江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2015-2016学年高二（上）第二次月考数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2015-2016学年高二（上）第二次月考数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 153.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-25 08:09:23 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县桃州中学高二（上）第二次月考数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1．命题“ x∈（0，2），x2+2x+2≤0”的否定是 ．
2．”是“A=30°”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）
3．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取 人．
4．双曲线的渐近线方程是 ．
5．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，求时速在[60，80]的汽车大约有 辆．
6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ．
7．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ．
8．若椭圆+=1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和 ．
9．若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切，则实数k= ．
10．方程表示双曲线，则k的范围是 ．
11．已知圆（x﹣2）2+y2=1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e= ．
12．设函数f（x）定义域为（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则
f（x）在（a，b）内有极小值的点有 个．
13．设函数f（x）=x3﹣﹣2x+5．若对任意x∈[﹣1，2]，都有f（x）＞m，则实数m的取值范围是 ．
14．已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知p： x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
16．求下列各曲线的标准方程
（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
（2）焦点是双曲线16x2﹣9y2=144的左顶点的抛物线．
17．已知点P（3，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
（1）椭圆方程；
（2）△PF1F2的面积．
18．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[，e]上的最大值．
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．
20．已知f（x）=x3+ax2﹣x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；
（3）对一切的x∈（0，+∞），f′（x）+2≥2g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县桃州中学高二（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1．命题“ x∈（0，2），x2+2x+2≤0”的否定是 x∈（0，2），x2+2x+2＞0 ．
【考点】命题的否定．
【专题】阅读型．
【分析】根据命题“ x∈（0，2），x2+2x+2≤0”是特称命题，其否定为全称命题，即 x∈（0，2），x2+2x+2＞0．从而得到答案．
【解答】解：∵命题“ x∈（0，2），x2+2x+2≤0”是特称命题
∴否定命题为： x∈（0，2），x2+2x+2＞0
故答案为： x∈（0，2），x2+2x+2＞0．
【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．属基础题．
2．”是“A=30°”的 必要不充分 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值；简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当A=390°，满足，但A=30°，即充分性不成立，
当A=30°时，满足，此时必要性成立，
即”是“A=30°”的必要不充分条件，
故答案为：必要性不成立．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
3．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取 16 人．
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题．
【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．
【解答】解：∵运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的
∴男运动员应抽取56×=16；
故答案为16．
【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．
4．双曲线的渐近线方程是 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接利用双曲线的渐近线方程求解即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是：．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线的求法，是基础题．
5．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，求时速在[60，80]的汽车大约有 120 辆．
【考点】频率分布表．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】由图象求出时速在[60，80]的汽车的频率，再由样本总容量为200，按比例计算出时速在[60，80]之间的辆数．
【解答】解：由图时速在[60，80]的汽车在样本中所占的频率为0.06×10=0.6，
又样本容量是200，
∴时速在[60，70]的汽车大约有200×0.6=120辆．
故答案为：120．
【点评】本题考查频率分布直方图，解题的关键是由图形得出所研究的对象的频率，用此频率模拟概率进行计算，本题考查了识图的能力．
6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍，，可求椭圆的离心率．
【解答】解：由题意，∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，
∴a=2b
∴
∴=
