江苏省盐城市大丰市新丰中学2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省盐城市大丰市新丰中学2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 171.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-25 07:57:02 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B= ．
2．函数的周期为 ．
3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= ．
4．集合A={1，2}共有 子集．
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ= ．
6．已知点P（1，2）在α终边上，则= ．
7．已知向量，若，则实数n= ．
8．已知sin2α=，则cos2（α+）= ．
9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 ．
10．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a的值为 ．
11．若函数f（x）=sin（x﹣θ）（θ＞0）的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若 =0， =λ，则实数λ的值为 ．
13．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为 ．
14．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是 ．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．记函数的定义域为集合A，函数g（x）=2x+a的值域为集合B．
（1）若a=2，求A∩B和A∪B；
（2）若A∪B=B，求a的取值范围．
16．已知向量=（6，2），=（﹣2，k），k为实数．
（1）若∥，求k的值；
（2）若⊥，求k的值；
（3）若与的夹角为钝角，求k的取值范围．
17．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（，﹣2）．
（1）求φ的值；
（2）若f（）=，﹣＜α＜0，求sin（2α﹣）的值．
18．如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲 ( http: / / www.21cnjy.com )广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．
（1）将y表示成θ的函数；
（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．
19．已知函数，其最小正周期为．
（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
20．设函数f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x（a＞且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，设g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．
2015-2016学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B= {2} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，4}，
∴A∩B={2}，
故答案为：{2}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．函数的周期为 4π ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数的周期为=4π，
故答案为：4π．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为 ，属于基础题．
3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= 3 ．
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【专题】计算题．
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），
得=2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（9）=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．
4．集合A={1，2}共有 4 子集．
【考点】子集与真子集．
【专题】集合．
【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．
【解答】解：集合A有2个元素，
故有22=4个子集．
故答案为：4．
【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题．
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ= ．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出=+①，=+②；
由①、②得出=+，从而求出λ的值．
【解答】解：△ABC中，D是AB边上一点， =2， =，
如图所示，
∴=+=+2①，
=+，
∴2=2+2=2﹣2②；
①+②得，3=+2，
∴=+；
∴λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义问题，是基础题目．
6．已知点P（1，2）在α终边上，则= 5 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题．
【分析】先由任意角的三角函数的定义求出正切值．再将代数式分子分母同除以余弦转化为关于正切的代数式求解．
【解答】解：∵点P（1，2）在α终边上
∴tanα=2
则==5
故答案为：5
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式．
7．已知向量，若，则实数n= 3 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】先求出|+|的解析式，再求出 的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数n．
【解答】解：|+|=|（3，n+1）|=， =（1，1） （2，n）=2+n，
由题意知 9+（n+1）2=n2+4n+4，
∴n=3，
故答案为 3．
【点评】本题考查向量的模的计算方法，两个向量的数量积公式的应用．
8．已知sin2α=，则cos2（α+）= ．
【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】用二倍角的余弦公式化简后代入已知即可．
【解答】解：∵sin2α=，
∴cos2（α+）====．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．
9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+） ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据已知函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．
【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=4（）=π，由周期公式可得：ω==2，
由点（，0）在函数的图象上，可得： sin（2×+φ）=0，
解得：φ=kπ﹣，k∈Z，|φ|＜π，
当k=1时，可得φ=，
从而得解析式可为：f（x）=sin（2x+）．
故答案为：f（x）=sin（2x+）．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．
10．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a的值为 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】依题意，可求得g（x）=，依题意，g（﹣1）=g（1）即可求得实数a的值．
【解答】解：∵f（x）=，
∴g（x）=f（x）﹣ax=，
∵g（x）=为偶函数，
∴g（﹣1）=g（1），即a﹣1=1﹣a﹣1=﹣a，
∴2a=1，
∴a=．
故答案为：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，求得g（x）的解析式后，利用特值法g（﹣1）=g（1）是解决问题的关键，属于中档题．
