上海市卢湾高中2016届高三（上）10月段考数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 上海市卢湾高中2016届高三（上）10月段考数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 144.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-25 21:36:39 | ||
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文档简介
2015-2016学年上海市卢湾高中高三（上）10月段考数学试卷（理科）
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．函数y=log2（x+2）的定义域是 ．
2．已知全集U=R，集合A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}，则 UA= ．
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）．则tan2α的值为 ．
4．在（x﹣）10的展开式中，x8的系数为 ．（结果用数字表示）
5．已知向量，．若，则实数k= ．
6．不等式的解为 ．
7．已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为 ．
8．设，则其反函数f﹣1（x）= ．
9．已知集合A={x|x2﹣16≤0，x∈R}，B={x||x﹣3|≤a，x∈R}，若B A，则正实数a的取值范围是 ．
10．数列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an=﹣6n2+22n，且{an}的峰值为ak，则正整数k的值为 ．
11．数列{an}通项为（n∈N*），Sn为其前n项的和，则S2015= ．
12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M（M D），有x+n∈D，且f（x+n）≥f（x），则称f（x）为M上的n高调函数，如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的k高调函数，那么实数k的取值范围是 ．
13．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何体的表面积为 ．
14．设x，y为实数，a，b（b＞0）为常数且满足：（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+a=0，（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=a，则x+y= ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
15．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a2+b2＞2ab B． C． D．
16．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
17．已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
18．已知四面体A﹣BCD满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．已知函数（其中a＞0且a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）已知关于x的方程在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．
20．已知函数
（1）求f（x）的单调增区间．
（2）函数f（x）的图象F按向量=（，﹣1）平移到F′，F′的解析式是y=f′（x）．求f′（x）的零点．
21．如图，建立平面直角坐标系x0y，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为f（k），求f（k）的最小值．
22．设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）
（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；
（2）若b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点．
23．设函数fn（x）=xn++c（x∈（0，+∞），n∈N*，b，c∈R）．
（1）当b=﹣1时，对于一切n∈N*，函数fn（x）在区间（，1）内总存在唯一零点，求c的取值范围；
（2）若f2（x）区间[1，2]上是单调函数，求b的取值范围；
（3）当b=﹣1，c=1时，函数fn（x）在区间（，1）内的零点为xn，判断数列x1，x2，…，xn，…的增减性，并说明理由．
2015-2016学年上海市卢湾高中高三（上）10月段考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．函数y=log2（x+2）的定义域是 （﹣2，+∞） ．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可．
【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2，
所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．
故答案为：（﹣2，+∞）．
【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题．
2．已知全集U=R，集合A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}，则 UA= （﹣3，0） ．
【考点】补集及其运算．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由题意知集合A是两个集合的并集，利用不等式的解集求出A，再由全集、集合A，然后根据补集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：∵A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}={x|x≥0或x≤﹣3}∪{x|x＞0}={x|x≥0或x≤﹣3}，
∵全集U=R，
∴集合CuA={x|﹣3＜x＜0}}，
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】此题主要考查集合的交集及补集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）．则tan2α的值为 ﹣ ．
