江苏省盐城市响水中学2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省盐城市响水中学2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 199.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-25 13:03:48 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省盐城市响水中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、填空题
1．若x＞0，y＞0，且x+y=2，则x y的最大值为 ．
2．椭圆的离心率为 ．
3．若x∈[﹣2，2]，则|x|≤1的概率为 ．
4．若执行如图伪代码时没有执行y←x2+1，则输入的x的取值范围是 ．
5．某城市有大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为
．
6．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为 ．
7．已知焦点在y轴上的椭圆方程为=1，则a的范围是 ．
8．已知一组数据的平均值和方差分别是1.2和 4，若每一个数据都加上32得到一组新数据，则这组新数据的平均值与标准差的和为 ．
9．从1，2，3，…，9中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和是偶数的概率是 ．
10．执行如图的流程图，若p=4，则输出的S等于 ；
11．如果关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（），那么称这两个不等式为“对偶不等式”．如果关于x的两个不等式x2+（2m+10）x+2＜0与2x2+mx+1＜0为“对偶不等式”，则实数m= ．
12．已知点P是椭圆=1上任一点，且点P在第一象限内，若以P点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长，则该直角三角形斜边长的最小值为 ．
13．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆上存在点P，使；则该椭圆离心率的范围是 ．
14．设正实数x，y，z满足x+3y+z=1，则的最小值为 ．
二、解答题（15、16、17每题14分，18、19、20题每题16分，计90分）
15．已知不等式x2﹣（1+a）x+a＜0；
（1）若该不等式的解集为（1，2），求a的值；
（2）若a∈R，解该不等式．
16．设实数x，y满足（注：图中的正方形网格的边长为1个单位长度）．
（1）在给出的直角坐标系中画出平面区域；
（2）求x+3y的最大值；
（3）求的范围．
17．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛． 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第五组第一位学生的编号；
（2）填充频率分布表的空格（直接填在表格内），并作出频率分布直方图；
（3）若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
分组 频数 频率
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 10
80.5～90.5 18 0.36
90.5～100.5
合计 50
18．如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）设BC的长度为x，矩形ABCD的面积为y，试写出y关于x的函数关系式；
（2）求当BC多少时，矩形ABCD的面积最大，并求出该最大值．
19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若“椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，则椭圆的面积是πab．”
请针对（1）中求得的椭圆，求解下列问题：
①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率．
20．如图，AB是长轴长为6，焦距为2的椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l的方程为x=9，M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM交l于点P．
（1）求椭圆方程；
（2）以MP为直径的圆与直线MB交于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求该定点坐标．
2015-2016学年江苏省盐城市响水中学高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．若x＞0，y＞0，且x+y=2，则x y的最大值为 1 ．
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由题意和基本不等式可得x y≤=1，验证等号成立即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y=2，
∴x y≤=1，
当且仅当x=y=1时，x y取最大值1，
故答案为：1．
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
2．椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆的几何量，然后求解离心率即可．
【解答】解：，可得a=，b=2，c=1，∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查计算能力．
3．若x∈[﹣2，2]，则|x|≤1的概率为 ．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；不等式的解法及应用；概率与统计．
【分析】本题考查的知识点是几何概型，解题要点是要分别求出满足条件的事件对应的线段长度及总事件对应线段长度．
【解答】解：若x∈[﹣2，2]，则|x|≤1，即x∈[﹣1，1]的概率P==，
故答案为：
