上海市六校2016届高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 上海市六校2016届高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 188.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-24 17:08:10 | ||
图片预览
文档简介
2015-2016学年上海市六校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）
一、填空题：本大题满分56分。本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f（x）=x2﹣1（x≥1）的反函数是f﹣1（x）= ．
2．已知||=2，||=1，的夹角为，则= ．
3．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则= ．
4．方程log2（x﹣3）=log4（5﹣x）的解为 ．
5．若直线l1的一个法向量=（1，1） ( http: / / www.21cnjy.com )，若直线l2的一个方向向量=（1，﹣2），则l1与l2的夹角θ= ．（用反三角函数表示）
6．直线l：x+交圆x2+y2=2于A、B两点，则|AB|= ．
7．已知α∈（0，π），且tan（）=，则cosα= ．
8．无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=6，S6=3，则= ．
9．已知f（x）=kx﹣|x﹣1|有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 ．
10．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10，则△ABC的周长为 ．
11．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（100）+f（101）= ．
12．已知等比数列{an}的前n项和为Sn ( http: / / www.21cnjy.com )，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若Sn≥2016，则n的取值范围为 ．
13．设m∈R，过定点A的动直线x+my= ( http: / / www.21cnjy.com )0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA| |PB|的最大值是 ．
14．不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0的解集为 ．
15．设[x]表示不超过x的最大整数，若[π]=3，[﹣1.2]=﹣2．给出下列命题：
①对任意的实数x，都有x﹣1＜[x]≤x．
②对任意的实数x、y，都有[x+y]≥[x]+[y]．
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2014]+[lg2015]=4940．
④若函数f（x）=[x[x ( http: / / www.21cnjy.com )]]，当x∈[0，n）（n∈N*）时，令f（x）的值域为A，记集合A中元素个数为an，则的最小值为，其中所有真命题的序号为 ．
二、选择题：本大题满分20分。本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。
16．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为（ ）
A．15 B．16 C．49 D．64
17．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行且不重合的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
18．将函数f（x）=sin2x的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数f（x）=，若 a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（ ）
A．[，1] B．[0，1] C．[1，2] D．[，2]
三、解答题：本大题满分12分。本大 ( http: / / www.21cnjy.com )题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。本题共1小题，满分12分。第1小题满分12分，第2小题满分12分。
20．公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an﹣10，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
21．已知=（cos2， sinx），=（2，1），设函数f（x）=．
（1）当x，求函数f（x）的值域；
（2）当f（α）=，且﹣，求sin（2）的值．
22．已知函数f（x）=x2+|x﹣a|．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
23．已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式的解集A．
（1）求集合A；
（2）设函数g（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为B，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
24．已知椭圆E的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（﹣2，0），一定点为P（﹣8，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过P的直线与椭圆交于P1、P2两点，设直线P1F、P2F的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
（3）求△P1P2F面积的最大值．
25．已知二次函数f（x）=x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x的定义域为D恰是不等式的解集，其值域为A，函数g（x）=x3﹣3tx+的定义域为[0，1]，值域为B．
（1）求函数f（x）定义域为D和值域A；
（2）是否存在负实数t，使得A B成立？若存在，求负实数t的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．
26．对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
2015-2016学年上海市六校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题满分56分。本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f（x）=x2﹣1（x≥1）的反函数是f﹣1（x）= ，（x≥0） ．
【考点】反函数．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数f（x）=x2﹣1（x≥1），根据反函数的求解方程，可得反函数是f﹣1（x）的解析式．
【解答】解：令y=f（x）=x2﹣1（x≥1），
则y≥0，x2=y+1，
则x=，y≥0，
故函数f（x）=x2﹣1（x≥1）的反函数是f﹣1（x）=，（x≥0），
故答案为：，（x≥0）
【点评】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握反函数解析式的求解方法和步骤，是解答的关键．
2．已知||=2，||=1，的夹角为，则= 1 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】代入向量数量级定义式计算．
【解答】解： =|| ||cos=2×1×=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平面向量的数量级运算，是基础题．
3．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则= 2 ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数的定义设f（x）=xα，结合y=f（x）的图象经过点（4，），即可求出f（x），从而求得f（）的值．
【解答】解：∵y=f（x）为幂函数，
∴设f（x）=xα，
又∵y=f（x）的图象经过点（4，），
∴，即22α=2﹣1，
∴2α=﹣1，解得，
∴f（x）=，
∴f（）===2，
∴f（）=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的概念、解析式，定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域和单调性．考查了求幂函数的解析式问题，运用了待定系数法的解题方法，求解析式一般选用待定系数法、换元法、配凑法、消元法等．对于幂函数的有关问题，关键是正确的画出幂函数的图象，根据幂函数在第一象限的图形，结合幂函数的定义域、奇偶性，即可画出幂函数的图象，应用图象研究幂函数的性质．属于基础题．
4．方程log2（x﹣3）=log4（5﹣x）的解为 4 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算性质变形，化为同底数后再转化为无理方程求解．
【解答】解：由log2（x﹣3）=log4（5﹣x），得
，
∴，解得：x=4．
∴方程log2（x﹣3）=log4（5﹣x）的解为：4．
故答案为：4．
【点评】本题考查对数方程的解法，求解对数方程关键是注意验根，是基础题．