【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】始边在x轴正半轴上的角α的终边经过点P（﹣3，）可知tanα，再利用正切的二倍角公式即可求出tan2α
【解答】解：依题意可知tanα==﹣
∴tan2α===﹣
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了正切函数的二倍角公式的应用．属基础题．
4．在（x﹣）10的展开式中，x8的系数为 135 ．（结果用数字表示）
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为8求出r的值，将r的值代入通项，求出（x﹣）的展开式中，x8的系数．
【解答】解：（x﹣）10的展开式为Tr+1=C10rx10﹣r （）r，
令10﹣r=8得r=2，
∴（1﹣）10的展开式中，x8的系数等于（）2 C102=135．
故答案为：135．
【点评】本题考查二项式定理的应用，解决二项展开式的特定项问题的工具是利用二项展开式的通项公式．
5．已知向量，．若，则实数k= ．
【考点】平行向量与共线向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．
【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则 x1y2﹣x2y1=0．
6．不等式的解为 ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，注意分母不为0；再解二次不等式即可．
【解答】解：原不等式同解于
同解于
同解于
即
解得
故答案为：
【点评】本题考查将分式不等式转化为整式不等式、注意：分母不为0；考查二次不等式的解法．
7．已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为 139 ．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题．
【分析】由已知先求出f（4），f（3），然后代入数列的通项公式即可求解
【解答】解：∵an=，f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，
∴f（4）﹣f（3）=a1+a2+a3+…+a7﹣（a1+a2+a3+…+a5）
=a6+a7
=11+27
=139
故答案为：139
【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，属于基础试题
8．设，则其反函数f﹣1（x）= （x≥4） ．
【考点】反函数．
【专题】计算题；配方法；函数的性质及应用．
【分析】先求出原函数的定义域[4，+∞），再通过配方和开方分离x，求得其反函数．
【解答】解：∵y=f（x）==，
∴y∈[4，+∞），这是其反函数f﹣1（x）的定义域，
且指数（x﹣1）2+2=log2y，
所以，（x﹣1）2=log2y﹣2，其中x≥1，
两边开方解出x得，x=+1，
交换x，y得到其反函数f﹣1（x）=（x≥4），
故答案为：f﹣1（x）=（x≥4）．
【点评】本题主要考查了反函数的求法，涉及指数式与对数式的相互转化，以及原函数与反函数定义域与值域之间的关系，属于中档题．
9．已知集合A={x|x2﹣16≤0，x∈R}，B={x||x﹣3|≤a，x∈R}，若B A，则正实数a的取值范围是 （0，1] ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】先把集合A、B解出来，再根据B A，求正实数a的取值范围即可．
【解答】解：因为A={x|x2﹣16≤0，x∈R}=[﹣4，4]，
B={x||x﹣3|≤a，x∈R}=[3﹣a，3+a]，
又B A，
所以，
解得：a≤1，
又a是正实数，
故a∈（0，1]，
故答案为：（0，1]
【点评】本题主要考查集合间的关系，属于基础题．
10．数列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an=﹣6n2+22n，且{an}的峰值为ak，则正整数k的值为 2 ．
【考点】数列的函数特性．
【专题】新定义．
【分析】根据峰值的定义，可以令f（n）=an=﹣6n2+22n，利用数列的函数特性，可以判定函数的单调性及其最值问题，即可得出答案．
【解答】解：若an=﹣6n2+22n，可以令f（n）=﹣6n2+22n，图象开口向下，
可得f（n）=﹣6n2+22n=﹣6（n﹣）2+
可以存在n=2，使得a2=﹣6×4+22×2=20，对于任意的n∈N都有，an≤20，
可得{an}的峰值为20．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查数列函数的特性，是一道中档题，考查了利用图象研究函数的单调性．
11．数列{an}通项为（n∈N*），Sn为其前n项的和，则S2015= 504+502 ．
【考点】数列的求和．
【专题】分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】当n=4k时，an=n=n=n；同理可得：当n=4k﹣1时，an=n；当n=4k﹣2时，an=﹣n；当n=4k﹣3时，an=﹣n．利用周期性即可得出．
【解答】解：当n=4k时，an=n=n=n；
同理可得：当n=4k﹣1时，an=n；当n=4k﹣2时，an=﹣n；当n=4k﹣3时，an=﹣n．
∴a1+a2+a3+a4=1+．
∴S2015=S503×4+3=503×+
=504+502．
故答案为：504+502．
【点评】本题考查了数列的周期性、递推公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M（M D），有x+n∈D，且f（x+n）≥f（x），则称f（x）为M上的n高调函数，如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的k高调函数，那么实数k的取值范围是 [2，+∞） ．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．
【分析】根据新定义可得（x+k）2≥x2在[﹣1，+∞）上恒成立，即2kx+k2≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，由此可求实数k的取值范围．
【解答】解：由题意，（x+k）2≥x2在[﹣1，+∞）上恒成立
∴2kx+k2≥0在[﹣1，+∞）上恒成立
∴
∴k≥2
故答案为：k≥2
【点评】本题考查新定义，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何体的表面积为 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】常规题型．
【分析】先确定满足题意的点P的轨迹是什么几何体，然后再求表面