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，既可以为本题中的线段长度，也可以包含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．
4．若执行如图伪代码时没有执行y←x2+1，则输入的x的取值范围是 x＞2.5 ．
【考点】伪代码．
【专题】计算题；分类讨论；分析法；算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，分析题意即可得解．
【解答】解：由已知中的程序语句可得：
该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，
∵执行伪代码时没有执行y←x2+1，
∴输入的x的取值范围是：x＞2.5．
故答案为：x＞2.5．
【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．
5．某城市有大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为
20 ．
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题．
【分析】根据本市的三种学校的数目，做出全市共有学校的数目，因为要抽取70个学校作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以中学的数目，得到结果．
【解答】解：∵某城市有大学20所，中学200所，小学480所．
∴本市共有学校20+200+480=700，
∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本
∴每个个体被抽到的概率是=，
∵本市有中学200所，
∴要抽取的中学数是200×=20，
故答案为：20
【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．
6．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为 32 ．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题．
【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．
【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，
则有：，
解得：x=0.2，
∴中间一组的频数=160×0.2=32．
故填：32．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=．
7．已知焦点在y轴上的椭圆方程为=1，则a的范围是 ﹣8＜a＜1 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x、y平方的分母都是正数，且y平方的分母要大于x平方和分母，由此建立关于x的不等式组，解之即得实数k的取值范围．
【解答】解：∵ =1，焦点在y轴上，
∴，解之得﹣8＜a＜1．
故答案为：﹣8＜a＜1．
【点评】本题给出含有字母参数k的方程表示椭圆，求参数k的取值范围，考查了椭圆的标准方程与基本概念等知识，属于基础题．
8．已知一组数据的平均值和方差分别是1.2和 4，若每一个数据都加上32得到一组新数据，则这组新数据的平均值与标准差的和为 35.2 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；规律型；对应思想；概率与统计．
【分析】将已知中数据每一个数据都加上a得到一组新数据，数据的平均数增加a，但方差不变，进而得到答案．
【解答】解：∵原数据的平均值和方差分别是1.2和4，
∴每一个数据都加上32得到的新数据平均值和方差分别是33.2和4，
∴新数据的新数据平均值和标准差分别是33.2和2，
33.2+2=35.2，
故答案为：35.2
【点评】本题考查的知识点是数据的平均数，方差和标准差，正确理解平均数，方差，标准差的意义，是解答的关键．
9．从1，2，3，…，9中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和是偶数的概率是 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；概率与统计．
【分析】利用分类计数原理计算2数之和为偶数的情况种数，再计算从9个数中任取2个数的情况种数，代入古典概型的概率公式计算．
【解答】解：其中偶数有2，4，6，8；奇数有1，3，5，7，9，
2个数之和为偶数有两种情况，
第一、2个数都为奇数，有C52=10个，
第二、2个数都为偶数，有C42=6个，
从9个数中任取2个有C92=36个，
∴2个数的和为偶数的概率为=
故答案为：．
【点评】本题考查了排列、组合的应用及古典概型的概率计算，熟练掌握分类计数原理及组合数公式是解答本题的关键．
10．执行如图的流程图，若p=4，则输出的S等于 ；
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；分类讨论；试验法；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=4时，不满足条件n＜p，退出循环，输出S的值为．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
p=4，n=0，S=0
满足条件n＜p，n=1，S=
满足条件n＜p，n=2，S=
满足条件n＜p，n=3，S=
满足条件n＜p，n=4，S=
不满足条件n＜p，退出循环，输出S的值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的n，s的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
11．如果关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（），那么称这两个不等式为“对偶不等式”．如果关于x的两个不等式x2+（2m+10）x+2＜0与2x2+mx+1＜0为“对偶不等式”，则实数m= ﹣10 ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用．
【分析】根据不等式和方程之间的关系进行求解即可．
【解答】解：∵不等式x2+（2m+10）x+2＜0与2x2+mx+1＜0为“对偶不等式”，
