2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编04（PDF版，含解析）

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编 04
lnx, x>0
1. (广东省五校 2023- 2024学年高三 10月联考 (二)数学试题)设函数 f x = 1 ，若方程 f xx+ x , x<0
= x+ b有 3个不同的实根，则 b的取值范围为 ( )
A. -∞,-1 B. -1,0 C. 0,1 D. 1,+∞
2. (广东省七校 2024 π届高三第二次联考数学试卷)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD= ，AB=3
AD=AA1= 2，点Q在侧面DCC1D1内，且A1Q= 7，则点Q轨迹的长度为 ( )
A. π B. π C. 2π D. 4π
6 3 3 3
3. ( 1广东省七校 2024届高三第二次联考数学试卷)已知 a> 0，f x = aex- ln x+b ，当 x> 0时，x
f x ≥ 0，则 a 1-b 3 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
e2 e2 e2 e2
2
4. (广东省 (上进联考)2024届高三 10 x月阶段检测考数学试题)已知D为双曲线C: - y2= 1右支上一点，
4
过点D分别作C的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点A,B，则 DA DB = ( )
A. 2 B. 5 C. 5 D. 5
4 2
5. (广东省顺德区高中第四联盟 2023 - 2024 学年高三 10 月联考数学试卷 ) 设函数 f ( x ) =
lnx , x>0 1 x ，若方程 [ f (x)]
2- af (x) + = 0有六个不等的实数根，则实数 a可取的值可能是
e (x+1), x≤0 16
( )
A. 2 B. 2 或 1 C. 1 D. 2 或 2
3 3 3
2
6. ( 2023- 2024 10 ) E x
2 y
广东省顺德区高中第四联盟 学年高三 月联考数学试卷 已知椭圆 ： + = 1的左
16 4
2
右顶点分别为A1，A2，圆O
3 1
1的方程为 x+1 2 + y- = ，动点 P在曲线 E上运动，动点Q在圆2 4
O1上运动，若 △A1A2P的面积为 4 3，记 PQ 的最大值和最小值分别为m和 n，则m + n的值为
( )
A. 7 B. 2 7 C. 3 7 D. 4 7
7. (广东省肇庆市肇庆中学 2024届高三 10月月考数学试卷)已知函数 f x = asin2ωx+ cos2ωx ω>0 图
π a
象的对称轴方程为 x= kπ+ ， k∈Z ．则 f π = ( )4 4
1
A. 2 B. - 2 C. 2 D. - 2
2 2
8. (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)若 x，y≥ 0，x+ y= 1，则 3x + y的取值范
围为 ( )
A. 1, 3 B. 1,2 C. 3,2 D. 1 , 32
9. (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)已知抛物线C：x2= 4y的焦点为F，过点F的
1
直线与C相交于M，N两点，则 2 MF + NF 的最小值为 ( )
2
A. 9 B. 4 C. 7 D. 3
2 2
10. (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)从重量分别为 1，2，3，4， ，10克的砝码 (每
种砝码各 2个)中选出若干个，使其总重量恰为 9克的方法总数为m，下列各式的展开式中 x9的系数为
m的选项是 ( )
A. 1+x 1+x2 1+x3 1+x10
B. 1+x 1+2x 1+3x 1+10x
C. 1+x 2 1+x2 2 1+x3 2 1+x4 2 1+x10 2
D. 1+x 2 1+x+x2 2 1+x+x2+x3 2 1+x+x2+ +x10 2
11. (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l:y= kx
+ 1 与圆C:x2+ y2= 1交于A,B两点，则△AOB的面积的最大值为 ( )
2
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
2 2 4
12. (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)设函数 f x = x2+ax+b lnx，若 f x ≥ 0，
则 a的最小值为 ( )
A. - 2 B. - 1 C. 2 D. 1
13. (湖北省云学部分重点高中联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)在平面直角坐标系中，双曲
2 y2x
线C : - = 1 a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,A为双曲线右支上一点，连接AF1交 y轴于点
a2 b2
B，若 AB = AF2 ，且AF1⊥AF2，则双曲线的离心率为 ( )
A. 1+ 2 B. 2+ 2 C. 5 D. 6
14. (湖北省云学部分重点高中联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)已知函数 f x = cosx- ax
π
在区间 0, 单调递增，则实数 a的取值范围是 ( )6
2
A. -∞,- 1 2 B. -∞,
3
C.
1 ,+∞ D.
- 3 ,+∞
2 2 2
15. (湖北省云学部分重点高中联盟 2023 - 2024学年高三 10月联考数学试卷)已知函数 f x = lnx -
a x- 1 有两个极值点 xx 1,x2，则 f x1+x2 的取值范围是 ( )
A. 0,ln2- 34 B. ln2-
3 ,+∞ C. 0,2ln2- 3 D. ln2- 3 ,+∞2 2 4
16. (湖北省武汉外国语学校 2023 - 2024学年高三 10月月考数学试题)已知 a ∈ R，设函数 f (x) =
x2 -2ax+2a,x≤1, - , > 若关于 x的不等式 f(x)≥ 0在R上恒成立，则 a的取值范围为x alnx x 1,
A. 0,1 B. 0,2 C. 0,e D. 1,e
17. (湖北省武汉外国语学校 2023 - 2024学年高三 10月月考数学试题)已知函数 f x = f -x ,x ∈ R，
f 5.5 = 1，函数 g x = x-1 f x ，若 g x+1 为偶函数，则 g -0.5 的值为 ( )
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5
18. (湖北省新八校协作体 2023 - 2024学年高三 10月联考数学试题)已知函数 f x 的定义域为 R，y=
f x + 2ex是偶函数，y= f x - 4e-x是奇函数，则 f x 的最小值为 ( )
A. e B. 2 2 C. 2 3 D. 2e
lnx , x>0
19. (湖北省新八校协作体 2023- 2024 x学年高三 10月联考数学试题)已知函数 f x = ，若函数x- ex , x<0
g x = f x - x-k 恰有 2个零点，则实数 k的取值范围是 ( )x
A. -1,e B. -∞，-1 ∪ e，+∞
C. [-1,1) D. -∞，-1 ∪ 1，+∞
20. (河南省七校联考 2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)如图所示，直线 y= kx+m与曲线 y
= f x 相切于 x1,f x1 , x2,f x2 两点，其中 x1< x2．若当 x∈ 0,x1 时，f x > k，则函数 f x - kx
在 0,+∞ 上的极大值点个数为 ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
21. (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)将函数 f(x) = cos ωx+ π (0< ω<6
3
6) π的图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象，若 g(x)是奇函数，则 f(x)在区间 (0,π)内的极
6
值点个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
22. (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)已知函数 f x 的定义域为R,f x -
1为奇函数，f x+2 为偶函数，则 f 1 + f 2 + +f 16 = ( )
A. 0 B. 16 C. 22 D. 32
23. (河南省部分名校 2023- 2024学年高三 10月月考数学试卷)已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域
20
均为 R，若 f x = f -x + 2x, f x 的图象关于直线 x = 1对称，且 f 2 = 0，则 f (20) - f (i) =
i=1
( )
A. 10 B. 20 C. - 10 D. - 20
24. (河南省部分名校 2024届高三月考 (一)数学试题)△ABC与△ABD都是边长为 2的正三角形，沿公共边
AB折叠成三棱锥且CD长为 3，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为 ( )
A. 13 π B. 208π C. 112π D. 52 π
9 9 3 9
25. (河南省部分名校 2024届高三月考 (一)数学试题)已知函数 f x 及其导函数 f x 在定义域均为R且
F x = ex+2 f x+2 是偶函数，其函数图象为不间断曲线且 x-2 f x + f x > 0，则不等式 xf lnx
< e3 f 3 的解集为 ( )
A. 0,e3 B. 1,e3 C. e,e3 D. e3,+∞
26. (多选题) (广东省五校 2023- 2024学年高三 10月联考 (二)数学试题)若 x，y满足 x2+ y2- xy= 1，则
( )
A. x+ y≤ 1 B. x+ y≥-2 C. x2+ y2≤ 2 D. x2+ y2≥ 1
27. (多选题) (广东省五校 2023 - 2024学年高三 10月联考 (二)数学试题)若正实数 x，y满足 xex-1=
y 1+lny ，则下列不等式中可能成立的是 ( )
A. 1< x< y B. 1< y< x C. x< y< 1 D. y< x< 1
28. (多选题) (广东省七校 2024届高三第二次联考数学试卷)如图，在棱长为 4的正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是 ( )
4
A. 若DP 平面CEF，则点P的轨迹长度为 2 2
B. 若DP 平面CEF，则三棱锥P-DEF的体积为定值
C. 若AP= 17，则点P的轨迹长度为 2π
D. 若P是棱A1B1的中点，则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是 41π
29. (多选题) (广东省七校 2024届高三第二次联考数学试卷)已知抛物线C:x2= 4y的焦点为F，A，B，P为