11．若函数f（x）=sin（x﹣θ）（θ＞0）的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为 ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】令=，解出θ，结合θ＞0求出θ的最小值．
【解答】解：∵f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（）=sin（）=±1，
∴=，∴θ=﹣﹣kπ，k∈Z．∵θ＞0，∴当k=﹣1时θ取得最小值．
故答案为．
【点评】本题考查了正弦函数的对称轴，属于基础题．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若 =0， =λ，则实数λ的值为 2 ．
【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得 =﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．
【解答】解：∵ =（3，﹣1），=（0，2）
∴=﹣=（﹣3，3）
设=（m，n），可得 =﹣3m+3n=0…①
又∵=（m﹣3，n+1），=λ，
∴m﹣3=0且n+1=2λ…②
将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2
故答案为：2
【点评】本题给出向量、的坐标，再 =0且=λ的情况下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．
13．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为 ﹣10 ．
【考点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由于f（x）是定义在R上且 ( http: / / www.21cnjy.com )周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，
∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，
∴1﹣a=①
又f（﹣1）=f（1），
∴2a+b=0，②
由①②解得a=2，b=﹣4；
∴a+3b=﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．
14．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是 ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】函数的性质及应用；三角函数的求值．
【分析】直接对三角函数关系式中的角进行恒等变换，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出结果．
【解答】解：知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，
则cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）﹣β]，
化简为：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ，
转化为：tan（α+β）=2tanβ，
即，
则：2tanαtan2β﹣tanβ+tanα=0，
所以：△≥0，
即：1﹣8tan2α≥0，
解得：．
由于：α为锐角，
所以：，
则tanα的最大值为．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式中角的恒等变换，弦化切在做题中得应用，一元二次不等式有解得情况讨论．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．记函数的定义域为集合A，函数g（x）=2x+a的值域为集合B．
（1）若a=2，求A∩B和A∪B；
（2）若A∪B=B，求a的取值范围．
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【专题】计算题；函数思想；综合法；集合．
【分析】（1）求出f（x）的定义域确定出A，求出g（x）的值域确定出B，找出A与B的交集，并集即可；
（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）由f（x）=lg（3﹣x）+，得到，
解得1≤x＜3，
∴A=[1，3）；
若a=2，则有g（x）=2x+2＞2，得到B=（2，+∞），
则A∩B=（2，3）；A∪B=[1，+∞）；
（2）∵A∪B=B，∴A B，
∵A=[1，3），B=（a，+∞），
∴a＜1，
则a的取值范围是（﹣∞，1）．
【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
16．已知向量=（6，2），=（﹣2，k），k为实数．
（1）若∥，求k的值；
（2）若⊥，求k的值；
（3）若与的夹角为钝角，求k的取值范围．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】（1）由向量共线的坐标表示，解方程即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k；
（3）由向量的夹角为钝角的等价条件：数量积小于0，且不共线，解不等式即可得到k的范围．
【解答】解：（1）若∥，
则6k﹣（﹣2）×2=0，解得k=﹣；
（2）若⊥，
则6×（﹣2）+2k=0，解得k=6；
（3）若与的夹角为钝角，
则＜0，且，不共线．
即有，
解得k＜6且k．
【点评】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的夹角为钝角的等价条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．
17．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（，﹣2）．
（1）求φ的值；
（2）若f（）=，﹣＜α＜0，求sin（2α﹣）的值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的正弦．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）直接由函数f（x）=2sin（2x+φ）的图象过点（，﹣2）列式求得sinφ=1，然后根据0＜φ＜2π得答案；
（2）由f（）=求得cosα=，进一步求得sin2α，展开两角差的正弦得答案．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（，﹣2），
∴f（）=2sin（π+φ）=﹣2，
即sinφ=1．
∵0＜φ＜2π，
∴φ=；
（2）由（1）得，f（x）=2cos2x．
∵f（）=，∴cosα=．
又∵﹣＜α＜0，
∴sinα=﹣．
∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣．
从而sin（2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=．
【点评】本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了由已知三角函数的值求三角函数的值，是中档题．
18．如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．
（1）将y表示成θ的函数；
（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．
【考点】三角函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（1）由几何图形结合解直角三角形知识将y表示成θ的函数；
（2）直接由矩形面积等于长乘宽列出面积关于θ的表达式，结合三角函数的化简与求值得答案．
【解答】解：（1）如图，
由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°﹣θ，
再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．
由AB=40（米），BC=30（米），四边形ABCD为矩形，得DC=40（米），
因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），
因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；
（2）+2500sinθcosθ
=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．
因此θ=45°时，SEFGH取到最大值，最大值为2450．
因此，矩形区域EFGH的面积的最大值为2450平方米．
【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了三角函数的化简与求值，正确将y表示成θ的函数是解答该题的关键，是中档题．
19．已知函数，其最小正周期为．