5．若直线l1的一个法向量 ( http: / / www.21cnjy.com )=（1，1），若直线l2的一个方向向量=（1，﹣2），则l1与l2的夹角θ= arccos ．（用反三角函数表示）
【考点】两直线的夹角与到角问题；反三角函数的运用．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用向量的夹角公式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，cosθ=||=，
∴θ=arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查向量的夹角公式，考查学生的计算能力，比较基础．
6．直线l：x+交圆x2+y2=2于A、B两点，则|AB|= 2 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法．
【分析】求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求出|AB|
【解答】解：圆心为（0，0），半径为，
圆心到直线l：x+的距离为d==1，
故|AB|=2=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．
7．已知α∈（0，π），且tan（）=，则cosα= ﹣ ．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值、再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值．
【解答】解：∵α∈（0，π），且tan（）==，∴tanα=﹣=，
再根据sin2α+cos2α=1，cosα＜0，求得cosα=﹣．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
8．无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=6，S6=3，则= ．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列前n项和公式求出首项及公比，由此能求出等比数列的前n项和的极限．
【解答】解：∵无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=6，S6=3，
∴，解得，q=﹣，
∴Sn=，
∴===．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的前n项和的极值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
9．已知f（x）=kx﹣|x﹣1|有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 （0，1） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．
【专题】数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】先构造两函数y1=kx，y2=|x﹣1|，问题等价为y1和y2的图象有两个交点，再数形结合得出k的范围．
【解答】解：令f（x）=0得，kx=|x﹣1|，
设y1=kx，y2=|x﹣1|，画出这两个函数的图象，
如右图，紫色曲线为y2的图象，蓝线为y1的图象，
且y1的图象恒过原点，
要使f（x）有两个零点，则y1和y2的图象有两个交点，
当k=1时，y1=x（红线）与y2图象的右侧（x＞1）平行，
此时，两图象只有一个交点，
因此，要使y1和y2的图象有两个交点，则0＜k＜1，
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想，属于基础题．
10．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10，则△ABC的周长为 20 ．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由S△ABC=bcsinA=bcsin60°=10，可解得bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，从而解得b2+c2=89，从而（b+c）2=b2+c2+2bc=169，从而解得b+c=13，即可求得周长．
【解答】解：∵S△ABC=bcsinA=bcsin60°=10，
∴bc=40，
由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有49=b2+c2﹣bc，解得b2+c2=89，
∴（b+c）2=b2+c2+2bc=89+80=169，从而解得b+c=13．
∴△ABC的周长为：13+7=20．
故答案为：20．
【点评】解决三角形问题，正、余弦定理是我们常用的定理，利用余弦定理，通常需知道三角形的两边及其夹角或已知三边，本题属于基本知识的考查．
11．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（100）+f（101）= ﹣1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，利用周期性和奇偶性进行转化即可．
【解答】解：偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），
即﹣f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），
即函数的周期是8的周期函数，
则f（100）=f（4）=﹣f（0）=0，
f（101）=f（5）=﹣f（1）=﹣1，
∴f（100）+f（101）=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．
12．已知等比数列{an}的前n项和为 ( http: / / www.21cnjy.com )Sn，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若Sn≥2016，则n的取值范围为 大于等于11的奇数 ．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{an}的公比为q≠ ( http: / / www.21cnjy.com )1，由S4、S2、S3成等差数列，可得2S2=S4+S3，化为2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，联立解得，由于Sn≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，对n分类讨论即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公 ( http: / / www.21cnjy.com )比为q≠1，∵S4、S2、S3成等差数列，∴2S2=S4+S3，∴2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，
∴，解得，
∵Sn≥2016，∴≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，
当n为偶数时，不成立，舍去．
当n为奇数时，化为2n≥2015，解得：n≥11．
∴n的取值范围为大于等于11的奇数．
故答案为：大于等于11的奇数．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
13．设m∈R，过定点A的动直线x+my ( http: / / www.21cnjy.com )=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA| |PB|的最大值是 5 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】直线与圆．
【分析】先计算出两条动直线经过的定点 ( http: / / www.21cnjy.com )，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA| |PB|的最大值．
【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA| |PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查， ( http: / / www.21cnjy.com )特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
14．不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0的解集为 （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2） ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．
【分析】分当x≥0时和当x＜0时，两种情况解答相应的不等式，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：当x≥0时，不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0可化为：（2﹣x）（2+x）＞0，解得：x∈（﹣2，2），
∴x∈[0，2），
当x＜0时，不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0可化为：（2+x）（2+x）＞0，解得：x≠﹣2，
∴x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0），
综上所述，等式（2﹣|x|）（2+x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，熟练掌握零点分段法的步骤是解答的关键．
