江苏省南通市2025届高三上学期九月份调研测试数学试题（含解析）

江苏省南通市 2025 届高三上学期九月份调研测试
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A 1，1 ， A B 1，0，1 ，则（ ）
A. A B B.B A C. A B D.0 B
3
2.已知命题 p： x R, x 1 1；命题 q： x 0, x x，则（ ）
A. p和 q都是真命题 B. p和 q都是真命题
C. p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
3.函数 f x e x e x sin x 2x在区间 2,2 的大致图象为（ ）
4.设 是空间中的一个平面， l,m,n是三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A.若m ，n ，l n，则 l∥m
B.若 l∥m，m∥n， l ，则 n
C.若 l∥m，m ， n ，则 l n
D.若m ，n ，l m，l n，则 l
5.在正三棱台 ABC A B 1 1C1中， AB 4，A1B1 2， A1A与平面 ABC所成角为 ，则4
该三棱台的体积为（ ）
52 28 14 7
A. B. C. D.
3 3 3 3
6.设 a 2 ，b log 2 ， c ，则（ ）
A. c b a B.b c a C. a c b D. a b c
log 2 x 1 , 1 x 3
7.若函数 f x a ，在 1， 上单调递增，则 a的取值范围是
x , x 3 x
1
（ ）
A. 3，9 B. 3， C. 0,9 D. ，9
2
8.设函数 f x x ax b ln x，若 f x 0，则 a的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 2 D.1
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
由多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9.下列函数中最小值为 4的是（ ）
4
A. y ln x y 2 x 22 xB.
ln x
2
C. y 4sin x 1 x 5 D. y
sin x x 2 1
10.定义在 R上的偶函数 f x ，满足 f x 2 f x f 1 ，则（ ）
A. f 1 0 B. f 1 x f 1 x 0
20
C. f 1 2x f 1 2x D. f i 10
i 1
11.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ,N 分别为 AC, A1B的中点，则（ ）
A.MN∥平面 ADD1A1 B.MN AC1
C.直线MN 与平面 AA1C1C所成角为 D.平面MND1经过棱 A1B4 1
的三等分点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
12.“ xy 0”是“ x y x y ”的 .
（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中
选择一个填空）
13.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的
侧面积为 .
3a b14.已知 2 3 ，则 2a b的最小值为 .
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D,E,F分别为 AB,BC,B1B的中点.
（1）证明： A1C1 ∥平面 B1DE；
（2）若 AB 1， AB AC， B1D A1F，求点 E到平面 A1FC1的距离.
16.（本小题满分 15 分）
已知函数 f x log 1 x2 .1 x
（1）判断并证明 f x 的奇偶性；
1
（2）若对任意 x ,
1
，t 2,2
2
，不等式 f x t at 6恒成立，求实数 a的
3 3
取值范围.
17.（本小题满分 15 分）
如图，四边形 ABCD为菱形， PB 平面 ABCD .
（1）证明：平面 PAC 平面 PBD；
（2）若 PA PC，二面角 A BP C的大小为 120°，求 PC与 BD所成角的余弦值.
3
18.（本小题满分 17 分）
设函数 f x ae x bx 2 cx .
（1）若 a 1，b c 1，求证： f x 有零点；
（2）若 a 0，b 1，是否存在正整数m,n，使得不等式m f x c n的解集为
m,n ，若存在，求m,n；若不存在，说明理由.
（3）若b 0，非空集合 x R f x 0 x R f f x 0 ，求 a c的取值范围.
19.（本小题满分 17 分）
已知有限集 A a1 ,a2 , ,an n 2,n N ，若 a1 a2 an a1a2 an，则称 A
为“完全集”.
（1）判断结合 1， 2，2 1,2 2 2 是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若集合 a,b 为“完全集”，且 a,b均大于 0，证明： a,b中至少有一个大于 2；
*
（3）若 A为“完全集”，且 A N ，求 A .
4
参考答案
一、单选题
1.D 解析：∵ A 1，1 ， A B 1，0，1 ，∴0 B .
2.B 解析：命题 p： x 0时， x 1 1，假命题；命题 q： x 0或 1 或 1，真命题，
则 p和 q都是真命题.
3.C 解析： f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 AB，
x

f 时， e
2 e 2 0，排除 D，故选 C.2 2
4.B 解析：m ，n ，则m n，又 l n，m与 l可能相交，A错.
l∥m，m∥n，则 l∥ n， l ，则 n ，B 正确.
5.C 解析：延长 AA1，BB1，CC1交于 S点，
AA1与平面 ABC所成角为 SAO，
∴ AO SO，
而 AO 2 AD 2 3 4 3 4 ，
3 3 2 3
OO 2 3 1 3 1 31 , S3 ABC
4 4 4 3， S ABC 2 2 3，2 2 2 2
V 1 2 3 14 4 3 3 2 3 .
3 3 3

