江苏省连云港市赣榆区海头高中2015-2016学年高一（上）第一次调研数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省连云港市赣榆区海头高中2015-2016学年高一（上）第一次调研数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 141.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-24 18:55:29 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省连云港市赣榆区海头高中高一（上）第一次调研数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B= ．
2．设全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则 U（A∪B）= ．
3．= ．
4．函数的定义域是 ．
5．函数y=x2+2x+3，x∈[﹣4，4]的单调增区间是 ．
6．已知函数f（x）与g（x）分别由下表给出，那么g（f（3））= ．
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f（x） 2 3 4 1 g（x） 2 1 4 3
7．若，则a，b，c的大小关系是 （用“＞”连接）．
8．函数f（x）=ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象必过定点 ．
9．已知a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b= ．
10．已知函数，则= ．
11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣x+1，则当x＞0，f（x）= ．
12．函数f（x）=ax2+2ax+1在[﹣3，2]上有最大值4，则实数a= ．
13．已知函数f（x）对于任意的x∈R， ( http: / / www.21cnjy.com )都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是 ．
14．对任意实数a，b，定义：，如果函数，h（x）=﹣x+2，那么函数G（x）=F（F（f（x），g（x）），h（x））的最大值等于 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．设集合A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B={9}，求A∪B．
16．已知奇函数f（x）=．
（1）求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调函数，试确定a的取值范围．
17．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
（3）解不等式：f（2t﹣1）+f（t）＜0．
18．某批发公司批发某商品，每件商品进价8 ( http: / / www.21cnjy.com )0元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但限定最低批发价为100元，此时对应批发量规定为最大批发量．
（1）求最大批发量；
（2）当一次订购量为x个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式，并求出函数的定义域；
（3）当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润？
19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）=．
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于零．
20．已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x2形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）函数是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．
2015-2016学年江苏省连云港市赣榆区海头高中高一（上）第一次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B= {2} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】阅读型．
【分析】直接运用交集概念求得结果．
【解答】解：由集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，
所以A∩B={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．
故答案为{2}．
【点评】本题考查了交集及其运算，是会考题型，是基础题．
2．设全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则 U（A∪B）= {4} ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，由集合A、B，结合并集的意义，可得A∪B，又由全集U，结合补集的意义，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，
则A∪B={﹣1，0，1，2，3}，
又由全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，
则 U（A∪B）={4}；
故答案为{4}．
【点评】本题考查集合的混合运算，注意答案为集合的形式．
3．= 12 ．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】计算题．
【分析】直接利用分数指数幂的化简求值运算法则，求解即可．
【解答】解：由
=
=5﹣1+8
=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查分数指数幂的化简求值运算，基本知识的考查．
4．函数的定义域是 {x|x≥﹣3且x≠2} ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得，解不等式可求函数的定义域
【解答】解：由题意可得
∴x≥﹣3且x≠2
故答案为：{x|x≥﹣3且x≠2}
【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，解题的关键是寻求函数有意义的条件
5．函数y=x2+2x+3，x∈[﹣4，4]的单调增区间是 （﹣1，4） ．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求出函数的对称轴，利用二次函数的性质，写出单调增区间即可．
【解答】解：因为函数y=x2+2x+3，x∈[﹣4，4]的对称轴为：x=﹣1，开口向上，