故答案为：
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系．
7．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．
【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于}，
基本事件空间是线段AB的长度，（如图）
因为△PBC的面积大于，则有PE＞AD；
因为PE平行AD则由三角形的相似性BP＞AB；
所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，
故△PBC的面积大于的概率为．
故答案为：．
【点评】解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆有关的概率公式．
8．若椭圆+=1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和 2或4 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆的长轴长，利用椭圆的定义求解即可．
【解答】解：椭圆+=1的焦距为2，可得c=1，如果椭圆的焦点坐标在x轴上，可得=1，
解得m=5，a=，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和：2．
如果椭圆的焦点坐标在y轴上，
可得，解得m=3，a=2，
椭圆上的一点到两个焦点的距离之和：4．
椭圆上的一点到两个焦点的距离之和：2或4
故答案为：2或4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，考查计算能力．
9．若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切，则实数k= 2 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2lnx，
∴y'=，设切点为（m，2lnm），得切线的斜率为，
所以曲线在点（m，2lnm）处的切线方程为：
y﹣2lnm=×（x﹣m）．
它过点（0，﹣3），∴﹣3﹣2lnm=﹣2，
∴m=e，
∴k==2
故答案为：2．
【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
10．方程表示双曲线，则k的范围是 k＜3或k＞5 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需5﹣k与k﹣3异号即可，则解不等式（5﹣k）（k﹣3）＜0即可．
【解答】解：由题意知（5﹣k）（k﹣3）＜0，
解得k＜3或k＞5．
故答案为：k＜3或k＞5．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义，属基础题；解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系．
11．已知圆（x﹣2）2+y2=1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e= ．
【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题．
【分析】一个焦点为F（1，0），一个顶点为F（3，0），可得 c=1，a=3，从而得到此椭圆的离心率．
【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
∴一个焦点为F（1，0），一个顶点为F（3，0），可得 c=1，a=3，
从而得到此椭圆的离心率
故答案为：．
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，椭圆的简单性质，判断c，a是解题的关键．
12．设函数f（x）定义域为（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则
f（x）在（a，b）内有极小值的点有 1 个．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想．
【分析】首先题目由导函数f'（x）图象求函数f（x）极小值的问题，联想到概念当点x0为极小值点时，f′（x0）=0．且在x＞x0的小区间内时，函数f（x）增，f'（x）＞0．在x＜x0的小区间内时，函数f（x）减，f'（x）＜0．由此规律观察函数函数图象找出符合条件的点即可得到答案．
【解答】解：由图象可知导函数f'（x）在（a，b）内有A，B，O，C四个零点，且O点为（0，0）点．
又因为当点x0为极小值点时，f′（x0）=0．
且则当x＞x0的小区间内时，函数f（x）增，f'（x）＞0．
当x＜x0的小区间内时，函数f（x）减，f'（x）＜0．
由图可得只有B点满足，故B为极小值点．
故答案为1．
【点评】此题主要考查由导函数图象求函数极值的问题，这类考点主要考查函数极值点的性质问题，属于概念性问题，计算量小，属于基础题型．
13．设函数f（x）=x3﹣﹣2x+5．若对任意x∈[﹣1，2]，都有f（x）＞m，则实数m的取值范围是 m∈（﹣∞，） ．
【考点】导数的运算；函数恒成立问题．
【专题】计算题．
【分析】先利用导数求函数f（x）=x3﹣﹣2x+5在[﹣1，2]上的最小值，恒成立问题可转化成f（x）min＞m即可．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0，解得x=1，﹣，
f（﹣1）=5，f（﹣）=5，f（1）=3，f（2）=7；
即f（x）min=3，
∴m＜3．
故答案为（﹣∞，）
【点评】本题主要考查了三次函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，属于基础题．
14．已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为 ．
【考点】抛物线的应用．
【专题】计算题．
【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PA|+d的最小值为|AF|，再由两点间的距离公式可得答案．
【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F坐标（1，0）
因为点A（3，4）在抛物线外，根据抛物线的定义可得
|PA|+d的最小值为|AF|=
故答案为：2
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，属基础题．
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知p： x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；函数恒成立问题．
【专题】计算题．
【分析】通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题p∧q为真命题，求出m的交集即可．
【解答】解：∵p： x∈R，不等式恒成立，
∴（x﹣）2+，
即，
解得：；
q：椭圆的焦点在x轴上，
∴m﹣1＞3﹣m＞0，
解得：2＜m＜3，
由p∧q为真知，p，q皆为真，
解得．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，椭圆的简单性质，命题的真假的判断，是综合性比较高的问题，考查转化思想以及计算能力．
16．求下列各曲线的标准方程