抛物线C上的点，cos FA,FB =-1，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为 k1,k2，且两切线交于
点M．N为抛物线C的准线与 y轴的交点．则以下结论正确的是 ( )

A. 若 AF + BF = 4，则AF BF =-1
B. π直线PN的倾斜角 α≥
4
C. 若 k1+ k2= 2，则直线AB的方程为 x- y+ 1= 0
D. |MF|的最小值为 2
30. (多选题) (广东省 (上进联考)2024届高三 10月阶段检测考数学试题)已知函数 f x 不是常函数，且图象
是一条连续不断的曲线，记 f x 的导函数为 f x ，则 ( )
A. 存在 f x 和实数 t，使得 f x = tf x
B. 不存在 f x 和实数 t，满足 f x + f t = f 2x
C. 存在 f x 和实数 t，满足 f xt = tf x
D. 若存在实数 t满足 f x = f x+t ，则 f x 只能是指数函数
31. (多选题) (广东省 (上进联考)2024届高三 10月阶段检测考数学试题)已知F 1,0 ，圆M :(x+ 1)2+ y2=
1，点P为圆M上一动点，以PF为直径的圆N交 y轴于A,B两点，设A xA,yA ,B xB,yB ,P xP,yP ，则
( )
A. 1 3当点N在 y轴上时， PF = 5 B. MN 的取值范围是 ,2 2
C. yAyB= xP D. cos∠AFP=
1
BF
32. (多选题) (广东省顺德区高中第四联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)设函数 f x = 2x3-
3ax2+ 1，则 ( )
A. 存在 a，b，使得 x= b为曲线 y= f x 的对称轴
5
B. 存在 a，使得点 1,f 1 为曲线 y= f x 的对称中心
C. 当 a< 0时，x= a是 f x 的极大值点
D. 当 a> 1时，f x 有三个零点
33. (多选题) (广东省肇庆市肇庆中学 2024届高三 10月月考数学试卷)如图，在平面直角坐标系 xOy中，点
B1，B2，B3， ，Bn均在 x轴正半轴上，点C1，C2，C3， ，Cn均在 y轴正半轴上．已知OB1= 1，B1B2=
2，B2B3= 3， ，Bn-1Bn= n(n≥ 2)，OC1= 1，C1C2=C2C3= =Cn-1Cn= 2 (n≥ 2)，四边形OB3 1D1C1，
OB2D2C2，OB3D3C3， ，OBnDnCn均为长方形．当 n≥ 2时，记Bn-1BnDnCnCn-1为第n- 1个倒“L”形，
则 ( )

A. 第 10个倒“L”形的面积为 100
n(n+1)(2n+1)
B. 长方形OBnDnCn的面积为 6
C. 点D1，D2，D3， ，Dn均在曲线 y2= 8 x+ 1 上9 9
60
D. i2能被 110整除
i=1
34. (多选题) (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)如图，透明塑料制成的长方体容器
ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下
面几个结论，其中正确的命题有 ( )

A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
C. 随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
6
D. 当容器倾斜如图 (3)所示时，AE AH为定值
35. (多选题) (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)已知奇函数 f x 在R上单调递增，
f x = g x ，g x = f x ，若 f 2x = 2f x g x ，则 ( )
A. g x 的图象关于直线 x= 0对称 B. g 2x = g2 x + f2 x
C. g 0 = 0或 1 D. g2 x - f2 x = 1
36. (多选题) (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)已知函数 f(x) = sinωx+ acosωx(x
∈R,ω> 0)的最大值为 2，其部分图象如图所示，则 ( )

A. a> 0 B. π函数 f x- 为偶函数6
C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. f(x)是周期函数，且最小正周期为 π
37. (多选题) (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)已知抛物线C :y2= 2px(p> 0)的焦
点为F，准线交 x轴于点D，直线 l经过F且与C交于A,B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点
M在 y轴上的射影为点N .若 MN = NF ，则 ( )
A. l的斜率为 3 B. △ABD是锐角三角形
C. 四边形MNDF的面积是 3 p2 D. BF FA > |FD|2
38. (多选题) (湖北省云学部分重点高中联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)已知 a> b> c，且
2a+ b+ c= 0，则 ( )
A. a> 0,c< 0 B. c + a <-2 C. a+ c> 0 D. a+2c
a c a+ <-1b
39. (多选题) (湖北省云学部分重点高中联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)设 α,β是锐角三角
形的两个内角，且 α> β，则下列不等式中正确的有 ( )
A. sinα+ sinβ> 1 B. tanα tanβ< 1
α-β
C. cosα+ cosβ< 2 D. 1 tan α-β > tan
2 2
40. (多选题) (湖北省武汉外国语学校 2023- 2024学年高三 10月月考数学试题)设函数 f(x) = 2x3- 3ax2
+ 1，则 ( )
A. 当 a= 0时，直线 y= 1是曲线 y= f(x)的切线
7
B. 若 f(x) 1有三个不同的零点 x1,x2,x3，则 x1 x2 x3=- 2
C. 存在 a,b，使得 x= b为曲线 y= f(x)的对称轴
D. 当 x a0≠ 时，f x 在 x= x0处的切线与函数 y= f x 的图象有且仅有两个交点2
41. (多选题) (湖北省新八校协作体 2023- 2024学年高三 10月联考数学试题)设函数 f x 的定义域为R，
f x+ π 为奇函数，f x+π 为偶函数．当 x∈ 0,π 时，f x = cosx，则下列结论正确的有 ( )2
A. f 7π x 在 3π,4π 上单调递减 B. f = 02
C. - 5点 π,0 是函数 f x 的一个对称中心 D. 方程 f x + lgx= 0有 5个实数解2
42. (多选题) (湖北省新八校协作体 2023- 2024学年高三 10月联考数学试题) x 表示不超过 x的最大整
数，例如，[-0.5]=-1， 1.1 = 1，已知函数 f x = x ，下列结论正确的有 ( )
A. 若 x∈ 0,1 ，则 f -x + 1 <- f 1 x +
4 4