15．设[x]表示不超过x的最大整数，若[π]=3，[﹣1.2]=﹣2．给出下列命题：
①对任意的实数x，都有x﹣1＜[x]≤x．
②对任意的实数x、y，都有[x+y]≥[x]+[y]．
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2014]+[lg2015]=4940．
④若函数f（x）=[x[x]]，当x∈[0，n）（n∈N*）时，令f（x）的值域为A，记集合A中元素个数为an，则的最小值为，其中所有真命题的序号为 ①②④ ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑．
【分析】直接利用定义判断①②；利用新定 ( http: / / www.21cnjy.com )义分类求出各式的值，作和后加以判断③；由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到an，进而得到，用基本不等式求解的最小值判断④．
【解答】解：对于①，由[x]表示不超过x的最大整数，则对任意的实数x，都有x﹣1＜[x]≤x，命题①正确；
对于②，记x=[x]+{x}（0≤{x}＜1），y=[y]+{y}（0≤{y}＜1），
则[x+y]=[[x]+{x}+[y]+{y}]≥[x]+[y]，故②正确；
对于③，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3．
∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，
[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，
[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，
[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，
∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=90+90×2+1016×3=4938，命题③错误；
对于④，根据题意：[x]=，
∴x[x]=．
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n﹣1．
∴an=，则，
∴当n=10时，最小值为，命题④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查命题的真假的判断，对新定义的理解应用是解题的关键，通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，该题是中档题．
二、选择题：本大题满分20分。本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。
16．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为（ ）
A．15 B．16 C．49 D．64
【考点】数列递推式．
【专题】计算题．
【分析】直接根据an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出结论．
【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，
故选A．
【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握．
17．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行且不重合的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；规律型．
【分析】两个方面分析本题，分别当a=3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．
【解答】解：当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0，3x+2y+4=0，
∴两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
∴a=3
综上所述，a=3是两直线平行且不重合的充要条件．
故选C．
【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．
18．将函数f（x）=sin2x的图象向右 ( http: / / www.21cnjy.com )平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．
【解答】解：因为将函数f（x ( http: / / www.21cnjy.com )）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，
不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，
x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象平移，函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．
19．已知函数f（x）=，若 a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（ ）
A．[，1] B．[0，1] C．[1，2] D．[，2]
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可得则f（a）+f（b） ( http: / / www.21cnjy.com )＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函数f（x）===1+，
∴当m≥1时，函数f（x）在R上是减函数，函数的值域为（1，m）；
故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜m，∴m≤2 ①．
当m＜1时，函数f（x）在R上是增函数，函数的值域为（m，1）；
故f（a）+f（b）＞2m，f（c）＜1，
∴2m≥1，m≥②．
由①②可得≤m≤2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
三、解答题：本大题满分12分。本大题共有 ( http: / / www.21cnjy.com )5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。本题共1小题，满分12分。第1小题满分12分，第2小题满分12分。
20．公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an﹣10，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）公差不为零的等差数列前n项和公 ( http: / / www.21cnjy.com )式、通项公式及等比数列的性质，列出方程组，求出a1=1，d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由bn=an﹣10=2n﹣11 ( http: / / www.21cnjy.com )，得到数列{bn}是首项为﹣9，公差为2的等差数列，求出数列{bn}的前n项和Tn，利用配方法能求出结果．
【解答】解：（1）∵公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，
且该数列的前10项和为100，
∴，
∴解得a1=1，d=2，
∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（2）∵bn=an﹣10=2n﹣11，
∴=2﹣11=﹣9，bn﹣bn﹣1=（2n﹣11）﹣[2（n﹣1）﹣11]=2，
∴数列{bn}是首项为﹣9，公差为2的等差数列，
Tn==n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25．
∴当n=5时，数列{bn}的前n项和Tn的最小值为﹣25．
【点评】本题考查数列的通项公式及前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
21．已知=（cos2， sinx），=（2，1），设函数f（x）=．
（1）当x，求函数f（x）的值域；
（2）当f（α）=，且﹣，求sin（2）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算 ( http: / / www.21cnjy.com )，两角和与差的正弦函数可得f（x）=2sin（x+）+1，由x，可得：x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的值域．
（2）由f（α）=，解得：sin（α+）=，可求范围α+∈（﹣，），可求cos（α+），利用二倍角的正弦函数公式即可求值．
【解答】（本题满分为12分，每小题6分）
解：（1）∵=（cos2， sinx），=（2，1），
∴f（x）==2cos2+sinx=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1，
∵x，可得：x+∈[﹣，]，
∴sin（x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]．
（2）∵f（α）=2sin（α+）+1=，
∴解得：sin（α+）=，
∵﹣，α+∈（﹣，），
∴cos（α+）==，
∴sin（2）=sin[2（α+）]=2sin（α+）cos（α+）=2×=．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )两角和差的正弦函数公式、三角函数的基本关系式、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