（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
（2）焦点是双曲线16x2﹣9y2=144的左顶点的抛物线．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设出椭圆的标准方程，利用实轴长为12，离心率为，即可求得几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）确定双曲线的左顶点坐标，设出抛物线方程，即可得到结论．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）
∵实轴长为12，离心率为，∴a=6，
∴c=4，∴b2=a2﹣c2=20
∴椭圆的标准方程为；
（2）由已知，双曲线的标准方程为，其左顶点为（﹣3，0）
设抛物线的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），其焦点坐标为（﹣，0），∴=3，∴p=6
∴抛物线的标准方程为y2=﹣12x．
【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，确定几何量是关键．
17．已知点P（3，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
（1）椭圆方程；
（2）△PF1F2的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】解题方法；待定系数法．
【分析】（1）设出焦点的坐标，利用垂直关系求出 c 值，椭圆的方程化为+=1，把点P的坐标代入，
可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．
（2） P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，由 S△PF1F2 =|F1F2|×4 求得）△PF1F2的面积．
【解答】解：（1） 令F1（﹣c，0），F2（c，0），∵PF1⊥PF2，∴kPF1 kPF2=﹣1，
即 =﹣1，解得 c=5，∴椭圆方程为 +=1．
∵点P（3，4）在椭圆上，∴ +=1，解得 a2=45，或a2=5，
又a＞c，∴a2=5舍去，故所求椭圆方程为 +=1．
（2） P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，
∴S△PF1F2 =|F1F2|×4=×10×4=20．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．
18．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[，e]上的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】（1）对f（x）进行求导，f′（x）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），∴f′（x）=﹣2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，
∴，解得；
（2）f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=，
当≤x≤e时，令f'（x）＞0得≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=﹣；
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，利用点到直线的距离公式可得：右焦点F到直线l的距离为，化为a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，及其a2=c2+b2，解出即可．
（2）方法一：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，与椭圆方程联立可得P，即可得出kPA；
方法二：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出．
方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），与椭圆方程可得根与系数的关系，利用B，F，P三点共线kBP=kBF，解出即可．
【解答】解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，
∴右焦点F到直线l的距离为，
∴a﹣c=1，
又椭圆C的右准线为x=4，即，
∴，将此代入上式解得a=2，c=1，
∴b2=3，
∴椭圆C的方程为．
（2）方法一：由（1）知，F（1，0），
∴直线BF的方程为，
联立方程组，解得或（舍），即，
∴直线l的斜率．
方法二：由（1）知，F（1，0），
∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，
解得，
代入椭圆解得：或，
又由题意知，＜0得k＞0或，
∴．
方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），
联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，，
∴，，
当B，F，P三点共线时有，kBP=kBF，
即，解得或，
又由题意知，＜0得k＞0或，
∴．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．已知f（x）=x3+ax2﹣x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；
（3）对一切的x∈（0，+∞），f′（x）+2≥2g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】压轴题；导数的综合应用．
【分析】（1）根据函数的单调区间可知﹣，1是导函数所对应方程的两个根，从而可求出a的值；
（2）设切点坐标是M（x0，y0）（x0≠1），然后根据在该点处的导数等于两点的斜率建立等式关系，从而求出x0的值，即可求出切线方程；
（3）3x2+2ax﹣1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立将a分离可得a≥lnx﹣﹣，设h（x）=lnx﹣﹣，利用导数研究h（x）的最大值，可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax﹣1
由题意3x2+2ax﹣1＞0的解集是即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是﹣，1
将x=1或﹣代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1，
∴f（x）=x3﹣x2﹣x+2
（2）设切点坐标是M（x0，y0）．有y0﹣1=3（x02﹣2x0﹣1）（x0﹣1），
将y0=x03﹣x02﹣x0+2代入上式整理得
得x0=1或x0=0．
函数f（x）=x3﹣x2﹣x+2的图象过点P（1，1）的切线方程为x+y﹣2=0或y=1．
（3）由题意：3x2+2ax﹣1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立
即3x2+2ax+1≥2xlnx可得a≥lnx﹣﹣
设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣
令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，．
∴a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数在某点切线方程，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1．命题“ x∈（0，2），x2+2x+2≤0”的否定是 ．
2．”是“A=30°”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）
3．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取 人．
4．双曲线的渐近线方程是 ．
5．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，求时速在[60，80]的汽车大约有 辆．
6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ．
7．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ．
8．若椭圆+=1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和 ．
9．若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切，则实数k= ．
10．方程表示双曲线，则k的范围是 ．
11．已知圆（x﹣2）2+y2=1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e= ．
12．设函数f（x）定义域为（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则
f（x）在（a，b）内有极小值的点有 个．
13．设函数f（x）=x3﹣﹣2x+5．若对任意x∈[﹣1，2]，都有f（x）＞m，则实数m的取值范围是 ．
14．已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知p： x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
16．求下列各曲线的标准方程
（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
（2）焦点是双曲线16x2﹣9y2=144的左顶点的抛物线．
17．已知点P（3，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
（1）椭圆方程；
（2）△PF1F2的面积．
18．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[，e]上的最大值．
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．
20．已知f（x）=x3+ax2﹣x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；
（3）对一切的x∈（0，+∞），f′（x）+2≥2g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县桃州中学高二（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1．命题“ x∈（0，2），x2+2x+2≤0”的否定是 x∈（0，2），x2+2x+2＞0 ．
【考点】命题的否定．
【专题】阅读型．
【分析】根据命题“ x∈（0，2），x2+2x+2≤0”是特称命题，其否定为全称命题，即 x∈（0，2），x2+2x+2＞0．从而得到答案．
【解答】解：∵命题“ x∈（0，2），x2+2x+2≤0”是特称命题
∴否定命题为： x∈（0，2），x2+2x+2＞0
故答案为： x∈（0，2），x2+2x+2＞0．
【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．属基础题．
2．”是“A=30°”的 必要不充分 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值；简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当A=390°，满足，但A=30°，即充分性不成立，
当A=30°时，满足，此时必要性成立，
即”是“A=30°”的必要不充分条件，
故答案为：必要性不成立．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
3．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取 16 人．
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题．
【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．
【解答】解：∵运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的
∴男运动员应抽取56×=16；
故答案为16．
【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．
4．双曲线的渐近线方程是 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接利用双曲线的渐近线方程求解即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是：．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线的求法，是基础题．
5．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，求时速在[60，80]的汽车大约有 120 辆．
【考点】频率分布表．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】由图象求出时速在[60，80]的汽车的频率，再由样本总容量为200，按比例计算出时速在[60，80]之间的辆数．
【解答】解：由图时速在[60，80]的汽车在样本中所占的频率为0.06×10=0.6，
又样本容量是200，
∴时速在[60，70]的汽车大约有200×0.6=120辆．
故答案为：120．
【点评】本题考查频率分布直方图，解题的关键是由图形得出所研究的对象的频率，用此频率模拟概率进行计算，本题考查了识图的能力．
6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍，，可求椭圆的离心率．
【解答】解：由题意，∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，
∴a=2b
∴
∴=
故答案为：
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系．
7．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．
【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于}，
基本事件空间是线段AB的长度，（如图）
因为△PBC的面积大于，则有PE＞AD；