B. f x+y < f x + f y
2 20
C. 设 g x
x
= f 2 5x + f ，则∑g k = 40120 k=1
D. 所有满足 f m = f n m,n∈ 0, 14 的点 m,n 40 组成的区域的面积和为3 9
43. (多选题) (河南省七校联考 2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)已知函数 f x 的定义域为
R，且满足 f x + f y = f x+y - 2xy+ 1,f 1 = 3，则下列结论正确的是 ( )
A. f 4 = 21 B. 方程 f x = x有整数解
C. f x+1 是偶函数 D. f x-1 是偶函数
44. (多选题) (河南省七校联考 2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)如图，在长方体ABCD-
A B C D 中，AB=BC= 2，AA = 4 1，N为棱C D 中点，D M= ，P为线段A B上一动点，下列结论正
2
确的是 ( )

8
A. 线段DP 6 5长度的最小值为
5
B. 存在点P，使AP+PC= 2 3
C. 存在点P，使A C⊥平面MNP
D. B 17以 为球心， 为半径的球体被平面AB C所截的截面面积为 6π
6
45. (多选题) (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)已知函数 f(x) = sin2x+
1
，则 ( )
sinxcosx
A. f(x)为奇函数 B. f(x)的值域为 (-∞,-2 2]∪ [2 2 , +∞)
C. f(x) 3π的图象关于直线 x= 对称 D. f(x)以 π为周期
4
46. (多选题) (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)已知对任意 x> 0，不等式
ex- ax3+ 2ax2lnx≥ 0恒成立，则实数 a的可能取值为 ( )
A. 1 B. e C. e D. e2
2
47. (多选题) ( 1河南省部分名校 2023- 2024学年高三 10月月考数学试卷)已知函数 f x = + 1，则下列
lnx
说法正确的是 ( )
A. f x 的图象无对称中心
B. f x + f 1 = 2x
C. f 1 x 的图象与 g x =- - 1的图象关于原点对称
ln -x
D. f x 的图象与 h x = ex-1的图象关于直线 y= x对称
48. (多选题) (河南省部分名校 2023- 2024学年高三 10 1月月考数学试卷)记函数 f x = ex- 的零点为
x
x0，则下列说法正确的是 ( )
A. x0- lnx0= 0 B. x0∈ 1 , 32 4
1
x
C. 当 x> 3 时，f x > x+ 1 D. x0为函数 g x = e +xlnx + 的极值点2 x 1
49. (多选题) (河南省部分名校 2024届高三月考 (一)数学试题)已知定义在实数集R上的函数 f x ，其导函
1
数为 f x ，且满足 f x+y = f x + f y + xy，f 1 = 0,f 1 = ，则 ( )
2
A. f x 的图像关于点 1,0 成中心对称 B. f 2 3 =
2
2024
C. f 2024 = 1012× 2023 D. f (k)=1012×2024
k=1
9
50. ( π多选题) (河南省部分名校 2024届高三月考 (一)数学试题)设函数 f(x)的定义域为R，f x- 为奇函4
数，f x+ π 为偶函数，当 x∈ - π , π 时，f(x) = cos 4 x，则 ( )4 4 4 3
A. f(x+ 4π) = f(x) B. f(x) 3π的图象关于直线 x= 对称
4
C. f(x) 3π在区间 ,2π 上为增函数 D. 方程 f(x) - lgx= 0仅有 4个实数解2
51. (广东省五校 2023- 2024学年高三 10月联考 (二)数学试题)已知函数 f(x)的定义域为 (0, +∞)，其导函
数为 f (x)，若 xf (x) - 1< 0.f(e) = 2，则关于 x的不等式 f(ex)< x+ 1的解集为 .
52. ( 2024 ) f(x) = 3
x-1
广东省七校 届高三第二次联考数学试卷 已知函数 x ，数列 an 满足 a1= 1，a2= 2，3 +1
2024
an+3= a n∈N *n ，f a2 + f a3+a4 = 0，则 ai= .
i=1
53. (广东省七校 2024届高三第二次联考数学试卷)函数 f x = 8ln sinx + sin22x π在区间 0, 上的零点2
个数为 个．
54. (广东省 (上进联考)2024届高三 10月阶段检测考数学试题)已知正数 a,b满足 2a+1 b+1 = 4，则 a
+ b的最小值为 ．
3
55. (广东省 (上进联考)2024 10 sinθ-acosθ cos θ届高三 月阶段检测考数学试题)若关于 θ的方程 =- 在
cosθ+asinθ sin3θ
0, π区间 上有且仅有一个实数解，则实数 a= ．4
2 2
56. ( y广东省顺德区高中第四联盟 2023- 2024 x学年高三 10月联考数学试卷)椭圆 + = 1
2 2 a>b>0 的a b
5- 21 x2 y
离心率 e满足 e= ，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若 + = 1 10>m>0 是“黄金椭圆”，则m
2 10 m
x2
2
= ；“黄金椭圆”C : + y = 1 a>b>0 两个焦点分别为 F1 -c,0 、F2 c,0 (c> 0)，P为椭圆
a2 b2
PM
C上的异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于N，则 = ．
MN
57. (广东省肇庆市肇庆中学 2024届高三 10月月考数学试卷)若存在实数 t，对任意的 x∈ (0，s]，不等式
(lnx- x+ 2- t) (1- t- x)≤ 0成立，则整数 s的最大值为 ． (ln3≈ 1.099，ln4≈ 1.386)
58. (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)如图，△ABC中，AB= 6，AC= 2BC，D为
AB中点，则 tan∠BDC的取值范围为 .
10

59. (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒
子与装有若干白球的白盒子 (黑球数少于白球数)轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意
多颗 (至少取 1颗)，或者在两个盒子中取出相同颗数的球 (至少各取 1颗)，最后不能按规则取的人输.已
知两盒中共有 11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输
了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为 .
60. (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)小澄玩一个游戏：一开始她在 2个盒子A,B中
分别放入 3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于 3她就将B中的 1颗
糖放入A中，否则将A中的 1颗糖放入B中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B中没有糖的概率
是 ．
61. (湖北省云学部分重点高中联盟 2023 - 2024学年高三 10月联考数学试卷)在如图所示的直角梯形

