江苏省扬州市2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省扬州市2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 202.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-25 14:43:28 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．
2．若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则f（2）= ．
3．函数f（x）=tan（2x+）的最小正周期是 ．
4．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 ．
5．已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ= ．
6．函数 y=的定义域为 ．
7．（lg5）2+lg2×lg50= ．
8．角α的终边经过点P（﹣3，y），且，则y= ．
9．方程的解为x= ．
10．若，，若，则向量与的夹角为 ．
11．关于x的方程cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，则实数a的取值范围是 ．
12．下列说法中，所有正确说法的序号是 ．
①终边落在y轴上的角的集合是；
②函数图象的一个对称中心是；
③函数y=tanx在第一象限是增函数；
④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．
13．若函数y=loga（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是 ．
14．已知f（x）=，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．
（1）若a=0，求A∩B；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
16．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．
（2）若AB=，BC=2，当 =1时，求DF的长．
17．已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2），其中0＜θ＜π．
（1）若∥，求sinθ cosθ的值；
（2）若|，求θ的值．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求A和ω的值；
（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b﹣a的最大值．
19．扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．
（1）求a，b的值；
（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．
①将y表示为x的函数；
②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．
20．已知f（ex）=ax2﹣x，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；
（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a] logxe对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1} ．
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】根据A∪B的元素或属于A，或属于B，将两个集合元素合并后，根据集合元素互异性，去掉重复元素可得答案
【解答】解：A={0，1}，B={﹣1，1}，
∴A∪B={﹣1，0，1}
故答案为：{﹣1，0，1}
【点评】本题考查的知识点是并集及其运算，熟练掌握集合并集的定义是解答的关键．
2．若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则f（2）= ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】计算题．
【分析】设出幂函数的解析式，把点A的坐标代入解析式求出幂指数，然后直接求解f（2）的值．
【解答】解：因为函数f（x）为幂函数，设f（x）=xα．
由函数f（x）的图象经过点A（4，2），
所以4α=2，得．
所以f（x）=．
则f（2）=．
故答案为．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查了函数值的求法，是基础题．
3．函数f（x）=tan（2x+）的最小正周期是 ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用正切函数y=Atan（ωx+φ）的周期公式T=即可求得答案．
【解答】解：∵f（x）=tan（2x+），
∴其最小正周期T=，
故答案为：．
【点评】本题考查正切函数的周期，熟练掌握周期公式是关键，属于基础题．
4．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值．
【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=×2=
根据扇形的面积公式可得S=lr=××2=．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．
5．已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ= ．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示得出结论．
【解答】解：如图所示，
点P在线段AB上，且，
∴==；
又，
∴λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数形结合的应用问题，是基础题目．
6．函数 y=的定义域为 [0，1）∪（1，+∞）． ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求该函数的定义域，直接让x≥0，且x﹣1≠0，求解x即可．
【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．
所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．
故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题．
7．（lg5）2+lg2×lg50= 1 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．
【解答】解：原式=lg25+lg2（1+lg5）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．
8．角α的终边经过点P（﹣3，y），且，则y= 4 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由已知得sinα==，由此能求出结果．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，y），且，
∴r=，sinα==，
解得y=4或y=﹣4（舍）．
故答案为：4．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数性质的合理运用．
9．方程的解为x= ﹣2 ．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知得4（2x）2+3（2x）﹣1=0，由此能求出方程的解．
【解答】解：∵，∴，
∴4（2x）2+3（2x）﹣1=0，
解得或2x=﹣1（舍），
解得x=﹣2．
经检验，x=﹣2是原方程的根，
∴方程的解为x=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．
10．若，，若，则向量与的夹角为 ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题．
【分析】根据两个向量垂直，得到两个向量的数量积等于0，整理成要用的两个向量的数量积等于1，把所给的和所求的代入求两个向量的夹角的公式，得到结果．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴cosθ=，
∵θ∈[0，π]，
∴向量与的夹角为，
故答案为：
【点评】本题考查两个向量的数量积表示两个向量的夹角，解题的关键是根据所给的两个向量的垂直关系写出两个向量的数量积的值．