因为PE平行AD则由三角形的相似性BP＞AB；
所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，
故△PBC的面积大于的概率为．
故答案为：．
【点评】解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆有关的概率公式．
8．若椭圆+=1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和 2或4 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆的长轴长，利用椭圆的定义求解即可．
【解答】解：椭圆+=1的焦距为2，可得c=1，如果椭圆的焦点坐标在x轴上，可得=1，
解得m=5，a=，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和：2．
如果椭圆的焦点坐标在y轴上，
可得，解得m=3，a=2，
椭圆上的一点到两个焦点的距离之和：4．
椭圆上的一点到两个焦点的距离之和：2或4
故答案为：2或4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，考查计算能力．
9．若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切，则实数k= 2 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2lnx，
∴y'=，设切点为（m，2lnm），得切线的斜率为，
所以曲线在点（m，2lnm）处的切线方程为：
y﹣2lnm=×（x﹣m）．
它过点（0，﹣3），∴﹣3﹣2lnm=﹣2，
∴m=e，
∴k==2
故答案为：2．
【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
10．方程表示双曲线，则k的范围是 k＜3或k＞5 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需5﹣k与k﹣3异号即可，则解不等式（5﹣k）（k﹣3）＜0即可．
【解答】解：由题意知（5﹣k）（k﹣3）＜0，
解得k＜3或k＞5．
故答案为：k＜3或k＞5．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义，属基础题；解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系．
11．已知圆（x﹣2）2+y2=1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e= ．
【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题．
【分析】一个焦点为F（1，0），一个顶点为F（3，0），可得 c=1，a=3，从而得到此椭圆的离心率．
【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
∴一个焦点为F（1，0），一个顶点为F（3，0），可得 c=1，a=3，
从而得到此椭圆的离心率
故答案为：．
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，椭圆的简单性质，判断c，a是解题的关键．
12．设函数f（x）定义域为（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则
f（x）在（a，b）内有极小值的点有 1 个．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想．
【分析】首先题目由导函数f'（x）图象求函数f（x）极小值的问题，联想到概念当点x0为极小值点时，f′（x0）=0．且在x＞x0的小区间内时，函数f（x）增，f'（x）＞0．在x＜x0的小区间内时，函数f（x）减，f'（x）＜0．由此规律观察函数函数图象找出符合条件的点即可得到答案．
【解答】解：由图象可知导函数f'（x）在（a，b）内有A，B，O，C四个零点，且O点为（0，0）点．
又因为当点x0为极小值点时，f′（x0）=0．
且则当x＞x0的小区间内时，函数f（x）增，f'（x）＞0．
当x＜x0的小区间内时，函数f（x）减，f'（x）＜0．
由图可得只有B点满足，故B为极小值点．
故答案为1．
【点评】此题主要考查由导函数图象求函数极值的问题，这类考点主要考查函数极值点的性质问题，属于概念性问题，计算量小，属于基础题型．
13．设函数f（x）=x3﹣﹣2x+5．若对任意x∈[﹣1，2]，都有f（x）＞m，则实数m的取值范围是 m∈（﹣∞，） ．
【考点】导数的运算；函数恒成立问题．
【专题】计算题．
【分析】先利用导数求函数f（x）=x3﹣﹣2x+5在[﹣1，2]上的最小值，恒成立问题可转化成f（x）min＞m即可．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0，解得x=1，﹣，
f（﹣1）=5，f（﹣）=5，f（1）=3，f（2）=7；
即f（x）min=3，
∴m＜3．
故答案为（﹣∞，）
【点评】本题主要考查了三次函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，属于基础题．
14．已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为 ．
【考点】抛物线的应用．
【专题】计算题．
【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PA|+d的最小值为|AF|，再由两点间的距离公式可得答案．
【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F坐标（1，0）
因为点A（3，4）在抛物线外，根据抛物线的定义可得
|PA|+d的最小值为|AF|=
故答案为：2
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，属基础题．
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知p： x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；函数恒成立问题．
【专题】计算题．
【分析】通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题p∧q为真命题，求出m的交集即可．
【解答】解：∵p： x∈R，不等式恒成立，
∴（x﹣）2+，
即，
解得：；
q：椭圆的焦点在x轴上，
∴m﹣1＞3﹣m＞0，
解得：2＜m＜3，
由p∧q为真知，p，q皆为真，
解得．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，椭圆的简单性质，命题的真假的判断，是综合性比较高的问题，考查转化思想以及计算能力．
16．求下列各曲线的标准方程
（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
（2）焦点是双曲线16x2﹣9y2=144的左顶点的抛物线．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设出椭圆的标准方程，利用实轴长为12，离心率为，即可求得几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）确定双曲线的左顶点坐标，设出抛物线方程，即可得到结论．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）