所以函数y=x2+2x+3，x∈[﹣4，4]的单调增区间是（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】本题考查二次函数的基本性质的应用，基本知识的考查．
6．已知函数f（x）与g（x）分别由下表给出，那么g（f（3））= 3 ．
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f（x） 2 3 4 1 g（x） 2 1 4 3
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】通过表格中的对应关系求出f（3）的值，然后再由表格中的对应关系求解g（f（3））值即可得到答案．
【解答】解：由表格中的对应关系可知，f（3）=4，
所以g（f（3））=g（4）=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，注意函数表格的对应关系的应用，考查计算能力．
7．若，则a，b，c的大小关系是 a＞b＞c （用“＞”连接）．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】将a，b，c三个数化为同底的指数幂，再比较大小．
【解答】解：将a，b，c三个数化为同底的指数幂，
a=40.9=21.8，
b=80.48=21.44，
c==2﹣1.5，
根据指数函数y=2x在R上单调递增得，a＞b＞c，
故填：a＞b＞c．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，涉及运用指数函数的单调性比较数值大小，属于基础题．
8．函数f（x）=ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象必过定点 （1，1） ．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x﹣1=0，解得x=1，y=1，故得定点（1，1）．
【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，
此时y=a0=1，故得（1，1）
此点与底数a的取值无关，
故函数y=ax﹣1的图象必经过定点（1，1）
故答案为（1，1）．
【点评】本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．
9．已知a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b= 1 ．
【考点】映射．
【专题】计算题．
【分析】根据题意f：x→x ( http: / / www.21cnjy.com )表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，可得1通过映射到N仍为1，可得1∈N，推出a=1，再求出b，从而进行求解；
【解答】解：∵a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，
∴1通过映射可得1∈N，
解得a=1，
→∈N，可得=0，解得b=0，
∴a+b=1，
故答案为1；
【点评】此题主要考查映射的定义，解题的关键是读懂题意，是一道基础题；
10．已知函数，则= 2 ．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵函数，
∴=f（）=f（）=f（）==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．
11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣x+1，则当x＞0，f（x）= ﹣2x2﹣x﹣1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由x＜0时f（x）的解析式，结合函数的奇偶性求出x＞0时f（x）的解析式．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，x＜0时，f（x）=2x2﹣x+1，
∴x＞0时，﹣x＜0；
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣（﹣x）+1=2x2+x+1，
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x2+x+1）=﹣2x2﹣x﹣1；
故答案为：﹣2x2﹣x﹣1
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．
12．函数f（x）=ax2+2ax+1在[﹣3，2]上有最大值4，则实数a= 或﹣3 ．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【专题】分类讨论；函数的性质及应用．
【分析】分类讨论，确定函数的对称轴，根据函数f（x）=ax2+2ax+1在[﹣3，2]上有最大值4，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：①当a＞0时，因为对称轴为x=﹣1，所以f（2）最大，所以f（2）=4，即4a+4a+1=4，所以a=；
②当a＜0时，因为对称轴为x=﹣1，所以f（﹣1）最小，所以f（﹣1）=4，即a﹣2a+1=4，所以a=﹣3；
③当a=0时，f（x）=1，不成立．
综上可知，a=或a=﹣3
故答案为：或﹣3．
【点评】本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
13．已知函数f（x）对于任意的x∈R ( http: / / www.21cnjy.com )，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是 （﹣3，1） ．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范围．
【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0，故函数在（﹣∞，0]上是减函数．
故由f（m+1）＜f（2），
可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，得到﹣2＜m+1＜2，是解题的关键，属于中档题．
14．对任意实数a，b，定义：，如果函数，h（x）=﹣x+2，那么函数G（x）=F（F（f（x），g（x）），h（x））的最大值等于 1 ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据“对任意实数a，b，定 ( http: / / www.21cnjy.com )义： “的意思是两个函数的函数值进行比较，较大的舍去留下较小的函数值．得到得到G（x）图象，结合图象即可求出函数的最大值．
【解答】解：“对任意实数a，b，定义： “的意思是两个函数的函数值进行比较，
较大的舍去留下较小的函数值．
故G（x）的最大值等于1．
【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及数形结合的数学思想，属于基础题．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．设集合A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B={9}，求A∪B．
