(共30张PPT)
（沪科版）八年级
上
14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形
全等三角形
第14章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.通过尺规作图等实际操作，理解两角及其夹边相等的两个三角形全等；
2.能用“角边角”判定两个三角形全等；会通过证三角形全等来证明线段相等或角相等。
3.培养良好的几何推理意识，发展数学思维，感悟全等三角形的应用价值。
4.通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
一个三角形有三个内角和三条边长.若已知其中一个条件或两个条件，都无法确定一个三角形.若已知其中三个条件，则共有四种情况:三条边，两边一角，两角一边，三个角.
上节课我们已经知道两边一夹角可确定唯一的三角形，这节课，我们来探究已知三角形两角一夹边的情况.
新知导入
已知：△ABC.
求作：△A′B′C′，使∠B′ ＝∠B，B′C′ ＝BC，∠C′ ＝∠C．
任务一：全等三角形的判定“角边角”
新知讲解
B′
C′
A′
作法:
N
(1)作线段B′C′=BC；
(2)在B′C′的同旁分别以B′，
C′为顶点作∠MB′C′=∠B，
∠NC′B′=∠C， B′M，C′N相交于点A′．
则△A′B′C′就是所求作的三角形．
M
A
B
C
将所作的△A′B′C′与△ABC 叠一叠，看看它们能否完全重合？
由此你能得到什么结论？
新知讲解
完全重合
B′
C′
A
B
C
A′
结论：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”．
全等三角形的判定定理（角边角）：
新知讲解
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例３ 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：DB=CB.
新知讲解
证明：∵∠ABD与∠3互为邻补角，
∠ABC与∠4互为邻补角，(已知)
又 ∵∠3=∠4， (已知)
∴∠ADB=∠ABC.(等角的补角相等).
在△ABD与△ABC中，∵
∴ △ABD≌△ABC.(ASA)
∴ DB=CB.(全等三角形的对应边相等)
任务二：全等三角形的判定“角边角”的综合应用
例 ４ 已知：如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在 AB 的垂线 BＦ 上取两点 C，D（BＦ 在河岸上），使 BC＝CD，再过点D作BＦ的垂线DＥ，使点A，C，Ｅ 在 一条直线上，这时测得 DＥ 的长等于 AB 的长，请说明道理．
新知讲解
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，(已知)
∴∠ABC=∠EDC=90°，(垂直定义)
在△ABC和△EDC中，
∵
例 ４ 已知：如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在 AB 的垂线 BＦ 上取两点 C，D（BＦ 在河岸上），使 BC＝CD，再过点D作BＦ的垂线DＥ，使点A，C，Ｅ 在 一条直线上，这时测得 DＥ 的长等于 AB 的长，请说明道理．
新知讲解
∴ △ABC≌△EDC.(ASA)
∴ AB=DE.(全等三角形的对应边相等)
三角形全等是证明线段相等、角相等的常用方法之一，在证明三角形全等时，要看题目中已知的全等条件有哪些，隐含的条件有哪些，还需要哪些条件.
新知讲解
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图,A,B,C分别表示△ABC的三边长,则下列选项中,与△ABC一定全等的三角形是( ).
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，∠C＝∠B，能用ASA来判断△ABD≌△ACE，需要添加的条件是( )
A.AE=AD
B.AB=AC
C.CE=BD
D.∠ADB＝∠ABC
B
课堂练习
3.如图,AB//CF,E为DF的中点.若AB=9Cm,CF=6Cm,则BD的长为
cm.
3
【知识技能类作业】必做题：
4．已知：如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ADC≌△BCD.
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，
即∠ADC＝∠BCD.
在△ADC和△BCD中，∵
∴△ADC≌△BCD(ASA)．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图,已知CB_上AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F.若AB=BC=8,CF=2,连接DF,则图中阴影部分的面积为 .
6
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6.如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使E、C、A在同一条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离.请你说明理由，你还能想出其他方法吗？
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
解: 理由:∵DE∥AB，
∴∠B＝∠CDE，又BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，∴AB＝DE.
