江苏省盐城市阜宁县2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省盐城市阜宁县2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 110.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-25 08:00:29 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，则A∩B= ．
2．已知扇形的圆心角α=，半径r=3，则扇形的弧长l为 ．
3．函数y=+lg（2﹣x）的定义域是 ．
4．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα= ．
5．已知||=2，||=3，且 =﹣2，则向量与的夹角θ的余弦值为 ．
6．已知θ为第四象限，sinθ=﹣，则tanθ= ．
7．已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则f（16）= ．
8．已知sin（x+）=﹣，则sin（﹣x）的值是 ．
9．已知向量=（1，﹣2），=（3，4），若（﹣）∥（2+k），则实数k的值为 ．
10．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为g（x）= ．
11．若函数f（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，则实数a的值为 ．
12．若方程log3x+x=3的解所在的区间是（k，k+1），则整数k= ．
13．在平行四边形中，AB=4，AD=3，∠BAD=60°，点E在BC上，且=2，F是DC的中点，则 = ．
14．若关于x的方程4x﹣m 2x+1+2﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
16．已知向量，满足||=2，||=1，向量=2﹣， =+3．
（1）若与的夹角为60°，求|﹣|的值；
（2）若⊥，求向量与的夹角θ的值．
17．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+3（x∈R）．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值，并求取最大值时对应的x的值．
18．某公司生产一款家用小型空气净化装置的固定成本为20000元，每生产一台装置需要增加投入200元，经市场调研，销售该装置的总收益（单位：元）满足函数R（x）=，其中x是该空气净化装置的月产量（单位：台）．
（1）将公司月利润f（x）表示月产量x的函数关系；
（2）当月产量x为何值时，公司所获月利润最大？并求出月利润的最大值．
19．已知向量=（3sinx，﹣1）=（3cosx，2），x∈R．
（1）若⊥，求sin2x的值；
（2）设向量=（，﹣），记f（x）=（+） （﹣）+ ，x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．
20．已知寒素f（x）=3x2﹣2mx﹣1（m∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为g（m），求g（m）的表达式；
（3）已知h（x）为奇函数，当x≥0时，h（x）=f（x）+2mx+1，若h（2x﹣3）≤h（x+cosθ）对θ∈R恒成立，求实数x的取值范围．
2015-2016学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，则A∩B= {0，1} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．
【分析】利用交集定义求解．
【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，
∴A∩B={0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．
2．已知扇形的圆心角α=，半径r=3，则扇形的弧长l为 2π ．
【考点】弧长公式．
【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．
【分析】利用弧长公式即可得出．
【解答】解：l=αr=×3=2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查了弧长公式，属于基础题．
3．函数y=+lg（2﹣x）的定义域是 [﹣1，2） ．
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】根据题意知根号里的式子要大于等于0，且对数里的真数要为大于0得到y的定义域．
【解答】解：因为函数y=+lg（2﹣x）要有意义，
则x+1≥0且2﹣x＞0
求出解集为﹣1≤x＜2
故答案为[﹣1，2）
【点评】考查学生理解函数定义域及会求对数函数定义域的能力．
4．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα= ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由三角函数的定义可直接求得sinα．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2，4），
∴x=﹣2，y=4，r=2，
∴sinα==．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5．已知||=2，||=3，且 =﹣2，则向量与的夹角θ的余弦值为 ﹣ ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】代入向量的夹角公式cosθ=计算．
【解答】解：cosθ===﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了平面向量的夹角公式，是基础题．
6．已知θ为第四象限，sinθ=﹣，则tanθ= ﹣ ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanθ= 的值．
【解答】解：∵θ为第四象限，sinθ=﹣，∴cosθ==，