∴x=a，和x=b是方程x2+（2m+10）x+2=0的两个根，
则a+b=﹣2m﹣10，ab=2，
x=，和x=是方程2x2+mx+1=0的两个根，
则+=﹣， =，
即+==﹣，
即=﹣，
解得m=﹣10，
故答案为：﹣10
【点评】本题主要考查一元二次不等式和一元二次方程之间的应用，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．
12．已知点P是椭圆=1上任一点，且点P在第一象限内，若以P点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长，则该直角三角形斜边长的最小值为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】函数思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆的参数方程可得P（3cosα，2sinα）（0＜α＜），则+=（sin2α+cos2α）（+），展开运用基本不等式可得最小值，再由直角三角形的勾股定理可得斜边的最小值．
【解答】解：椭圆=1，可设P（3cosα，2sinα）（0＜α＜），
则+=（sin2α+cos2α）（+）
=++ + ≥+2=+=，
当且仅当2sin2α=3cos2α，即tanα=，取得等号．
由题意可得直角三角形斜边长为，
即有最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的最值的求法，注意运用乘1法，考查基本不等式的运用，属于中档题．
13．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆上存在点P，使；则该椭圆离心率的范围是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则=，m+n=2a，化为m=，又a﹣c≤m≤a+c，化为≤1+e，0＜e＜1．解出即可得出．
【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，
则=，m+n=2a，
化为m=，
又a﹣c≤m≤a+c，
∴a﹣c≤≤a+c，
化为≤1+e，0＜e＜1．
解得≤e＜1，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．设正实数x，y，z满足x+3y+z=1，则的最小值为 ．
【考点】基本不等式．
【专题】整体思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】令x+2y=m，y+z=n，问题转化为正实数m，n满足m+n=1求得最小值，换元结合不等式的性质可得．
【解答】解：∵正实数x，y，z满足x+3y+z=1，
令x+2y=m，y+z=n，则正实数m，n满足m+n=1，
∴==
===﹣1+，
令3m+1=t，则m=（t﹣1），t＞1
代入上式化简可得=﹣1+=﹣1+=﹣1+
由基本不等式可得﹣4t﹣=﹣4（t+）≤﹣4×2=﹣16，
∴﹣4t﹣+20≤4，∴≥，
∴﹣1+≥
当且仅当t=即t=2即m=且n=时取等号，此时x+2y=，y+z=，
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式求最值，整体换元并利用函数和不等式的性质是解决问题的关键，属中档题．
二、解答题（15、16、17每题14分，18、19、20题每题16分，计90分）
15．已知不等式x2﹣（1+a）x+a＜0；
（1）若该不等式的解集为（1，2），求a的值；
（2）若a∈R，解该不等式．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】计算题；分类讨论；方程思想；数学模型法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）由于该不等式x2﹣（1+a）x+a＜0的解集为（1，2），可得1，2是一元二次方程x2﹣（1+a）x+a=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．
（2）x2﹣（1+a）x+a＜0，化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，对a分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）∵该不等式x2﹣（1+a）x+a＜0的解集为（1，2），
∴1，2是一元二次方程x2﹣（1+a）x+a=0的两个实数根，
∴1+2=1+a，1×2=a，
解得a=2．
（2）x2﹣（1+a）x+a＜0，化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，
当a＜1时，解得a＜x＜1，因此不等式解集为（a，1）；
当a=1时，解集为 ；
当a＞1，解得1＜x＜a，因此不等式解集为（1，a）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．设实数x，y满足（注：图中的正方形网格的边长为1个单位长度）．
（1）在给出的直角坐标系中画出平面区域；
（2）求x+3y的最大值；
（3）求的范围．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）根据二元一次不等式组的应用进行作图即可．
（2）利用平移进行求解即可．
（3）利用直线斜率的几何意义进行求解．
【解答】解：（1）画出如图所示的平面区域：
（2）由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，
平移直线，由平移可知当直线，经过点B（0，3）时，
直线，的截距最大，此时z取得最大值，
由得，即C（），
代入z=x+3y，得z=+×3=8，
即目标函数z=x+3y的最大值为8．
（3）设k=，则k的几何意义切区域内的点到原点斜率，
由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由得，即A（，1），
由得，即C（，）
依据平面区域得
所以的范围是[]．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平移和直线斜率，求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