22．已知函数f（x）=x2+|x﹣a|．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）将f（x）化简成分段函数，讨论f（x）的单调性，求出最小值；
（2）将f（x）化简成分段函数，对a进行讨论，得出结论．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=，
∴f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在[，1）上是增函数，在[1，+∞）上是增函数．
∴fmin（x）=f（）=．
（2）f（x）=，
①若a＞0，当x≥a时，﹣x≤﹣a＜0，
f（x）=x2+x﹣a，f（﹣x）=x2+x+a，∴f（﹣x）≠±f（x）．
∴f（x）为非奇非偶函数．
②若a＜0，当x＜a时，﹣x＞﹣a＞0，
f（x）=x2﹣x+a，f（﹣x）=x2﹣x﹣a，∴f（﹣x）≠±f（x）．
∴f（x）为非奇非偶函数．
③若a=0，当x≥0时，f（x）=x2+x，f（﹣x）=x2+x，∴f（x）=f（﹣x），
当x＜0时，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=x2﹣x，∴f（x）=f（﹣x）．
∴f（x）是偶函数．
综上，当a=0时，f（x）是偶函数，
当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数奇偶性的判断，将f（x）化简成分段函数是关键．
23．已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式的解集A．
（1）求集合A；
（2）设函数g（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为B，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；配方法；转化法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）问题等价为|f（﹣1）|=3且|f（5）|=3，解出k即可；
（2）问题转化为：不等式ax2﹣2x+2＞0在[1，2）上有解，再用分离参数法求解即可．
【解答】解：（1）因为不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），
所以，|f（﹣1）|=3且|f（5）|=3，
即|﹣k+2|=|5k+2|=3，
解得k=﹣1，f（x）=﹣x+2，
不等式可写成，≤0，
解得，x∈[1，2），即A=[1，2）；
（2）∵函数g（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为B，
且A∩B≠ ，∴问题等价转化为：
不等式ax2﹣2x+2＞0在[1，2）上有解，
分离参数得，a＞2（﹣+），其中∈（，1]，
所以，a＞[2（﹣+）]min，
由于，﹣ +=﹣（﹣）2+∈[0，），
所以，a＞0，
故实数a的取值范围为：（0，+∞）．
【点评】本题主要考查了含绝对不等式的解法，以及对数型复合函数的定义域和二次函数的图象和性质，属于中档题．
24．已知椭圆E的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（﹣2，0），一定点为P（﹣8，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过P的直线与椭圆交于P1、P2两点，设直线P1F、P2F的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
（3）求△P1P2F面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】转化思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，由离心率公式可得a，进而得到b，即有椭圆方程，
（2）设直线PQ：y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理可得k1+k2为定值；
（3）△P1P2F的面积S=|PF| |y1﹣y2|，由直线方程和韦达定理代入化简，再由换元法和二次函数的最值求法，即可得到最大值．
【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
由题意可得c=2，e==，又c2=a2﹣b2，
解得c=2，a=4，b=2，
即椭圆方程为+=1；
（2）证明：设直线P1P2：y=k（x+8），
代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+64k2x+256k2﹣48=0，
由△=642k4﹣4（3+4k2）（256k2﹣48）＞0，即有
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），
x1+x2=﹣，x1x2=，
即有k1+k2=+=+=k ，
将韦达定理代入上式，可得
2x1x2+10（x1+x2）+32=﹣+32=0，
则k1+k2=0；
（2）△P1P2F面积S=|PF| |y1﹣y2|
=3|k| |x1﹣x2|=3|k| =3|k|
=72 ，
设t=3+4k2（3＜t＜4），
则S=72 =36=36，
当=即t=即k=±时，取得最大值，且为3．
则△P1P2F面积的最大值为3．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质及 ( http: / / www.21cnjy.com )运用，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理，同时考查三角形的面积的最大值，注意运用二次函数的最值求法，属于中档题．
25．已知二次函数f（x）=x2+x ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为D恰是不等式的解集，其值域为A，函数g（x）=x3﹣3tx+的定义域为[0，1]，值域为B．
（1）求函数f（x）定义域为D和值域A；
（2）是否存在负实数t，使得A B成立？若存在，求负实数t的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】转化思想；集合思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】（1）解不等式求出D，结合二次函数的图象和性质，求出A；
（2）利用导数法，求出B，结合A B，可得负实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，则g′（x）=3x2﹣3t≤0在[0，1]上恒成立，解得答案．
【解答】解：（1）解不等式得：x∈（﹣1，0]，
故二次函数f（x）=x2+x的定义域D=（﹣1，0]，
∵二次函数f（x）=x2+x的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，
故二次函数f（x）=x2+x在x=﹣时，取最小值，当x=0时，取最大值0，
故二次函数f（x）=x2+x的值域A=[，0]；
（2）∵函数g（x）=x3﹣3tx+，
∴g′（x）=3x2﹣3t，
当t＜0时，g′（x）≥0恒成立，
g（x）=x3﹣3tx+，x∈[0，1]为增函数，
此时B=[，]，
若A B，
则，
解得：t≤；
（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，
则g′（x）=3x2﹣3t≤0在[0，1]上恒成立，
即t≥x2，x∈[0，1]恒成立，
解得：t≥1
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系，函数的定义域，值域，导数法求函数的最值，难度较大，属于难题．
26．对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）①要判断函数g（x）=2 ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x﹣1，是否满足理想函数的三个条件即可；
（2）先研究函数f（x）的单调性，从而得出此函数的最值．得到当x=0时，f（x）取得最小值2，当x=1时，f（x）取得最大值3即可；
（3）由条件③知，任给m、n ( http: / / www.21cnjy.com )∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．，根据f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．
【解答】解：（1）①显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0
故f（x）=2x﹣1满足条件①②③，所以f（x）=2x﹣1为理想函数，
（2）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2﹣x1∈（0，1]
∴f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2
∴f（x2）﹣f（x1）≥f （x2﹣x1）﹣2≥0，
∴f（x1）≤f（x2），则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x1=x2=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2当x=1时，f（1）=3，
∴当x=0时，f（x）取得最小值2，
当x=1时，f（x）取得最大值3，
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．
若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