【考点】子集与交集、并集运算的转换．
【专题】计算题．
【分析】根据A∩B={9}知9∈A，由集合A ( http: / / www.21cnjy.com )中的元素值由两种情况：x2=9和2x﹣1=9，求出x的值来再代入进行验证，集合的元素的互异性和题中的条件是否成立．
【解答】解：由题意知A∩B={9}，因此9∈A，
①若x2=9，则x=±3，
当x=3时，A={9，5，﹣4}，x﹣5=1﹣x，与B集合的互异性矛盾；
当x=﹣3时，A={9，﹣7，﹣4}，B={﹣8，4，9}，满足题意．
②若2x﹣1=9，则x=5，此时A={25，9，﹣4}，B={0，﹣4，9}，A∩B={﹣4，9}，与A∩B={9}矛盾，舍去．
故A∪B={﹣8，﹣7，﹣4，4，9}．
【点评】本题考查了集合的混 ( http: / / www.21cnjy.com )合运算，根据A∩B中元素的特点进行分类求解，注意需要把求出的值再代入集合进行验证，是否满足条件以及集合元素的三个特征．
16．已知奇函数f（x）=．
（1）求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调函数，试确定a的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数的奇偶性建立条件关系，即可求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（3）根据函数的图象，利用函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调函数，即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=x2﹣mx=﹣f（x），
即x2﹣mx=x2﹣4x，
则m=4；
（2）∵f（x）=，
∴对应的图象如图：
则由图象可知函数的增区间：（﹣2，2），减区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）；
（3）∵﹣2＜﹣1，
∴若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调函数，
则函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上只能是单增调函数，
则满足﹣1＜a﹣2≤2，
即1＜a≤4，
故a的取值范围是（1，4]．
【点评】本题主要考查分段函数的图象和性质，利用函数的奇偶性的性质求出m是解决本题的关键．
17．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
（3）解不等式：f（2t﹣1）+f（t）＜0．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质以及条件即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：（1）因为函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
所以f（0）=0，即b=0，
又，所以a=1，所以；
（2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＞x2，
则，
因为x1，x2∈（﹣1，1），且x1＞x2，所以x1x2﹣1＜0，x2﹣x1＜0
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
（3）因为f（2t﹣1）+f（t）＜0，所以f（2t﹣1）＜f（﹣t），
所以，解得，
所以不等式解集为．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，综合考查函数性质的综合应用．
18．某批发公司批发某商 ( http: / / www.21cnjy.com )品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但限定最低批发价为100元，此时对应批发量规定为最大批发量．
（1）求最大批发量；
（2）当一次订购量为x个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式，并求出函数的定义域；
（3）当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润？
【考点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（1）设最大批发量为t，由题意知120﹣（t﹣100）×0.04=100，解得t即可；
（2）根据题目条件可知该批发价的函数是一分段函数，用分段函数表示出P=f（x）即可，并证明定义域；
（3）当经销商一次批发个零件x时，该批 ( http: / / www.21cnjy.com )发公司可获得利润为y，根据利润=（批发价﹣进价）×个数求出利润函数，然后根据分段函数的最值的求法求出所求．
【解答】解：（1）设最大批发量为t，由题意知
120﹣（t﹣100）×0.04=100，解得t=600，
即最大批发量为600个；
（2）P=f（x）=．
函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤600，x∈N*}；
（3）当经销商一次批发个零件x时，该批发公司可获得利润为y元，由题意知：
y=．
设f1（x）=40x，则在x=100时，取得最大值为4000；
设f2（x）=﹣0.04x2+44x=﹣0.04（x﹣550）2+0.04×5502
所以当x=550时，f2（x）取最大值12100．
答：当经销商一次批发550个零件时，该批发公司可获得最大利润．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查二次函数的性质，考查计算能力和建模能力，属于中档题．
19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）=．
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于零．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）利用f（﹣1）=0和函数f（x）的值域为[0，+∞），建立方程关系，即可求出a，b，从而确定F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，利用g（x）=f（x）﹣kx的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可．
（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，得到b=0，然后判断F（m）+F（n）的取值．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，
∴a﹣b+1=0，①