17．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛． 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第五组第一位学生的编号；
（2）填充频率分布表的空格（直接填在表格内），并作出频率分布直方图；
（3）若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
分组 频数 频率
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 10
80.5～90.5 18 0.36
90.5～100.5
合计 50
【考点】频率分布直方图；系统抽样方法；频率分布表．
【专题】计算题；图表型．
【分析】（1）根据系统抽样法则，由于要从800个人中抽取50个样本，故需要分成50组，每组16人，则第五组第一位同学的编号为4×16=064号
（2）由频数=频率×样本容量，各组频率和为1，我们易求出各组的频率和频数，填满表格中的数据；
（3）由频率分布直方表中成绩在85.5～95.5分的频率，我们易根据总体容量为800，估算出参赛学生中获得二等奖的学生人数．
【解答】解：（1）∵要从800个人中抽取50个样本，
∴可将总体分为50组
故每组有800÷50=16人
∵4×16=64
∴第五组第一位同学的编号为编号为064；
（2）
分组 频数 频率
60.5～70.5 8 0.16
70.5～80.5 10 0.20
80.5～90.5 18 0.36
90.5～100.5 14 0.28
合计 50 1
（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，
占样本的比例是，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人．
答：获二等奖的大约有256人．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，系统抽样方法，频率分布表，其中频数=频率×样本容量，是解答频率分布直方表问题的关键．
18．如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）设BC的长度为x，矩形ABCD的面积为y，试写出y关于x的函数关系式；
（2）求当BC多少时，矩形ABCD的面积最大，并求出该最大值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）连结OC，求出OB，然后求解表达式．
（2）利用基本不等式求出函数的最值即可．
【解答】解：（1）连结OC，得，所以AB=，
所以y=，x∈（0，30）…．
（2）因为．
即x2=900﹣x2，即x=时取等号，此时ymax=900…
答：时，矩形ABCD的面积最大，最大为900cm2…．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．
19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若“椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，则椭圆的面积是πab．”
请针对（1）中求得的椭圆，求解下列问题：
①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率．
【考点】几何概型；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．
【分析】（1）由已知，先确定a，c的值，进而求出b2，可得椭圆的标准方程；
（2）①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，则属于几何概型，分别计算满足条件的区域面积和总的区域面积，进而可得答案；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，则属于古典概型，分别计算满足条件的基本事件个数和总的基本事件的个数，进而可得答案；
【解答】解：（1）∵短轴的一个端点到右焦点的距离为4，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，
∴，
∴，
∴b2=a2﹣c2=9，
∴椭圆的标准方程是．…..；
（2）①当m，n是实数，且|m|≤4，|n|≤3时，
所有形如（m，n）的点覆盖的图形面积是48，
椭圆围成的区域在其内部，且面积为12π，
故点P（m，n）落在椭圆内的概率是…..；
②当m，n是整数，且|m|≤4，|n|≤3时，点P（m，n）共有9×7=63个．…..；
其中当m＞0，n＞0时，点（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，3），（1，3）共7点落在椭圆外，
由对称性知，当m，n是整数，且|m|≤4，|n|≤3时，共有4×7=28个点落在椭圆外，又因为在椭圆上的整点有四个，
故点P（m，n）落在椭圆内的概率是…..．
【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，概率的计算公式，是圆锥曲线与概率的综合应用，难度中档．
20．如图，AB是长轴长为6，焦距为2的椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l的方程为x=9，M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM交l于点P．
（1）求椭圆方程；
（2）以MP为直径的圆与直线MB交于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求该定点坐标．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可得a=3，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设M（x0，y0），R（t，0），求得直线AM的方程，求得P的坐标，由圆的性质可得MQ⊥PQ，运用直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得直线PQ的方程，令y=0，可得交点R的坐标，即可得证．
【解答】解：（1）解：由题意可得，a=3，c=1，b==．
∴椭圆C的方程为；
（2）证明：由（1）知，A（﹣3，0），B（3，0），
设M（x0，y0），R（t，0），
则直线AM的方程为，
所以点P的坐标为，
