(共37张PPT)
（沪科版）八年级
上
14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形
全等三角形
第14章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.理解确定一个三角形至少需要三个条件，其中至少有一个是边长；
2.理解三角形全等的判定定理“边角边”，并解决简单的实际问题。
3.经历探究两个三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程；
4.在探究全等三角形全等的条件及其运用过程中，培养有条理的分析、推理能力，并进行简单的证明。
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等，一定要知道三角旗所有的边长和所有的角度吗？
新知导入
思考：至少要满足几个条件，才能保证三角旗全等
三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？通过画图，说明你的判断．
任务一：探索判定三角形全等的元素.
新知讲解
１.只给定一个元素：
（１）一条边长为4Cm；（２）一个角为45°．
新知讲解
(1)
(2)
结论：只有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
2.只给定两个元素：
（１）两条边长分别为4Cm，５Cm；
（２）一条边长为4Cm，一个角为45°；
（３）两个角分别为45°，60°．
新知讲解
结论：有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
(1)
(2)
(3)
新知讲解
通过上述操作，我们发现只给定三角形的一个或两个元素，不能完全确定一个三角形的形状、大小，那么还需增加什么条件才行呢？
新知讲解
探究1.如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其一个脚，△ABC的形状、大小随之改变． 那么还需增加什么条件才可以确定△ABC 的形状、大小呢？
A
C
B
A
给定边AC……
给定夹角α……
这样可以吗，你是怎样想的？
新知讲解
探究2.如图，把两块三角尺的一条直角边放在同一条直线ｌ上，其中∠B，∠C 已知，并记两块三角尺斜边的交点为 A．沿着直线ｌ分别向左右移动两个三角尺.
A
B
C
l
A
B
C
新知讲解
△ABC 的大小随之改变，这直观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不确定的． 那么还需增加什么条件才可以使△ABC 确定呢？
给定边BC……
给定边AC或AB……
新知讲解
由上可知，确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素．
确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？
下面，我们利用尺规作图作出三角形，来研究两个三角形全等的条件．
新知讲解
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使 A′B′ ＝ AB，∠B′ ＝ ∠B，B′C′ ＝ BC．
作法：
（１）作∠ＭB′Ｎ ＝∠B；
（２）在 B′Ｍ 上截取 B′A′ ＝BA，
在 B′Ｎ 上截取 B′C′ ＝BC；
（３）连接 A′C′．
则△A′B′C′就是所求作的三角形．
任务二：掌握三角形全等的“边角边”的判定方法.
A
B
C
A′
B′
C′
M
N
新知讲解
将所作的△A′B′C′与△ABC 叠一叠，看看它们能否完全重合？
A
B
C
A′
B′
C′
M
N
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 简记为“边
角边”或“SAS”（S 表示边，A 表示角）．
全等三角形的判定定理（边角边）:
新知讲解
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
B
C
A
B'
C'
A'
例 １ 已知：如图，AＤ ∥ CB，AＤ ＝ CB．
求证：△AＤC≌△CBA．
新知讲解
证明：∵AD∥CB,（已知）
∴∠DAC=∠BCA.(两直线平行，内错角相等）
在△ADC 和△ CBA中，
∵
∴ △ ADC ≌△ CBA ( SAS)
例２ 如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出 A，B 两点间的距离． 你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由．
新知讲解
解：在岸上取可以直接到达A，B的一点C，连接AC， 延长AC到点A′，使A′C＝AC；连接BC，并延长BC 到点B′， 使B′C＝BC． 连接A′B′，量出A′B′的长度，就是A，B两点间距离．
例２ 如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出 A，B 两点间的距离． 你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由．
新知讲解
理由：在△ABC与△A′B′C中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C.（SAS）
∴A′B′=AB.（全等三角形对应边相等）
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图,其中全等的三角形是( )
A.I和Ⅱ
B.I和Ⅲ
C.Ⅱ和Ⅲ
D.Ⅱ和IV
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，AB= DB, BC= BE,欲使△ABC≌△DBE,需要增加的条件是( )
A.∠A=∠D B.∠E=∠C
C.∠A=∠E D.∠ABD=∠CBE
D
课堂练习
3.如图，已知：AB＝DB，CB＝EB，∠1＝∠2，则∠A＝ ．
∠D
【知识技能类作业】必做题：
4．如图,AD∥BC,AD=CB,AE=CF.求证:AFD≌△CEB.
