上海市交大附中2016届高三（上）期中数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 上海市交大附中2016届高三（上）期中数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 170.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-24 17:07:44 | ||
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文档简介
2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷
一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）
1．已知，则cos（π﹣2α）= ．
2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为 ．
3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= ．
4．等比数列{an}的公比q＞0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4= ．
5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是 ．
7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= ．
9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= ．
10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是 ．
11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是 ．
13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 ．
14．若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an an+1 an+2（n∈N*），{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5=8a12＞0，则当n等于 时，Sn取得最大值．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（ ）
A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t） C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）
18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）
19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的值；
（2）若A∩B=B，求a的值．
20．设函数．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；
（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；
（2）求线段EF长的取值范围．
22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；
（1）求y=f﹣1（x）；
（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；
（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．
23．已知数列{an}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k 2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）
（1）求a1，a3，a5，a7；
（2）求数列{an}的前2n项和S2n；
（3）记，，求Tn的最值．
2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）
1．已知，则cos（π﹣2α）= 0 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．
【专题】计算题．
【分析】把所求式子先利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα化简，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，把sinα的值代入即可求出值．
【解答】解：∵，
∴cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=﹣[1﹣2×]=0．
故答案为：0
【点评】此题考查了诱导公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为 {x|x＞} ．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0 不等式|2x+1|＞2|x﹣1| （2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．
【解答】解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，
∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，
∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，
∴x＞．
∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．
故答案为：{x|x＞}．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．
3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= 1 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题．
【分析】根据数量积的定义，垂直的两个向量数量为0，因此列式：（ +）（k﹣）=0，结合与为两个单位向量，整理得（k﹣1）（1﹣ ）=0，再根据单位向量与不共线，得到1﹣ ≠0，从而得到k=1．
【解答】解：∵向量+与向量k﹣垂直，
∴它们的数量积为零，即：（ +）（k﹣）=0
∴k2+（k﹣1） ﹣2=0…（*）
∵与为两个单位向量，
∴2=2=1
所以（*）式化为：k+（k﹣1） ﹣1=0
即：（k﹣1）（1﹣ ）=0
∵单位向量与不共线，
∴ ＜1 1﹣ ≠0
因此：k=1
故答案为：1
【点评】本题给出两个特殊的向量，在已知它们垂直的基础之上，求参数k的值，着重考查了单位向量、共线向量和向量的数量积等概念，属于基础题．
4．等比数列{an}的公比q＞0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4= ．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据：{an}是等比数列把an+2+an+1=6an整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．
【解答】解：∵{an}是等比数列，∴an+2+an+1=6an可化为
a1qn+1+a1qn=6a1qn﹣1，
∴q2+q﹣6=0．
∵q＞0，∴q=2．
a2=a1q=1，∴a1=．
∴S4===．
故答案为
【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．
5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
【考点】双曲线的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．
【解答】解：a2=9，b2=16，故c=5，
∴A（3，0），F（5，0），
不妨设BF的方程为y=（x﹣5），
代入双曲线方程解得：B（，﹣）．
∴S△AFB=|AF| |yB|= 2 =．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意关键在与求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．
6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】立体几何．
【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵=，
∴，它们的侧面积相等，
∴，
∴===．
故答案为：．
【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．
7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 ．
【考点】众数、中位数、平均数．
【专题】概率与统计．
【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．
【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：
75x+80y=（x+y）×a，且=40%．
所以a=78，
则这次考试该年级学生平均分数为78．
故答案为：78．
【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．
8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= 8 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．
【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=．
所以，即，解得n=8．
故答案为8．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的．此题是基础题．
9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= 1 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．
【专题】计算题；综合题；压轴题．
【分析】由关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，结合函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的性质，可求出n的值，进而得到答案．
【解答】解：∵f（x）=log2（﹣|x|+4）的值域是[0，2]，