由题意，MQ⊥PQ，∴kMQkPQ=﹣1，
∴直线PQ的方程为，
令y=0结合，得x=，
所以直线PQ与x轴的交点R为定点（﹣，0）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直径所对圆的圆周角为直角，以及两直线垂直的条件，以及直线方程的运用，属于中档题．
一、填空题
1．若x＞0，y＞0，且x+y=2，则x y的最大值为 ．
2．椭圆的离心率为 ．
3．若x∈[﹣2，2]，则|x|≤1的概率为 ．
4．若执行如图伪代码时没有执行y←x2+1，则输入的x的取值范围是 ．
5．某城市有大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为
．
6．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为 ．
7．已知焦点在y轴上的椭圆方程为=1，则a的范围是 ．
8．已知一组数据的平均值和方差分别是1.2和 4，若每一个数据都加上32得到一组新数据，则这组新数据的平均值与标准差的和为 ．
9．从1，2，3，…，9中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和是偶数的概率是 ．
10．执行如图的流程图，若p=4，则输出的S等于 ；
11．如果关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（），那么称这两个不等式为“对偶不等式”．如果关于x的两个不等式x2+（2m+10）x+2＜0与2x2+mx+1＜0为“对偶不等式”，则实数m= ．
12．已知点P是椭圆=1上任一点，且点P在第一象限内，若以P点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长，则该直角三角形斜边长的最小值为 ．
13．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆上存在点P，使；则该椭圆离心率的范围是 ．
14．设正实数x，y，z满足x+3y+z=1，则的最小值为 ．
二、解答题（15、16、17每题14分，18、19、20题每题16分，计90分）
15．已知不等式x2﹣（1+a）x+a＜0；
（1）若该不等式的解集为（1，2），求a的值；
（2）若a∈R，解该不等式．
16．设实数x，y满足（注：图中的正方形网格的边长为1个单位长度）．
（1）在给出的直角坐标系中画出平面区域；
（2）求x+3y的最大值；
（3）求的范围．
17．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛． 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第五组第一位学生的编号；
（2）填充频率分布表的空格（直接填在表格内），并作出频率分布直方图；
（3）若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
分组 频数 频率
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 10
80.5～90.5 18 0.36
90.5～100.5
合计 50
18．如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）设BC的长度为x，矩形ABCD的面积为y，试写出y关于x的函数关系式；
（2）求当BC多少时，矩形ABCD的面积最大，并求出该最大值．
19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若“椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，则椭圆的面积是πab．”
请针对（1）中求得的椭圆，求解下列问题：
①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率．
20．如图，AB是长轴长为6，焦距为2的椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l的方程为x=9，M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM交l于点P．
（1）求椭圆方程；
（2）以MP为直径的圆与直线MB交于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求该定点坐标．
2015-2016学年江苏省盐城市响水中学高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．若x＞0，y＞0，且x+y=2，则x y的最大值为 1 ．
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由题意和基本不等式可得x y≤=1，验证等号成立即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y=2，
∴x y≤=1，
当且仅当x=y=1时，x y取最大值1，
故答案为：1．
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
2．椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出椭圆的几何量，然后求解离心率即可．
【解答】解：，可得a=，b=2，c=1，∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查计算能力．
3．若x∈[﹣2，2]，则|x|≤1的概率为 ．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；不等式的解法及应用；概率与统计．
【分析】本题考查的知识点是几何概型，解题要点是要分别求出满足条件的事件对应的线段长度及总事件对应线段长度．
【解答】解：若x∈[﹣2，2]，则|x|≤1，即x∈[﹣1，1]的概率P==，
故答案为：
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，既可以为本题中的线段长度，也可以包含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．
4．若执行如图伪代码时没有执行y←x2+1，则输入的x的取值范围是 x＞2.5 ．
【考点】伪代码．