ABCD中，AB∥CD,AB= 1,BC=CD= 2,AB⊥BC .P为梯形ABCD内一动点，且AP= 1，若AP=
μ
λAB+ μAD，则 λ+ 的最大值为 .
2
62. (湖北省武汉外国语学校 2023- 2024学年高三 10月月考数学试题)掷一个质地均匀的骰子，向上的点数
不小于 3得 2分，向上的点数小于 3得 1分，反复掷这个骰子，(1)恰好得 3分的概率为 ；(2)恰好
得n分的概率为 ． (用与n有关的式子作答)
63. (湖北省新八校协作体 2023- 2024学年高三 10月联考数学试题)任意一个三次多项式函数 f x = ax3
+ bx2+ cx + d的图象都有且仅有一个中心对称点为 x0，f x ″ ″0 ，其中 x0是 f x = 0的根，f x 是
f x 的导数.若函数 f x = x3+ px2+ x+ q图象的中心对称点为 -1，2 ，存在 x∈ 1,+∞ ，使得 ex-
mxe lnx+1 ≤ f x -x3-3x2+e xe成立，则m的取值范围为 .
64. (河南省七校联考 2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究
做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积
术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，
每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前 4项为 1，3，7，13，则该数列的第 15项为
11
．
65. (河南省七校联考 2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)在平面直角坐标系 xOy中，A、B分
别为 x、y轴上的点，2 OA = OB ，则以原点为顶点且经过A、B两点的抛物线的准线斜率为 .
66. (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)已知 a,b均为正实数，且 2a+ 3b=
ab 1 3，则 - + - 的最小值为 .a 3 b 2
67. (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)已知曲线 y= ex上有不同的两点P
和Q，若点P,Q关于直线 y= x的对称点P ,Q 在曲线 y= kx2- x上，则实数 k的取值范围为 .
68. (河南省部分名校 2023- 2024学年高三 10月月考数学试卷)若函数 f x = sinx+ ax的图象上存在A,
B π两点使得 f x 在A处的切线与在B处的切线的夹角为 ，则实数 a的取值范围是 .
4
69. ( 2023 - 2024 10 ) a> b> 0 a
2+b2
河南省部分名校 学年高三 月月考数学试卷 已知 ，则 的最小值为
ab-b2
.
2 2
70. ( y河南省部分名校 2024届高三月考 (一) x数学试题)已知双曲线 - = 1(a,b> 0)的左焦点为F，过坐
a2 b2

标原点O作直线与双曲线的左右两支分别交于A,B两点，且 FB = 4 FA ,∠AFB= 2π，则双曲线的渐3
近线方程为 ．
12
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编 04
lnx, x>0
1. (广东省五校 2023- 2024学年高三 10月联考 (二)数学试题)设函数 f x = 1 ，若方程 f xx+ x , x< 0
= x+ b有 3个不同的实根，则 b的取值范围为 ( )
A. -∞,-1 B. -1,0 C. 0,1 D. 1,+∞
【答案】A
lnx-x, x>0
【解析】令 g x = f x - x= 1 ；x , x<0
方程 f x = x+ b有 3个不同的实根等价于 g x 与 y= b有 3个不同的交点；
当 x> 0时，g 1 1-x x = - 1= ，
x x
则当 x∈ 0,1 时，g x > 0；当 x∈ 1,+∞ 时，g x < 0；
∴ g x 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，∴ g x max= g 1 =-1；
则可得 g x 图象如下图所示，
由图象可知：当 b<-1时，g x 与 y= b有 3个不同的交点；
综上所述：实数 b的取值范围为 -∞,-1 .
故选：A.
2. (广东省七校 2024届高三第二次联考数学试卷)在直四棱柱ABCD-A1B π1C1D1中，∠BAD= ，AB=3
AD=AA1= 2，点Q在侧面DCC1D1内，且A1Q= 7，则点Q轨迹的长度为 ( )
A. π B. π C. 2π D. 4π
6 3 3 3
【答案】C
【解析】
如图所示，过点A1作A1E⊥C1D1，过点E作EE1⊥CD，
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以DD1⊥平面A1B1C1D1，
因为A1E 平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1E，
又因为A1E⊥C1D1，DD1∩C1D1=D1，DD1 平面DCC1D1，D1C1 平面DCC1D1，
所以A1E⊥平面DCC1D1，
因为直线EQ 平面DCC1D1，
所以A1E⊥EQ，
因为∠BAD= π，AB=AD=AA
3 1
= 2，
1
所以A1E= 2× 3 = 3，2
又因为A1Q= 7，
所以EQ= 7-3= 2，
因为点Q在侧面DCC1D1内，
所以在平面直角坐标系中来研究点Q轨迹的长度，如图所示：

点Q的运动轨迹为以点E为圆心、半径为 2的圆在正方形CDD1C1内部的弧FG，
显然ED1= 2× 1 = 1，OF= 2，所以∠FOG= π，2 3

FG= π × 2= 2π所以 .
3 3
故选：C.
3. (广东省七校 2024 1届高三第二次联考数学试卷)已知 a> 0，f x = aex- ln x+b ，当 x> 0时，x
f x ≥ 0，则 a 1-b 3 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
e2 e2 e2 e2
【答案】D
1 1 1
【解析】因为 a> 0，所以 y= aex- 在 0,+∞ 为增函数，由 y= aex与 y= 图象知，y= aex- 在
x x x
0,+∞ 有唯一的零点 x0，
x< x y= aex- 1 < 0 x> x y= aex- 1当 0时， ，当 0时， > 0，x x
若 b≥ 1，则 y= ln x+b > 0在 0,+∞ 恒成立，与 f x ≥ 0矛盾，故 b< 1.
显然 f x
1
= aex- ln x+b 的定义域为 x -b x且x 0 ，且 f 1-b = 0x
因为 a> 0，所以 y= aex- 1 ,y= ln x+b 均在 -b,+∞ 单调递增，
x
所以当 x∈ -b,1-b 1 时，ln x+b < 0，因为 f x ≥ 0，所以 aex- < 0；
x
当 x∈ 1-b,+∞ 时，ln x+b > 0，因为 f x ≥ 0，所以 aex- 1 > 0，
x
2
所以当 x= 1- b时，aex- 1 = 0,ln x+b = 0，
x
1-b 1 3 1-b
2
即 ae - - = 0 a 1-b =