6.C 解析：a 2 2，b log 2 1,2 ， c 1,2 ， a最大.
设 f x ln x 1 ln x ，则 f x 2 ，令 f x 0，解得 x e，x x
∴ f x 在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减，
2 e f f 2 ln ln 2 ln ln 2 ln ∵ ，∴ ，即 ，即 ，∴ ln 2
2 2 2
ln
∴ ，即 log 2 ，即b c，∴ a c b .ln 2
7.A 解析：∵ f x 在 3， 上单调递增，
5
∴ f x 1 a 2 0在 3， 上恒成立，∴ a 9，x
∵ f x 在 1 a， 上单调递增，∴ log 2 3 1 3 ，∴ a 3，3
综上， a的取值范围是 3，9 .
2
8.B 解析：∵ f x 0恒成立，则1是 x ax b 0的根，即1 a b 0，∴b 1 a
则 f x x 2 ax b ln x x 1 x 1 a ln x ,
∵ x 1 a 0，∴1 a 0，即 a 1，∴ a的最小值为 1.
二、选择题
9.BCD 解析：选项 A， x 0,1 4时， y ln x 0，A 错误；
ln x
y 2 x 22 x 2 22选项 B， 4，当且仅当 2 x 22 x，即 x 1时“=”成立.B 正确；
1 1 1
选项 C，y 4sin x 2 4 2，当且仅当 4sin x ，即 sin x 时“=”
sin x sin x 2
成立，C正确；
y x
2 1 4 4 4
选项 D， x 2 1 2 4 4 2，当且仅当 x 1 ，
x 2 1 x 2 1 x 2 1
2
即 x 3时“=”成立.D 正确.
10.AC 解析：当 x 1时， f 1 f 1 f 1 ，∴ f 1 f 1 0，A正确；
∴ f x 2 f x 0 ， 即 f 2 x f x ， 即 f x 关 于 x 1 对 称 ， 则
f 1 x f 1 x ，∴B 错，C 对；
20
f x 2 f x ，则 f x 的周期为 2，无法判断 f 0 的值， f i 10的值无法判断，
i 1
故 D错.
11.ABD 解析：∵M 分别为 AC的中点，∴M 也是 BD中点，
又 N 分别为 A1B的中点，∴MN 为 BA1D的中位线，则MN∥ A1D，
又 A1D 平面 ADD1A1 ,MN 平面 ADD1A1 ,∴MN∥平面 ADD1A1，故 A 正确；
如图建系，设正方体的边长为 1，则 A 1,0，0 ，C1 0，1，1 , A1 1，0，1 ，D 0，0，0
6
∴ AC1 1，1，1 , A1D 1，0， 1 ，
∴ A1D AC1 0 ,即 A1D AC1,
∴MN AC1，B 正确；
平面 AA1C1C的垂线为 BD，
而 A1D与 BD

所成角为 ，∴直线MN与平面 AA C C所成角为 ，C 错误；
3 1 1 6
M 1 , 1 ,0 1 1 1 1 ，N 1， , ，D1 0，0，1 ，则MN ,0， ，D N
1, 1 , 1 ,
2 2 2 2 1 2 2 2 2
n MN 1 a 1 c 0
设平面MND 1的法向量为 n a,b,c
2 2
，则 ，