则tanθ==﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
7．已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则f（16）= ．
【考点】幂函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，再计算函数值f（16）．
【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，
∴2α=，
解得α=﹣，
∴f（x）=（x＞0）；
∴f（16）===．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题时应用待定系数法求出函数的解析式，是基础题．
8．已知sin（x+）=﹣，则sin（﹣x）的值是 ﹣ ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用利用诱导公式求得所给的式子的值．
【解答】解：∵sin（x+）=﹣，
∴sin（﹣x）=sin[π﹣（x+）]=sin（x+）=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查利用诱导公式求三角函数式的值，属于基础题．
9．已知向量=（1，﹣2），=（3，4），若（﹣）∥（2+k），则实数k的值为 ﹣2 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由已知向量的坐标求得（﹣），（2+k）的坐标，然后由向量共线的坐标表示列式求得k值．
【解答】解：∵ =（1，﹣2），=（3，4），
∴﹣=（﹣2，﹣6），2+k=（2+3k，4k﹣4），
若（﹣）∥（2+k），
则﹣2（4k﹣4）+6（2+3k）=0，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥ a1a2+b1b2=0，∥ a1b2﹣a2b1=0，是基础题．
10．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为g（x）= sin2x ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象，
则函数g（x）的解析式为g（x）=sin2x，
故答案为：sin2x．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
11．若函数f（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，则实数a的值为 1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的定义，利用条件f（﹣x）=﹣f（x），建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即==﹣=，
即a+2x=a 2x+1，
则a=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．比较基础．
12．若方程log3x+x=3的解所在的区间是（k，k+1），则整数k= 2 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】方程的解在这个范围，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行检验．
【解答】解：∵方程log3x+x=3的解所在的区间是（k，k+1），
∴函数log3x=﹣x+3的零点在（k，k+1）区间上，
即函数f（x）=log3x与函数g（x）=﹣x+3的交点在（k，k+1），
根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），
当k=1时，m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，
∴k=2，
故答案为：2
【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．
13．在平行四边形中，AB=4，AD=3，∠BAD=60°，点E在BC上，且=2，F是DC的中点，则 = 2 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标进行计算即可．
【解答】以AB为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A（0，0），B（4，0），C（，），D（，），E（5，），F（，）．
∴=（5，），=（﹣，），
∴ =5×（﹣）+×=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
14．若关于x的方程4x﹣m 2x+1+2﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 （1，2） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】设2x=y，将方程化为关于y的一元二次方程有两个正数根解答．
【解答】解：设2x=y，则y＞0，关于x的方程变为y2﹣2my+2﹣m=0，此方程有两个不相等的正数根，
所以，解得1＜m＜2，
所以实数m的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了一元二次方程根的分布问题；首先要将已知方程利用换元的方法转化为一元二次方程有两个正数根．
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cosα 和sinβ 的值，两角的正弦公式求得 sin（α+β）的值．
（2）由（1）求得tanα 和tanβ 的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α﹣β）的值．
【解答】解：（1）∵已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=，∴cosα==，sinβ==，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+=．