- ，1 b e1 b
x2 2-x x
令 g x = x ，得 g x =e ex
，
x2
所以当 x∈ 0,2 时，g x > 0，g x = x 单调增，e
2
当 x∈ 2,+∞ 时，g x < 0，g x x = x 单调减，e
故 g x ≤ g 2 = 4 ，
e2
1-b 2
所以 a 4 1-b 3 = - ≤ ，当且仅当 1- b= 2即 b=-1时等号成立；e1 b e2
故选：D
2
4. (广东省 (上进联考)2024届高三 10 x月阶段检测考数学试题)已知D为双曲线C: - y2= 1右支上一点，
4
过点D分别作C的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点A,B，则 DA DB = ( )
A. 2 B. 5 C. 5 D. 5
4 2
【答案】C
【解析】设坐标原点为O,D x0,y0 ，易知C的渐近线的方程为 y=± 1 x，2
y=-
1
2 x, x=
1
2 x0-y0联立 解得 ，y-y0= 1 1 12 x-x0 , y=- 4 x0+ 2 y0
1 1 1
不妨取A x2 0-y0,- x0+ y0 ，4 2
1 1 1
同理可得B x2 0+y0, x0+ y0 ，4 2
2 2
则 OA = 1 x 1 12 0-y0 + - x0+ y4 2 0
= 5 1 x2 2 0-y0 ,
5
OB =
2
1 x
2 0
+y0 ，
因为四边形OADB是平行四边形，
于是 DA DB = OB OA = 5 1 x0+y 5 1 5 1 2 22 2 0 x -y = x -y ，2 2 0 0 4 4 0 0
x2
由于点D在C上，所以 0 - y20= 1，4
因此 DA DB = 5 ，故C正确.
4
故选：C．
5. (广东省顺德区高中第四联盟 2023 - 2024 学年高三 10 月联考数学试卷 ) 设函数 f ( x ) =
lnx , x>0 x ，若方程 [ f (x)]
2- af (x) + 1 = 0有六个不等的实数根，则实数 a可取的值可能是
e (x+1), x≤0 16
( )
A. 2 B. 2 或 1 C. 1 D. 2 或 2
3 3 3
3
【答案】B
【解析】当 x≤ 0时，f x = ex x+1 ，则 f (x) = ex(x+ 1) + ex= ex(x+ 2)，
由 f x < 0得 x+ 2< 0，即 x<-2时，f(x)单调递减，
由 f x > 0得 x+ 2> 0，即-2< x≤ 0时，f(x)单调递增，
当 x=-2时，f(x)取得极小值 f(-2) =- 1 ，f(0) = 1，
e2
作出 f(x)的图象如图：
由图象可知当 0< f x ≤ 1时，有三个不同的 x与 f(x)对应，
设 t= f x ，方程 [ f(x)]2- af(x) + 1 = 0有六个不等的实数根，
16
所以 t2- at+ 1 = 0在 t∈ 0,1 内有两个不等的实根，
16
设 g(t) = t2- at+ 1 ，
16
1 >016
g(0)>0


g(1)≥0 1-a+
1 ≥0
16 1 17
所以
Δ>0
a2-4× 1 >0
2 16
0< a2 <1 16
0<
a <1
2
则实数 a 2可能是 或 1.
3
故选：B．
2 y2
6. (广东省顺德区高中第四联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)已知椭圆E x： + = 1的左
16 4
3 2
右顶点分别为A 21，A2，圆O1的方程为 x+1 + y- 2 =
1
，动点 P在曲线 E上运动，动点Q在圆
4
O1上运动，若 △A1A2P的面积为 4 3，记 PQ 的最大值和最小值分别为m和 n，则m + n的值为
( )
A. 7 B. 2 7 C. 3 7 D. 4 7
【答案】B
x2 y
2
【解析】椭圆E： + = 1中，A1(-4,0),A2(4,0)，设P(x0,y16 4 0)，因△A1A2P的面积为 4 3，
1
则 |A1A2| |y0| = 4|y0| = 4 3，解得 y0=- 3或 y0= 3，当 y2 0=- 3时，x0=±2，当 y0= 3时，x0=±2，
即点P(-2, 3 )或P(-2, - 3 )或P(2, 3 )或P(2, - 3 )，
2
圆O1:(x+ 1)2+ y- 3 = 1 圆心O1 -1, 3 1，半径 r= ，2 4 2 2
4
|PO | = 7 |PO | = 31此时 1 或 1 或 |PO | = 39 3 7 7 31 39 3 71 或 |PO1| = ，显然 r< < < < ，2 2 2 2 2 2 2 2
3 7
又点Q在圆O1上运动，则有 |PQ|max= |PO1|max+ r= + r，2
P 2,- 3 |PQ| = |PO | 7此时点 ， min 1 min- r= - r，此时P -2, 3 ，2
m= 3 7 + r,n= 7即 - r，所以m+n= 2 7 .
2 2
故选：B
7. (广东省肇庆市肇庆中学 2024届高三 10月月考数学试卷)已知函数 f x = asin2ωx+ cos2ωx ω>0 图
π
象的对称轴方程为 x= kπ+ ， k∈Z a ．则 f π = ( )4 4
A. 2 B. - 2 C. 2 D. - 2
2 2
【答案】C
π
【解析】当 a= 0时，f x = cos2ωx，又函数对称轴为 x= kπ+ ， k∈Z ，
4
2π
则函数周期T= = 2π，ω= 1 ，函数 f x = cosx，对称轴为 x= kπ，k∈ Z，与题干不符；
2ω 2
当 a≠ 0时，f x = asin2ωx+ cos2ωx= a2+1sin 2ωx+φ 1 ，其中 tanφ= ，
a
由函数 f x x= kπ+ π 图象的对称轴方程为 k∈Z ，得 f x 2π 1 的最小正周期T= = 2π，所以ω= ，
4 2ω 2
所以 f x = asinx+ cosx，
π
由函数 f x 图象的对称轴方程为 x= kπ+ k∈Z ，得 f 2kπ+ π -x = f x k∈Z ，4 2
π π π
令 x= 0，得 f 2kπ+ = f 0 k∈Z ，即 asin2 2kπ+ + cos 2kπ+2 2 = 1 k∈Z ，得 a= 1，
所以 f x = sinx+ cosx= 2sin x+ π a，则 f π4 4 = f
π = 2sin π + π = 2．4 4 4
故选：C．
8. (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)若 x，y≥ 0，x+ y= 1，则 3x + y的取值范
围为 ( )
A. 1 1, 3 B. 1,2 C. 3,2 D. , 3 2
【答案】B
【解析】因为 x+ y= 1，设 x= cos2α,y= sin2α，
又由 x，y≥ 0，不妨取 α∈ 0, π 2 ，
所以 3x+ y= 3cos2α+ sin2α= 3cosα+ sinα= 2sin α+ π3 ，
因为 α∈ 0, π
π π 5π
，所以 α+ ∈