证明:∵AD∥BC(已知), ∴∠A=∠C(两直线平行,内错角相等),
又∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF(等式的性质),即AF=CE.
在△AFD和△CEB中,
∴△AFD≌△CEB(SAS)
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图,AC= AB,AD平分∠CAB,点E在AD.上，则图中全等的三角形( )
A.一对也没有
B.只有△ACD≌△ABD
C.只有△ACD≌△ABD和△AEC≌△AEB
D.有△ACD≌△ABD,△AEC≌△AEB,
△EDC≌△EDB三对
D
6.如图,在△ABC中,∠B=∠C=50°，BD= CF,BE=CD,则∠EDF的度
数是 .
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
50°
7.如图,在四边形ABCD中,E为BC边中点，AE平分∠BAD,∠AED=90°,点F为AD上一点,AF=AB.
求证:(1)△ABE≌△AFE;(2)AD=AB+CD.
证明:(1)∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE和△AFE中，∵
∴△ABE≌AFE(SAS);
【综合拓展类作业】
课堂练习
(2) ∵△ABE≌△AFE，∴EB=EF, ∠AEB=∠AEF.
∵∠AED=90°, ∴∠AEB+∠DEC=90°, ∠AEF+∠DEF=90°,
∴∠DEC=∠DEF.
∵点E为BC的中点,∴EB=EC,∴EF=EC.
在△ECD和△EFD中，∵
∴△ECD≌△EFD(SAS),∴DC=DF，
∴AD=AF+DF=AB+CD.
【综合拓展类作业】
课堂练习
课堂总结
1.判定三角形全等的元素：
确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素
2.全等三角形的判定定理（边角边）:
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 简记为“边
角边”或“SAS”（S 表示边，A 表示角）．
板书设计
1.判定三角形全等的元素：
2.全等三角形的判定定理（边角边）:
课题：14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如图,∠ACB=∠DBC,且在△ABC中,AB=3,AC=4,要证△ABC≌△DCB,则( )
A.BD=4 B.BC=3
C.CD=3 D.AD=4
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．如图，AC和BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需 ( )
A．AB＝DC B．OB＝OC
C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
B
3.如图,点E,A,C在同一条直线上,AB// CD,AB=CE,AC=CD,
可利用“ ”来判定△ABC≌△ .
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
SAS
CED
4.已知，如图所示，C为BE上一点，点A、D分别在BC两侧，
AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED，若∠ACB＝30°，∠E＝45°，
则∠ACD＝ ．
105°
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5.如图,AB= AD,AC=AE,∠1=∠2. 求证:∠B=∠D.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∵
∴ △ABC ≌△ADE ( SAS)∴=.
6.安徽安庆的振风塔坐落于长江边上,享有万里长江第一塔”和“过了安庆不说塔”的美称.如图，现欲测量内部无法到达的古塔相对两点A,B间的距离,请你用学过的数学知识写出一种能测出A,B间的距离的方法.
【综合拓展类作业】
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
解:延长BO到点C,使OC=OB,延长AO到点D,使
OD=OA,连接CD.
在△OCD和△OBA中,
∵
∴△OCD≌△OBA(SAS),
∴AB=CD,即只需测得CD的长度,就可得到A,B间的距离.
ThAnkS!
2
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分课时教学设计
《14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的教学内容是三角形全等的判定，在全等三角形的概念和全等三角形的性质 的基础上，学习全等三角形的判定方法，它是证明线段相等、角相等的重要方法，同时为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好模式和方法。运用全等三角形的性质和判定，培养和发展学生的数学符号语言的表述能力，应用全等三角形解决实际问题，既是本节课的重点，也是教学的难点。
学习者分析 学生在前面的学习中，已经学习了尺规作图、三角形的有关概念、三边关系、图形的全等三角形等知识，对即将学习的三角形全等的判定具备了一定的知识技能基础，同时，八年级学生的思维比较活跃，喜欢动手实践，在以前的数学学习中已经经历了很多实践操作、合作学习的过程，获得了一些数学活动经验，具备了一定的合作与交流、自主探究、分析和解决问题的能力，但由于本节课是探索三角形全等的起始课，学生在几何图形的研究方法和合情推理方面还存在欠缺，这会给学习造成一定的困难。因此，学生如何理性分析图形及条件之间的内在联系，如何清晰地表达数学思考的过程，也应是教学时特别关注的问题。
教学目标 1.理解确定一个三角形至少需要三个条件，其中至少有一个是边长； 2.理解三角形全等的判定定理“边角边”，并解决简单的实际问题。 3.经历探究两个三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程； 4.在探究全等三角形全等的条件及其运用过程中，培养有条理的分析、推理能力，并进行简单的证明。
教学重点 会用“边角边”证明两个三角形全等.