【解答】解：由题意知，满足集合Q={P||PA|≤1}的点P的轨迹为：以点A为球心，以1为半径的球的部分，
它的表面由四部分组成：球面的和3个面积相等扇形设x，y为实数，a，b（b＞0）为常数且满足：（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+a=0，（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=a，则x+y= 4030 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】消去a得∴（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=0，利用立方和公式分解因式得出结论．
【解答】解：∵（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+a=0，（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=a
∴（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=0，
∴（x﹣2015+y﹣2015）[（x﹣2015）2﹣（x﹣2015）（y﹣2015）+（y﹣2015）2]+b（x﹣2015+y﹣2015）=0．
即（x+y﹣4030）[（x﹣2015）2﹣（x﹣2015）（y﹣2015）+（y﹣2015）2+b]=0．
∴x+y﹣4030=0，即x+y=4030．
故答案为：4030．
【点评】本题考查了乘法公式、实数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
15．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a2+b2＞2ab B． C． D．
【考点】基本不等式．
【专题】综合题．
【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．
【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错
对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错
∵ab＞0
∴
故选：D
【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．
16．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用；集合．
【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．
【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤1，
∴1＜a≤2；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选B．
【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
17．已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】压轴题；函数的性质及应用．
【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．
【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；
则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．
但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；
反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．
从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．
故选D．
【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．
18．已知四面体A﹣BCD满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】由题意，分类讨论，（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC；（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC；△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，求出体积即可．
【解答】解：由题意，分类讨论可得
（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC，所以四面体A﹣BCD的体积为=；
（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC，所以四面体A﹣BCD的体积为=；
（3）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，取AD的中点O，可得BO=DO=，所以四面体A﹣BCD的体积为=．
故选：C．
【点评】本题考查三棱锥体积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．已知函数（其中a＞0且a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）已知关于x的方程在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求定义域可知关于原点对称，计算可得f（﹣x）=﹣f（x），可得奇函数；
（2）由题意问题转化为求函数m=（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，6]上的值域，由二次函数区间的值域可得．
【解答】解：（1）由对数有意义可得＞0，解得x＜﹣1或x＞1，
∴的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
关于原点对称，又，
∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；
（2）由题意可得，
问题转化为求函数m=（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，6]上的值域，
该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，
∴当x=2或6时，m取最小值5，∴当x=4时，m取最大值9，
∴m的取值范围为[5，9]．
【点评】本题考查函数的零点和方程的根的关系，涉及函数单调性的判定，属中档题．
20．已知函数
（1）求f（x）的单调增区间．