（2）由（1）可得tanα==，tanβ==，
∴tan（α﹣β）===．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．
16．已知向量，满足||=2，||=1，向量=2﹣， =+3．
（1）若与的夹角为60°，求|﹣|的值；
（2）若⊥，求向量与的夹角θ的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】（1）求出，对|﹣|取平方计算；（2）由⊥得 =0，列出方程解出cosθ，得到θ的值．
【解答】解：（1）=2×1×cos60°=1．∴|﹣|2=2﹣2+2=3．∴|﹣|=．
（2）∵⊥，∴ =0，即（2﹣） （+3）=22+5﹣32=8+10cosθ﹣3=0．
∴cosθ=﹣．∴θ=120°．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．
17．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+3（x∈R）．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值，并求取最大值时对应的x的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）由 x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最大值，以及取最大值时对应的x的值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+3=sin2x+cos2x+3=2sin（2x+）+3，
∴函数f（x）的最小正周期为=π．
（2）∵x∈[0，]，可得2x+∈[，]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最大值为5，
此时，x=．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．
18．某公司生产一款家用小型空气净化装置的固定成本为20000元，每生产一台装置需要增加投入200元，经市场调研，销售该装置的总收益（单位：元）满足函数R（x）=，其中x是该空气净化装置的月产量（单位：台）．
（1）将公司月利润f（x）表示月产量x的函数关系；
（2）当月产量x为何值时，公司所获月利润最大？并求出月利润的最大值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
【解答】解：（1）当0≤x≤400时，f（x）=500x﹣﹣200x﹣20000=﹣+300x﹣20000
当x＞400时，f（x）=84500+100x﹣200x﹣20000=64500﹣100x
所以f（x）=…
（2）当0≤x≤400时，f（x）=﹣+25000
当x=300时，f（x）max=25000，…
当x＞400时，f（x）=64500﹣100x＜f（400）=24500＜25000…
所以当x=300时，f（x）max=25000
答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元． …
【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
19．已知向量=（3sinx，﹣1）=（3cosx，2），x∈R．
（1）若⊥，求sin2x的值；
（2）设向量=（，﹣），记f（x）=（+） （﹣）+ ，x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由⊥，得 =0，列出方程解出；
（2）求出f（x）的解析式并化简得f（x）=2sin2x+sinx﹣1，根据x得范围得出sinx的范围，利用二次函数的性质得出f（x）的最值．
【解答】解：（1）∵⊥，∴ =9sinxcosx﹣2=0，即sin2x﹣2=0，解得sin2x=．
（2）f（x）=（2﹣2）+=（9sin2x+1﹣9cos2x﹣4）+sinx+=sin2x﹣cos2x+sinx=2sin2x+sinx﹣1=2（sinx+）2﹣．
∵x∈[﹣，]，∴sinx∈[﹣1，1]，
∴当sinx=﹣，f（x）取得最小值﹣，当sinx=1时，f（x）取得最大值2．
∴函数f（x）的值域是[﹣，2]．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，平面向量的数量积运算，正弦函数的性质，属于中档题．
20．已知寒素f（x）=3x2﹣2mx﹣1（m∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为g（m），求g（m）的表达式；
（3）已知h（x）为奇函数，当x≥0时，h（x）=f（x）+2mx+1，若h（2x﹣3）≤h（x+cosθ）对θ∈R恒成立，求实数x的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由f（x）在（1，2）上单调可知≤1或≥2，解出m的范围；
（2）根据对称轴与区间[0，1]的关系分三种情况讨论f（x）在[0，1]上的单调性，求出f（x）的最小值；
（3）求出h（x）的解析式并判断好h（x）的单调性，利用单调性得出2x﹣3与x+cosθ的大小关系，解不等式得出x的范围．
【解答】解：（1）f（x）的对称轴为x=，
∵函数f（x）在区间（1，2）上是单调函数，∴≤1或≥2，解得m≤3或m≥6．
∴m的取值范围是（﹣∞，3]∪[6，+∞）．
（2）①若≤0，即m≤0时，f（x）在[0，1]上是增函数，∴g（m）=f（0）=﹣1．
②若≥1，即m≥3时，f（x）在[0，1]上是减函数，∴g（m）=f（1）=2﹣2m．
③若0＜＜1，即0＜m＜3时，f（x）在[0，1]上先减后增，∴g（m）=f（）=﹣﹣1．
综上，g（m）=．
（3）当x≥0时，h（x）=3x2，
设x＜0，则﹣x＞0，∴h（﹣x）=3x2，
∵h（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x）=﹣3x2，
∴h（x）=．∴h（x）在R上是增函数．
∵h（2x﹣3）≤h（x+cosθ）对θ∈R恒成立，
∴2x﹣3≤x+cosθ对θ∈R恒成立．∴x≤3+cosθ对θ∈R恒成立．