∵实轴长为12，离心率为，∴a=6，
∴c=4，∴b2=a2﹣c2=20
∴椭圆的标准方程为；
（2）由已知，双曲线的标准方程为，其左顶点为（﹣3，0）
设抛物线的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），其焦点坐标为（﹣，0），∴=3，∴p=6
∴抛物线的标准方程为y2=﹣12x．
【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，确定几何量是关键．
17．已知点P（3，4）是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
（1）椭圆方程；
（2）△PF1F2的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】解题方法；待定系数法．
【分析】（1）设出焦点的坐标，利用垂直关系求出 c 值，椭圆的方程化为+=1，把点P的坐标代入，
可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．
（2） P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，由 S△PF1F2 =|F1F2|×4 求得）△PF1F2的面积．
【解答】解：（1） 令F1（﹣c，0），F2（c，0），∵PF1⊥PF2，∴kPF1 kPF2=﹣1，
即 =﹣1，解得 c=5，∴椭圆方程为 +=1．
∵点P（3，4）在椭圆上，∴ +=1，解得 a2=45，或a2=5，
又a＞c，∴a2=5舍去，故所求椭圆方程为 +=1．
（2） P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，
∴S△PF1F2 =|F1F2|×4=×10×4=20．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．
18．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[，e]上的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】（1）对f（x）进行求导，f′（x）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），∴f′（x）=﹣2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，
∴，解得；
（2）f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=，
当≤x≤e时，令f'（x）＞0得≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=﹣；
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，利用点到直线的距离公式可得：右焦点F到直线l的距离为，化为a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，及其a2=c2+b2，解出即可．
（2）方法一：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，与椭圆方程联立可得P，即可得出kPA；
方法二：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出．
方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），与椭圆方程可得根与系数的关系，利用B，F，P三点共线kBP=kBF，解出即可．
【解答】解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，
∴右焦点F到直线l的距离为，
∴a﹣c=1，
又椭圆C的右准线为x=4，即，
∴，将此代入上式解得a=2，c=1，
∴b2=3，
∴椭圆C的方程为．
（2）方法一：由（1）知，F（1，0），
∴直线BF的方程为，
联立方程组，解得或（舍），即，
∴直线l的斜率．
方法二：由（1）知，F（1，0），
∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，
解得，
代入椭圆解得：或，
又由题意知，＜0得k＞0或，
∴．
方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），
联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，，
∴，，
当B，F，P三点共线时有，kBP=kBF，
即，解得或，
又由题意知，＜0得k＞0或，
∴．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．已知f（x）=x3+ax2﹣x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；
（3）对一切的x∈（0，+∞），f′（x）+2≥2g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】压轴题；导数的综合应用．
【分析】（1）根据函数的单调区间可知﹣，1是导函数所对应方程的两个根，从而可求出a的值；
（2）设切点坐标是M（x0，y0）（x0≠1），然后根据在该点处的导数等于两点的斜率建立等式关系，从而求出x0的值，即可求出切线方程；
（3）3x2+2ax﹣1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立将a分离可得a≥lnx﹣﹣，设h（x）=lnx﹣﹣，利用导数研究h（x）的最大值，可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax﹣1
由题意3x2+2ax﹣1＞0的解集是即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是﹣，1
将x=1或﹣代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1，
∴f（x）=x3﹣x2﹣x+2
（2）设切点坐标是M（x0，y0）．有y0﹣1=3（x02﹣2x0﹣1）（x0﹣1），
将y0=x03﹣x02﹣x0+2代入上式整理得
得x0=1或x0=0．
函数f（x）=x3﹣x2﹣x+2的图象过点P（1，1）的切线方程为x+y﹣2=0或y=1．
（3）由题意：3x2+2ax﹣1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立
即3x2+2ax+1≥2xlnx可得a≥lnx﹣﹣
设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣
令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，．
∴a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数在某点切线方程，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．
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