∵函数f（x）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且判别式△=0，即b2﹣4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax2+bx+1=x2+2x+1．
∴F（x）=．
（2）g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，
函数的对称轴为x=，
要使函数g（x）=f（x）﹣kx，在x∈[﹣2，2]上是单调函数，
则区间[﹣2，2]必在对称轴的一侧，
即或，
解得k≥6或k≤﹣2．
即实数k的取值范围是k≥6或k≤﹣2．
（3）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），
即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1，
∴2bx=0，解得b=0．
∴f（x）=ax2+1．
∴F（x）=．
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，
不妨设m＞n，则m＞0，n＜0，
∴F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）=a（m﹣n）（m+n），
∵m+n＞0，a＞0，m﹣n＞0，
∴F（m）+F（n）=a（m﹣n）（m+n）＞0．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数单调性与对称轴之间的关系．要求熟练掌握二次函数的相关知识．
20．已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x2形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）函数是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【专题】新定义；函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意可得f（x）=x2在[0，+∞）是增函数，f（n）=n2，即n2=n，由此求得n的值，从而求得函数的保值区间
（2）由题意可得a＞0，．当实数a， ( http: / / www.21cnjy.com )b∈（0，1）时，利用单调性可得a、b不存在．当实数a，b∈[1，+∞）时，可得不存在满足条件的实数a，b．当a∈（0，1），b∈[1，+∞），可得a、b不存在，由以上得出结论．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2 ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，∴n≥0，又f（x）=x2在[0，+∞）是增函数，故f（n）=n2，n2=n，∴n=0，或 n=1．
∴函数f（x）=x2形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间有[0，+∞）或[1，+∞）．
（2）假设存在实数a，b使得函数，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间，
则a＞0，．
10当实数a，b∈（0，1）时，，此时，g（x）为减函数，
故，即，∴a=b与a＜b矛盾．
20当实数a，b∈[1，+∞）时，
，此时，g（x）为为增函数，故，即，
得方程在[1，+∞）上有两个不等的实根，而，即x2﹣x+1=0无实根，
故此时不存在满足条件的实数a，b．
30当a∈（0，1），b∈[1，+∞），
∵1∈（a，b），而g（1）=0．
故此时不存在满足条件的实数a，b．
综上述，不存在实数a，b使得函数，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间．
【点评】本题主要考查函数的定义域和值域的求法，函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B= ．
2．设全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则 U（A∪B）= ．
3．= ．
4．函数的定义域是 ．
5．函数y=x2+2x+3，x∈[﹣4，4]的单调增区间是 ．
6．已知函数f（x）与g（x）分别由下表给出，那么g（f（3））= ．
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f（x） 2 3 4 1 g（x） 2 1 4 3
7．若，则a，b，c的大小关系是 （用“＞”连接）．
8．函数f（x）=ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象必过定点 ．
9．已知a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b= ．
10．已知函数，则= ．
11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣x+1，则当x＞0，f（x）= ．
12．函数f（x）=ax2+2ax+1在[﹣3，2]上有最大值4，则实数a= ．
13．已知函数f（x）对于任意的x∈R， ( http: / / www.21cnjy.com )都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是 ．
14．对任意实数a，b，定义：，如果函数，h（x）=﹣x+2，那么函数G（x）=F（F（f（x），g（x）），h（x））的最大值等于 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．设集合A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B={9}，求A∪B．
16．已知奇函数f（x）=．
（1）求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调函数，试确定a的取值范围．
17．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
（3）解不等式：f（2t﹣1）+f（t）＜0．
18．某批发公司批发某商品，每件商品进价8 ( http: / / www.21cnjy.com )0元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但限定最低批发价为100元，此时对应批发量规定为最大批发量．
（1）求最大批发量；
（2）当一次订购量为x个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式，并求出函数的定义域；
（3）当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润？
19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）=．
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于零．