11．关于x的方程cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，则实数a的取值范围是 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】由cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，即a=sinx﹣cosx=在[0，π]上有解，由0≤x≤π 可得，从而可求a的范围
【解答】解：cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解
即a=sinx﹣cosx=在[0，π]上有解
∵0≤x≤π∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了方程的解的存在，函数中含有参数时，分类参数a，通过辅助角公式及三角函数的性质求解三角函数的范围，进而可求a的范围
12．下列说法中，所有正确说法的序号是 ②④ ．
①终边落在y轴上的角的集合是；
②函数图象的一个对称中心是；
③函数y=tanx在第一象限是增函数；
④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；终边相同的角；余弦函数的图象．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时写出角θ的集合，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，写出角θ 的集合，终边落在y轴上的角的集合是这2个集合的并集，故不正确；
②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，
令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），即可判断；
③通过举反例说明命题错误；
④由于 函数y=sin（2x﹣）=3sin[2（x﹣）]，再结合函数y=Asin（ωx+ ）的图象变换规律得出结论．
【解答】解：①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，
当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，
故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z}，不正确；
②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，
令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），故正确；
③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=＜1=tan45°，
∴函数y=tanx在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；
④由于 函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移个长度单位即可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故正确；
故答案为：②④．
【点评】本题考查终边相同的角的概念和表示法，体现了分类讨论的数学思想．考查了正弦函数的对称中心，体现了转化的数学思想，判断所求的对称中心就是函数 y=cos2x与x轴交点，是解题的关键，属于中档题．
13．若函数y=loga（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是 a＞2 ．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】若函数y=loga（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，由函数y=logat为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，由此构造不等式组，解得答案．
【解答】解：若函数y=loga（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，
由函数y=logat为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，
即，解得：a＞2，
故实数a的取值范围是：a＞2．
故答案为：a＞2
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．
14．已知f（x）=，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是 m＞﹣ ．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】讨论当m≥0时，不等式显然成立；当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（），利用函数的单调性，即可得出结论．
【解答】解：f（x）=是R上的递增函数
由f（x+2m）+mf（x）＞0得（x+2m）|x+2m|+mx2＞0，x≥1，
当m≥0时，即有（x+2m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．
当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（），
∴x+2m＞，
∴（1﹣）x+2m＞0在x≥1恒成立．
∴1﹣＞0且1﹣+2m＞0，
∴m＞﹣1且（4m+1））（m+1）＞0，
∴m＞﹣．
故答案为：m＞﹣．
【点评】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，正确分类讨论是解题的关键，属于中档题．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．
（1）若a=0，求A∩B；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【专题】集合思想；综合法；不等式的解法及应用；集合．
【分析】（1）若a=0，则集合A={x|﹣1＜x＜1}，A∩B可求；
（2）若A B，则，解不等式组则实数a的取值范围可求．
【解答】解：（1）若a=0，集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜3}．
则A∩B={x|﹣1＜x＜1}∩{x|0＜x＜3}={x|0＜x＜1}；
（2）若A B，则，即1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是1≤a≤2．
【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了交集及其运算，是基础题．
16．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．
（2）若AB=，BC=2，当 =1时，求DF的长．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】（1）根据向量的加减的几何意义即可求出；
（2）建立平面直角坐标系，设F（x，2），根据向量坐标的数量积求出x=，即求出DF的长．
【解答】解：（1）=﹣=+﹣（+）=+﹣（+）=+﹣（+）=﹣=λ+，
∴λ=﹣，μ=，
∴λ+μ=．
（2）以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系如图：AB=，BC=2
则A（0，0），B（，0），E（，1），
设F（x，2），
∴=（，1），=（x﹣，2），
∵ =1，
∴（x﹣）+2=1，
∴x=，
∴|DF|=．
【点评】本题考查向量的加减的几何意义和向量在几何中的应用，建立平面直角坐标系是解题的关键之一，考查计算能力．
17．已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2），其中0＜θ＜π．
（1）若∥，求sinθ cosθ的值；
（2）若|，求θ的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；转化法；平面向量及应用．
【分析】（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题．
（2）由|，化简得sin2θ+cos2θ=﹣1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．
【解答】解：（1）因为，所以2sinθ=cosθ﹣2sinθ，
显然cosθ≠0，所以．
所以sinθ cosθ===，
（2）因为，所以，
所以cos2θ+sinθcosθ=0，cosθ=0或sinθ=﹣cosθ．
又0＜θ＜π，所以或．
【点评】本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求A和ω的值；