（2）函数f（x）的图象F按向量=（，﹣1）平移到F′，F′的解析式是y=f′（x）．求f′（x）的零点．
【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由题意利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f′（x）=2cosx﹣1，再根据函数零点的定义和求法求得f′（x）的零点．
【解答】解：（1）f（x）=2cos（x+﹣α）cosα﹣2sinαsin（x+﹣α）=2cos（x+），
令，求得2kπ﹣≤x≤2kπ﹣，
则f（x）的单调增区间．
（2）F′的解析式是y=f′（x）=2cosx﹣1，令2cosx﹣1=0，
求得f′（x）的零点为．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．
21．如图，建立平面直角坐标系x0y，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为f（k），求f（k）的最小值．
【考点】函数最值的应用．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，求出x，利用基本不等式，即可求得炮的最大射程；
（2）利用配方法，求得炮弹射出的最大高度为f（k），根据炮弹的射程不小于6千米，确定k的范围，即可求f（k）的最小值．
【解答】解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．﹣
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x==≤=10，当且仅当k=1时取等号．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴炮的最大射程是10千米．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵炮弹的射程不小于6千米，∴
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
y=kx﹣（1+k2）x2=﹣+
∴f（k）=（）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴f（k）=5（1﹣）（）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又f（k）在上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴f（k）的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）
（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；
（2）若b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点．
【考点】二次函数的性质；函数的图象与图象变化．
【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）若a=0，f（x）=（2b+1）x﹣2，利用一次函数的性质可得；
（2）b=﹣1时，整理得y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，可变形为y+x+2=a（x2﹣1），无论对a为何值，都恒过得出恒过点（1，﹣3），（﹣1，﹣1），故只需当横坐标等于1和﹣1时，纵坐标不等于﹣3和﹣1即可．
【解答】解：（1）若a=0，f（x）=（2b+1）x﹣2，
∵当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，
∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，即y+x+2=a（x2﹣1）当时，a∈R；
即当a为不等于0 的任意实数时，函数恒过点（1，﹣3），（﹣1，﹣1），
∴由函数定义可知，函数y=f（x）的图象永远不经过A（1，m），B（﹣1，n）（其中m≠﹣3，n≠﹣1）﹣﹣﹣﹣
【点评】考查了一次函数区间内恒为正值的求法，函数恒过定点问题的求法．
23．设函数fn（x）=xn++c（x∈（0，+∞），n∈N*，b，c∈R）．
（1）当b=﹣1时，对于一切n∈N*，函数fn（x）在区间（，1）内总存在唯一零点，求c的取值范围；
（2）若f2（x）区间[1，2]上是单调函数，求b的取值范围；
（3）当b=﹣1，c=1时，函数fn（x）在区间（，1）内的零点为xn，判断数列x1，x2，…，xn，…的增减性，并说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；证明题；压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）当b=﹣1时，化简fn（x）=xn﹣+c在区间（，1）内有唯一零点及函数的单调性可知f（）＜0且f（1）＞0；从而可得﹣2+c＜0对于n∈N*恒成立且c＞0，从而求得c的取值范围；
（2）由f2（x）=x2++c在区间[1，2]上是单调函数，利用单调性的定义可设1≤x1＜x2≤2，从而化为f2（x1）﹣f2（x2）=（x1﹣x2）＞0或＜0对于1≤x1＜x2≤2恒成立，化为恒成立问题解得．
（3）当b=﹣1，c=1时，fn（x）=xn﹣+1，fn+1（x）=xn+1﹣+1，从而可得fn（x）=xnn﹣+1=0；再由＜xn＜1得xnn+1＜xnn，从而可得fn+1（xn）=xnn+1﹣+1＜xnn﹣+1=0，可证明fn+1（xn）＜fn+1（xn+1）；再由函数fn+1（x）=xn+1﹣+1在区间（，1）上是增函数知xn＜xn+1；从而证明．
【解答】解：（1）当b=﹣1时，fn（x）=xn﹣+c在区间（，1）内有唯一零点，
因为函数fn（x）=xn﹣+c在区间（，1）上是增函数，
所以f（）＜0且f（1）＞0；
即﹣2+c＜0且c＞0，
由﹣2+c＜0对于n∈N*恒成立得c＜；
所以c的取值范围为（0，）．
（2）f2（x）=x2++c在区间[1，2]上是单调函数，设1≤x1＜x2≤2，
f2（x1）﹣f2（x2）=（x1﹣x2），
由题知x1x2（x1+x2）﹣b＞0或x1x2（x1+x2）﹣b＜0对于1≤x1＜x2≤2恒成立，
因为2＜x1x2（x1+x2）＜16，
所以b≥16或b≤2．
（3）数列x1，x2，…，xn，…是递增数列，证明如下：
当b=﹣1，c=1时，fn（x）=xn﹣+1，fn+1（x）=xn+1﹣+1，
fn（x）在区间（，1）上的零点是xn，
所以fn（x）=xnn﹣+1=0；
由＜xn＜1知，xnn+1＜xn，
所以fn+1（xn）=xnn+1﹣+1＜xnn﹣+1=0，
设fn+1（x）在区间（，1）上的零点为xn+1，
所以fn+1（xn+1）=0，
即fn+1（xn）＜fn+1（xn+1）；
又函数fn+1（x）=xn+1﹣+1在区间（，1）上是增函数，