,

，2 3 3 6
所以 2sin α+ π ∈ 1,2 ，3
所以 3x+ y的取值范围为 1,2 ，
故选：B.
9. (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)已知抛物线C：x2= 4y的焦点为F，过点F的
5
直线与C相交于M，N两点，则 2 MF + 1 NF 的最小值为 ( )
2
A. 9 B. 4 C. 7 D. 3
2 2
【答案】A
【解析】
由抛物线C的方程为 x2= 4y，焦点坐标为F 0,1 ，
设直线 l的方程为：y= kx+ 1,M x1,y1 ,N x2,y2 ，
x
2=4y
联立方程 = + ，整理得 x
2- 4kx- 4= 0，则 x1+ xy kx 1 2= 4k,x1x2=-4，
x2 x2
故 y 1 21y2= = 1，4 4
又 MF = +
p = + py1 y1 1， NF = y2+ = y2+ 1，2 2
1 1 1 5 5 9
则 2 MF + NF = 2 y1+1 + y2+1 = 2y + y + ≥ 2 2y × 1 y + = ，2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
当且仅当 y1= 1 ,y2= 2 1 9时等号成立，故 2 MF + NF 的最小值为 .2 2 2
故选：A.
10. (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)从重量分别为 1，2，3，4， ，10克的砝码 (每
种砝码各 2个)中选出若干个，使其总重量恰为 9克的方法总数为m，下列各式的展开式中 x9的系数为
m的选项是 ( )
A. 1+x 1+x2 1+x3 1+x10
B. 1+x 1+2x 1+3x 1+10x
C. 1+x 2 1+x2 2 1+x3 2 1+x4 2 1+x10 2
D. 1+x 2 1+x+x2 2 1+x+x2+x3 2 1+x+x2+ +x10 2
【答案】C
【解析】一个砝码有，9一种情况，C12= 2种情况，
两个砝码有 1,8，2,7，3，6，4,5几种情况C1C12 2× 4= 16种
三个砝码有，1,1,7，1,2,6，1,3,5，1,4,4，2,2,5，2,3,4几种情况 3×C12+ 3×C12C1 12C2= 30种
四个砝码有，1,1,2,5，1,1,3,4，1,2,2,4，1,2,3,3，4×C12C12= 16种，
五个砝码有，1,1,2,2,3，C12= 2种，
总计m= 66种.
对A，选项 x9系数为 8，故不符合，所以A错误；
对B，x9的系数是选 9个带 x的，其他的 1个括号选常数项，可得C910= 10> 66，故B错误；
对C， 1+x 2 1+x2 2 1+x3 2 1+x4 2 1+x10 2
= 1+x 1+x2 1+x3 1+x4 1+x10 1+x 1+x2 1+x3 1+x4 1+x10
x9系数为 x9单独组成，其他为常数，则有C12= 2种，系数为 2
x9有两项组成，系数为 x与 x8组成，其他为常数，C1 C12 2= 4，系数为 4，
x9系数为 x2与 x7组成，其他为常数，C1 12 C2= 4，系数为 4，
x9系数为 x3与 x6组成，其他为常数，C12 C12= 4，系数为 4，
x9系数为 x4与 x5组成，其他为常数，C1 12 C2= 4，系数为 4，
同理 x9由三项组成 x,x,x7，x,x2,x6，x,x3,x5，x,x4,x4，x2,x2,x5，x2,x3,x4几种情况，其他项为常数，则系数为 3
6
×C12+ 3×C12C1 12C2= 30
同理 x9由四项组成 x,x,x2,x5，x,x,x3,x4，x,x2,x2,x4，x,x2,x3,x3几种情况，其他为常数，则系数 4×C1C12 2= 16，
同理 x9由五项组成 x,x,x2,x2,x3其他项为常数，则系数为C12= 2，
综上 x9系数为m= 66，故C正确；
对D， 1+x 2 1+x+x2 2 1+x+x2+x3 2 1+x+x2+ +x10 2 = 1+x 1+x+x2 1+x+x2+x3
1+x+x2+ +x10 ×
1+x 1+x+x2 1+x+x2+x3 1+x+x2+ +x10 ，
x5系数直接有 x5一项，其他是常数项，可有 2×C16= 12种情况，系数为 12，
x5有 x与 x4组成，其他是常数项，可有 2C1 C19 6= 108> 60,
故D错误.
故选：C
11. (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l:y= kx
+ 1 与圆C:x2+ y2= 1交于A,B两点，则△AOB的面积的最大值为 ( )
2
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
2 2 4
【答案】D
【解析】根据题意可得直线 l:y= kx+ 1 1恒过点E 0, ，该点在已知圆内，2 2
圆C:x2+ y2= 1的圆心为C 0,0 ，半径 r= 1，作CD⊥ l于点D，如下图所示：
CD
易知圆心C到直线 l的距离为 CD ≤ CE = 1

，所以 cos∠DCB= ≤ 1 ，
2 CB 2
又∠DCB∈ 0, π ，可得∠DCB∈ π π2 ,3 2 ；
2π
因此可得∠ACB= 2∠DCB∈ ,π3 ，
1 1
所以△AOB的面积为S△AOB= CA CB sin∠ACB≤ × 1× 1× sin
2π = 3 .
2 2 3 4
故选：D
12. (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)设函数 f x = x2+ax+b lnx，若 f x ≥ 0，
则 a的最小值为 ( )
A. - 2 B. - 1 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】函数 f(x)定义域为 (0, +∞)，而 0< x< 1 lnx< 0，x= 1 lnx= 0，x> 1 lnx> 0，
要使 f x ≥ 0，则二次函数 y= x2+ ax+ b，在 0< x< 1上 y< 0，在 x> 1上 y> 0，
所以 x= 1为该二次函数的一个零点，易得 b=-a- 1，
7
则 y= x2+ ax- (a+ 1) = (x- 1) [x+ (a+ 1)]，且开口向上，
所以，只需- (a+ 1)≤ 0 a+ 1≥ 0 a≥-1，故 a的最小值为-1.
故选：B
13. (湖北省云学部分重点高中联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)在平面直角坐标系中，双曲
2
C : x
2
线 - y = 1 a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,A为双曲线右支上一点，连接AF1交 y轴于点
a2 b2
B，若 AB = AF2 ，且AF1⊥AF2，则双曲线的离心率为 ( )
A. 1+ 2 B. 2+ 2 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】设 AB = AF2 =m> 0，则 AF1 = 2a+m， BF1 = 2a，
AF OF
因为BO⊥F1F2,AF1⊥AF2，则 cos∠AF1F2=
1 = 1 ，
F1F2 BF1
2a+m 2= c m= c - 2a AF = c
2
即 ，整理可得 ，则
2c 2a a 1
，
a
c2 2 c2 2
又因为 AF 21 + AF 22 = FF 2，即 + -2a = 2c 21 2 ，a a
整理可得 e4- 4e2+ 2= 0，解得 e2= 2+ 2或 e2= 2- 2 (舍去)，
所以双曲线的离心率为 e= 2+ 2 .
故选：B.
14. (湖北省云学部分重点高中联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)已知函数 f x = cosx- ax
π
在区间 0, 单调递增，则实数 a的取值范围是 ( )6
A. -∞,- 1 B. -∞, 3 C. 1 32 2 ,+∞ D. - ,+∞2 2
【答案】A
【解析】因为 f x = cosx- ax，则 f x =-sinx- a，
由题意可得 f x =-sinx- a≥ 0对任意 x∈ π 0, 6 恒成立，
即-sinx≥ a对任意 x∈ 0,
π
6
恒成立，
x∈ 0, π -sinx∈ - 1又因为 ，则 ,06 2

，可得 a≤-
1
，
2
1
所以实数 a的取值范围是 -∞,- .2
故选：A.
15. (湖北省云学部分重点高中联盟 2023 - 2024学年高三 10月联考数学试卷)已知函数 f x = lnx -
a x- 1 有两个极值点 x1,x2，则 f x1+x2 的取值范围是 ( )x
A. 0,ln2- 3 B. ln2- 3 ,+∞ C. 0,2ln2- 3 D. ln2- 3 ,+∞4 2 2 4
【答案】D
2
【解析】由题意可知：f x 的定义域为 0,+∞ f x = 1 - a 1+ 1 ，且 =- ax -x+a，x x2 x
8
由题意可知：ax2- x+ a= 0有两个不相等的正根 x1,x2，
显然 a≠ 0 x2- 1，即 x+ 1= 0有两个不相等的正根 x1,xa 2，
1