（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b﹣a的最大值．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】数形结合；数学模型法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω 的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间．
（3）由条件根据正弦函数的图象的零点求得b﹣a的最大值．
【解答】解：（1）A=2，，ω=2，所以．
（2）令，k∈Z，求得．
又因为x∈[0，π]，所以函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间为和．
（3）由，求得或，
函数f（x）在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，
所以b﹣a最大值为．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．正弦函数的单调性和零点，属于基础题．
19．扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．
（1）求a，b的值；
（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．
①将y表示为x的函数；
②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．
【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）分别代入x=6和x=16，由此能求出a，b的值．
（2）①分别求出当0＜x≤6和6＜x＜17时，函数的表达式，由此能将y表示为x的函数．
②推导出0＜x≤6时，不符合题意，当6＜x＜17时，，由此能求出汽车速度x的范围．
【解答】解：（1）当x=6时，d=x+b=6+b=10，则b=4，
当x=16时，，则a=1；
所以a=1，b=4．…
（2）①当0＜x≤6时，，
当6＜x＜17时，
所以．…
②当0＜x≤6时，，不符合题意，
当6＜x＜17时，
解得15≤x＜123，所以15≤x＜17
∴汽车速度x的范围为[15，17）．…
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数关系式的求法，考查汽车速度的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数在生产、生活中的实际运用．
20．已知f（ex）=ax2﹣x，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；
（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a] logxe对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的值域；二次函数的性质．
【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用换元法进行求解即可．
（2）根据函数的解析式即可求函数的值域．
（3）根据函数恒成立问题，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：（1）设ex=t，则x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）2﹣lnt
所以f（x）=a（lnx）2﹣lnx（x＞0）； …
（2）设lnx=m（m≤0），则f（x）=g（m）=am2﹣m
当a=0时，f（x）=g（m）=﹣m，g（m）的值域为[0，+∞）
当a≠0时，
若a＞0，，g（m）的值域为[0，+∞）
若a＜0，，g（m）在上单调递增，在上单调递减，g（m）的值域为…
综上，当a≥0时f（x）的值域为[0，+∞）
当a＜0时f（x）的值域为； …
（3）因为对任意总有
所以h（x）在[e﹣3，e﹣1]满足…
设lnx=s（s∈[﹣3，﹣1]），则，s∈[﹣3，﹣1]
当1﹣a＜0即a＞1时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增
所以，即，所以（舍）
当a=1时，r（s）=s﹣1，不符合题意 …
当0＜a＜1时，则=a（s+）﹣1，s∈[﹣3，﹣1]
若即时，r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增
所以，则
若即时r（s）在递增，在递减
所以，得
若即时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递减
所以，即，得…
综上所述：．
【点评】本题主要考查函数解析式以及函数值域和恒成立的应用，综合考查函数的性质，考查学生的运算和推理能力．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．
2．若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则f（2）= ．
3．函数f（x）=tan（2x+）的最小正周期是 ．
4．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 ．
5．已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ= ．
6．函数 y=的定义域为 ．
7．（lg5）2+lg2×lg50= ．
8．角α的终边经过点P（﹣3，y），且，则y= ．
9．方程的解为x= ．
10．若，，若，则向量与的夹角为 ．
11．关于x的方程cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，则实数a的取值范围是 ．
12．下列说法中，所有正确说法的序号是 ．
①终边落在y轴上的角的集合是；
②函数图象的一个对称中心是；
③函数y=tanx在第一象限是增函数；
④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．
13．若函数y=loga（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是 ．
14．已知f（x）=，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．
（1）若a=0，求A∩B；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
16．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．
（2）若AB=，BC=2，当 =1时，求DF的长．
17．已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2），其中0＜θ＜π．
（1）若∥，求sinθ cosθ的值；
（2）若|，求θ的值．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求A和ω的值；
（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b﹣a的最大值．
19．扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．
（1）求a，b的值；
（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．
①将y表示为x的函数；
②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．
20．已知f（ex）=ax2﹣x，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；
（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a] logxe对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1} ．
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】根据A∪B的元素或属于A，或属于B，将两个集合元素合并后，根据集合元素互异性，去掉重复元素可得答案
【解答】解：A={0，1}，B={﹣1，1}，
∴A∪B={﹣1，0，1}
故答案为：{﹣1，0，1}
【点评】本题考查的知识点是并集及其运算，熟练掌握集合并集的定义是解答的关键．
2．若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则f（2）= ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】计算题．
【分析】设出幂函数的解析式，把点A的坐标代入解析式求出幂指数，然后直接求解f（2）的值．
【解答】解：因为函数f（x）为幂函数，设f（x）=xα．
由函数f（x）的图象经过点A（4，2），
所以4α=2，得．
所以f（x）=．
则f（2）=．
故答案为．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查了函数值的求法，是基础题．