故f（x0）=x0．
【点评】赋值法是解决抽象函 ( http: / / www.21cnjy.com )数问题的常用方法，函数的新定义则转化为函数性质问题，本题则结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．
一、填空题：本大题满分56分。本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f（x）=x2﹣1（x≥1）的反函数是f﹣1（x）= ．
2．已知||=2，||=1，的夹角为，则= ．
3．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则= ．
4．方程log2（x﹣3）=log4（5﹣x）的解为 ．
5．若直线l1的一个法向量=（1，1） ( http: / / www.21cnjy.com )，若直线l2的一个方向向量=（1，﹣2），则l1与l2的夹角θ= ．（用反三角函数表示）
6．直线l：x+交圆x2+y2=2于A、B两点，则|AB|= ．
7．已知α∈（0，π），且tan（）=，则cosα= ．
8．无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=6，S6=3，则= ．
9．已知f（x）=kx﹣|x﹣1|有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 ．
10．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10，则△ABC的周长为 ．
11．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（100）+f（101）= ．
12．已知等比数列{an}的前n项和为Sn ( http: / / www.21cnjy.com )，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若Sn≥2016，则n的取值范围为 ．
13．设m∈R，过定点A的动直线x+my= ( http: / / www.21cnjy.com )0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA| |PB|的最大值是 ．
14．不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0的解集为 ．
15．设[x]表示不超过x的最大整数，若[π]=3，[﹣1.2]=﹣2．给出下列命题：
①对任意的实数x，都有x﹣1＜[x]≤x．
②对任意的实数x、y，都有[x+y]≥[x]+[y]．
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2014]+[lg2015]=4940．
④若函数f（x）=[x[x ( http: / / www.21cnjy.com )]]，当x∈[0，n）（n∈N*）时，令f（x）的值域为A，记集合A中元素个数为an，则的最小值为，其中所有真命题的序号为 ．
二、选择题：本大题满分20分。本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。
16．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为（ ）
A．15 B．16 C．49 D．64
17．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行且不重合的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
18．将函数f（x）=sin2x的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数f（x）=，若 a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（ ）
A．[，1] B．[0，1] C．[1，2] D．[，2]
三、解答题：本大题满分12分。本大 ( http: / / www.21cnjy.com )题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。本题共1小题，满分12分。第1小题满分12分，第2小题满分12分。
20．公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an﹣10，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
21．已知=（cos2， sinx），=（2，1），设函数f（x）=．
（1）当x，求函数f（x）的值域；
（2）当f（α）=，且﹣，求sin（2）的值．
22．已知函数f（x）=x2+|x﹣a|．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
23．已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式的解集A．
（1）求集合A；
（2）设函数g（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为B，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
24．已知椭圆E的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（﹣2，0），一定点为P（﹣8，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过P的直线与椭圆交于P1、P2两点，设直线P1F、P2F的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
（3）求△P1P2F面积的最大值．
25．已知二次函数f（x）=x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x的定义域为D恰是不等式的解集，其值域为A，函数g（x）=x3﹣3tx+的定义域为[0，1]，值域为B．
（1）求函数f（x）定义域为D和值域A；
（2）是否存在负实数t，使得A B成立？若存在，求负实数t的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．
26．对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
2015-2016学年上海市六校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题满分56分。本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f（x）=x2﹣1（x≥1）的反函数是f﹣1（x）= ，（x≥0） ．
【考点】反函数．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数f（x）=x2﹣1（x≥1），根据反函数的求解方程，可得反函数是f﹣1（x）的解析式．
【解答】解：令y=f（x）=x2﹣1（x≥1），
则y≥0，x2=y+1，
则x=，y≥0，
故函数f（x）=x2﹣1（x≥1）的反函数是f﹣1（x）=，（x≥0），
故答案为：，（x≥0）
【点评】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握反函数解析式的求解方法和步骤，是解答的关键．
2．已知||=2，||=1，的夹角为，则= 1 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】代入向量数量级定义式计算．
【解答】解： =|| ||cos=2×1×=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平面向量的数量级运算，是基础题．
3．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则= 2 ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数的定义设f（x）=xα，结合y=f（x）的图象经过点（4，），即可求出f（x），从而求得f（）的值．
【解答】解：∵y=f（x）为幂函数，
∴设f（x）=xα，
又∵y=f（x）的图象经过点（4，），
∴，即22α=2﹣1，
∴2α=﹣1，解得，
∴f（x）=，
∴f（）===2，
∴f（）=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的概念、解析式，定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域和单调性．考查了求幂函数的解析式问题，运用了待定系数法的解题方法，求解析式一般选用待定系数法、换元法、配凑法、消元法等．对于幂函数的有关问题，关键是正确的画出幂函数的图象，根据幂函数在第一象限的图形，结合幂函数的定义域、奇偶性，即可画出幂函数的图象，应用图象研究幂函数的性质．属于基础题．
4．方程log2（x﹣3）=log4（5﹣x）的解为 4 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算性质变形，化为同底数后再转化为无理方程求解．
【解答】解：由log2（x﹣3）=log4（5﹣x），得
，
∴，解得：x=4．
∴方程log2（x﹣3）=log4（5﹣x）的解为：4．
故答案为：4．
【点评】本题考查对数方程的解法，求解对数方程关键是注意验根，是基础题．
5．若直线l1的一个法向量 ( http: / / www.21cnjy.com )=（1，1），若直线l2的一个方向向量=（1，﹣2），则l1与l2的夹角θ= arccos ．（用反三角函数表示）