∴（﹣|x|+4）∈[1，4]
∴﹣|x|∈[﹣3，0]
∴|x|∈[0，3]…①
若若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解
则m=﹣2
又由函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，
结合①可得n=3
即：m+n=1
故答案：1
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程2|1﹣x|+1=﹣m有唯一的实数解，即﹣m为函数y=2|1﹣x|+1的最值，是解答本题的关键．
10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是 ④ ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】运动思想；综合法；简易逻辑．
【分析】①根据幂函数的定义知，y=1是常数函数，不是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点个数即为函数y=2x与y=log2x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可；③解不等式即可求得结论；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件．
【解答】解；①y=1是常数函数，不是幂函数．故错；
②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数f（x）=2x﹣log2x没有零点，故错；
③（x﹣2）≥0 ，或x=0，解得x≥2或x=1，故（x﹣2）≥0的解集为[2，+∞）∪{0}，错；
④“x＜1” “x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，正确；
故答案为④．
【点评】此题是个基础题．考查利用导数求函数图象在某点的切线方程，不等式的解法，函数零点问题等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
【考点】正弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．
【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，
∴cosA===，∴A=．
再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．
12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立，求出函数函数的最小值即可求出m的取值．
【解答】解：依据题意得在上恒定成立，
即在上恒成立．
令g（x）=，g′（x）=，
∵，
∴g′（x）＞0
∴当时，函数取得最小值，
所以，
即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，
解得或，
故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．
13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 ．
【考点】集合的相等．
【专题】计算题；集合．
【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；
a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；
a=4时，b=1，c=3，d=2；
∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．
【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
14．若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an an+1 an+2（n∈N*），{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5=8a12＞0，则当n等于 16 时，Sn取得最大值．
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．
【解答】解：∵3a5=8a12＞0，
∴3a5=8（a5+7d），即a5=﹣＞0，
∴d＜0，又a16=a5+11d=﹣＞0，a17=a5+12d=＜0，
∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，
∵b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，
∴a15=a5+10d=﹣＞0，a18=a5+13d=＜0，
∴a15＜﹣a18，
∴b15＞﹣b16，b15+b16＞0，
∴S16＞S14，
则n=16时，Sn取得最大值为S16．
故答案为：16
【点评】本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列综合知识的合理运用，恰当地进行等价转化．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】子集与真子集．
【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，
含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；
故选B．
【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．
16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题．
【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．
【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，
∴复数z所对应的点为（﹣2，1），
故选B
【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．
17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（ ）
A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t） C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）
【考点】反函数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由f（﹣t）=﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））=﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．
【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t），∴f﹣1（﹣f（t））=﹣t，即（﹣f（t），﹣t）在y=f﹣1（x）的图象上，
∵y=f﹣1（x+1）图象是由y=f﹣1（x）的图象向左平移1个单位得到的，
∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y=f﹣1（x+1）图象上．
故选：C．
【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．
18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件．
【专题】简易逻辑．
【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．
【解答】解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x＜2x，
当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立，但是对任意x，ksinxcosx＜x”，可得k=1也成立，
所以“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．
三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）
19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的值；
（2）若A∩B=B，求a的值．
【考点】子集与交集、并集运算的转换．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】（1）先化简集合A，再由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值．
（2）由A∩B=B，知B是A的子集，对集合B进行分类讨论：①若B为空集，②若B为单元集，③若B=A={﹣4，0}，由此求得a的值即可．
【解答】解：（1）A={﹣4，0}
若A∪B=B，则B A={﹣4，0}，解得：a=1
（2）若A∩B=B，则
①若B为空集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0
则a＜﹣1；
②若B为单元集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=0
解得：a=﹣1，将a=﹣1代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0得：x2=0得：x=0即B=0符合要求；
③若B=A={﹣4，0}，则a=1
综上所述，a≤﹣1或a=1．
【点评】本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．
20．设函数．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．
【解答】解：（1）f（x）=sinxcos﹣cosxsin﹣cosx=sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣），
∵ω=，
∴f（x）的最小正周期为T==8；
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），
由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，
从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），
当0≤x≤时，≤x+≤，
则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为gmax=cos=．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；
