江苏省盐城市东台市创新学校2015-2016学年高一（上）12月月考数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省盐城市东台市创新学校2015-2016学年高一（上）12月月考数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 162.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-25 07:59:25 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（上）12月月考数学试卷
一．填空题（共14小题）
1．将弧度转化成角度： = ．
2．设θ是第三象限角，则点P（sinθ，cosθ）在第 象限．
3．=（cosα，sinα），||= ．
4．已知△ABC中，tanA=﹣，则cosA= ．
5．函数y=sin（πx﹣）的最小正周期为 ．
6．函数y=cos（﹣x）的单调递增区间为 ．
7．平面向量=（2，1），=（m，﹣2），若与共线，则m的值为 ．
8．函数y=的单调递增区间是 ．
9．已知= ．
10．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为 ．
11．已知，则= ．
12．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．
13．若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是 ．
14．如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若 =﹣12，则 = ．
二．解答题（共6小题）
15．已知tanx=2，求的值．
16．已知方程x2+4x+3=0的两个根为tan（α﹣β），tanβ．
（1）求tanα的值．
（2）求的值．
17．已知A（3，1），B（t，﹣2），C（1，2t）．
（1）若，求t；
（2）若∠BAC=90°，求t．
18．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．
19．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，若=﹣4， =+2，求
（1） ；
（2）|+|．
20．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．
2015-2016学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（上）12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共14小题）
1．将弧度转化成角度： = 120° ．
【考点】弧度与角度的互化．
【专题】三角函数的求值．
【分析】直接利用角度与弧度的转化化简即可．
【解答】解：因为π=180°，所以： ==120°
故答案为：120°．
【点评】本题考查角度与弧度的转化，基本知识的考查．
2．设θ是第三象限角，则点P（sinθ，cosθ）在第 三 象限．
【考点】三角函数值的符号．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由题意可得sinθ＜0，cosθ＜0，可判点P在第三象限．
【解答】解：∵θ是第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，
∴点P（sinθ，cosθ）在第三象限
故答案为：三
【点评】本题考查三角函数值的符号，属基础题．
3．=（cosα，sinα），||= 1 ．
【考点】向量的模．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵ =（cosα，sinα），
∴==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量模的计算公式，属于基础题．
4．已知△ABC中，tanA=﹣，则cosA= ﹣ ．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题．
【分析】△ABC中，由tanA=﹣＜0，判断A为钝角，利用=﹣和sin2A+cos2A=1，求出cosA的值．
【解答】解：∵△ABC中，tanA=﹣，∴A为钝角，cosA＜0．
由=﹣，sin2A+cos2A=1，可得cosA=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，注意判断A为钝角．
5．函数y=sin（πx﹣）的最小正周期为 2 ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由三角函数的周期性及其求法直接求值．
【解答】解：∵y=sin（πx﹣），
∴由三角函数的周期性及其求法可得最小正周期T==2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．
6．函数y=cos（﹣x）的单调递增区间为 [2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） ．
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】利用余弦的诱导公式可将y=cos（﹣x）转化为y=cos（x﹣），再利用余弦函数的单调性即可求得函数y=cos（﹣x）的单调递增区间．
【解答】解：∵y=cos（﹣x）=cos（x﹣），
由2kπ﹣π≤x﹣≤2kπ，k∈Z得：
2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z．
∴原函数的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．
故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．
【点评】本题考查复合三角函数的单调性，着重考查余弦函数的诱导公式与单调性，属于基本知识的考查．
7．平面向量=（2，1），=（m，﹣2），若与共线，则m的值为 ﹣4 ．
【考点】平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．
【专题】计算题．
【分析】运用平面向量共线的坐标表示列式后求m的值．
【解答】解：因为，，由与共线，所以2×（﹣2）﹣m=0，解得：m=﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了共线向量，若，则 x1y2﹣x2y1=0．
8．函数y=的单调递增区间是 [0，] ．
【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】化简可得y=sin（x+），解不等式2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得函数所有的单调递增区间，结合x∈[0，]可得．
【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，
由x∈[0，]可得x∈[0，]，
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属基础题．
9．已知= ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】将1=sin2α+cos2α代入，分子分母同时除以cos2α可得到关于tanα的关系式，即可得到答案．
【解答】解：∵ ==
又∵tanα=﹣∴原式=
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角三角函数的基本关系．注意形式的转化．
10．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为 ﹣ ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解析：由图可知，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）．