所以xn＜xn+1；
即数列x1，x2，…，xn，…是递增数列．
【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了数列的应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．函数y=log2（x+2）的定义域是 ．
2．已知全集U=R，集合A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}，则 UA= ．
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）．则tan2α的值为 ．
4．在（x﹣）10的展开式中，x8的系数为 ．（结果用数字表示）
5．已知向量，．若，则实数k= ．
6．不等式的解为 ．
7．已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为 ．
8．设，则其反函数f﹣1（x）= ．
9．已知集合A={x|x2﹣16≤0，x∈R}，B={x||x﹣3|≤a，x∈R}，若B A，则正实数a的取值范围是 ．
10．数列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an=﹣6n2+22n，且{an}的峰值为ak，则正整数k的值为 ．
11．数列{an}通项为（n∈N*），Sn为其前n项的和，则S2015= ．
12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M（M D），有x+n∈D，且f（x+n）≥f（x），则称f（x）为M上的n高调函数，如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的k高调函数，那么实数k的取值范围是 ．
13．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何体的表面积为 ．
14．设x，y为实数，a，b（b＞0）为常数且满足：（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+a=0，（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=a，则x+y= ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
15．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a2+b2＞2ab B． C． D．
16．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
17．已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
18．已知四面体A﹣BCD满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．已知函数（其中a＞0且a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）已知关于x的方程在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．
20．已知函数
（1）求f（x）的单调增区间．
（2）函数f（x）的图象F按向量=（，﹣1）平移到F′，F′的解析式是y=f′（x）．求f′（x）的零点．
21．如图，建立平面直角坐标系x0y，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为f（k），求f（k）的最小值．
22．设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）
（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；
（2）若b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点．
23．设函数fn（x）=xn++c（x∈（0，+∞），n∈N*，b，c∈R）．
（1）当b=﹣1时，对于一切n∈N*，函数fn（x）在区间（，1）内总存在唯一零点，求c的取值范围；
（2）若f2（x）区间[1，2]上是单调函数，求b的取值范围；
（3）当b=﹣1，c=1时，函数fn（x）在区间（，1）内的零点为xn，判断数列x1，x2，…，xn，…的增减性，并说明理由．
2015-2016学年上海市卢湾高中高三（上）10月段考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．函数y=log2（x+2）的定义域是 （﹣2，+∞） ．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可．
【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2，
所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．
故答案为：（﹣2，+∞）．
【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题．
2．已知全集U=R，集合A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}，则 UA= （﹣3，0） ．
【考点】补集及其运算．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由题意知集合A是两个集合的并集，利用不等式的解集求出A，再由全集、集合A，然后根据补集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：∵A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}={x|x≥0或x≤﹣3}∪{x|x＞0}={x|x≥0或x≤﹣3}，
∵全集U=R，
∴集合CuA={x|﹣3＜x＜0}}，
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】此题主要考查集合的交集及补集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）．则tan2α的值为 ﹣ ．
【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】始边在x轴正半轴上的角α的终边经过点P（﹣3，）可知tanα，再利用正切的二倍角公式即可求出tan2α
【解答】解：依题意可知tanα==﹣
∴tan2α===﹣
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了正切函数的二倍角公式的应用．属基础题．