教学难点 能运用“边角边”判定方法解决有关问题；
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等，一定要知道三角旗所有的边长和所有的角度吗？ 思考：至少要满足几个条件，才能保证三角旗全等 学生活动1： 学生观察图片，动脑思考.活动意图说明： 通过展示围片并提出问题，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，激发学生的好奇心和求知欲，为接下来探究三角形全等的判定条件“SAS"作铺垫.环节二：探索判定三角形全等的元素教师活动2： 三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？通过画图，说明你的判断． １.只给定一个元素： （1）一条边长为4cm；（2）一个角为45°． 结论：只有一个条件相等不能保证两个三角形全等. 2.只给定两个元素： （1）两条边长分别为4cm，５cm； （2）一条边长为4cm，一个角为45°； （3）两个角分别为45°，60°． 结论：有两个条件对应相等不能保证三角形全等. 通过上述操作，我们发现只给定三角形的一个或两个元素，不能完全确定一个三角形的形状、大小，那么还需增加什么条件才行呢？ 探究1.如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其一个脚，△ABC的形状、大小随之改变． 那么还需增加什么条件才可以确定△ABC 的形状、大小呢？ 这样可以吗，你是怎样想的？ 探究2.如图，把两块三角尺的一条直角边放在同一条直线ｌ上，其中∠B，∠C 已知，并记两块三角尺斜边的交点为 A．沿着直线ｌ分别向左右移动两个三角尺. △ABC 的大小随之改变，这直观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不确定的． 那么还需增加什么条件才可以使△ABC 确定呢？ 由上可知，确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素． 确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？ 下面，我们利用尺规作图作出三角形，来研究两个三角形全等的条件．学生活动2： 学生小组合作，讨论、作图，得出结论。 学生发现只给定三角形的一个或两个元素，不能完全确定一个三角形的形状、大小。 学生与教师一起完成探究， 学生发现确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素。 活动意图说明： 通过作图、探究，让学生发现只给定三角形的一个或两个元素，不能完全确定一个三角形的形状、大小，确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.环节三：掌握三角形全等的“边角边”的判定方法.教师活动3： 已知：△ABC． 求作：△A′B′C′，使 A′B′ ＝ AB，∠B′ ＝ ∠B，B′C′ ＝ BC． 作法： （1）作∠MB′N ＝∠B； （2）在 B′M 上截取 B′A′ ＝BA， 在 B′N 上截取 B′C′ ＝BC； （3）连接 A′C′． 则△A′B′C′就是所求作的三角形． 将所作的△A′B′C′与△ABC 叠一叠，看看它们能否完全重合？ 全等三角形的判定定理（边角边）: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 简记为“边角边”或“SAS”（S 表示边，A 表示角）． 符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. 例 1 已知：如图，AＤ∥CB，AＤ ＝CB． 求证：△AＤC≌△CBA． 证明：∵AD∥CB，（已知） ∴∠DAC=∠BCA.(两直线平行，内错角相等） 在△ADC 和△ CBA中， ∴ △ ADC ≌△ CBA ( SAS) 例2 如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出 A，B 两点间的距离． 你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由． 解：在岸上取可以直接到达A，B的一点C，连接AC， 延长AC到点A′，使A′C＝AC；连接BC，并延长BC 到点B′， 使B′C＝BC． 连接A′B′，量出A′B′的长度，就是A，B两点间距离． 理由：在△ABC与△A′B′C中， ∵ ∴△ABC≌△A′B′C.（SAS） ∴A′B′=AB.（全等三角形对应边相等）学生活动3： 学生利用尺规作图，探究两个三角形全等的条件。 学生在教师的引导下总结出全等三角形的判定定理（边角边）。 学生完成例题，并展示答案。 活动意图说明： 通过尺柜作图，总结出全等三角形的判定定理-SAS，几何语言的表述揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素.例题的展示综合考查利用“SAS"判定三角形全等与全等三角形的性质，加深学生对新知的掌握程度，培养学生的分析与作图能力。
板书设计 课题：14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形 1.判定三角形全等的元素： 2.全等三角形的判定定理（边角边）:
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，其中全等的三角形是( B ) A.I和Ⅱ B.I和Ⅲ C.Ⅱ和Ⅲ D.Ⅱ和IV 2.如图，AB= DB， BC= BE，欲使△ABC≌△DBE，需要增加的条件是( D ) A.∠A=∠D B.∠E=∠C C.∠A=∠E D.∠ABD=∠CBE 3.如图，已知：AB＝DB，CB＝EB，∠1＝∠2，则∠A＝ ∠D ． 4.如图，AD∥BC，AD=CB，AE=CF.求证:AFD≌△CEB. 证明:∵AD∥BC(已知)， ∴∠A=∠C(两直线平行，内错角相等)， 又∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF(等式的性质)，即AF=CE. 在△AFD和△CEB中， ∴△AFD≌△CEB(SAS) 选做题： 5.如图，AC= AB，AD平分∠CAB，点E在AD.上，则图中全等的三角形( D ) A.一对也没有 B.只有△ACD≌△ABD C.只有△ACD≌△ABD和△AEC≌△AEB D.有△ACD≌△ABD，△AEC≌△AEB，△EDC≌△EDB三对 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C=50°，BD= CF，BE=CD，则∠EDF的度数是 50° . 【综合拓展类作业】 7.如图，在四边形ABCD中，E为BC边中点，AE平分∠BAD，∠AED=90°，点F为AD上一点，AF=AB. 求证:(1)△ABE≌△AFE；(2)AD=AB+CD. 证明:(1)∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠FAE. 在△ABE和△AFE中，∵ ∴△ABE≌AFE(SAS)； (2) ∵△ABE≌△AFE，∴EB=EF， ∠AEB=∠AEF. ∵∠AED=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∠AEF+∠DEF=90°， ∴∠DEC=∠DEF. ∵点E为BC的中点，∴EB=EC，∴EF=EC. 在△ECD和△EFD中，∵ ∴△ECD≌△EFD(SAS)，∴DC=DF， ∴AD=AF+DF=AB+CD.
课堂总结 1.判定三角形全等的元素： 确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素 2.全等三角形的判定定理（边角边）: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 简记为“边 角边”或“SAS”（S 表示边，A 表示角）．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，∠ACB=∠DBC，且在△ABC中，AB=3，AC=4，要证△ABC≌△DCB，则( A ) A.BD=4 B.BC=3 C.CD=3 D.AD=4 2.如图，AC和BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需 ( B ) A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 3.如图，点E，A，C在同一条直线上，AB// CD，AB=CE，AC=CD，可利用“ SAS ”来判定△ABC≌△ CED . 选做题： 4.已知，如图所示，C为BE上一点，点A、D分别在BC两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED，若∠ACB＝30°，∠E＝45°，则∠ACD＝ 105° ． 5．如图，AB= AD，AC=AE，∠1=∠2. 求证:∠B=∠D. 证明:∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， ∵ ∴ △ABC ≌△ADE ( SAS)∴∠B=∠D. 【综合拓展类作业】 6.安徽安庆的振风塔坐落于长江边上，享有万里长江第一塔”和“过了安庆不说塔”的美称。如图，现欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，请你用学过的数学知识写出一种能测出A，B间的距离的方法. 解:延长BO到点C，使OC=OB，延长AO到点D，使OD=OA，连接CD. 在△OCD和△OBA中， ∵ ∴△OCD≌△OBA(SAS)， ∴AB=CD，即只需测得CD的长度，就可得到A，B间的距离.
教学反思 教学过程中，利用一个联系实际生活的问题对得到的知识加以运用，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现、思考，得出判定三角形全等的条件；最后再同样通过探究让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等，培养学生的独立思考与发散思维的能力．例题和练习以层层递进的形式以及学生自我提出问题的方式达到对知识的巩固；通过学生对例题和练习的思考，语言表述说理过程，板演推理过程和课件展示解题过程以及对解题过程中书写的规范要求和注意点的强调，培养学生严谨的逻辑思维、语言表达能力和规范的书写能力．
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