新方法:如图:从B出发沿河岸作射线BF，
且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，
过D作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，
则DE的长就是A、B之间的距离.道理同上.
7.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F.求证:PE＝PF.
证明:∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POF.
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠OPF＝∠OPE.
在△OPF和△OPE中，∵
∴△OPF≌△OPE(ASA)，∴PE＝PF.
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂总结
全等三角形的判定定理（角边角）：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”．
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
板书设计
全等三角形的判定定理（角边角）：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”．
课题：14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．下列能判定△ABC≌△DEF的条件是( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E
B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E
C.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎了,现在要到玻璃店去
配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
C
3.如图,在△ABC和△EBD中,AB=EB=8,∠A=∠E,BD=3,则CE的长是 .
5
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4.如图，点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACF= 60°,AB=CE,则
与线段BC相等的线段是( )
A. AC B. AF
C. CF D. EF
D
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线. 求证：CF=C′F′.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴ AC=A′C′，
∠A =∠A′ ,
∠ACB =∠A′C′B′.
又∵CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，
∴ ∠ACF=∠A′C′F′
∴ △ACF≌△A′C′F′
∴ CF=C′F′.
6.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么
【综合拓展类作业】
作业布置
解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠B=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中，
∵
6.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么
【综合拓展类作业】
作业布置
∴ △ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=ED.
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2
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分课时教学设计
《14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 三角形全等的判定是初中数学的一个重要内容。本课是学生已学了SAS的基础上进 行的。学生已经有了一定的理论基础和认知模式。通过本课，学生能进一步提高合情推理的能力和感受转化的数学思想，为今后研究几何问题建立了一定的模式。
学习者分析 八年级的学生观察、猜想能力较强，前面学习的“SAS"基本事实，为探究“ASA” 做好了知识上的准备。而且，学生具备基本作图能力，前面两个判定方法学习中均涉及了尺规作图:作一个角等于已知角。这使本节课的作图验证成为可能。但他们的归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，动手操作能力不容乐观。现在的他们还处于几何推理论证的初步阶段，证明题过程的书写及在解题过程中确定全等条件都是很困难的，因此在课堂教学过程中教师应该及时加强引导，注重学生几何学习习惯的培养。
教学目标 1.通过尺规作图等实际操作，理解两角及其夹边相等的两个三角形全等； 2.能用“角边角”判定两个三角形全等；会通过证三角形全等来证明线段相等或角相等。 3.培养良好的几何推理意识，发展数学思维，感悟全等三角形的应用价值。 4.通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
教学重点 理解“角边角”判定三角形全等的条件.
教学难点 掌握“角边角”判定三角形全等，学会综合法解决几何推理问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 一个三角形有三个内角和三条边长.若已知其中一个条件或两个条件，都无法确定一个三角形.若已知其中三个条件，则共有四种情况:三条边，两边一角，两角一边，三个角. 上节课我们已经知道两边一夹角可确定唯一的三角形，这节课，我们来探究已知三角形两角一夹边的情况.学生活动1： 学生听讲，继续探究三角形全等的条件。活动意图说明： 列举确定一个三角形的条件，自然引出新课.环节二：全等三角形的判定“角边角”教师活动2： 已知：△ABC. 求作：△A′B′C′，使∠B′ ＝∠B，B′C′ ＝BC，∠C′ ＝∠C． 作法: (1)作线段B′C′=BC； (2)在B′C′的同旁分别以B′，C′为顶点作∠MB′C′=∠B，∠NC′B′=∠C， B′M，C′N相交于点A′． 则△A′B′C′就是所求作的三角形． 将所作的△A′B′C′与△ABC 叠一叠，看看它们能否完全重合？ 由此你能得到什么结论？ 结论：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 全等三角形的判定定理（角边角）： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”． 几何语言： 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.学生活动2： 学生动手作图. 