4．在（x﹣）10的展开式中，x8的系数为 135 ．（结果用数字表示）
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为8求出r的值，将r的值代入通项，求出（x﹣）的展开式中，x8的系数．
【解答】解：（x﹣）10的展开式为Tr+1=C10rx10﹣r （）r，
令10﹣r=8得r=2，
∴（1﹣）10的展开式中，x8的系数等于（）2 C102=135．
故答案为：135．
【点评】本题考查二项式定理的应用，解决二项展开式的特定项问题的工具是利用二项展开式的通项公式．
5．已知向量，．若，则实数k= ．
【考点】平行向量与共线向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．
【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则 x1y2﹣x2y1=0．
6．不等式的解为 ．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，注意分母不为0；再解二次不等式即可．
【解答】解：原不等式同解于
同解于
同解于
即
解得
故答案为：
【点评】本题考查将分式不等式转化为整式不等式、注意：分母不为0；考查二次不等式的解法．
7．已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为 139 ．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题．
【分析】由已知先求出f（4），f（3），然后代入数列的通项公式即可求解
【解答】解：∵an=，f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，
∴f（4）﹣f（3）=a1+a2+a3+…+a7﹣（a1+a2+a3+…+a5）
=a6+a7
=11+27
=139
故答案为：139
【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，属于基础试题
8．设，则其反函数f﹣1（x）= （x≥4） ．
【考点】反函数．
【专题】计算题；配方法；函数的性质及应用．
【分析】先求出原函数的定义域[4，+∞），再通过配方和开方分离x，求得其反函数．
【解答】解：∵y=f（x）==，
∴y∈[4，+∞），这是其反函数f﹣1（x）的定义域，
且指数（x﹣1）2+2=log2y，
所以，（x﹣1）2=log2y﹣2，其中x≥1，
两边开方解出x得，x=+1，
交换x，y得到其反函数f﹣1（x）=（x≥4），
故答案为：f﹣1（x）=（x≥4）．
【点评】本题主要考查了反函数的求法，涉及指数式与对数式的相互转化，以及原函数与反函数定义域与值域之间的关系，属于中档题．
9．已知集合A={x|x2﹣16≤0，x∈R}，B={x||x﹣3|≤a，x∈R}，若B A，则正实数a的取值范围是 （0，1] ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】先把集合A、B解出来，再根据B A，求正实数a的取值范围即可．
【解答】解：因为A={x|x2﹣16≤0，x∈R}=[﹣4，4]，
B={x||x﹣3|≤a，x∈R}=[3﹣a，3+a]，
又B A，
所以，
解得：a≤1，
又a是正实数，
故a∈（0，1]，
故答案为：（0，1]
【点评】本题主要考查集合间的关系，属于基础题．
10．数列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an=﹣6n2+22n，且{an}的峰值为ak，则正整数k的值为 2 ．
【考点】数列的函数特性．
【专题】新定义．
【分析】根据峰值的定义，可以令f（n）=an=﹣6n2+22n，利用数列的函数特性，可以判定函数的单调性及其最值问题，即可得出答案．
【解答】解：若an=﹣6n2+22n，可以令f（n）=﹣6n2+22n，图象开口向下，
可得f（n）=﹣6n2+22n=﹣6（n﹣）2+
可以存在n=2，使得a2=﹣6×4+22×2=20，对于任意的n∈N都有，an≤20，
可得{an}的峰值为20．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查数列函数的特性，是一道中档题，考查了利用图象研究函数的单调性．
11．数列{an}通项为（n∈N*），Sn为其前n项的和，则S2015= 504+502 ．
【考点】数列的求和．
【专题】分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】当n=4k时，an=n=n=n；同理可得：当n=4k﹣1时，an=n；当n=4k﹣2时，an=﹣n；当n=4k﹣3时，an=﹣n．利用周期性即可得出．
【解答】解：当n=4k时，an=n=n=n；
同理可得：当n=4k﹣1时，an=n；当n=4k﹣2时，an=﹣n；当n=4k﹣3时，an=﹣n．
∴a1+a2+a3+a4=1+．
∴S2015=S503×4+3=503×+
=504+502．
故答案为：504+502．
【点评】本题考查了数列的周期性、递推公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M（M D），有x+n∈D，且f（x+n）≥f（x），则称f（x）为M上的n高调函数，如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的k高调函数，那么实数k的取值范围是 [2，+∞） ．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．
【分析】根据新定义可得（x+k）2≥x2在[﹣1，+∞）上恒成立，即2kx+k2≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，由此可求实数k的取值范围．
【解答】解：由题意，（x+k）2≥x2在[﹣1，+∞）上恒成立
∴2kx+k2≥0在[﹣1，+∞）上恒成立
∴
∴k≥2
故答案为：k≥2
【点评】本题考查新定义，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q={P||PA|≤1}，则集合Q构成的几何体的表面积为 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】常规题型．
【分析】先确定满足题意的点P的轨迹是什么几何体，然后再求表面
【解答】解：由题意知，满足集合Q={P||PA|≤1}的点P的轨迹为：以点A为球心，以1为半径的球的部分，
它的表面由四部分组成：球面的和3个面积相等扇形设x，y为实数，a，b（b＞0）为常数且满足：（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+a=0，（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=a，则x+y= 4030 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】消去a得∴（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=0，利用立方和公式分解因式得出结论．