20．已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x2形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）函数是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．
2015-2016学年江苏省连云港市赣榆区海头高中高一（上）第一次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B= {2} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】阅读型．
【分析】直接运用交集概念求得结果．
【解答】解：由集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，
所以A∩B={1，2，3}∩{2，4，6}={2}．
故答案为{2}．
【点评】本题考查了交集及其运算，是会考题型，是基础题．
2．设全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则 U（A∪B）= {4} ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，由集合A、B，结合并集的意义，可得A∪B，又由全集U，结合补集的意义，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，
则A∪B={﹣1，0，1，2，3}，
又由全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，
则 U（A∪B）={4}；
故答案为{4}．
【点评】本题考查集合的混合运算，注意答案为集合的形式．
3．= 12 ．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】计算题．
【分析】直接利用分数指数幂的化简求值运算法则，求解即可．
【解答】解：由
=
=5﹣1+8
=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查分数指数幂的化简求值运算，基本知识的考查．
4．函数的定义域是 {x|x≥﹣3且x≠2} ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得，解不等式可求函数的定义域
【解答】解：由题意可得
∴x≥﹣3且x≠2
故答案为：{x|x≥﹣3且x≠2}
【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，解题的关键是寻求函数有意义的条件
5．函数y=x2+2x+3，x∈[﹣4，4]的单调增区间是 （﹣1，4） ．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求出函数的对称轴，利用二次函数的性质，写出单调增区间即可．
【解答】解：因为函数y=x2+2x+3，x∈[﹣4，4]的对称轴为：x=﹣1，开口向上，
所以函数y=x2+2x+3，x∈[﹣4，4]的单调增区间是（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】本题考查二次函数的基本性质的应用，基本知识的考查．
6．已知函数f（x）与g（x）分别由下表给出，那么g（f（3））= 3 ．
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f（x） 2 3 4 1 g（x） 2 1 4 3
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】通过表格中的对应关系求出f（3）的值，然后再由表格中的对应关系求解g（f（3））值即可得到答案．
【解答】解：由表格中的对应关系可知，f（3）=4，
所以g（f（3））=g（4）=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，注意函数表格的对应关系的应用，考查计算能力．
7．若，则a，b，c的大小关系是 a＞b＞c （用“＞”连接）．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】将a，b，c三个数化为同底的指数幂，再比较大小．
【解答】解：将a，b，c三个数化为同底的指数幂，
a=40.9=21.8，
b=80.48=21.44，
c==2﹣1.5，
根据指数函数y=2x在R上单调递增得，a＞b＞c，
故填：a＞b＞c．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，涉及运用指数函数的单调性比较数值大小，属于基础题．
8．函数f（x）=ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象必过定点 （1，1） ．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x﹣1=0，解得x=1，y=1，故得定点（1，1）．
【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，
此时y=a0=1，故得（1，1）
此点与底数a的取值无关，
故函数y=ax﹣1的图象必经过定点（1，1）
故答案为（1，1）．
【点评】本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．
9．已知a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b= 1 ．
【考点】映射．
【专题】计算题．
【分析】根据题意f：x→x ( http: / / www.21cnjy.com )表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，可得1通过映射到N仍为1，可得1∈N，推出a=1，再求出b，从而进行求解；
【解答】解：∵a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，
∴1通过映射可得1∈N，
解得a=1，
→∈N，可得=0，解得b=0，
∴a+b=1，
故答案为1；
【点评】此题主要考查映射的定义，解题的关键是读懂题意，是一道基础题；
10．已知函数，则= 2 ．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵函数，
∴=f（）=f（）=f（）==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．
11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣x+1，则当x＞0，f（x）= ﹣2x2﹣x﹣1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由x＜0时f（x）的解析式，结合函数的奇偶性求出x＞0时f（x）的解析式．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，x＜0时，f（x）=2x2﹣x+1，
∴x＞0时，﹣x＜0；