学生通过动手操作，得出两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 学生总结全等三角形的判定定理——ASA。活动意图说明： 引导学生通过尺规作图，验证猜想得出全等三角形的判定定理——ASA，并尝试用几何语言描述基本事实三的内容，培养学生抽象概括的能力.环节三：全等三角形的判定“角边角”的综合应用教师活动3： 例3 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：DB=CB. 证明：∵∠ABD与∠3互为邻补角， ∠ABC与∠4互为邻补角，(已知) 又 ∵∠3=∠4， (已知) ∴∠ADB=∠ABC.(等角的补角相等). 在△ABD与△ABC中， ∵ ∴ △ABD≌△ABC.(ASA) ∴ DB=CB.(全等三角形的对应边相等) 例4 已知：如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在 AB 的垂线 BＦ 上取两点 C，D（BＦ 在河岸上），使 BC＝CD，再过点D作BＦ的垂线DＥ，使点A，C，Ｅ 在 一条直线上，这时测得 DＥ 的长等于 AB 的长，请说明道理． 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，(已知) ∴∠ABC=∠EDC=90°，(垂直定义) 在△ABC和△EDC中， ∵ ∴ △ABC≌△EDC.(ASA) ∴ AB=DE.(全等三角形的对应边相等) 三角形全等是证明线段相等、角相等的常用方法之一，在证明三角形全等时，要看题目中已知的全等条件有哪些，隐含的条件有哪些，还需要哪些条件.学生活动3： 学生小组讨论，完成例题。 活动意图说明： 通过例题检验学生对全等三角形判定定理——ASA的掌握程度，培养学生的分析能力及解决问题的能力。
板书设计 课题：14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形 全等三角形的判定定理（角边角）： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下列选项中，与△ABC一定全等的三角形是( D ). 2.如图，∠C＝∠B，能用ASA来判断△ABD≌△ACE，需要添加的条件是( B ) A.AE=AD B.AB=AC C.CE=BD D.∠ADB＝∠ABC 3.如图，AB//CF，E为DF的中点.若AB=9cm，CF=6cm，则BD的长为 3 cm. 4.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ADC≌△BCD. 证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4， 即∠ADC＝∠BCD. 在△ADC和△BCD中，∵ ∴△ADC≌△BCD(ASA)． 选做题： 5.如图，已知CB_上AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F.若AB=BC=8，CF=2，连接DF，则图中阴影部分的面积为 6 . 6.如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使E、C、A在同一条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离.请你说明理由，你还能想出其他方法吗？ 解: 理由:∵DE∥AB， ∴∠B＝∠CDE，又BC＝DC，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC≌△EDC，∴AB＝DE. 新方法:如图:从B出发沿河岸作射线BF， 且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD， 过D作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上， 则DE的长就是A、B之间的距离.道理同上. 【综合拓展类作业】 7.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F.求证:PE＝PF. 证明:∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠POE＝∠POF. ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠OPF＝∠OPE. 在△OPF和△OPE中，∵ ∴△OPF≌△OPE(ASA)，∴PE＝PF.
课堂总结 全等三角形的判定定理（角边角）： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”． 几何语言： 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列能判定△ABC≌△DEF的条件是( D ) A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B.AB=DE，BC=EF，∠C=∠E C.∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D D.∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E 2.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎了，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ C ） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 3.如图，在△ABC和△EBD中，AB=EB=8，∠A=∠E，BD=3，则CE的长是 5 . 选做题： 4.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACF= 60°，AB=CE，则与线段BC相等的线段是( D ) A. AC B. AF C. CF D. EF 5．已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线. 求证：CF=C′F′. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴ AC=A′C′， ∠A =∠A′ ， ∠ACB =∠A′C′B′. 又∵CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线， ∴ ∠ACF=∠A′C′F′ ∴ △ACF≌△A′C′F′ ∴ CF=C′F′. 【综合拓展类作业】 6.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么 解：∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠B=∠EDC=90°. 在△ABC和△EDC中， ∵ ∴ △ABC≌△EDC(ASA). ∴AB=ED.
教学反思 本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．
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