（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；
（2）求线段EF长的取值范围．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）过F作FG⊥BE于G，把sinB用含有x的代数式表示，得到FG=，进一步得到EG，然后利用等积法列式可得（x≤5）；
（2）利用函数的单调性求得线段EF长的取值范围．
【解答】解：（1）设BF=x，EF=y，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，
过F作FG⊥BE于G，则=，
∴FG=，BG=，
则EG=，
故有．
化简，得：（≤x≤5）．
∴（x≤5）；
（2）设f（x）=（≤x≤5）．
∵f（x）在[]上为减函数，在（]上为增函数，
且f（）=，f（5）=13，f（）=4，
∴线段WF长的取值范围为．
【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．
22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；
（1）求y=f﹣1（x）；
（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；
（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．
【考点】反函数．
【专题】综合题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）（x＞a）；
（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，根据等差数列的性质可得2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，即可解出．
（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上有唯一解．分类讨论：当△=0时，当△＞0时，方程的有关根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（a）＜0即可，解出即可得出．
【解答】解：（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）=log2（x﹣a）（x＞a）；
（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，
∵y1，y2，y3成等差数列，
∴2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，
解得a=x﹣，x∈（0，2）∪（2，+∞）．
（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上由唯一解．
当△=4（a+1）2﹣4a2=0时，解得a=﹣，这时方程有唯一解x=，满足条件．
当△＞0时，方程的一个根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，
只需g（x）＜0即可，解得a＞0．
综上可得：a＞0，或a=﹣．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
23．已知数列{an}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k 2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）
（1）求a1，a3，a5，a7；
（2）求数列{an}的前2n项和S2n；
（3）记，，求Tn的最值．
【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．
【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k 2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．根据两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，即可得出．
（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n），分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
（3）由于=（﹣1）f（n+1），可得Tn=+﹣+…+，可得T1=，T2=．当n≥3时，利用“放缩法”即可得出．
【解答】解：（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k 2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．
∵两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，
当k=1时，x1=3，x2=2．∴a1=2；
当k=2时，x1=6，x2=4．∴a3=4；
当k=3时，x1=9，x2=8．∴a5=8；
当k=4时，x1=12，x2=16．∴a7=12．
（2）S2n=a1+a2+…+a2n
=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=+=+2n+1﹣2．
（3）∵=（﹣1）f（n+1），
∴=+﹣+…+，
∴T1==，T2=+=．
当n≥3时，Tn≥+﹣+﹣=+，
同理可得：Tn=﹣﹣+…+≤﹣+≤﹣+=＜．
综上可得：≤Tn≤．
∴Tn的最小值与最大值分别为：；．
【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“放缩法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）
1．已知，则cos（π﹣2α）= ．
2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为 ．
3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= ．
4．等比数列{an}的公比q＞0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4= ．
5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是 ．
7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= ．
9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= ．
10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是 ．
11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是 ．
13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 ．
14．若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an an+1 an+2（n∈N*），{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5=8a12＞0，则当n等于 时，Sn取得最大值．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（ ）
A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t） C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）
18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）
19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的值；
（2）若A∩B=B，求a的值．
20．设函数．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；
（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；
（2）求线段EF长的取值范围．
22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；
（1）求y=f﹣1（x）；
（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；
（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．
23．已知数列{an}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k 2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）
（1）求a1，a3，a5，a7；
（2）求数列{an}的前2n项和S2n；
（3）记，，求Tn的最值．
2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）
1．已知，则cos（π﹣2α）= 0 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．
【专题】计算题．
【分析】把所求式子先利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα化简，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，把sinα的值代入即可求出值．
【解答】解：∵，
∴cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=﹣[1﹣2×]=0．
故答案为：0
【点评】此题考查了诱导公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为 {x|x＞} ．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0 不等式|2x+1|＞2|x﹣1| （2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．
【解答】解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，
∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，
∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，
∴x＞．
∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．