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣（﹣x）+1=2x2+x+1，
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x2+x+1）=﹣2x2﹣x﹣1；
故答案为：﹣2x2﹣x﹣1
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．
12．函数f（x）=ax2+2ax+1在[﹣3，2]上有最大值4，则实数a= 或﹣3 ．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【专题】分类讨论；函数的性质及应用．
【分析】分类讨论，确定函数的对称轴，根据函数f（x）=ax2+2ax+1在[﹣3，2]上有最大值4，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：①当a＞0时，因为对称轴为x=﹣1，所以f（2）最大，所以f（2）=4，即4a+4a+1=4，所以a=；
②当a＜0时，因为对称轴为x=﹣1，所以f（﹣1）最小，所以f（﹣1）=4，即a﹣2a+1=4，所以a=﹣3；
③当a=0时，f（x）=1，不成立．
综上可知，a=或a=﹣3
故答案为：或﹣3．
【点评】本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
13．已知函数f（x）对于任意的x∈R ( http: / / www.21cnjy.com )，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是 （﹣3，1） ．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范围．
【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0，故函数在（﹣∞，0]上是减函数．
故由f（m+1）＜f（2），
可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，得到﹣2＜m+1＜2，是解题的关键，属于中档题．
14．对任意实数a，b，定义：，如果函数，h（x）=﹣x+2，那么函数G（x）=F（F（f（x），g（x）），h（x））的最大值等于 1 ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据“对任意实数a，b，定 ( http: / / www.21cnjy.com )义： “的意思是两个函数的函数值进行比较，较大的舍去留下较小的函数值．得到得到G（x）图象，结合图象即可求出函数的最大值．
【解答】解：“对任意实数a，b，定义： “的意思是两个函数的函数值进行比较，
较大的舍去留下较小的函数值．
故G（x）的最大值等于1．
【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及数形结合的数学思想，属于基础题．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．设集合A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B={9}，求A∪B．
【考点】子集与交集、并集运算的转换．
【专题】计算题．
【分析】根据A∩B={9}知9∈A，由集合A ( http: / / www.21cnjy.com )中的元素值由两种情况：x2=9和2x﹣1=9，求出x的值来再代入进行验证，集合的元素的互异性和题中的条件是否成立．
【解答】解：由题意知A∩B={9}，因此9∈A，
①若x2=9，则x=±3，
当x=3时，A={9，5，﹣4}，x﹣5=1﹣x，与B集合的互异性矛盾；
当x=﹣3时，A={9，﹣7，﹣4}，B={﹣8，4，9}，满足题意．
②若2x﹣1=9，则x=5，此时A={25，9，﹣4}，B={0，﹣4，9}，A∩B={﹣4，9}，与A∩B={9}矛盾，舍去．
故A∪B={﹣8，﹣7，﹣4，4，9}．
【点评】本题考查了集合的混 ( http: / / www.21cnjy.com )合运算，根据A∩B中元素的特点进行分类求解，注意需要把求出的值再代入集合进行验证，是否满足条件以及集合元素的三个特征．
16．已知奇函数f（x）=．
（1）求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调函数，试确定a的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数的奇偶性建立条件关系，即可求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（3）根据函数的图象，利用函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调函数，即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=x2﹣mx=﹣f（x），
即x2﹣mx=x2﹣4x，
则m=4；
（2）∵f（x）=，
∴对应的图象如图：
则由图象可知函数的增区间：（﹣2，2），减区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）；
（3）∵﹣2＜﹣1，
∴若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调函数，
则函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上只能是单增调函数，
则满足﹣1＜a﹣2≤2，
即1＜a≤4，
故a的取值范围是（1，4]．
【点评】本题主要考查分段函数的图象和性质，利用函数的奇偶性的性质求出m是解决本题的关键．
17．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
（3）解不等式：f（2t﹣1）+f（t）＜0．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质以及条件即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：（1）因为函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
所以f（0）=0，即b=0，
又，所以a=1，所以；
（2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＞x2，
则，
因为x1，x2∈（﹣1，1），且x1＞x2，所以x1x2﹣1＜0，x2﹣x1＜0
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
（3）因为f（2t﹣1）+f（t）＜0，所以f（2t﹣1）＜f（﹣t），
所以，解得，
所以不等式解集为．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，综合考查函数性质的综合应用．
18．某批发公司批发某商 ( http: / / www.21cnjy.com )品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但限定最低批发价为100元，此时对应批发量规定为最大批发量．