∵，∴．再根据，
∴，∴，∴，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．
11．已知，则= 5 ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】直接利用向量模的求法，求解即可．
【解答】解：，则=|（3，﹣4）|==5．
故答案为：．
【点评】．本题考查向量的模的求法，向量的坐标运算，基本知识的考查．
12．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，
则﹣2φ=kπ+，k∈z，即 φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
13．若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是 ﹣3 ．
【考点】二倍角的余弦；奇偶性与单调性的综合；复合三角函数的单调性．
【专题】计算题；证明题；压轴题．
【分析】根据函数是奇函数且在R上是减函数，将原不等式变形为cos2x+2sinx≥a恒成立，结合二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值的方法，即可得到a的最大值．
【解答】解：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤﹣f（sinx﹣a）恒成立
又∵f（x）是奇函数，﹣f（sinx﹣a）=f（﹣sinx+a）
∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（﹣sinx+a）在R上恒成立
∵函数f（x）在其定义域R上是减函数，
∴cos2x+sinx≥﹣sinx+a，即cos2x+2sinx≥a
∵cos2x=1﹣2sin2x，∴cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1，
当sinx=﹣1时cos2x+2sinx有最小值﹣3．
因此a≤﹣3，a的最大值是﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题在已知函数f（x）的单调性的奇偶性的前提下，解决一个不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性和奇偶性、二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值等知识，属于基础题．
14．如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若 =﹣12，则 = 0 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】首先，设，为基底，然后，根据 =﹣12，得到∠BAD=60°然后根据数量积的运算求解即可．
【解答】解：以，为基底，则=+， =﹣，
则=﹣
=4﹣8cos∠BAD﹣12
=﹣12，
∴cos∠BAD=，则∠BAD=60°，
则=
=
=
=4﹣4=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．
二．解答题（共6小题）
15．已知tanx=2，求的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanx=2，
∴原式=2sin2x﹣sinxcosx+cos2x
=
=
=．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
16．已知方程x2+4x+3=0的两个根为tan（α﹣β），tanβ．
（1）求tanα的值．
（2）求的值．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】（1）α=（α﹣β）+β，利用两角和的正切公式即可求得tanα的值；
（2）将中的弦化切即可．
【解答】解：（1）∵α=（α﹣β）+β，
∴，
∴tanα=tan[（α﹣β）+β]= = =2．
（2）===﹣5．
【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查“弦”化“切”，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
17．已知A（3，1），B（t，﹣2），C（1，2t）．
（1）若，求t；
（2）若∠BAC=90°，求t．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】（1）由已知中A（3，1），B（t，﹣2），我们要以求出向量的坐标（含参数t），根据，构造关于t的方程，解方程即可得到答案．
（2）由∠BAC=90°，可得⊥，即 =0，将向量、的坐标代入向量数量积坐标运算公式，构造关于t的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（t，﹣2），
∴=（t﹣3，﹣3），
又∵，
即=5，
解得t=7或t=﹣1．
（2）若∠BAC=90°，由题意知⊥，
又∵=（﹣2，2t﹣1），
∴（t﹣3） （﹣2）﹣3（2t﹣1）=﹣8t+9=0
解得t=．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示及向量的模，其中根据向量的坐标运算公式，构造关于t的方程是解答本题的关键．
18．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2ωx+），由此求得f（）的值．
（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数f（x）的单调递增区间．由 2x+=kπ+求得 x的值，从而得到f（x）图象的对称轴方程．
【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），
因为f（x）最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，
所以f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin=1．
（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
由 2x+=kπ+可得 x=kπ+，k∈z．
所以，f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈z．…
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．
19．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，若=﹣4， =+2，求
（1） ；
（2）|+|．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算律．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（1）利用数量积的定义即可得出；
（2）利用向量模的计算公式即可得出．
【解答】解：（1）==2×1×=1；
（2）∵=，∴ ===2=2=2．
【点评】熟练掌握向量的数量积的定义和模的计算公式是解题的关键．
20．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．
【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解．
【解答】解：∵cos2x=cosx+sinx，
∴cos2x﹣sin2x=cosx+sinx，
∴（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣（cosx+sinx）=0，
∴（cosx+sinx）（cosx﹣sinx﹣1）=0．
如果cosx+sinx=0，则得1+tgx=0，tgx=﹣1，
解