【解答】解：∵（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+a=0，（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=a
∴（x﹣2015）3+b（x﹣2015）+（y﹣2015）3+b（y﹣2015）=0，
∴（x﹣2015+y﹣2015）[（x﹣2015）2﹣（x﹣2015）（y﹣2015）+（y﹣2015）2]+b（x﹣2015+y﹣2015）=0．
即（x+y﹣4030）[（x﹣2015）2﹣（x﹣2015）（y﹣2015）+（y﹣2015）2+b]=0．
∴x+y﹣4030=0，即x+y=4030．
故答案为：4030．
【点评】本题考查了乘法公式、实数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
15．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a2+b2＞2ab B． C． D．
【考点】基本不等式．
【专题】综合题．
【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．
【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错
对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错
∵ab＞0
∴
故选：D
【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．
16．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用；集合．
【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．
【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤1，
∴1＜a≤2；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选B．
【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
17．已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】压轴题；函数的性质及应用．
【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．
【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；
则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．
但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；
反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．
从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．
故选D．
【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．
18．已知四面体A﹣BCD满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】由题意，分类讨论，（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC；（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC；△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，求出体积即可．
【解答】解：由题意，分类讨论可得
（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC，所以四面体A﹣BCD的体积为=；
（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC，所以四面体A﹣BCD的体积为=；
（3）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，取AD的中点O，可得BO=DO=，所以四面体A﹣BCD的体积为=．
故选：C．
【点评】本题考查三棱锥体积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．已知函数（其中a＞0且a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）已知关于x的方程在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求定义域可知关于原点对称，计算可得f（﹣x）=﹣f（x），可得奇函数；
（2）由题意问题转化为求函数m=（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，6]上的值域，由二次函数区间的值域可得．
【解答】解：（1）由对数有意义可得＞0，解得x＜﹣1或x＞1，
∴的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
关于原点对称，又，
∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；
（2）由题意可得，
问题转化为求函数m=（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，6]上的值域，
该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，
∴当x=2或6时，m取最小值5，∴当x=4时，m取最大值9，
∴m的取值范围为[5，9]．
【点评】本题考查函数的零点和方程的根的关系，涉及函数单调性的判定，属中档题．
20．已知函数
（1）求f（x）的单调增区间．
（2）函数f（x）的图象F按向量=（，﹣1）平移到F′，F′的解析式是y=f′（x）．求f′（x）的零点．
【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由题意利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f′（x）=2cosx﹣1，再根据函数零点的定义和求法求得f′（x）的零点．