【考点】两直线的夹角与到角问题；反三角函数的运用．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用向量的夹角公式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，cosθ=||=，
∴θ=arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查向量的夹角公式，考查学生的计算能力，比较基础．
6．直线l：x+交圆x2+y2=2于A、B两点，则|AB|= 2 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法．
【分析】求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求出|AB|
【解答】解：圆心为（0，0），半径为，
圆心到直线l：x+的距离为d==1，
故|AB|=2=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．
7．已知α∈（0，π），且tan（）=，则cosα= ﹣ ．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值、再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值．
【解答】解：∵α∈（0，π），且tan（）==，∴tanα=﹣=，
再根据sin2α+cos2α=1，cosα＜0，求得cosα=﹣．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
8．无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=6，S6=3，则= ．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列前n项和公式求出首项及公比，由此能求出等比数列的前n项和的极限．
【解答】解：∵无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=6，S6=3，
∴，解得，q=﹣，
∴Sn=，
∴===．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的前n项和的极值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
9．已知f（x）=kx﹣|x﹣1|有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 （0，1） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．
【专题】数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】先构造两函数y1=kx，y2=|x﹣1|，问题等价为y1和y2的图象有两个交点，再数形结合得出k的范围．
【解答】解：令f（x）=0得，kx=|x﹣1|，
设y1=kx，y2=|x﹣1|，画出这两个函数的图象，
如右图，紫色曲线为y2的图象，蓝线为y1的图象，
且y1的图象恒过原点，
要使f（x）有两个零点，则y1和y2的图象有两个交点，
当k=1时，y1=x（红线）与y2图象的右侧（x＞1）平行，
此时，两图象只有一个交点，
因此，要使y1和y2的图象有两个交点，则0＜k＜1，
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想，属于基础题．
10．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10，则△ABC的周长为 20 ．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由S△ABC=bcsinA=bcsin60°=10，可解得bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，从而解得b2+c2=89，从而（b+c）2=b2+c2+2bc=169，从而解得b+c=13，即可求得周长．
【解答】解：∵S△ABC=bcsinA=bcsin60°=10，
∴bc=40，
由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有49=b2+c2﹣bc，解得b2+c2=89，
∴（b+c）2=b2+c2+2bc=89+80=169，从而解得b+c=13．
∴△ABC的周长为：13+7=20．
故答案为：20．
【点评】解决三角形问题，正、余弦定理是我们常用的定理，利用余弦定理，通常需知道三角形的两边及其夹角或已知三边，本题属于基本知识的考查．
11．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（100）+f（101）= ﹣1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，利用周期性和奇偶性进行转化即可．
【解答】解：偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），
即﹣f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），
即函数的周期是8的周期函数，
则f（100）=f（4）=﹣f（0）=0，
f（101）=f（5）=﹣f（1）=﹣1，
∴f（100）+f（101）=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．
12．已知等比数列{an}的前n项和为 ( http: / / www.21cnjy.com )Sn，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若Sn≥2016，则n的取值范围为 大于等于11的奇数 ．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{an}的公比为q≠ ( http: / / www.21cnjy.com )1，由S4、S2、S3成等差数列，可得2S2=S4+S3，化为2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，联立解得，由于Sn≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，对n分类讨论即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公 ( http: / / www.21cnjy.com )比为q≠1，∵S4、S2、S3成等差数列，∴2S2=S4+S3，∴2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，
∴，解得，
∵Sn≥2016，∴≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，
当n为偶数时，不成立，舍去．
当n为奇数时，化为2n≥2015，解得：n≥11．
∴n的取值范围为大于等于11的奇数．
故答案为：大于等于11的奇数．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
13．设m∈R，过定点A的动直线x+my ( http: / / www.21cnjy.com )=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA| |PB|的最大值是 5 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】直线与圆．
【分析】先计算出两条动直线经过的定点 ( http: / / www.21cnjy.com )，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA| |PB|的最大值．
【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA| |PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查， ( http: / / www.21cnjy.com )特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
14．不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0的解集为 （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2） ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．
【分析】分当x≥0时和当x＜0时，两种情况解答相应的不等式，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：当x≥0时，不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0可化为：（2﹣x）（2+x）＞0，解得：x∈（﹣2，2），
∴x∈[0，2），
当x＜0时，不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0可化为：（2+x）（2+x）＞0，解得：x≠﹣2，
∴x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0），
综上所述，等式（2﹣|x|）（2+x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，熟练掌握零点分段法的步骤是解答的关键．
15．设[x]表示不超过x的最大整数，若[π]=3，[﹣1.2]=﹣2．给出下列命题：
①对任意的实数x，都有x﹣1＜[x]≤x．
②对任意的实数x、y，都有[x+y]≥[x]+[y]．