【专题】计算题；分类讨论；分析法；算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，分析题意即可得解．
【解答】解：由已知中的程序语句可得：
该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，
∵执行伪代码时没有执行y←x2+1，
∴输入的x的取值范围是：x＞2.5．
故答案为：x＞2.5．
【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．
5．某城市有大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为
20 ．
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题．
【分析】根据本市的三种学校的数目，做出全市共有学校的数目，因为要抽取70个学校作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以中学的数目，得到结果．
【解答】解：∵某城市有大学20所，中学200所，小学480所．
∴本市共有学校20+200+480=700，
∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本
∴每个个体被抽到的概率是=，
∵本市有中学200所，
∴要抽取的中学数是200×=20，
故答案为：20
【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．
6．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为 32 ．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题．
【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．
【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，
则有：，
解得：x=0.2，
∴中间一组的频数=160×0.2=32．
故填：32．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=．
7．已知焦点在y轴上的椭圆方程为=1，则a的范围是 ﹣8＜a＜1 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x、y平方的分母都是正数，且y平方的分母要大于x平方和分母，由此建立关于x的不等式组，解之即得实数k的取值范围．
【解答】解：∵ =1，焦点在y轴上，
∴，解之得﹣8＜a＜1．
故答案为：﹣8＜a＜1．
【点评】本题给出含有字母参数k的方程表示椭圆，求参数k的取值范围，考查了椭圆的标准方程与基本概念等知识，属于基础题．
8．已知一组数据的平均值和方差分别是1.2和 4，若每一个数据都加上32得到一组新数据，则这组新数据的平均值与标准差的和为 35.2 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；规律型；对应思想；概率与统计．
【分析】将已知中数据每一个数据都加上a得到一组新数据，数据的平均数增加a，但方差不变，进而得到答案．
【解答】解：∵原数据的平均值和方差分别是1.2和4，
∴每一个数据都加上32得到的新数据平均值和方差分别是33.2和4，
∴新数据的新数据平均值和标准差分别是33.2和2，
33.2+2=35.2，
故答案为：35.2
【点评】本题考查的知识点是数据的平均数，方差和标准差，正确理解平均数，方差，标准差的意义，是解答的关键．
9．从1，2，3，…，9中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和是偶数的概率是 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；概率与统计．
【分析】利用分类计数原理计算2数之和为偶数的情况种数，再计算从9个数中任取2个数的情况种数，代入古典概型的概率公式计算．
【解答】解：其中偶数有2，4，6，8；奇数有1，3，5，7，9，
2个数之和为偶数有两种情况，
第一、2个数都为奇数，有C52=10个，
第二、2个数都为偶数，有C42=6个，
从9个数中任取2个有C92=36个，
∴2个数的和为偶数的概率为=
故答案为：．
【点评】本题考查了排列、组合的应用及古典概型的概率计算，熟练掌握分类计数原理及组合数公式是解答本题的关键．
10．执行如图的流程图，若p=4，则输出的S等于 ；
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；分类讨论；试验法；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=4时，不满足条件n＜p，退出循环，输出S的值为．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
p=4，n=0，S=0
满足条件n＜p，n=1，S=
满足条件n＜p，n=2，S=
满足条件n＜p，n=3，S=
满足条件n＜p，n=4，S=
不满足条件n＜p，退出循环，输出S的值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的n，s的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
11．如果关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（），那么称这两个不等式为“对偶不等式”．如果关于x的两个不等式x2+（2m+10）x+2＜0与2x2+mx+1＜0为“对偶不等式”，则实数m= ﹣10 ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用．
【分析】根据不等式和方程之间的关系进行求解即可．
【解答】解：∵不等式x2+（2m+10）x+2＜0与2x2+mx+1＜0为“对偶不等式”，
∴x=a，和x=b是方程x2+（2m+10）x+2=0的两个根，
则a+b=﹣2m﹣10，ab=2，
x=，和x=是方程2x2+mx+1=0的两个根，
则+=﹣， =，
即+==﹣，
即=﹣，
解得m=﹣10，
故答案为：﹣10
【点评】本题主要考查一元二次不等式和一元二次方程之间的应用，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．