n

D 1 1
1
N a b c 0
2 2
a 1 b 3,c 1 n 不妨设 ，则 ，∴ 1, 3, 1 ，
A1B1靠近 A

1的三等分点 P 1
1 1 1 ，， ，则D1P 1， ,0 ,∴D1P

n 0，
3 3
P 平面MND1，D正确.
三、填空题
12.充分不必要 解析：∵ xy 0，∴ x，y同号，∴ x y x y ，∴是充分条件，
由 x y x y ，则 xy 0，∴是不必要条件，
∴“ xy 0”是“ x y x y ”的充分不必要条件.
13. 3 解析：球的直径为 2，半径为 1，
设圆柱底面圆半径为 r，
2 1
∴ r 1 3，∴ r ，∴ S侧 2 r 1 3 .4 2
b
14. log3 8 解析：方法一： a log3 2 3 ,
ln 2 3b
∴ 2a b 2log 2 3 3b b 2 b，ln 3
7
2 2 3x x x x
令 f x ln 2 3x x，则 f x ln 3 x 1
2 3 2 3 3 2
，
ln 3 ln3 2 3 2 3x 3x 2
令 f x 0，解得 x log3 2，
∴ f x 在 ，log3 2 上单调递减，在 log3 2， 上单调递增，
∴ f x f log 2 23 ln 4 log3 2 log3 8.ln 3
3a 2 3b 2 2 3b 32a方法二：由 可得： 8 3b 2a b，可得3 8，∴ 2a b log3 8，
当且仅当b log3 2， a log3 4时“=”成立.
∴ 2a b的最小值为 log3 8.
四、解答题
15.解：（1）证明：∵D,E分别为 AB,BC的中点，∴DE∥ AC .
又∵ AC∥ A1C1，∴ A1C1 ∥DE，
∵ A1C1 平面 B1DE，DE 平面 B1DE，∴ A1C1 ∥平面 B1DE .
（2）法一：设 A1F B1D O，∵B1D A1F ，∴ 1 2 90 ，
又∵ 2 3 90 ，∴ 1 3，
又∵ A1B1F B1BD 90 ，∴ A1B1F ~ B1BD，
1 m 1
设 B1F BF m，∴ ，∴m ，2m 1 2
2
∵DE∥平面 A1FC1，∴点D到平面 A1FC1的距离即为点 E到平面 A1FC1的距离，
由 AC AB， AC A1A， AB A1A A，∴ AC 平面 A1AB，
∴ AC DO，即DO A1C1，
1
DO A F DO A FC DB 1 1 5 OB 2 5又∵ 1 ，∴ 平面 1 1，且 1 ， 1 ，4 2 5 5
2
3 5 3 5
∴OD ，即点 E到平面 A
10 1
FC1的距离为 .10
8
法二：建立如图所示空间直角坐标系，
设 BF m，
∴ A1 0,0,2m ，F 1,0,m ，B1 1,0,2m D
1
， ，0,0 ，
2
1
∴ B1D ,0, 2m ，A1F 1,0, m ，
2
1
∴ B1D A1F 2m
2 0 m 1 ，解得 .
2 2
AC 1 1 n设 n ，∴ A1 0,0,1 ，F 1，0， ，C1 0，n,1 ,E , ,0 ，
2 2 2
∴ A1F
1
1 0 FC ，， ， 1 1,n,
1
，
2 2

设平面 A1FC1的一个法向量 n x, y, z ，
x 1 z 0 2
∴ ，∴ n 1,0,2 ， A E
1 , n1 , 1

，
x ny 1 z 0 2 2

2
A E n
3
1 3 5
∴点 E到平面 A 21FC1的距离 d .n 5 10
1 x
16.解：（1）由对数函数的定义可得 0，即 x 1 x 1 0，∴ 1 x 1，
1 x
∴函数 f x 的定义域为 1,1 ，关于原点对称，
f x f x log 1 x log 1 x∵ 2 log 1 0，∴ f x f x ，1 x 2 1 x 2
∴ f x 为奇函数.
（2） f x log 1 x 2 log 22 2 1

，由复合函数的单调性可知，
1 x 1 x
f x 1 , 1 在 上单调递减， 3 3
由题意知 f x t 2 1min at 6 2 max ，∴ t at 6 max f 1.
3
9
2
法一：由 t at 6 1在 t 2,2 2上恒成立，可得 t at 5 0恒成立，
2 g 2 4 2a 5 0g t t at 5 1 a 1令 ，只需 ，解得 ， g 2 4 2a 5 0 2 2
a 1 1即 的取值范围为