Δ=
a2
-4>0
则 x +x = 1 >0，解得 0< a<
1
，
1 2 a 2 x1 x2=1>0
可得 f x1+x 12 = f a = ln
1 - a 1 -aa a = a
2- lna- 1，
2
令 g a = a2- lna- 1,0< a< 1 ，则 g a = 2a- 1 = 2a -1 < 0，
2 a a
可知 g a
1 1 3
在 0, 内单调递减，则 g a > g = ln2- ，2 2 4
且当 a趋近于 0时，g a 趋近于+∞，
3
即 g a 的值域为 ln2- ,+∞ ，所以 f x1+x 32 的取值范围是 ln2- ,+∞ .4 4
故选：D.
16. (湖北省武汉外国语学校 2023 - 2024学年高三 10月月考数学试题)已知 a ∈ R，设函数 f (x) =
2
x -2ax+2a,x≤1, - , > 若关于 x的不等式 f(x)≥ 0在R上恒成立，则 a的取值范围为x alnx x 1,
A. 0,1 B. 0,2 C. 0,e D. 1,e
【答案】C
【解析】先判断 a≥ 0时，x2- 2ax+ 2a≥ 0在 (-∞,1]上恒成立；若 x- alnx≥ 0在 (1, +∞)上恒成立，转化为
a≤ x 在 (1, +∞)上恒成立．∵ f(0)≥ 0，即 a≥ 0，
lnx
(1)当 0≤ a≤ 1时，f(x) = x2- 2ax+ 2a= (x- a)2+ 2a- a2≥ 2a- a2= a(2- a)> 0，
当 a> 1时，f(1) = 1> 0，
故当 a≥ 0时，x2- 2ax+ 2a≥ 0在 (-∞,1]上恒成立；
若 x- alnx≥ 0在 (1, +∞) x上恒成立，即 a≤ 在 (1, +∞)上恒成立，
lnx
令 g(x) = x ，则 g'(x) = lnx-1，
lnx (lnx)2
当 x> e,函数单增，当 0< x< e,函数单减，
故 g x min= g e = e，所以 a≤ e．当 a≥ 0时，x2- 2ax+ 2a≥ 0在 (-∞,1]上恒成立；
综上可知，a的取值范围是 [0,e]，
故选C．
17. (湖北省武汉外国语学校 2023 - 2024学年高三 10月月考数学试题)已知函数 f x = f -x ,x ∈ R，
f 5.5 = 1，函数 g x = x-1 f x ，若 g x+1 为偶函数，则 g -0.5 的值为 ( )
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5
【答案】D
【解析】因为函数 g x+1 为偶函数，可 g x 的图象关于 x= 1对称，所以 g x = g 2-x ，
由 g x = x-1 f x ，可得 x-1 f x = 1-x f 2-x ，
即 f x + f 2-x = 0，所以函数 f x 关于 (1,0)对称，
又因为 f x = f -x ，所以 f x 是定义在R上的偶函数，
所以 f x =-f 2-x =-f(x- 2)，
9
所以 f x-4 = f[(x- 2) - 2]=-f(x- 2) =- [ f(x)]= f(x)，即 f(x- 4) = f(x)，
所以函数 f x 是周期为 4的周期函数，
所以 f(5.5) = f(1.5+ 4) = f(1.5) = f(-2.5) = f(2.5) = 1，
则 g(-0.5) = g(2.5) = (2.5- 1)f(2.5) = 1.5.
故选：D.
18. (湖北省新八校协作体 2023 - 2024学年高三 10月联考数学试题)已知函数 f x 的定义域为 R，y=
f x + 2ex是偶函数，y= f x - 4e-x是奇函数，则 f x 的最小值为 ( )
A. e B. 2 2 C. 2 3 D. 2e
【答案】C
【解析】因为 y= f x + 2ex是偶函数，所以 f x + 2ex= f -x + 2e-x，即 f(x) - f(-x) = 2e-x- 2ex①，
又因为 y= f x - 4e-x是奇函数，所以 f(-x) - 4e-x=-f(x) + 4ex，即 f(x) + f(-x) = 4ex+ 4e-x②，
联立①②可得 f(x) = ex+ 3e-x，
由基本不等式得 f(x) = ex+ 3e-x≥ 2 3，当且仅当 ex= 3e-x 1，即 x= ln3时等号成立，
2
所以 f x 的最小值为 2 3，
故选：C．
lnx , x>0
19. (湖北省新八校协作体 2023- 2024学年高三 10 x月联考数学试题)已知函数 f x = ，若函数- exx , x<0
g x = f x - x-k 恰有 2个零点，则实数 k的取值范围是 ( )x
A. -1,e B. -∞，-1 ∪ e，+∞
C. [-1,1) D. -∞，-1 ∪ 1，+∞
【答案】C
x-k
【解析】由题意知，要使得 g x = f x - 恰有 2个零点，即 g x = 0有两个实数根，x
lnx x-k lnx x-k lnx - x-k> = - = - = 当 x 0时，g x ，x x x x x
ex x-k ex x-k x-k -ex
当 x< 0时，g x =- - =- + = ，x x x x x
lnx=
- x-k
令 g x 0，当 x> 0时，可得 = 0，即 lnx = x-k ；
x
x-k -ex
当 x< 0时， = 0，即 x-k = ex，
x
在同一坐标系下，作出函数 y= lnx ,y= ex和 y= x-k 的图象，如图所示，
1
由函数 y= lnx，可得 y = ，可得 y|x=1= 0且 y |x=1= 1，x
所以函数 y= lnx在 x= 1的切线方程为 y= x- 1，
又由函数 y=-lnx，可得 y =- 1 ，可得 y|
x x=1
= 0且 y |x=1=-1，
所以函数 y=-lnx在 x= 1的切线方程为 y=-x+ 1，
所以函数 y= lnx 与 y= x-1 只有一个公共点，
x-k
结合图象得：当 k<-1时，g x = f x - 恰有 3个零点；x
10
当-1≤ k< 1时，g x = f x-k x - 恰有 2个零点；x
当 k= 1时，g x = f x x-k - 恰有 1个零点，x
当 k> 1 x-k时，g x = f x - 恰有 3个零点，x
要使得 y= g x 恰有 2个零点，则满足-1≤ k< 1，所以实数 k的取值范围为 [-1,1).
故选：C.
1.直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式 (组)，再通过解不等式 (组)确定参数的取值范围 2. 分离
参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
2.数形结合法，利用函数与方程思想先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结
合求解.
3.结论拓展：与 ex和 lnx相关的常见同构模型
① aea≤ blnb ealnea≤ blnb，构造函数 f x = xlnx或 g x = xex；
ea b ea b x
② < a < ，构造函数 f x =
x e
或 g x = ；
a lnb lne lnb lnx x
③ ea± a> b± lnb ea± lnea> b± lnb，构造函数 f x = x± lnx或 g x = ex± x.
20. (河南省七校联考 2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)如图所示，直线 y= kx+m与曲线 y
= f x 相切于 x1,f x1 , x2,f x2 两点，其中 x1< x2．若当 x∈ 0,x 1 时，f x > k，则函数 f x - kx