∵﹣1≤cosθ≤1，∴x≤2．
∴实数x的取值范围是（﹣∞，2]．
【点评】本题考查了二次函数的单调性，最小值以及函数恒成立问题，对对称轴与区间的关系进行讨论是解题关键，属于中档题．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，则A∩B= ．
2．已知扇形的圆心角α=，半径r=3，则扇形的弧长l为 ．
3．函数y=+lg（2﹣x）的定义域是 ．
4．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα= ．
5．已知||=2，||=3，且 =﹣2，则向量与的夹角θ的余弦值为 ．
6．已知θ为第四象限，sinθ=﹣，则tanθ= ．
7．已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则f（16）= ．
8．已知sin（x+）=﹣，则sin（﹣x）的值是 ．
9．已知向量=（1，﹣2），=（3，4），若（﹣）∥（2+k），则实数k的值为 ．
10．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为g（x）= ．
11．若函数f（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，则实数a的值为 ．
12．若方程log3x+x=3的解所在的区间是（k，k+1），则整数k= ．
13．在平行四边形中，AB=4，AD=3，∠BAD=60°，点E在BC上，且=2，F是DC的中点，则 = ．
14．若关于x的方程4x﹣m 2x+1+2﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
16．已知向量，满足||=2，||=1，向量=2﹣， =+3．
（1）若与的夹角为60°，求|﹣|的值；
（2）若⊥，求向量与的夹角θ的值．
17．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+3（x∈R）．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值，并求取最大值时对应的x的值．
18．某公司生产一款家用小型空气净化装置的固定成本为20000元，每生产一台装置需要增加投入200元，经市场调研，销售该装置的总收益（单位：元）满足函数R（x）=，其中x是该空气净化装置的月产量（单位：台）．
（1）将公司月利润f（x）表示月产量x的函数关系；
（2）当月产量x为何值时，公司所获月利润最大？并求出月利润的最大值．
19．已知向量=（3sinx，﹣1）=（3cosx，2），x∈R．
（1）若⊥，求sin2x的值；
（2）设向量=（，﹣），记f（x）=（+） （﹣）+ ，x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．
20．已知寒素f（x）=3x2﹣2mx﹣1（m∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为g（m），求g（m）的表达式；
（3）已知h（x）为奇函数，当x≥0时，h（x）=f（x）+2mx+1，若h（2x﹣3）≤h（x+cosθ）对θ∈R恒成立，求实数x的取值范围．
2015-2016学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，则A∩B= {0，1} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．
【分析】利用交集定义求解．
【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，
∴A∩B={0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．
2．已知扇形的圆心角α=，半径r=3，则扇形的弧长l为 2π ．
【考点】弧长公式．
【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．
【分析】利用弧长公式即可得出．
【解答】解：l=αr=×3=2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查了弧长公式，属于基础题．
3．函数y=+lg（2﹣x）的定义域是 [﹣1，2） ．
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】根据题意知根号里的式子要大于等于0，且对数里的真数要为大于0得到y的定义域．
【解答】解：因为函数y=+lg（2﹣x）要有意义，
则x+1≥0且2﹣x＞0
求出解集为﹣1≤x＜2
故答案为[﹣1，2）
【点评】考查学生理解函数定义域及会求对数函数定义域的能力．
4．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα= ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由三角函数的定义可直接求得sinα．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2，4），
∴x=﹣2，y=4，r=2，
∴sinα==．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5．已知||=2，||=3，且 =﹣2，则向量与的夹角θ的余弦值为 ﹣ ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】代入向量的夹角公式cosθ=计算．
【解答】解：cosθ===﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了平面向量的夹角公式，是基础题．
6．已知θ为第四象限，sinθ=﹣，则tanθ= ﹣ ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanθ= 的值．
【解答】解：∵θ为第四象限，sinθ=﹣，∴cosθ==，
则tanθ==﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
7．已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则f（16）= ．
