2024年北京房山良乡中学高三（上）第一次月考数学（PDF版，无答案）

2024 北京房山良乡中学高三（上）第一次月考
数 学
本试卷共 8 页，满分 150 分，考试时长 120 分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上.
考试结束后，将答题卡交回，第一页选择题不上交.
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题．本题共 10 题每题分 4，共计 40 分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的.
A = x x2 1 B = 1,0,1,2
1. 已知集合 ， ，则 A B =（ ）
A. 1，0，1 B. 0,1 C. 1,0 D. 0
2. 已知命题 p： x∈R+，lnx＞0，那么命题 p为（ ）
A. x∈R+，lnx≤0 B. x∈R+，lnx＜0
C. x∈R+，lnx＜0 D. x∈R+，lnx≤0
3.设a,b,c R ，且 a b ，则
1 1
A. ac bc B. C. a2 b2 D. a3 b3
a b
4. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的是（ ）
2 x
A. y x B. y = ln x C. y = 2 D. y = x sin x
5. 设 a,b为实数，则“ a b 0 ”是“ a b ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
x
6. 曲线 y = 在点 (1,1) 处的切线方程为（ ）
2x 1
A. x y 2 = 0 B. x + y 2 = 0 C. x + 4y 5 = 0 D. x y 5 = 0
a = log 3,πb 37. 已知 3 = 3,c = 9，则 a，b，c的大小关系是（ ）
A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c
8. 已知函数 f (x) = 2x x 1，则不等式 f (x) 0 的解集是（ ）．
A. ( 1,1) B. ( ∞, 1) ∪ (1,+∞)
C. (0,1) D. ( ∞, 0) ∪ (1,+∞)
x
9. 声音的等级 f ( x)（单位：dB）与声音强度 x（单位：W/m2）满足 f (x) =10 lg .喷气式飞机
1 10 12
起飞时，声音的等级约为 140 dB；一般说话时，声音的等级约为 60 dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度
约为一般说话时声音强度的（ ）
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A. 106倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍
10. 函数 y = f (x) 的图象如图所示，在区间 0,a 上可找到n (n 2,n N )个不同的数x1、 x2 、 、
f (x1 ) f (x2 ) f (xn )
xn ，使得 = = = ，则 n的取值为（ ）
x1 x2 xn
A. 2,3,4,5 B. 2, 4,5 C. 3, 4,5 D. 2,3, 4
二、填空题．本题共 5 题每题分 5，共计 25 分.
1
11. 函数 f (x) = log2 x + 的定义域为___________.
x 1
0 2 log 3 5
12. 计算： ( 3 1) + (3 π) + 4 2 lg + lg 25 = _______________．
2
1
13. 能够说明“设 x是实数．若 x 1，则 x + 3”是假命题的一个实数 x的值为________．
x 1
1
14. 已知 f ( x)是定义在 R 上的偶函数，并满足 f (x + 2) = ，当1 x 2时 f (x) = x 2 ，则
f (x)
f (6.5)等于______．
3x 1, x a
15. 设函数 f (x) = .
x +1 , x a
①若 a=1，则 f(x)的值域为___________；
②若 f(x)在 R上单调递增，则实数 a的取值范围是___________.
三、解答题
2
16. 已知函数 f (x) = x + 2(m 1)x + 2 .
（1）若m = 2 ，求 x [ 2,3]时，函数 f (x) 的值域.
（2）若函数 f (x) = x2 + 2(m 1)x + 2 的单调递增区间为[4,+ ) ，求实数 m的值.
f (x) = x2（3）若函球 + 2(m 1)x + 2 在区间[4,+ ) 上单调递增，求实数 m的取值范围.
（4）若函数 f (x) = x2 + 2(m 1)x + 2 有两个零点，求实数 m的取值范围.
17. 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是矩形， PD ⊥底面 ABCD， PD = DC =1， AD = 2，M 为 BC
的中点.
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（1）求证： AD ⊥ PC ；
（2）求平面 PAM 与平面 PCD 所成的角的余弦值.
1 3 2
18. 已知函数 f (x) = x x 3ax(a R)．
3
（1）若 f (x) 在 x = 1时，有极值，求 a的值；
1 3 2
（2）若a =1，求函数 f (x) = x x 3ax(a R)的单调区间．
3
（3）讨论函数 f (x) 极值点的个数．
19. 某产业园生产的一种产品的成本为 50 元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二
等品、普通品的销售单价分别为 80 元、75 元、65 元、60 元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上
随机抽取 200 件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.
产品等级 优等品 一等品 二等品 普通品
样本数量（件） 30 50 60 60
（1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；
（2）从该流水线上随机抽取 3 件产品，记其中单件产品利润大于 20 元的件数为 X ，用频率估计概率，求
随机变量 X 的分布列和数学期望;
（3）为拓宽市场，产业园决定对抽取的 200 件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了 5
2 2 2 2
元.设降价前后这 200 件样本产品的利润的方差分别为 s1 , s2 ，比较 s1 , s2 的大小.（请直接写出结论）
1
20. 已知函数 f (x) = (x 1)e
x ax2(a R) .
2
（1）当a = 0 时，求曲线 y = f (x) 在 x = 0 处的切线方程；
（2）求函数 f (x) 在[1, 2]上的最小值.
2an ,an 12,*
21. 已知数列 an 满足： a N ,a 24 ，且an+1 = (n =1,2,1 1 ) .记集合
2an 24,an 12
M = a∣n n *N .
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（1）若a1 = 2，写出集合M 的所有元素；
（2）若集合M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数；
（3）求集合M 的元素个数的最大值.
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