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2014]+[lg2015]=4940．
④若函数f（x）=[x[x]]，当x∈[0，n）（n∈N*）时，令f（x）的值域为A，记集合A中元素个数为an，则的最小值为，其中所有真命题的序号为 ①②④ ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑．
【分析】直接利用定义判断①②；利用新定 ( http: / / www.21cnjy.com )义分类求出各式的值，作和后加以判断③；由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到an，进而得到，用基本不等式求解的最小值判断④．
【解答】解：对于①，由[x]表示不超过x的最大整数，则对任意的实数x，都有x﹣1＜[x]≤x，命题①正确；
对于②，记x=[x]+{x}（0≤{x}＜1），y=[y]+{y}（0≤{y}＜1），
则[x+y]=[[x]+{x}+[y]+{y}]≥[x]+[y]，故②正确；
对于③，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3．
∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，
[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，
[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，
[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，
∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=90+90×2+1016×3=4938，命题③错误；
对于④，根据题意：[x]=，
∴x[x]=．
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n﹣1．
∴an=，则，
∴当n=10时，最小值为，命题④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查命题的真假的判断，对新定义的理解应用是解题的关键，通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，该题是中档题．
二、选择题：本大题满分20分。本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。
16．设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为（ ）
A．15 B．16 C．49 D．64
【考点】数列递推式．
【专题】计算题．
【分析】直接根据an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出结论．
【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，
故选A．
【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握．
17．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行且不重合的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；规律型．
【分析】两个方面分析本题，分别当a=3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．
【解答】解：当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0，3x+2y+4=0，
∴两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
∴a=3
综上所述，a=3是两直线平行且不重合的充要条件．
故选C．
【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．
18．将函数f（x）=sin2x的图象向右 ( http: / / www.21cnjy.com )平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．
【解答】解：因为将函数f（x ( http: / / www.21cnjy.com )）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，
不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，
x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象平移，函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．
19．已知函数f（x）=，若 a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（ ）
A．[，1] B．[0，1] C．[1，2] D．[，2]
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可得则f（a）+f（b） ( http: / / www.21cnjy.com )＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函数f（x）===1+，
∴当m≥1时，函数f（x）在R上是减函数，函数的值域为（1，m）；
故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜m，∴m≤2 ①．
当m＜1时，函数f（x）在R上是增函数，函数的值域为（m，1）；
故f（a）+f（b）＞2m，f（c）＜1，
∴2m≥1，m≥②．
由①②可得≤m≤2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
三、解答题：本大题满分12分。本大题共有 ( http: / / www.21cnjy.com )5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。本题共1小题，满分12分。第1小题满分12分，第2小题满分12分。
20．公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an﹣10，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）公差不为零的等差数列前n项和公 ( http: / / www.21cnjy.com )式、通项公式及等比数列的性质，列出方程组，求出a1=1，d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由bn=an﹣10=2n﹣11 ( http: / / www.21cnjy.com )，得到数列{bn}是首项为﹣9，公差为2的等差数列，求出数列{bn}的前n项和Tn，利用配方法能求出结果．
【解答】解：（1）∵公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，
且该数列的前10项和为100，
∴，
∴解得a1=1，d=2，
∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（2）∵bn=an﹣10=2n﹣11，
∴=2﹣11=﹣9，bn﹣bn﹣1=（2n﹣11）﹣[2（n﹣1）﹣11]=2，
∴数列{bn}是首项为﹣9，公差为2的等差数列，
Tn==n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25．
∴当n=5时，数列{bn}的前n项和Tn的最小值为﹣25．
【点评】本题考查数列的通项公式及前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
21．已知=（cos2， sinx），=（2，1），设函数f（x）=．
（1）当x，求函数f（x）的值域；
（2）当f（α）=，且﹣，求sin（2）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算 ( http: / / www.21cnjy.com )，两角和与差的正弦函数可得f（x）=2sin（x+）+1，由x，可得：x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的值域．
（2）由f（α）=，解得：sin（α+）=，可求范围α+∈（﹣，），可求cos（α+），利用二倍角的正弦函数公式即可求值．
【解答】（本题满分为12分，每小题6分）
解：（1）∵=（cos2， sinx），=（2，1），
∴f（x）==2cos2+sinx=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1，
∵x，可得：x+∈[﹣，]，
∴sin（x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]．
（2）∵f（α）=2sin（α+）+1=，
∴解得：sin（α+）=，
∵﹣，α+∈（﹣，），
∴cos（α+）==，
∴sin（2）=sin[2（α+）]=2sin（α+）cos（α+）=2×=．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )两角和差的正弦函数公式、三角函数的基本关系式、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
22．已知函数f（x）=x2+|x﹣a|．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）将f（x）化简成分段函数，讨论f（x）的单调性，求出最小值；