如果cosx+sinx﹣1=0则得cosx﹣sinx=1，
∴，∴，
∴，∴．
综上，x=．
【点评】本题是一个三角恒等变换问题，与初中学习锐角三角函数一样，高中也要研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
一．填空题（共14小题）
1．将弧度转化成角度： = ．
2．设θ是第三象限角，则点P（sinθ，cosθ）在第 象限．
3．=（cosα，sinα），||= ．
4．已知△ABC中，tanA=﹣，则cosA= ．
5．函数y=sin（πx﹣）的最小正周期为 ．
6．函数y=cos（﹣x）的单调递增区间为 ．
7．平面向量=（2，1），=（m，﹣2），若与共线，则m的值为 ．
8．函数y=的单调递增区间是 ．
9．已知= ．
10．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为 ．
11．已知，则= ．
12．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．
13．若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是 ．
14．如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若 =﹣12，则 = ．
二．解答题（共6小题）
15．已知tanx=2，求的值．
16．已知方程x2+4x+3=0的两个根为tan（α﹣β），tanβ．
（1）求tanα的值．
（2）求的值．
17．已知A（3，1），B（t，﹣2），C（1，2t）．
（1）若，求t；
（2）若∠BAC=90°，求t．
18．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．
19．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，若=﹣4， =+2，求
（1） ；
（2）|+|．
20．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．
2015-2016学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（上）12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共14小题）
1．将弧度转化成角度： = 120° ．
【考点】弧度与角度的互化．
【专题】三角函数的求值．
【分析】直接利用角度与弧度的转化化简即可．
【解答】解：因为π=180°，所以： ==120°
故答案为：120°．
【点评】本题考查角度与弧度的转化，基本知识的考查．
2．设θ是第三象限角，则点P（sinθ，cosθ）在第 三 象限．
【考点】三角函数值的符号．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由题意可得sinθ＜0，cosθ＜0，可判点P在第三象限．
【解答】解：∵θ是第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，
∴点P（sinθ，cosθ）在第三象限
故答案为：三
【点评】本题考查三角函数值的符号，属基础题．
3．=（cosα，sinα），||= 1 ．
【考点】向量的模．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵ =（cosα，sinα），
∴==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量模的计算公式，属于基础题．
4．已知△ABC中，tanA=﹣，则cosA= ﹣ ．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题．
【分析】△ABC中，由tanA=﹣＜0，判断A为钝角，利用=﹣和sin2A+cos2A=1，求出cosA的值．
【解答】解：∵△ABC中，tanA=﹣，∴A为钝角，cosA＜0．
由=﹣，sin2A+cos2A=1，可得cosA=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，注意判断A为钝角．
5．函数y=sin（πx﹣）的最小正周期为 2 ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由三角函数的周期性及其求法直接求值．
【解答】解：∵y=sin（πx﹣），
∴由三角函数的周期性及其求法可得最小正周期T==2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．
6．函数y=cos（﹣x）的单调递增区间为 [2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） ．
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】利用余弦的诱导公式可将y=cos（﹣x）转化为y=cos（x﹣），再利用余弦函数的单调性即可求得函数y=cos（﹣x）的单调递增区间．
【解答】解：∵y=cos（﹣x）=cos（x﹣），
由2kπ﹣π≤x﹣≤2kπ，k∈Z得：
2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z．
∴原函数的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．
故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．
【点评】本题考查复合三角函数的单调性，着重考查余弦函数的诱导公式与单调性，属于基本知识的考查．
7．平面向量=（2，1），=（m，﹣2），若与共线，则m的值为 ﹣4 ．
【考点】平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．
【专题】计算题．
【分析】运用平面向量共线的坐标表示列式后求m的值．
【解答】解：因为，，由与共线，所以2×（﹣2）﹣m=0，解得：m=﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了共线向量，若，则 x1y2﹣x2y1=0．
8．函数y=的单调递增区间是 [0，] ．
【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】化简可得y=sin（x+），解不等式2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得函数所有的单调递增区间，结合x∈[0，]可得．
【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，
由x∈[0，]可得x∈[0，]，
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属基础题．
9．已知= ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】将1=sin2α+cos2α代入，分子分母同时除以cos2α可得到关于tanα的关系式，即可得到答案．
【解答】解：∵ ==
又∵tanα=﹣∴原式=
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角三角函数的基本关系．注意形式的转化．
10．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为 ﹣ ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解析：由图可知，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）．
∵，∴．再根据，
∴，∴，∴，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．
11．已知，则= 5 ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】直接利用向量模的求法，求解即可．