， .
2 2
法二：当 t 0时， 6 1显然成立；
2 5 1
当 t 2,0 时， at 5 t ，即 a t ；
t max 2
当 t 0,2 时， at 5 t 2 a 5，即 t 1 ；
t min 2
1 a 1 a 1 1 ∴ ，即 的取值范围为 ， .
2 2 2 2
17.解：（1）证明：∵四边形 ABCD为菱形，∴ AC BD，
又∵ PB 平面 ABCD，∴ PB AC，又 BD PB B，∴ AC 平面 PBD，
又∵ AC 平面 PAC ，∴平面 PAC 平面 PBD .
（2）∵ PB 平面 ABCD，∴ PB AB， PB BC ，
∴ ABC即为二面角 A BP C的平面角，即 ABC 120 ，
建立如图所示空间直角坐标系，
设 AB BC 2，PB m，
PA 2 PC 2 AC 2由 ，
2
∴m 4 m 2 4 12，解得m 2，
∴ P 0，0，2 ，C 2，0，0 ，B 0，0，0 ，D 1，3,0 ，
∴ PC 2，0， 2 ，BD 1，3,0 ，
PC BD
设 PC与 BD所成角为 ，∴ cos 2 6 .
PC BD 6 2 6
∴ PC与 BD 6所成角的余弦值为 .
6
10
18.解：（1）当 a 1，b c 1 x时， f x e x 2 x，
2 1
∵ f 2 e 2 0， f 1 ，
e
且 f x 在 R上连续，由零点存在定理知， f x 在 2， 1 上存在零点.
（2）当 a 0，b 1时， f x x 2 cx，
不等式m f x c n的解集为 m,n ，
2
由图知 x cx c m的两根为m,n，
4c c 2
且 n ，
4
2
即 x cx m c 0的两根为m,n，
m n c
2m n mn 1 2∴ ，∴ ，即 1，∴m 1,n 2，
mn m c m n
∴m n 2 n 2 2，即 m 1 n 2 2，
m 1 1 m 2 4c c 2
由m n知 ，解得 ，此时 c 6，且满足 n ，
n 2 2 n 4 4
∴存在m 2,n 4符合题意.
（3）由题意知 f x 0的根均为 f f x 0的根，
设 x0 为 f x 0的一个根，即 f x0 0，
∴ f f x0 0，∴ f 0 0 a 0 2，∴ ，∴ f x bx cx x bx c ，
∴ f f x bf 2 x cf x f x bf x c f x b 2x 2 bcx c ，
令 g x b 2x 2 bcx c，
当 c 0时， f x 0的两根 x1 0, x
c
2 ，b
g 0 0 g c c 2 c 2而 ， c c 0，
b
g x b 2c 2∴必有 中 4b 2c 0，∴0 c 4，综上0 c 4 .
11
∴ a c c 0,4 ，即 a c的取值范围为 0,4 .
19.解：（1）∵ 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2，
∴ 1， 2，2 1,2 2 2 为“完全集”.
（2）∵集合 a,b 为“完全集”，∴ a b ab， a,b 0，∴ ab a b 2 ab，
∴ ab 4，∵ a b，∴ ab 4 .
假设 0 a,b 2，则 0 ab 4，这与 ab 4矛盾，故 a,b中至少有一个大于 2.
*
（3）若 n 2，设 A a,b ，∵ A为完全集，∴ a b ab，且 a,b N ， a b，
由 a b 1 b 1 1，∴ a 1 b 1 1，
a 1 1
∴ ，解得 a b 2，这与 a b矛盾，舍去.
b 1 1
若 n 3，设 A a,b,c ，
∵ A为完全集，∴ a b c abc *，且 a,b，c N ， a b c，
不妨设 a b c，∴ abc 3c，∴ ab 3，故 a 1,b 2，∴3 c 2c，∴ c 3，
∴ A 1,2,3 符合.
若 n 4，设 A a1 ,a2 , ,an ，不妨设 a1 a2 an，
∵ A为完全集，，∴ a1 a2 an a1a2 an nan，∴ a1a2 an 1 n，①
另一方面 a1a2 an 1 1 2 n 1 n 1 !，
下证： n 1 ! n， n 4，
∵ n 4时， n 1 ! n n 1 n 2 n n 2 4n 2 2 0，
∴ n 1 ! n，这与①矛盾，舍去.
综上， A 1,2,3 .
12