（1）求最大批发量；
（2）当一次订购量为x个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式，并求出函数的定义域；
（3）当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润？
【考点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（1）设最大批发量为t，由题意知120﹣（t﹣100）×0.04=100，解得t即可；
（2）根据题目条件可知该批发价的函数是一分段函数，用分段函数表示出P=f（x）即可，并证明定义域；
（3）当经销商一次批发个零件x时，该批 ( http: / / www.21cnjy.com )发公司可获得利润为y，根据利润=（批发价﹣进价）×个数求出利润函数，然后根据分段函数的最值的求法求出所求．
【解答】解：（1）设最大批发量为t，由题意知
120﹣（t﹣100）×0.04=100，解得t=600，
即最大批发量为600个；
（2）P=f（x）=．
函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤600，x∈N*}；
（3）当经销商一次批发个零件x时，该批发公司可获得利润为y元，由题意知：
y=．
设f1（x）=40x，则在x=100时，取得最大值为4000；
设f2（x）=﹣0.04x2+44x=﹣0.04（x﹣550）2+0.04×5502
所以当x=550时，f2（x）取最大值12100．
答：当经销商一次批发550个零件时，该批发公司可获得最大利润．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查二次函数的性质，考查计算能力和建模能力，属于中档题．
19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）=．
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于零．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）利用f（﹣1）=0和函数f（x）的值域为[0，+∞），建立方程关系，即可求出a，b，从而确定F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，利用g（x）=f（x）﹣kx的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可．
（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，得到b=0，然后判断F（m）+F（n）的取值．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，
∴a﹣b+1=0，①
∵函数f（x）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且判别式△=0，即b2﹣4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax2+bx+1=x2+2x+1．
∴F（x）=．
（2）g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，
函数的对称轴为x=，
要使函数g（x）=f（x）﹣kx，在x∈[﹣2，2]上是单调函数，
则区间[﹣2，2]必在对称轴的一侧，
即或，
解得k≥6或k≤﹣2．
即实数k的取值范围是k≥6或k≤﹣2．
（3）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），
即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1，
∴2bx=0，解得b=0．
∴f（x）=ax2+1．
∴F（x）=．
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，
不妨设m＞n，则m＞0，n＜0，
∴F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）=a（m﹣n）（m+n），
∵m+n＞0，a＞0，m﹣n＞0，
∴F（m）+F（n）=a（m﹣n）（m+n）＞0．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数单调性与对称轴之间的关系．要求熟练掌握二次函数的相关知识．
20．已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x2形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）函数是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【专题】新定义；函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意可得f（x）=x2在[0，+∞）是增函数，f（n）=n2，即n2=n，由此求得n的值，从而求得函数的保值区间
（2）由题意可得a＞0，．当实数a， ( http: / / www.21cnjy.com )b∈（0，1）时，利用单调性可得a、b不存在．当实数a，b∈[1，+∞）时，可得不存在满足条件的实数a，b．当a∈（0，1），b∈[1，+∞），可得a、b不存在，由以上得出结论．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2 ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，∴n≥0，又f（x）=x2在[0，+∞）是增函数，故f（n）=n2，n2=n，∴n=0，或 n=1．
∴函数f（x）=x2形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间有[0，+∞）或[1，+∞）．
（2）假设存在实数a，b使得函数，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间，
则a＞0，．
10当实数a，b∈（0，1）时，，此时，g（x）为减函数，
故，即，∴a=b与a＜b矛盾．
20当实数a，b∈[1，+∞）时，
，此时，g（x）为为增函数，故，即，
得方程在[1，+∞）上有两个不等的实根，而，即x2﹣x+1=0无实根，
故此时不存在满足条件的实数a，b．
30当a∈（0，1），b∈[1，+∞），
∵1∈（a，b），而g（1）=0．
故此时不存在满足条件的实数a，b．
综上述，不存在实数a，b使得函数，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间．
【点评】本题主要考查函数的定义域和值域的求法，函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
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