（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【考点】函数y=Asin ( http: / / www.21cnjy.com )（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化 ( http: / / www.21cnjy.com )简函数f（x）的表达式为2sin（2ωx+），再根据它的最小正周期为，求得ω=2，从而求得f（x）的表达式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+ ） ( http: / / www.21cnjy.com )的图象变换规律，可得，由题意可得函数y=g（x）与y=k在区间[0，]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象求得实数k的取值范围．
【解答】解：（I）=．…
由题意知f（x）的最小正周期，，所以ω=2…
所以，…
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象．
所以…
因为0≤x≤，所以．
g（x）+k=0 在区间[0，]上有且只有一个实数解，
即函数y=g（x）与y=k在区间[0，]上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象可知，或k=﹣1，
所以，或k=﹣1．…
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+ ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20．设函数f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x（a＞且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，设g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据f（x）为定义在R上的奇函数便有f（0）=0，从而可以求出k=0；
（2）先得出f（x）=ax﹣a﹣x ( http: / / www.21cnjy.com )，根据f（1）＞0便可得出a＞1，从而判断出f（x）为增函数，从而由原不等式可得x2﹣x+t＞0恒成立，这便有△=1﹣4t＜0，这样便可得出t的取值范围；
（3）由f（1）=便可求出a=2，从而 ( http: / / www.21cnjy.com )可以得到g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，可设t=f（x）=2x﹣2﹣x，可令h（t）=（t﹣m）2+2﹣m2，该二次函数的对称轴为t=m，讨论m：时，t=m时，h（t）取到最小值2﹣m2=﹣1，这样便可求出m=；m时，t=时，h（t）取到最小值，得到m=，不满足m，从而便得到m的值只有一个为．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数；
∴f（0）=0；
∴k=0；
（2）f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）；
由f（1）＞0得；
∴a＞1；
∴ax单调递增，a﹣x单调递减；
故f（x）在R上单调递增；
∵f（﹣x）=﹣f（x）；
∴不等式化为f（x2+x）＞f（2x﹣t）；
∴x2+x＞2x﹣t；
∴x2﹣x+t＞0恒成立；
∴△=1﹣4t＜0；
∴t的取值范围为；
（3）∵f（1）=，∴；
即2a2﹣3a﹣2=0；
∴a=2，或a=（舍去）；
∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2；
令t=f（x）=2x﹣2﹣x，
由（2）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数；
∵x≥1，∴t≥f（1）=；
令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）
①若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，∴m=，∴m=；
②若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣1，解得m=，舍去；
综上可知m=．
【点评】考查奇函数的定义，奇函数f（ ( http: / / www.21cnjy.com )x）在原点有定义时，f（0）=0，指数函数的单调性，以及增函数的定义，一元二次不等式恒成立时，判别式△的取值情况，二次函数的单调性，根据单调性及取得顶点情况求二次函数的最值．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B= ．
2．函数的周期为 ．
3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= ．
4．集合A={1，2}共有 子集．
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ= ．
6．已知点P（1，2）在α终边上，则= ．
7．已知向量，若，则实数n= ．
8．已知sin2α=，则cos2（α+）= ．
9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 ．
10．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a的值为 ．
11．若函数f（x）=sin（x﹣θ）（θ＞0）的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若 =0， =λ，则实数λ的值为 ．
13．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为 ．
14．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是 ．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．记函数的定义域为集合A，函数g（x）=2x+a的值域为集合B．
（1）若a=2，求A∩B和A∪B；
（2）若A∪B=B，求a的取值范围．
16．已知向量=（6，2），=（﹣2，k），k为实数．
（1）若∥，求k的值；
（2）若⊥，求k的值；
（3）若与的夹角为钝角，求k的取值范围．
17．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（，﹣2）．
（1）求φ的值；
（2）若f（）=，﹣＜α＜0，求sin（2α﹣）的值．
18．如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲 ( http: / / www.21cnjy.com )广场ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．
（1）将y表示成θ的函数；
（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．
19．已知函数，其最小正周期为．
（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
20．设函数f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x（a＞且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，设g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．
2015-2016学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）
1．设集合A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩B= {2} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，4}，
∴A∩B={2}，
故答案为：{2}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．函数的周期为 4π ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数的周期为=4π，
故答案为：4π．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为 ，属于基础题．
3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= 3 ．
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【专题】计算题．
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），
得=2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（9）=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．