12．已知点P是椭圆=1上任一点，且点P在第一象限内，若以P点的纵横坐标的倒数分别作为一个直角三角形的两直角边长，则该直角三角形斜边长的最小值为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】函数思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆的参数方程可得P（3cosα，2sinα）（0＜α＜），则+=（sin2α+cos2α）（+），展开运用基本不等式可得最小值，再由直角三角形的勾股定理可得斜边的最小值．
【解答】解：椭圆=1，可设P（3cosα，2sinα）（0＜α＜），
则+=（sin2α+cos2α）（+）
=++ + ≥+2=+=，
当且仅当2sin2α=3cos2α，即tanα=，取得等号．
由题意可得直角三角形斜边长为，
即有最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的最值的求法，注意运用乘1法，考查基本不等式的运用，属于中档题．
13．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆上存在点P，使；则该椭圆离心率的范围是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则=，m+n=2a，化为m=，又a﹣c≤m≤a+c，化为≤1+e，0＜e＜1．解出即可得出．
【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，
则=，m+n=2a，
化为m=，
又a﹣c≤m≤a+c，
∴a﹣c≤≤a+c，
化为≤1+e，0＜e＜1．
解得≤e＜1，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．设正实数x，y，z满足x+3y+z=1，则的最小值为 ．
【考点】基本不等式．
【专题】整体思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】令x+2y=m，y+z=n，问题转化为正实数m，n满足m+n=1求得最小值，换元结合不等式的性质可得．
【解答】解：∵正实数x，y，z满足x+3y+z=1，
令x+2y=m，y+z=n，则正实数m，n满足m+n=1，
∴==
===﹣1+，
令3m+1=t，则m=（t﹣1），t＞1
代入上式化简可得=﹣1+=﹣1+=﹣1+
由基本不等式可得﹣4t﹣=﹣4（t+）≤﹣4×2=﹣16，
∴﹣4t﹣+20≤4，∴≥，
∴﹣1+≥
当且仅当t=即t=2即m=且n=时取等号，此时x+2y=，y+z=，
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式求最值，整体换元并利用函数和不等式的性质是解决问题的关键，属中档题．
二、解答题（15、16、17每题14分，18、19、20题每题16分，计90分）
15．已知不等式x2﹣（1+a）x+a＜0；
（1）若该不等式的解集为（1，2），求a的值；
（2）若a∈R，解该不等式．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】计算题；分类讨论；方程思想；数学模型法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）由于该不等式x2﹣（1+a）x+a＜0的解集为（1，2），可得1，2是一元二次方程x2﹣（1+a）x+a=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．
（2）x2﹣（1+a）x+a＜0，化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，对a分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）∵该不等式x2﹣（1+a）x+a＜0的解集为（1，2），
∴1，2是一元二次方程x2﹣（1+a）x+a=0的两个实数根，
∴1+2=1+a，1×2=a，
解得a=2．
（2）x2﹣（1+a）x+a＜0，化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，
当a＜1时，解得a＜x＜1，因此不等式解集为（a，1）；
当a=1时，解集为 ；
当a＞1，解得1＜x＜a，因此不等式解集为（1，a）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．设实数x，y满足（注：图中的正方形网格的边长为1个单位长度）．
（1）在给出的直角坐标系中画出平面区域；
（2）求x+3y的最大值；
（3）求的范围．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）根据二元一次不等式组的应用进行作图即可．
（2）利用平移进行求解即可．
（3）利用直线斜率的几何意义进行求解．
【解答】解：（1）画出如图所示的平面区域：
（2）由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，
平移直线，由平移可知当直线，经过点B（0，3）时，
直线，的截距最大，此时z取得最大值，
由得，即C（），
代入z=x+3y，得z=+×3=8，
即目标函数z=x+3y的最大值为8．
（3）设k=，则k的几何意义切区域内的点到原点斜率，
由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由得，即A（，1），
由得，即C（，）
依据平面区域得
所以的范围是[]．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平移和直线斜率，求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
17．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛． 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第五组第一位学生的编号；
（2）填充频率分布表的空格（直接填在表格内），并作出频率分布直方图；
（3）若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
分组 频数 频率