故答案为：{x|x＞}．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．
3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= 1 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题．
【分析】根据数量积的定义，垂直的两个向量数量为0，因此列式：（ +）（k﹣）=0，结合与为两个单位向量，整理得（k﹣1）（1﹣ ）=0，再根据单位向量与不共线，得到1﹣ ≠0，从而得到k=1．
【解答】解：∵向量+与向量k﹣垂直，
∴它们的数量积为零，即：（ +）（k﹣）=0
∴k2+（k﹣1） ﹣2=0…（*）
∵与为两个单位向量，
∴2=2=1
所以（*）式化为：k+（k﹣1） ﹣1=0
即：（k﹣1）（1﹣ ）=0
∵单位向量与不共线，
∴ ＜1 1﹣ ≠0
因此：k=1
故答案为：1
【点评】本题给出两个特殊的向量，在已知它们垂直的基础之上，求参数k的值，着重考查了单位向量、共线向量和向量的数量积等概念，属于基础题．
4．等比数列{an}的公比q＞0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4= ．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据：{an}是等比数列把an+2+an+1=6an整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．
【解答】解：∵{an}是等比数列，∴an+2+an+1=6an可化为
a1qn+1+a1qn=6a1qn﹣1，
∴q2+q﹣6=0．
∵q＞0，∴q=2．
a2=a1q=1，∴a1=．
∴S4===．
故答案为
【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．
5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
【考点】双曲线的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．
【解答】解：a2=9，b2=16，故c=5，
∴A（3，0），F（5，0），
不妨设BF的方程为y=（x﹣5），
代入双曲线方程解得：B（，﹣）．
∴S△AFB=|AF| |yB|= 2 =．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意关键在与求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．
6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】立体几何．
【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵=，
∴，它们的侧面积相等，
∴，
∴===．
故答案为：．
【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．
7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 ．
【考点】众数、中位数、平均数．
【专题】概率与统计．
【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．
【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：
75x+80y=（x+y）×a，且=40%．
所以a=78，
则这次考试该年级学生平均分数为78．
故答案为：78．
【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．
8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= 8 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．
【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=．
所以，即，解得n=8．
故答案为8．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的．此题是基础题．
9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= 1 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．
【专题】计算题；综合题；压轴题．
【分析】由关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，结合函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的性质，可求出n的值，进而得到答案．
【解答】解：∵f（x）=log2（﹣|x|+4）的值域是[0，2]，
∴（﹣|x|+4）∈[1，4]
∴﹣|x|∈[﹣3，0]
∴|x|∈[0，3]…①
若若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解
则m=﹣2
又由函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，
结合①可得n=3
即：m+n=1
故答案：1
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程2|1﹣x|+1=﹣m有唯一的实数解，即﹣m为函数y=2|1﹣x|+1的最值，是解答本题的关键．
10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是 ④ ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】运动思想；综合法；简易逻辑．
【分析】①根据幂函数的定义知，y=1是常数函数，不是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点个数即为函数y=2x与y=log2x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可；③解不等式即可求得结论；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件．
【解答】解；①y=1是常数函数，不是幂函数．故错；
②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数f（x）=2x﹣log2x没有零点，故错；
③（x﹣2）≥0 ，或x=0，解得x≥2或x=1，故（x﹣2）≥0的解集为[2，+∞）∪{0}，错；
④“x＜1” “x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，正确；
故答案为④．
【点评】此题是个基础题．考查利用导数求函数图象在某点的切线方程，不等式的解法，函数零点问题等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
【考点】正弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．
【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，
∴cosA===，∴A=．
再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．
12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立，求出函数函数的最小值即可求出m的取值．
【解答】解：依据题意得在上恒定成立，
即在上恒成立．
令g（x）=，g′（x）=，
∵，
∴g′（x）＞0
∴当时，函数取得最小值，
所以，
即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，
解得或，
故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．
13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 ．
【考点】集合的相等．
【专题】计算题；集合．
【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；
a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；
a=4时，b=1，c=3，d=2；
∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．
【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
14．若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an an+1 an+2（n∈N*），{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5=8a12＞0，则当n等于 16 时，Sn取得最大值．
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．
【解答】解：∵3a5=8a12＞0，
∴3a5=8（a5+7d），即a5=﹣＞0，
∴d＜0，又a16=a5+11d=﹣＞0，a17=a5+12d=＜0，
∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，
∵b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，
∴a15=a5+10d=﹣＞0，a18=a5+13d=＜0，
∴a15＜﹣a18，
∴b15＞﹣b16，b15+b16＞0，
∴S16＞S14，
则n=16时，Sn取得最大值为S16．
故答案为：16
【点评】本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列综合知识的合理运用，恰当地进行等价转化．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】子集与真子集．
【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，
含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；
故选B．
【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．
16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题．
【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．