4．集合A={1，2}共有 4 子集．
【考点】子集与真子集．
【专题】集合．
【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．
【解答】解：集合A有2个元素，
故有22=4个子集．
故答案为：4．
【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题．
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ= ．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出=+①，=+②；
由①、②得出=+，从而求出λ的值．
【解答】解：△ABC中，D是AB边上一点， =2， =，
如图所示，
∴=+=+2①，
=+，
∴2=2+2=2﹣2②；
①+②得，3=+2，
∴=+；
∴λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义问题，是基础题目．
6．已知点P（1，2）在α终边上，则= 5 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题．
【分析】先由任意角的三角函数的定义求出正切值．再将代数式分子分母同除以余弦转化为关于正切的代数式求解．
【解答】解：∵点P（1，2）在α终边上
∴tanα=2
则==5
故答案为：5
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式．
7．已知向量，若，则实数n= 3 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】先求出|+|的解析式，再求出 的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数n．
【解答】解：|+|=|（3，n+1）|=， =（1，1） （2，n）=2+n，
由题意知 9+（n+1）2=n2+4n+4，
∴n=3，
故答案为 3．
【点评】本题考查向量的模的计算方法，两个向量的数量积公式的应用．
8．已知sin2α=，则cos2（α+）= ．
【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】用二倍角的余弦公式化简后代入已知即可．
【解答】解：∵sin2α=，
∴cos2（α+）====．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．
9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+） ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据已知函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．
【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=4（）=π，由周期公式可得：ω==2，
由点（，0）在函数的图象上，可得： sin（2×+φ）=0，
解得：φ=kπ﹣，k∈Z，|φ|＜π，
当k=1时，可得φ=，
从而得解析式可为：f（x）=sin（2x+）．
故答案为：f（x）=sin（2x+）．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．
10．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a的值为 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】依题意，可求得g（x）=，依题意，g（﹣1）=g（1）即可求得实数a的值．
【解答】解：∵f（x）=，
∴g（x）=f（x）﹣ax=，
∵g（x）=为偶函数，
∴g（﹣1）=g（1），即a﹣1=1﹣a﹣1=﹣a，
∴2a=1，
∴a=．
故答案为：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，求得g（x）的解析式后，利用特值法g（﹣1）=g（1）是解决问题的关键，属于中档题．
11．若函数f（x）=sin（x﹣θ）（θ＞0）的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为 ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】令=，解出θ，结合θ＞0求出θ的最小值．
【解答】解：∵f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（）=sin（）=±1，
∴=，∴θ=﹣﹣kπ，k∈Z．∵θ＞0，∴当k=﹣1时θ取得最小值．
故答案为．
【点评】本题考查了正弦函数的对称轴，属于基础题．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若 =0， =λ，则实数λ的值为 2 ．
【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得 =﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．
【解答】解：∵ =（3，﹣1），=（0，2）
∴=﹣=（﹣3，3）
设=（m，n），可得 =﹣3m+3n=0…①
又∵=（m﹣3，n+1），=λ，
∴m﹣3=0且n+1=2λ…②
将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2
故答案为：2
【点评】本题给出向量、的坐标，再 =0且=λ的情况下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．
13．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为 ﹣10 ．
【考点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由于f（x）是定义在R上且 ( http: / / www.21cnjy.com )周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，
∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，
∴1﹣a=①
又f（﹣1）=f（1），
∴2a+b=0，②
由①②解得a=2，b=﹣4；
∴a+3b=﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．
14．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是 ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】函数的性质及应用；三角函数的求值．
【分析】直接对三角函数关系式中的角进行恒等变换，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出结果．
【解答】解：知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，
则cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）﹣β]，
化简为：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ，
转化为：tan（α+β）=2tanβ，
即，
则：2tanαtan2β﹣tanβ+tanα=0，
所以：△≥0，
即：1﹣8tan2α≥0，
解得：．
由于：α为锐角，
所以：，
则tanα的最大值为．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式中角的恒等变换，弦化切在做题中得应用，一元二次不等式有解得情况讨论．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．记函数的定义域为集合A，函数g（x）=2x+a的值域为集合B．
（1）若a=2，求A∩B和A∪B；
（2）若A∪B=B，求a的取值范围．
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【专题】计算题；函数思想；综合法；集合．
【分析】（1）求出f（x）的定义域确定出A，求出g（x）的值域确定出B，找出A与B的交集，并集即可；
（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）由f（x）=lg（3﹣x）+，得到，
解得1≤x＜3，
∴A=[1，3）；
若a=2，则有g（x）=2x+2＞2，得到B=（2，+∞），
则A∩B=（2，3）；A∪B=[1，+∞）；
（2）∵A∪B=B，∴A B，
∵A=[1，3），B=（a，+∞），
∴a＜1，
则a的取值范围是（﹣∞，1）．
【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