60.5～70.5 0.16
70.5～80.5 10
80.5～90.5 18 0.36
90.5～100.5
合计 50
【考点】频率分布直方图；系统抽样方法；频率分布表．
【专题】计算题；图表型．
【分析】（1）根据系统抽样法则，由于要从800个人中抽取50个样本，故需要分成50组，每组16人，则第五组第一位同学的编号为4×16=064号
（2）由频数=频率×样本容量，各组频率和为1，我们易求出各组的频率和频数，填满表格中的数据；
（3）由频率分布直方表中成绩在85.5～95.5分的频率，我们易根据总体容量为800，估算出参赛学生中获得二等奖的学生人数．
【解答】解：（1）∵要从800个人中抽取50个样本，
∴可将总体分为50组
故每组有800÷50=16人
∵4×16=64
∴第五组第一位同学的编号为编号为064；
（2）
分组 频数 频率
60.5～70.5 8 0.16
70.5～80.5 10 0.20
80.5～90.5 18 0.36
90.5～100.5 14 0.28
合计 50 1
（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，
占样本的比例是，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人．
答：获二等奖的大约有256人．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，系统抽样方法，频率分布表，其中频数=频率×样本容量，是解答频率分布直方表问题的关键．
18．如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）设BC的长度为x，矩形ABCD的面积为y，试写出y关于x的函数关系式；
（2）求当BC多少时，矩形ABCD的面积最大，并求出该最大值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）连结OC，求出OB，然后求解表达式．
（2）利用基本不等式求出函数的最值即可．
【解答】解：（1）连结OC，得，所以AB=，
所以y=，x∈（0，30）…．
（2）因为．
即x2=900﹣x2，即x=时取等号，此时ymax=900…
答：时，矩形ABCD的面积最大，最大为900cm2…．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．
19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若“椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，则椭圆的面积是πab．”
请针对（1）中求得的椭圆，求解下列问题：
①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率．
【考点】几何概型；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．
【分析】（1）由已知，先确定a，c的值，进而求出b2，可得椭圆的标准方程；
（2）①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，则属于几何概型，分别计算满足条件的区域面积和总的区域面积，进而可得答案；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，则属于古典概型，分别计算满足条件的基本事件个数和总的基本事件的个数，进而可得答案；
【解答】解：（1）∵短轴的一个端点到右焦点的距离为4，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，
∴，
∴，
∴b2=a2﹣c2=9，
∴椭圆的标准方程是．…..；
（2）①当m，n是实数，且|m|≤4，|n|≤3时，
所有形如（m，n）的点覆盖的图形面积是48，
椭圆围成的区域在其内部，且面积为12π，
故点P（m，n）落在椭圆内的概率是…..；
②当m，n是整数，且|m|≤4，|n|≤3时，点P（m，n）共有9×7=63个．…..；
其中当m＞0，n＞0时，点（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，3），（1，3）共7点落在椭圆外，
由对称性知，当m，n是整数，且|m|≤4，|n|≤3时，共有4×7=28个点落在椭圆外，又因为在椭圆上的整点有四个，
故点P（m，n）落在椭圆内的概率是…..．
【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，概率的计算公式，是圆锥曲线与概率的综合应用，难度中档．
20．如图，AB是长轴长为6，焦距为2的椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l的方程为x=9，M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM交l于点P．
（1）求椭圆方程；
（2）以MP为直径的圆与直线MB交于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求该定点坐标．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可得a=3，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设M（x0，y0），R（t，0），求得直线AM的方程，求得P的坐标，由圆的性质可得MQ⊥PQ，运用直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得直线PQ的方程，令y=0，可得交点R的坐标，即可得证．
【解答】解：（1）解：由题意可得，a=3，c=1，b==．
∴椭圆C的方程为；
（2）证明：由（1）知，A（﹣3，0），B（3，0），
设M（x0，y0），R（t，0），
则直线AM的方程为，
所以点P的坐标为，
由题意，MQ⊥PQ，∴kMQkPQ=﹣1，
∴直线PQ的方程为，
令y=0结合，得x=，
所以直线PQ与x轴的交点R为定点（﹣，0）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直径所对圆的圆周角为直角，以及两直线垂直的条件，以及直线方程的运用，属于中档题．
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