【解答】解：，则=|（3，﹣4）|==5．
故答案为：．
【点评】．本题考查向量的模的求法，向量的坐标运算，基本知识的考查．
12．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，
则﹣2φ=kπ+，k∈z，即 φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
13．若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是 ﹣3 ．
【考点】二倍角的余弦；奇偶性与单调性的综合；复合三角函数的单调性．
【专题】计算题；证明题；压轴题．
【分析】根据函数是奇函数且在R上是减函数，将原不等式变形为cos2x+2sinx≥a恒成立，结合二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值的方法，即可得到a的最大值．
【解答】解：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤﹣f（sinx﹣a）恒成立
又∵f（x）是奇函数，﹣f（sinx﹣a）=f（﹣sinx+a）
∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（﹣sinx+a）在R上恒成立
∵函数f（x）在其定义域R上是减函数，
∴cos2x+sinx≥﹣sinx+a，即cos2x+2sinx≥a
∵cos2x=1﹣2sin2x，∴cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1，
当sinx=﹣1时cos2x+2sinx有最小值﹣3．
因此a≤﹣3，a的最大值是﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题在已知函数f（x）的单调性的奇偶性的前提下，解决一个不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性和奇偶性、二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值等知识，属于基础题．
14．如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若 =﹣12，则 = 0 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】首先，设，为基底，然后，根据 =﹣12，得到∠BAD=60°然后根据数量积的运算求解即可．
【解答】解：以，为基底，则=+， =﹣，
则=﹣
=4﹣8cos∠BAD﹣12
=﹣12，
∴cos∠BAD=，则∠BAD=60°，
则=
=
=
=4﹣4=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．
二．解答题（共6小题）
15．已知tanx=2，求的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanx=2，
∴原式=2sin2x﹣sinxcosx+cos2x
=
=
=．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
16．已知方程x2+4x+3=0的两个根为tan（α﹣β），tanβ．
（1）求tanα的值．
（2）求的值．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】（1）α=（α﹣β）+β，利用两角和的正切公式即可求得tanα的值；
（2）将中的弦化切即可．
【解答】解：（1）∵α=（α﹣β）+β，
∴，
∴tanα=tan[（α﹣β）+β]= = =2．
（2）===﹣5．
【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查“弦”化“切”，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
17．已知A（3，1），B（t，﹣2），C（1，2t）．
（1）若，求t；
（2）若∠BAC=90°，求t．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】（1）由已知中A（3，1），B（t，﹣2），我们要以求出向量的坐标（含参数t），根据，构造关于t的方程，解方程即可得到答案．
（2）由∠BAC=90°，可得⊥，即 =0，将向量、的坐标代入向量数量积坐标运算公式，构造关于t的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（t，﹣2），
∴=（t﹣3，﹣3），
又∵，
即=5，
解得t=7或t=﹣1．
（2）若∠BAC=90°，由题意知⊥，
又∵=（﹣2，2t﹣1），
∴（t﹣3） （﹣2）﹣3（2t﹣1）=﹣8t+9=0
解得t=．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示及向量的模，其中根据向量的坐标运算公式，构造关于t的方程是解答本题的关键．
18．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2ωx+），由此求得f（）的值．
（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数f（x）的单调递增区间．由 2x+=kπ+求得 x的值，从而得到f（x）图象的对称轴方程．
【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），
因为f（x）最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，
所以f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin=1．
（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
由 2x+=kπ+可得 x=kπ+，k∈z．
所以，f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈z．…
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．
19．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，若=﹣4， =+2，求
（1） ；
（2）|+|．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算律．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（1）利用数量积的定义即可得出；
（2）利用向量模的计算公式即可得出．
【解答】解：（1）==2×1×=1；
（2）∵=，∴ ===2=2=2．
【点评】熟练掌握向量的数量积的定义和模的计算公式是解题的关键．
20．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．
【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解．
【解答】解：∵cos2x=cosx+sinx，
∴cos2x﹣sin2x=cosx+sinx，
∴（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣（cosx+sinx）=0，
∴（cosx+sinx）（cosx﹣sinx﹣1）=0．
如果cosx+sinx=0，则得1+tgx=0，tgx=﹣1，
解
如果cosx+sinx﹣1=0则得cosx﹣sinx=1，
∴，∴，
∴，∴．
综上，x=．
【点评】本题是一个三角恒等变换问题，与初中学习锐角三角函数一样，高中也要研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
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