【考点】幂函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，再计算函数值f（16）．
【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，
∴2α=，
解得α=﹣，
∴f（x）=（x＞0）；
∴f（16）===．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题时应用待定系数法求出函数的解析式，是基础题．
8．已知sin（x+）=﹣，则sin（﹣x）的值是 ﹣ ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用利用诱导公式求得所给的式子的值．
【解答】解：∵sin（x+）=﹣，
∴sin（﹣x）=sin[π﹣（x+）]=sin（x+）=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查利用诱导公式求三角函数式的值，属于基础题．
9．已知向量=（1，﹣2），=（3，4），若（﹣）∥（2+k），则实数k的值为 ﹣2 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由已知向量的坐标求得（﹣），（2+k）的坐标，然后由向量共线的坐标表示列式求得k值．
【解答】解：∵ =（1，﹣2），=（3，4），
∴﹣=（﹣2，﹣6），2+k=（2+3k，4k﹣4），
若（﹣）∥（2+k），
则﹣2（4k﹣4）+6（2+3k）=0，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥ a1a2+b1b2=0，∥ a1b2﹣a2b1=0，是基础题．
10．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为g（x）= sin2x ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象，
则函数g（x）的解析式为g（x）=sin2x，
故答案为：sin2x．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
11．若函数f（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，则实数a的值为 1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的定义，利用条件f（﹣x）=﹣f（x），建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即==﹣=，
即a+2x=a 2x+1，
则a=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．比较基础．
12．若方程log3x+x=3的解所在的区间是（k，k+1），则整数k= 2 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】方程的解在这个范围，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行检验．
【解答】解：∵方程log3x+x=3的解所在的区间是（k，k+1），
∴函数log3x=﹣x+3的零点在（k，k+1）区间上，
即函数f（x）=log3x与函数g（x）=﹣x+3的交点在（k，k+1），
根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），
当k=1时，m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，
∴k=2，
故答案为：2
【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．
13．在平行四边形中，AB=4，AD=3，∠BAD=60°，点E在BC上，且=2，F是DC的中点，则 = 2 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标进行计算即可．
【解答】以AB为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A（0，0），B（4，0），C（，），D（，），E（5，），F（，）．
∴=（5，），=（﹣，），
∴ =5×（﹣）+×=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
14．若关于x的方程4x﹣m 2x+1+2﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 （1，2） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】设2x=y，将方程化为关于y的一元二次方程有两个正数根解答．
【解答】解：设2x=y，则y＞0，关于x的方程变为y2﹣2my+2﹣m=0，此方程有两个不相等的正数根，
所以，解得1＜m＜2，
所以实数m的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了一元二次方程根的分布问题；首先要将已知方程利用换元的方法转化为一元二次方程有两个正数根．
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cosα 和sinβ 的值，两角的正弦公式求得 sin（α+β）的值．
（2）由（1）求得tanα 和tanβ 的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α﹣β）的值．
【解答】解：（1）∵已知α和β均为锐角，且sinα=，cosβ=，∴cosα==，sinβ==，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+=．
（2）由（1）可得tanα==，tanβ==，
∴tan（α﹣β）===．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．
16．已知向量，满足||=2，||=1，向量=2﹣， =+3．