（2）将f（x）化简成分段函数，对a进行讨论，得出结论．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=，
∴f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在[，1）上是增函数，在[1，+∞）上是增函数．
∴fmin（x）=f（）=．
（2）f（x）=，
①若a＞0，当x≥a时，﹣x≤﹣a＜0，
f（x）=x2+x﹣a，f（﹣x）=x2+x+a，∴f（﹣x）≠±f（x）．
∴f（x）为非奇非偶函数．
②若a＜0，当x＜a时，﹣x＞﹣a＞0，
f（x）=x2﹣x+a，f（﹣x）=x2﹣x﹣a，∴f（﹣x）≠±f（x）．
∴f（x）为非奇非偶函数．
③若a=0，当x≥0时，f（x）=x2+x，f（﹣x）=x2+x，∴f（x）=f（﹣x），
当x＜0时，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=x2﹣x，∴f（x）=f（﹣x）．
∴f（x）是偶函数．
综上，当a=0时，f（x）是偶函数，
当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数奇偶性的判断，将f（x）化简成分段函数是关键．
23．已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式的解集A．
（1）求集合A；
（2）设函数g（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为B，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；配方法；转化法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）问题等价为|f（﹣1）|=3且|f（5）|=3，解出k即可；
（2）问题转化为：不等式ax2﹣2x+2＞0在[1，2）上有解，再用分离参数法求解即可．
【解答】解：（1）因为不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），
所以，|f（﹣1）|=3且|f（5）|=3，
即|﹣k+2|=|5k+2|=3，
解得k=﹣1，f（x）=﹣x+2，
不等式可写成，≤0，
解得，x∈[1，2），即A=[1，2）；
（2）∵函数g（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为B，
且A∩B≠ ，∴问题等价转化为：
不等式ax2﹣2x+2＞0在[1，2）上有解，
分离参数得，a＞2（﹣+），其中∈（，1]，
所以，a＞[2（﹣+）]min，
由于，﹣ +=﹣（﹣）2+∈[0，），
所以，a＞0，
故实数a的取值范围为：（0，+∞）．
【点评】本题主要考查了含绝对不等式的解法，以及对数型复合函数的定义域和二次函数的图象和性质，属于中档题．
24．已知椭圆E的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（﹣2，0），一定点为P（﹣8，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过P的直线与椭圆交于P1、P2两点，设直线P1F、P2F的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
（3）求△P1P2F面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】转化思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，由离心率公式可得a，进而得到b，即有椭圆方程，
（2）设直线PQ：y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理可得k1+k2为定值；
（3）△P1P2F的面积S=|PF| |y1﹣y2|，由直线方程和韦达定理代入化简，再由换元法和二次函数的最值求法，即可得到最大值．
【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
由题意可得c=2，e==，又c2=a2﹣b2，
解得c=2，a=4，b=2，
即椭圆方程为+=1；
（2）证明：设直线P1P2：y=k（x+8），
代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+64k2x+256k2﹣48=0，
由△=642k4﹣4（3+4k2）（256k2﹣48）＞0，即有
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），
x1+x2=﹣，x1x2=，
即有k1+k2=+=+=k ，
将韦达定理代入上式，可得
2x1x2+10（x1+x2）+32=﹣+32=0，
则k1+k2=0；
（2）△P1P2F面积S=|PF| |y1﹣y2|
=3|k| |x1﹣x2|=3|k| =3|k|
=72 ，
设t=3+4k2（3＜t＜4），
则S=72 =36=36，
当=即t=即k=±时，取得最大值，且为3．
则△P1P2F面积的最大值为3．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质及 ( http: / / www.21cnjy.com )运用，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理，同时考查三角形的面积的最大值，注意运用二次函数的最值求法，属于中档题．
25．已知二次函数f（x）=x2+x ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为D恰是不等式的解集，其值域为A，函数g（x）=x3﹣3tx+的定义域为[0，1]，值域为B．
（1）求函数f（x）定义域为D和值域A；
（2）是否存在负实数t，使得A B成立？若存在，求负实数t的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】转化思想；集合思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】（1）解不等式求出D，结合二次函数的图象和性质，求出A；
（2）利用导数法，求出B，结合A B，可得负实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，则g′（x）=3x2﹣3t≤0在[0，1]上恒成立，解得答案．
【解答】解：（1）解不等式得：x∈（﹣1，0]，
故二次函数f（x）=x2+x的定义域D=（﹣1，0]，
∵二次函数f（x）=x2+x的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，
故二次函数f（x）=x2+x在x=﹣时，取最小值，当x=0时，取最大值0，
故二次函数f（x）=x2+x的值域A=[，0]；
（2）∵函数g（x）=x3﹣3tx+，
∴g′（x）=3x2﹣3t，
当t＜0时，g′（x）≥0恒成立，
g（x）=x3﹣3tx+，x∈[0，1]为增函数，
此时B=[，]，
若A B，
则，
解得：t≤；
（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，
则g′（x）=3x2﹣3t≤0在[0，1]上恒成立，
即t≥x2，x∈[0，1]恒成立，
解得：t≥1
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系，函数的定义域，值域，导数法求函数的最值，难度较大，属于难题．
26．对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）①要判断函数g（x）=2 ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x﹣1，是否满足理想函数的三个条件即可；
（2）先研究函数f（x）的单调性，从而得出此函数的最值．得到当x=0时，f（x）取得最小值2，当x=1时，f（x）取得最大值3即可；
（3）由条件③知，任给m、n ( http: / / www.21cnjy.com )∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．，根据f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．
【解答】解：（1）①显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0
故f（x）=2x﹣1满足条件①②③，所以f（x）=2x﹣1为理想函数，
（2）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2﹣x1∈（0，1]
∴f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2
∴f（x2）﹣f（x1）≥f （x2﹣x1）﹣2≥0，
∴f（x1）≤f（x2），则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x1=x2=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2当x=1时，f（1）=3，
∴当x=0时，f（x）取得最小值2，
当x=1时，f（x）取得最大值3，
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．
若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
故f（x0）=x0．
【点评】赋值法是解决抽象函 ( http: / / www.21cnjy.com )数问题的常用方法，函数的新定义则转化为函数性质问题，本题则结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．
同课章节目录