3．函数f（x）=tan（2x+）的最小正周期是 ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用正切函数y=Atan（ωx+φ）的周期公式T=即可求得答案．
【解答】解：∵f（x）=tan（2x+），
∴其最小正周期T=，
故答案为：．
【点评】本题考查正切函数的周期，熟练掌握周期公式是关键，属于基础题．
4．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值．
【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=×2=
根据扇形的面积公式可得S=lr=××2=．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．
5．已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ= ．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示得出结论．
【解答】解：如图所示，
点P在线段AB上，且，
∴==；
又，
∴λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数形结合的应用问题，是基础题目．
6．函数 y=的定义域为 [0，1）∪（1，+∞）． ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求该函数的定义域，直接让x≥0，且x﹣1≠0，求解x即可．
【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．
所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．
故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题．
7．（lg5）2+lg2×lg50= 1 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．
【解答】解：原式=lg25+lg2（1+lg5）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．
8．角α的终边经过点P（﹣3，y），且，则y= 4 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由已知得sinα==，由此能求出结果．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，y），且，
∴r=，sinα==，
解得y=4或y=﹣4（舍）．
故答案为：4．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数性质的合理运用．
9．方程的解为x= ﹣2 ．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知得4（2x）2+3（2x）﹣1=0，由此能求出方程的解．
【解答】解：∵，∴，
∴4（2x）2+3（2x）﹣1=0，
解得或2x=﹣1（舍），
解得x=﹣2．
经检验，x=﹣2是原方程的根，
∴方程的解为x=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．
10．若，，若，则向量与的夹角为 ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题．
【分析】根据两个向量垂直，得到两个向量的数量积等于0，整理成要用的两个向量的数量积等于1，把所给的和所求的代入求两个向量的夹角的公式，得到结果．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴cosθ=，
∵θ∈[0，π]，
∴向量与的夹角为，
故答案为：
【点评】本题考查两个向量的数量积表示两个向量的夹角，解题的关键是根据所给的两个向量的垂直关系写出两个向量的数量积的值．
11．关于x的方程cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，则实数a的取值范围是 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】由cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，即a=sinx﹣cosx=在[0，π]上有解，由0≤x≤π 可得，从而可求a的范围
【解答】解：cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解
即a=sinx﹣cosx=在[0，π]上有解
∵0≤x≤π∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了方程的解的存在，函数中含有参数时，分类参数a，通过辅助角公式及三角函数的性质求解三角函数的范围，进而可求a的范围
12．下列说法中，所有正确说法的序号是 ②④ ．
①终边落在y轴上的角的集合是；
②函数图象的一个对称中心是；
③函数y=tanx在第一象限是增函数；
④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；终边相同的角；余弦函数的图象．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时写出角θ的集合，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，写出角θ 的集合，终边落在y轴上的角的集合是这2个集合的并集，故不正确；
②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，
令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），即可判断；
③通过举反例说明命题错误；
④由于 函数y=sin（2x﹣）=3sin[2（x﹣）]，再结合函数y=Asin（ωx+ ）的图象变换规律得出结论．
【解答】解：①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，
当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，
故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z}，不正确；
②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，
令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），故正确；
③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=＜1=tan45°，
∴函数y=tanx在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；
④由于 函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移个长度单位即可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故正确；
故答案为：②④．
【点评】本题考查终边相同的角的概念和表示法，体现了分类讨论的数学思想．考查了正弦函数的对称中心，体现了转化的数学思想，判断所求的对称中心就是函数 y=cos2x与x轴交点，是解题的关键，属于中档题．
13．若函数y=loga（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是 a＞2 ．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】若函数y=loga（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，由函数y=logat为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，由此构造不等式组，解得答案．
【解答】解：若函数y=loga（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，
由函数y=logat为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，
即，解得：a＞2，
故实数a的取值范围是：a＞2．
故答案为：a＞2
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．
14．已知f（x）=，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是 m＞﹣ ．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】讨论当m≥0时，不等式显然成立；当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（），利用函数的单调性，即可得出结论．
