣1（x），g（x）=log9（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f﹣1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）设函数，当x∈D时，求H（x）的值域．
【考点】函数的值域；反函数；其他不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据原函数f（x）的表达式将x、y进行互换，解出用y表示x的式子，从而得出反函数f﹣1（x）的表达式，将此表达式代入题中的不等式：f﹣1（x）≤g（x），根据对数函数的单调性求出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）利用对数的运算法则，将函数转化为的形式，再讨论其内层函数的值域，最后根据对数函数y=log9x的单调性，得出函数H（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）由原函数，令x=3y﹣1，得y=log3（x+1）
故函数的反函数为y=f﹣1（x）=log3（x+1），
不等式f﹣1（x）≤g（x）化为：log3（x+1）≤log9（3x+1）
即：log9（x+1）2≤log9（3x+1）
所以有0＜（x+1）2≤3x+1且x＞﹣1
解这个不等式组，得0≤x≤1
∴不等式f﹣1（x）≤g（x）的解集D=[0，1]
（Ⅱ）=log9=
因为x∈D，所以真数∈[1，2]
可得H（x）的值域为[log91，log92]，
∴H（x）的值域是[0，log92]
【点评】本题考查了反函数、函数的值域以及函数与不等式相综合的问题，属于中档题．第二问不让函数的值域时，要注意分清内函数的值域以及外函数的单调性，方能不出差错．
　
24．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴为4，且过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点O为原点，若点P在曲线C上，点Q在直线y=2上，且OP⊥OQ，试判断直线PQ与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】分类讨论；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可得a=2，代入A的坐标，可得a，b的方程，解方程可得椭圆方程；
（2）设出点P，Q的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OP⊥OQ得到 =0，用坐标表示后把t用含有P点的坐标表示，然后分P，Q的横坐标相等和不相等写出直线PQ的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到PQ的距离和圆的半径相等，说明直线PQ与圆x2+y2=2相切．
【解答】解：（1）由题意可得2a=4，即a=2，
又+=1，解得b=，
即有椭圆C的方程为+=1；
（2）直线PQ与圆x2+y2=2相切．
证明如下：
设点P，Q的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．
∵OP⊥OQ，
∴ =0，即tx0+2y0=0，
解得t=﹣．
当x0=t时，y0=﹣，代入椭圆C的方程，
得t=±，
故直线PQ的方程为x=±，
圆心O到直线PQ的距离d=．
此时直线PQ与圆x2+y2=2相切．
当x0≠t时，直线PQ的方程为y﹣2=（x﹣t），
即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．
圆心O到直线PQ的距离d=．
又x02+2y02=4，t=﹣．
故d===．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切．
【点评】此题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，同时考查直线和圆的位置关系的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
　
25．已知x1、x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记，设（n∈N*）．
（1）用m、t表示T1、T2；
（2）求证：T5=﹣mT4﹣tT3；
（3）求证：对任意的n∈N*，Tn∈Z．
【考点】数列的应用；二次函数的性质．
【专题】计算题；证明题；归纳法；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）依题意知x1+x2=﹣m，x1x2=t，利用（n∈N*），易知T1=x1+x2=﹣m，T2=x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=m2﹣t；
（2）由Tk=，可得T5=x1T4+x25=﹣mT4﹣tT3；
（3）利用数学归纳法证明即可．
【解答】解：（1）∵x1、x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，
∴x1+x2=﹣m，x1x2=t，
∵，
∴T1=x1+x2=﹣m，
T2=x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=m2﹣t；
（2）证明：T5=x1+=x1T4+，
∴T5=x1T4+，
x2T4=x1x2T3+，
故T5=x1T4+（x2T4﹣x1x2T3）=﹣mT4﹣tT3；
（3）证明：①当n=1，2时，由（1）知，Tk是整数，结论成立；
②假设当n=k﹣1，n=k（k≥2）时，结论成立，即Tk﹣1，Tk都是整数，
∵Tk=，Tk+1=，
∴同理可得，Tk+1=﹣mTk﹣tTk﹣1，
∵Tk﹣1，Tk都是整数，且m、t∈Z，
∴Tk+1也是整数；
综上所述，对任意的n∈N*，Tn∈Z．
【点评】本题考查综合法证明不等式，突出考查数学归纳法的应用，考查抽象思维、逻辑思维的综合应用，考查推理证明的能力，属于难题．
　
26．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）
（1）求实数a、b的值；
（2）若不等式成立，求实数k的取值范围；
（3）对于任意满足p=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=q（n∈N，n≥3）的自变量x0，x1，x2，…，xn﹣1，xn，如果存在一个常数M＞0，使得定义在区间[p，q]上的一个函数m（x），有|m（x1）﹣m（x0）|+|m（x2）﹣m（x1）|+…+|m（xn）﹣m（xn﹣1）|≤M恒成立，则称m（x）为区间[p，q]上的有界变差函数，试判断f（x）是否区间[0，3]上的有界变差函数，若是，求出M的最小值；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数的性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由g（x）的对称轴x=1得g（x）在区间[2，3]上是增函数，得方程组求出a，b即可；
（2）由（1）求出f（x）的表达式，解不等式求出即可；
（3）由f（x）的表达式得f（x）为[0，3]上的单调递增函数，根据有界变差函数的概念求出即可．
【解答】解：（1）∵g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，
又a＞0，∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，
故g（2）=1，g（3）=4，
解得：a=1，b=0．
（2）由（1）得：g（x）=x2﹣2x+1，
故f（x）=x2﹣2|x|+1是偶函数，
∴不等式可化为|log2k|＞，
解得：k∈（0，）∪（2，+∞）．
（3）∵f（x）=，
∴f（x）为[0，1]上单调递减，[1，3]上的单调递增函数，
则对于任意满足1=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=3（n∈N*，n≥3）的自变量x0，x1，x2，…，xn，
有f（1）=f（x0）＜f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn﹣1）＜f（xn）=f（3），
∴|f（x1）﹣f（x0）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（xn）﹣f（xn﹣1）|
=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（xn）﹣f（xn﹣1）
=f（xn）﹣f（xn﹣1）
=f（3）﹣f（1）
=4，
∴存在常数M≥4，使得|m（x1）﹣m（x0）|+|m（x2）﹣m（x1）|+…+|m（xn）﹣m（xn﹣1）|≤M．
函数f（x）为区间[0，3]上的有界变差函数．即M的最小值为4．
【点评】本题考查函数的性质，导数的应用，函数的单调性，新概念问题，是一道综合题．