【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，
∴复数z所对应的点为（﹣2，1），
故选B
【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．
17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（ ）
A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t） C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）
【考点】反函数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由f（﹣t）=﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））=﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．
【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t），∴f﹣1（﹣f（t））=﹣t，即（﹣f（t），﹣t）在y=f﹣1（x）的图象上，
∵y=f﹣1（x+1）图象是由y=f﹣1（x）的图象向左平移1个单位得到的，
∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y=f﹣1（x+1）图象上．
故选：C．
【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．
18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件．
【专题】简易逻辑．
【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．
【解答】解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x＜2x，
当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立，但是对任意x，ksinxcosx＜x”，可得k=1也成立，
所以“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．
三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）
19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的值；
（2）若A∩B=B，求a的值．
【考点】子集与交集、并集运算的转换．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】（1）先化简集合A，再由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值．
（2）由A∩B=B，知B是A的子集，对集合B进行分类讨论：①若B为空集，②若B为单元集，③若B=A={﹣4，0}，由此求得a的值即可．
【解答】解：（1）A={﹣4，0}
若A∪B=B，则B A={﹣4，0}，解得：a=1
（2）若A∩B=B，则
①若B为空集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0
则a＜﹣1；
②若B为单元集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=0
解得：a=﹣1，将a=﹣1代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0得：x2=0得：x=0即B=0符合要求；
③若B=A={﹣4，0}，则a=1
综上所述，a≤﹣1或a=1．
【点评】本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．
20．设函数．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．
【解答】解：（1）f（x）=sinxcos﹣cosxsin﹣cosx=sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣），
∵ω=，
∴f（x）的最小正周期为T==8；
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），
由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，
从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），
当0≤x≤时，≤x+≤，
则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为gmax=cos=．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；
（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；
（2）求线段EF长的取值范围．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）过F作FG⊥BE于G，把sinB用含有x的代数式表示，得到FG=，进一步得到EG，然后利用等积法列式可得（x≤5）；
（2）利用函数的单调性求得线段EF长的取值范围．
【解答】解：（1）设BF=x，EF=y，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，
过F作FG⊥BE于G，则=，
∴FG=，BG=，
则EG=，
故有．
化简，得：（≤x≤5）．
∴（x≤5）；
（2）设f（x）=（≤x≤5）．
∵f（x）在[]上为减函数，在（]上为增函数，
且f（）=，f（5）=13，f（）=4，
∴线段WF长的取值范围为．
【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．
22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；
（1）求y=f﹣1（x）；
（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；
（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．
【考点】反函数．
【专题】综合题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）（x＞a）；
（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，根据等差数列的性质可得2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，即可解出．
（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上有唯一解．分类讨论：当△=0时，当△＞0时，方程的有关根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（a）＜0即可，解出即可得出．
【解答】解：（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）=log2（x﹣a）（x＞a）；
（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，
∵y1，y2，y3成等差数列，
∴2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，
解得a=x﹣，x∈（0，2）∪（2，+∞）．
（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上由唯一解．
当△=4（a+1）2﹣4a2=0时，解得a=﹣，这时方程有唯一解x=，满足条件．
当△＞0时，方程的一个根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，
只需g（x）＜0即可，解得a＞0．
综上可得：a＞0，或a=﹣．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
23．已知数列{an}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k 2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）
（1）求a1，a3，a5，a7；
（2）求数列{an}的前2n项和S2n；
（3）记，，求Tn的最值．
【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．
【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k 2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．根据两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，即可得出．
（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n），分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
（3）由于=（﹣1）f（n+1），可得Tn=+﹣+…+，可得T1=，T2=．当n≥3时，利用“放缩法”即可得出．
【解答】解：（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k 2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．
∵两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，
当k=1时，x1=3，x2=2．∴a1=2；
当k=2时，x1=6，x2=4．∴a3=4；
当k=3时，x1=9，x2=8．∴a5=8；
当k=4时，x1=12，x2=16．∴a7=12．
（2）S2n=a1+a2+…+a2n
=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=+=+2n+1﹣2．
（3）∵=（﹣1）f（n+1），
∴=+﹣+…+，
∴T1==，T2=+=．
当n≥3时，Tn≥+﹣+﹣=+，
同理可得：Tn=﹣﹣+…+≤﹣+≤﹣+=＜．
综上可得：≤Tn≤．
∴Tn的最小值与最大值分别为：；．
【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“放缩法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
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