16．已知向量=（6，2），=（﹣2，k），k为实数．
（1）若∥，求k的值；
（2）若⊥，求k的值；
（3）若与的夹角为钝角，求k的取值范围．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】（1）由向量共线的坐标表示，解方程即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k；
（3）由向量的夹角为钝角的等价条件：数量积小于0，且不共线，解不等式即可得到k的范围．
【解答】解：（1）若∥，
则6k﹣（﹣2）×2=0，解得k=﹣；
（2）若⊥，
则6×（﹣2）+2k=0，解得k=6；
（3）若与的夹角为钝角，
则＜0，且，不共线．
即有，
解得k＜6且k．
【点评】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的夹角为钝角的等价条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．
17．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（，﹣2）．
（1）求φ的值；
（2）若f（）=，﹣＜α＜0，求sin（2α﹣）的值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的正弦．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）直接由函数f（x）=2sin（2x+φ）的图象过点（，﹣2）列式求得sinφ=1，然后根据0＜φ＜2π得答案；
（2）由f（）=求得cosα=，进一步求得sin2α，展开两角差的正弦得答案．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（，﹣2），
∴f（）=2sin（π+φ）=﹣2，
即sinφ=1．
∵0＜φ＜2π，
∴φ=；
（2）由（1）得，f（x）=2cos2x．
∵f（）=，∴cosα=．
又∵﹣＜α＜0，
∴sinα=﹣．
∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣．
从而sin（2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=．
【点评】本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了由已知三角函数的值求三角函数的值，是中档题．
18．如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．
（1）将y表示成θ的函数；
（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．
【考点】三角函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（1）由几何图形结合解直角三角形知识将y表示成θ的函数；
（2）直接由矩形面积等于长乘宽列出面积关于θ的表达式，结合三角函数的化简与求值得答案．
【解答】解：（1）如图，
由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°﹣θ，
再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．
由AB=40（米），BC=30（米），四边形ABCD为矩形，得DC=40（米），
因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），
因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；
（2）+2500sinθcosθ
=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．
因此θ=45°时，SEFGH取到最大值，最大值为2450．
因此，矩形区域EFGH的面积的最大值为2450平方米．
【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了三角函数的化简与求值，正确将y表示成θ的函数是解答该题的关键，是中档题．
19．已知函数，其最小正周期为．
（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【考点】函数y=Asin ( http: / / www.21cnjy.com )（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化 ( http: / / www.21cnjy.com )简函数f（x）的表达式为2sin（2ωx+），再根据它的最小正周期为，求得ω=2，从而求得f（x）的表达式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+ ） ( http: / / www.21cnjy.com )的图象变换规律，可得，由题意可得函数y=g（x）与y=k在区间[0，]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象求得实数k的取值范围．
【解答】解：（I）=．…
由题意知f（x）的最小正周期，，所以ω=2…
所以，…
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象．
所以…
因为0≤x≤，所以．
g（x）+k=0 在区间[0，]上有且只有一个实数解，
即函数y=g（x）与y=k在区间[0，]上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象可知，或k=﹣1，
所以，或k=﹣1．…
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+ ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20．设函数f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x（a＞且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，设g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据f（x）为定义在R上的奇函数便有f（0）=0，从而可以求出k=0；
（2）先得出f（x）=ax﹣a﹣x ( http: / / www.21cnjy.com )，根据f（1）＞0便可得出a＞1，从而判断出f（x）为增函数，从而由原不等式可得x2﹣x+t＞0恒成立，这便有△=1﹣4t＜0，这样便可得出t的取值范围；
（3）由f（1）=便可求出a=2，从而 ( http: / / www.21cnjy.com )可以得到g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，可设t=f（x）=2x﹣2﹣x，可令h（t）=（t﹣m）2+2﹣m2，该二次函数的对称轴为t=m，讨论m：时，t=m时，h（t）取到最小值2﹣m2=﹣1，这样便可求出m=；m时，t=时，h（t）取到最小值，得到m=，不满足m，从而便得到m的值只有一个为．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数；
∴f（0）=0；
∴k=0；
（2）f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）；
由f（1）＞0得；
∴a＞1；
∴ax单调递增，a﹣x单调递减；
故f（x）在R上单调递增；
∵f（﹣x）=﹣f（x）；
∴不等式化为f（x2+x）＞f（2x﹣t）；
∴x2+x＞2x﹣t；
∴x2﹣x+t＞0恒成立；
∴△=1﹣4t＜0；
∴t的取值范围为；
（3）∵f（1）=，∴；
即2a2﹣3a﹣2=0；
∴a=2，或a=（舍去）；
∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2；
令t=f（x）=2x﹣2﹣x，
由（2）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数；
∵x≥1，∴t≥f（1）=；
令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）
①若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，∴m=，∴m=；
②若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣1，解得m=，舍去；
综上可知m=．
【点评】考查奇函数的定义，奇函数f（ ( http: / / www.21cnjy.com )x）在原点有定义时，f（0）=0，指数函数的单调性，以及增函数的定义，一元二次不等式恒成立时，判别式△的取值情况，二次函数的单调性，根据单调性及取得顶点情况求二次函数的最值．
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