（1）若与的夹角为60°，求|﹣|的值；
（2）若⊥，求向量与的夹角θ的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】（1）求出，对|﹣|取平方计算；（2）由⊥得 =0，列出方程解出cosθ，得到θ的值．
【解答】解：（1）=2×1×cos60°=1．∴|﹣|2=2﹣2+2=3．∴|﹣|=．
（2）∵⊥，∴ =0，即（2﹣） （+3）=22+5﹣32=8+10cosθ﹣3=0．
∴cosθ=﹣．∴θ=120°．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．
17．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+3（x∈R）．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值，并求取最大值时对应的x的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）由 x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最大值，以及取最大值时对应的x的值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+3=sin2x+cos2x+3=2sin（2x+）+3，
∴函数f（x）的最小正周期为=π．
（2）∵x∈[0，]，可得2x+∈[，]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最大值为5，
此时，x=．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．
18．某公司生产一款家用小型空气净化装置的固定成本为20000元，每生产一台装置需要增加投入200元，经市场调研，销售该装置的总收益（单位：元）满足函数R（x）=，其中x是该空气净化装置的月产量（单位：台）．
（1）将公司月利润f（x）表示月产量x的函数关系；
（2）当月产量x为何值时，公司所获月利润最大？并求出月利润的最大值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
【解答】解：（1）当0≤x≤400时，f（x）=500x﹣﹣200x﹣20000=﹣+300x﹣20000
当x＞400时，f（x）=84500+100x﹣200x﹣20000=64500﹣100x
所以f（x）=…
（2）当0≤x≤400时，f（x）=﹣+25000
当x=300时，f（x）max=25000，…
当x＞400时，f（x）=64500﹣100x＜f（400）=24500＜25000…
所以当x=300时，f（x）max=25000
答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元． …
【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
19．已知向量=（3sinx，﹣1）=（3cosx，2），x∈R．
（1）若⊥，求sin2x的值；
（2）设向量=（，﹣），记f（x）=（+） （﹣）+ ，x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由⊥，得 =0，列出方程解出；
（2）求出f（x）的解析式并化简得f（x）=2sin2x+sinx﹣1，根据x得范围得出sinx的范围，利用二次函数的性质得出f（x）的最值．
【解答】解：（1）∵⊥，∴ =9sinxcosx﹣2=0，即sin2x﹣2=0，解得sin2x=．
（2）f（x）=（2﹣2）+=（9sin2x+1﹣9cos2x﹣4）+sinx+=sin2x﹣cos2x+sinx=2sin2x+sinx﹣1=2（sinx+）2﹣．
∵x∈[﹣，]，∴sinx∈[﹣1，1]，
∴当sinx=﹣，f（x）取得最小值﹣，当sinx=1时，f（x）取得最大值2．
∴函数f（x）的值域是[﹣，2]．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，平面向量的数量积运算，正弦函数的性质，属于中档题．
20．已知寒素f（x）=3x2﹣2mx﹣1（m∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为g（m），求g（m）的表达式；
（3）已知h（x）为奇函数，当x≥0时，h（x）=f（x）+2mx+1，若h（2x﹣3）≤h（x+cosθ）对θ∈R恒成立，求实数x的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由f（x）在（1，2）上单调可知≤1或≥2，解出m的范围；
（2）根据对称轴与区间[0，1]的关系分三种情况讨论f（x）在[0，1]上的单调性，求出f（x）的最小值；
（3）求出h（x）的解析式并判断好h（x）的单调性，利用单调性得出2x﹣3与x+cosθ的大小关系，解不等式得出x的范围．
【解答】解：（1）f（x）的对称轴为x=，
∵函数f（x）在区间（1，2）上是单调函数，∴≤1或≥2，解得m≤3或m≥6．
∴m的取值范围是（﹣∞，3]∪[6，+∞）．
（2）①若≤0，即m≤0时，f（x）在[0，1]上是增函数，∴g（m）=f（0）=﹣1．
②若≥1，即m≥3时，f（x）在[0，1]上是减函数，∴g（m）=f（1）=2﹣2m．
③若0＜＜1，即0＜m＜3时，f（x）在[0，1]上先减后增，∴g（m）=f（）=﹣﹣1．
综上，g（m）=．
（3）当x≥0时，h（x）=3x2，
设x＜0，则﹣x＞0，∴h（﹣x）=3x2，
∵h（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x）=﹣3x2，
∴h（x）=．∴h（x）在R上是增函数．
∵h（2x﹣3）≤h（x+cosθ）对θ∈R恒成立，
∴2x﹣3≤x+cosθ对θ∈R恒成立．∴x≤3+cosθ对θ∈R恒成立．
∵﹣1≤cosθ≤1，∴x≤2．
∴实数x的取值范围是（﹣∞，2]．
【点评】本题考查了二次函数的单调性，最小值以及函数恒成立问题，对对称轴与区间的关系进行讨论是解题关键，属于中档题．
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