【解答】解：（1）f（x）=2cos（x+﹣α）cosα﹣2sinαsin（x+﹣α）=2cos（x+），
令，求得2kπ﹣≤x≤2kπ﹣，
则f（x）的单调增区间．
（2）F′的解析式是y=f′（x）=2cosx﹣1，令2cosx﹣1=0，
求得f′（x）的零点为．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．
21．如图，建立平面直角坐标系x0y，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为f（k），求f（k）的最小值．
【考点】函数最值的应用．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，求出x，利用基本不等式，即可求得炮的最大射程；
（2）利用配方法，求得炮弹射出的最大高度为f（k），根据炮弹的射程不小于6千米，确定k的范围，即可求f（k）的最小值．
【解答】解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．﹣
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x==≤=10，当且仅当k=1时取等号．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴炮的最大射程是10千米．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵炮弹的射程不小于6千米，∴
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
y=kx﹣（1+k2）x2=﹣+
∴f（k）=（）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴f（k）=5（1﹣）（）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又f（k）在上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴f（k）的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）
（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；
（2）若b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点．
【考点】二次函数的性质；函数的图象与图象变化．
【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）若a=0，f（x）=（2b+1）x﹣2，利用一次函数的性质可得；
（2）b=﹣1时，整理得y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，可变形为y+x+2=a（x2﹣1），无论对a为何值，都恒过得出恒过点（1，﹣3），（﹣1，﹣1），故只需当横坐标等于1和﹣1时，纵坐标不等于﹣3和﹣1即可．
【解答】解：（1）若a=0，f（x）=（2b+1）x﹣2，
∵当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，
∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，即y+x+2=a（x2﹣1）当时，a∈R；
即当a为不等于0 的任意实数时，函数恒过点（1，﹣3），（﹣1，﹣1），
∴由函数定义可知，函数y=f（x）的图象永远不经过A（1，m），B（﹣1，n）（其中m≠﹣3，n≠﹣1）﹣﹣﹣﹣
【点评】考查了一次函数区间内恒为正值的求法，函数恒过定点问题的求法．
23．设函数fn（x）=xn++c（x∈（0，+∞），n∈N*，b，c∈R）．
（1）当b=﹣1时，对于一切n∈N*，函数fn（x）在区间（，1）内总存在唯一零点，求c的取值范围；
（2）若f2（x）区间[1，2]上是单调函数，求b的取值范围；
（3）当b=﹣1，c=1时，函数fn（x）在区间（，1）内的零点为xn，判断数列x1，x2，…，xn，…的增减性，并说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；证明题；压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）当b=﹣1时，化简fn（x）=xn﹣+c在区间（，1）内有唯一零点及函数的单调性可知f（）＜0且f（1）＞0；从而可得﹣2+c＜0对于n∈N*恒成立且c＞0，从而求得c的取值范围；
（2）由f2（x）=x2++c在区间[1，2]上是单调函数，利用单调性的定义可设1≤x1＜x2≤2，从而化为f2（x1）﹣f2（x2）=（x1﹣x2）＞0或＜0对于1≤x1＜x2≤2恒成立，化为恒成立问题解得．
（3）当b=﹣1，c=1时，fn（x）=xn﹣+1，fn+1（x）=xn+1﹣+1，从而可得fn（x）=xnn﹣+1=0；再由＜xn＜1得xnn+1＜xnn，从而可得fn+1（xn）=xnn+1﹣+1＜xnn﹣+1=0，可证明fn+1（xn）＜fn+1（xn+1）；再由函数fn+1（x）=xn+1﹣+1在区间（，1）上是增函数知xn＜xn+1；从而证明．
【解答】解：（1）当b=﹣1时，fn（x）=xn﹣+c在区间（，1）内有唯一零点，
因为函数fn（x）=xn﹣+c在区间（，1）上是增函数，
所以f（）＜0且f（1）＞0；
即﹣2+c＜0且c＞0，
由﹣2+c＜0对于n∈N*恒成立得c＜；
所以c的取值范围为（0，）．
（2）f2（x）=x2++c在区间[1，2]上是单调函数，设1≤x1＜x2≤2，
f2（x1）﹣f2（x2）=（x1﹣x2），
由题知x1x2（x1+x2）﹣b＞0或x1x2（x1+x2）﹣b＜0对于1≤x1＜x2≤2恒成立，
因为2＜x1x2（x1+x2）＜16，
所以b≥16或b≤2．
（3）数列x1，x2，…，xn，…是递增数列，证明如下：
当b=﹣1，c=1时，fn（x）=xn﹣+1，fn+1（x）=xn+1﹣+1，
fn（x）在区间（，1）上的零点是xn，
所以fn（x）=xnn﹣+1=0；
由＜xn＜1知，xnn+1＜xn，
所以fn+1（xn）=xnn+1﹣+1＜xnn﹣+1=0，
设fn+1（x）在区间（，1）上的零点为xn+1，
所以fn+1（xn+1）=0，
即fn+1（xn）＜fn+1（xn+1）；
又函数fn+1（x）=xn+1﹣+1在区间（，1）上是增函数，
所以xn＜xn+1；
即数列x1，x2，…，xn，…是递增数列．
【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了数列的应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．
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