【解答】解：f（x）=是R上的递增函数
由f（x+2m）+mf（x）＞0得（x+2m）|x+2m|+mx2＞0，x≥1，
当m≥0时，即有（x+2m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．
当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（），
∴x+2m＞，
∴（1﹣）x+2m＞0在x≥1恒成立．
∴1﹣＞0且1﹣+2m＞0，
∴m＞﹣1且（4m+1））（m+1）＞0，
∴m＞﹣．
故答案为：m＞﹣．
【点评】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，正确分类讨论是解题的关键，属于中档题．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．
（1）若a=0，求A∩B；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【专题】集合思想；综合法；不等式的解法及应用；集合．
【分析】（1）若a=0，则集合A={x|﹣1＜x＜1}，A∩B可求；
（2）若A B，则，解不等式组则实数a的取值范围可求．
【解答】解：（1）若a=0，集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜3}．
则A∩B={x|﹣1＜x＜1}∩{x|0＜x＜3}={x|0＜x＜1}；
（2）若A B，则，即1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是1≤a≤2．
【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了交集及其运算，是基础题．
16．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．
（2）若AB=，BC=2，当 =1时，求DF的长．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】（1）根据向量的加减的几何意义即可求出；
（2）建立平面直角坐标系，设F（x，2），根据向量坐标的数量积求出x=，即求出DF的长．
【解答】解：（1）=﹣=+﹣（+）=+﹣（+）=+﹣（+）=﹣=λ+，
∴λ=﹣，μ=，
∴λ+μ=．
（2）以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系如图：AB=，BC=2
则A（0，0），B（，0），E（，1），
设F（x，2），
∴=（，1），=（x﹣，2），
∵ =1，
∴（x﹣）+2=1，
∴x=，
∴|DF|=．
【点评】本题考查向量的加减的几何意义和向量在几何中的应用，建立平面直角坐标系是解题的关键之一，考查计算能力．
17．已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2），其中0＜θ＜π．
（1）若∥，求sinθ cosθ的值；
（2）若|，求θ的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；转化法；平面向量及应用．
【分析】（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题．
（2）由|，化简得sin2θ+cos2θ=﹣1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．
【解答】解：（1）因为，所以2sinθ=cosθ﹣2sinθ，
显然cosθ≠0，所以．
所以sinθ cosθ===，
（2）因为，所以，
所以cos2θ+sinθcosθ=0，cosθ=0或sinθ=﹣cosθ．
又0＜θ＜π，所以或．
【点评】本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求A和ω的值；
（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b﹣a的最大值．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】数形结合；数学模型法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω 的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间．
（3）由条件根据正弦函数的图象的零点求得b﹣a的最大值．
【解答】解：（1）A=2，，ω=2，所以．
（2）令，k∈Z，求得．
又因为x∈[0，π]，所以函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间为和．
（3）由，求得或，
函数f（x）在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，
所以b﹣a最大值为．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．正弦函数的单调性和零点，属于基础题．
19．扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．
（1）求a，b的值；
（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．
①将y表示为x的函数；
②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．
【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）分别代入x=6和x=16，由此能求出a，b的值．
（2）①分别求出当0＜x≤6和6＜x＜17时，函数的表达式，由此能将y表示为x的函数．
②推导出0＜x≤6时，不符合题意，当6＜x＜17时，，由此能求出汽车速度x的范围．
【解答】解：（1）当x=6时，d=x+b=6+b=10，则b=4，
当x=16时，，则a=1；
所以a=1，b=4．…
（2）①当0＜x≤6时，，
当6＜x＜17时，
所以．…
②当0＜x≤6时，，不符合题意，
当6＜x＜17时，
解得15≤x＜123，所以15≤x＜17
∴汽车速度x的范围为[15，17）．…
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数关系式的求法，考查汽车速度的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数在生产、生活中的实际运用．
20．已知f（ex）=ax2﹣x，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；
（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a] logxe对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的值域；二次函数的性质．
【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用换元法进行求解即可．
（2）根据函数的解析式即可求函数的值域．
（3）根据函数恒成立问题，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：（1）设ex=t，则x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）2﹣lnt
所以f（x）=a（lnx）2﹣lnx（x＞0）； …
（2）设lnx=m（m≤0），则f（x）=g（m）=am2﹣m
当a=0时，f（x）=g（m）=﹣m，g（m）的值域为[0，+∞）
当a≠0时，
若a＞0，，g（m）的值域为[0，+∞）
若a＜0，，g（m）在上单调递增，在上单调递减，g（m）的值域为…
综上，当a≥0时f（x）的值域为[0，+∞）
当a＜0时f（x）的值域为； …
（3）因为对任意总有
所以h（x）在[e﹣3，e﹣1]满足…
设lnx=s（s∈[﹣3，﹣1]），则，s∈[﹣3，﹣1]
当1﹣a＜0即a＞1时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增
所以，即，所以（舍）
当a=1时，r（s）=s﹣1，不符合题意 …
当0＜a＜1时，则=a（s+）﹣1，s∈[﹣3，﹣1]
若即时，r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增
所以，则
若即时r（s）在递增，在递减
所以，得
若即时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递减
所以，即，得…
综上所述：．
【点评】本题主要考查函数解析式以及函数值域和恒成立的应用，综合考查函数的性质，考查学生的运算和推理能力．
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