在 0,+∞ 上的极大值点个数为 ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
根据图象，可分别作出 f x 斜率为 k的另外三条切线：y= kx+mi i=1,2,3 ，切点分别为 x5,x3,x4，
如图所示：当 x∈ 0,x1 ∪ x3,x2 ∪ x 4,x5 时，f x > k；
当 x∈ x1,x3 ∪ x2,x4 ∪ x5,+∞ 时，f x < k；
设 g x = f x - kx，则 g x = f x - k，
∴ g x 在 0,x1 , x3,x2 , x4,x5 上单调递增，在 x1,x3 , x2,x4 , x5,+∞ 上单调递减，
∴ g x = f x - kx有 x= x1，x= x2和 x= x5三个极大值点.
故选：D.
21. ( π河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)将函数 f(x) = cos ωx+ (0< ω<6
6) π的图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象，若 g(x)是奇函数，则 f(x)在区间 (0,π)内的极
6
值点个数为 ( )
11
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】若 g(x)是奇函数，则 g(x)图象关于 (0,0)对称，
π
由题意得 g(x)的图象向左移 个单位长度得到函数 f(x)的图象，
6
故 f(x) π的图象关于 - ,0 对称，f(x) = cos ωx+ π ，6 6
则 cos - π ω+ π = 0，则- π ω+ π = π + kπ,k∈ Z，6 6 6 6 2
解得ω=-6k- 2,k∈ Z，又因为 0<ω< 6，
则当 k=-1时，ω= 4.
f(x) = cos 4x+ π ，x∈ (0,π)，6
令 t= 4x+ π ∈ π , 25π ，6 6 6
则 h t = cost π , 25π在 6 6 极值点的个数与 f(x)在区间 (0,π)内的极值点个数相同.
π 25π
而函数 h t = cost在 , 内的所有极值点为 π,2π,3π,4π，共 4个.6 6
故 f(x)在区间 (0,π)内的极值点个数也为 4个.
故选：D.
22. (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)已知函数 f x 的定义域为R,f x -
1为奇函数，f x+2 为偶函数，则 f 1 + f 2 + +f 16 = ( )
A. 0 B. 16 C. 22 D. 32
【答案】B
【解析】因为 f x - 1为奇函数，则 f 0 = 1，且函数 f(x)的图象关于 0,1 中心对称，即 f x + f -x = 2，
因为 f x+2 为偶函数，所以 f x+2 = f 2-x ，则 f x+4 = f -x ，
所以 f x + f x+4 = 2，f x+4 + f x+8 = 2，所以 f x = f x+8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f 1 + f 5 = 2,f 2 + f 6 = 2,f 3 + f 7 = 2,f 4 + f 8 = 2，
所以 f 1 + f 2 + +f 16 = 2 f 1 + f 2 + +f 8 = 16，
故选：B.
23. (河南省部分名校 2023- 2024学年高三 10月月考数学试卷)已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域
20
均为 R，若 f x = f -x + 2x, f x 的图象关于直线 x = 1对称，且 f 2 = 0，则 f (20) - f (i) =
i=1
( )
A. 10 B. 20 C. - 10 D. - 20
【答案】A
【解析】f(x)的图象关于直线 x= 1对称，则 f(x) = f(2- x)，
所以 f (x) =-f (2- x)，又 f(x) = f(-x) + 2x，则 f (x) =-f (-x) + 2，
所以-f (2- x) =-f (-x) + 2，从而 f (2+ x) = f (x) - 2，
因此 { f (2n)}及 { f (2n- 1)}是公差为-2的等差数列，其中 n∈N ，
又在 f (x) =-f (2- x)中令 x= 1得 f (1) =-f (1)，即得 f (1) = 0，
在 f (x) =-f (-x) + 2中令 x= 0得 f (0) =-f (0) + 2，则 f (0) = 1，因此 f (2) =-1，
12
于是 f (1) + f (3) + f (5) + +f (19) = 0- 2- 4- -18=-90，
f (2) + f (4) + +f (20) =-1- 3- -19=-100，
20
所以 f (i) =-190，
i=1
又由 f(x) = f(2- x)及 f x = f -x + 2x得 f(2- x) = f(-x) + 2x，
从而 f(2+ x) = f(x) - 2x，而 f(2) = 0
所以 f(20) = f(18) - 36= f(16) - 32- 36= = f(2) - 4- 8- -32- 36=-180，
20
所以 f(20) - f (i) =-180- (-190) = 10，
i=1
故选：A．
24. (河南省部分名校 2024届高三月考 (一)数学试题)△ABC与△ABD都是边长为 2的正三角形，沿公共边
AB折叠成三棱锥且CD长为 3，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为 ( )
A. 13 π B. 208π C. 112π D. 52 π
9 9 3 9
【答案】D
【解析】设AB的中点为E，正△ABC与正△ABD的中心分别为N，M，如图，
根据正三角形的性质有M，N分别在DE，CE上，OM⊥平面ABD，ON⊥平面ABC，
因为△ABC与△ABD都是边长为 2的正三角形，则DE=CE= 3，又CD= 3，
则△CDE是正三角形，
又AB⊥DE，AB⊥CE，CE∩DE=E，CE,DE 平面CDE，
所以AB⊥平面CDE，所以O在平面CDE内，
故EM=EN= 1 ED= 3 ，易得Rt△MEO≌Rt△NEO，
3 3
故∠MEO=∠NEO= 30°，
2
故OE= ME = 2 ，又EB= 1 13，故球O的半径OB= 12+ 2 = ，cos30° 3 3 3
13 2 52π
故球O的表面积为S= 4π× = ．3 9
故选：D．
25. (河南省部分名校 2024届高三月考 (一)数学试题)已知函数 f x 及其导函数 f x 在定义域均为R且
F x = ex+2 f x+2 是偶函数，其函数图象为不间断曲线且 x-2 f x + f x > 0，则不等式 xf lnx
< e3 f 3 的解集为 ( )
A. 0,e3 B. 1,e3 C. e,e3 D. e3,+∞
13
【答案】C
【解析】由 x-2 f x + f x > 0,得 x f x+2 + f x+2 > 0,
则当 x> 0时,得 f x+2 + f x+2 > 0,
F x = ex+2 f x+2 + ex+2 f x+2 = ex+2 f x+2 + f x+2 ，
则当 x> 0时,F x > 0,得函数F x 在 0,+∞ 上单调递增,
因为 xf lnx < e3 f 3 ,所以F lnx-2 由于F x = ex+2 f x+2 是偶函数,则F lnx-2 而函数F x 在 0,+∞ 上单调递增,得 lnx-2 < 1,
得-1< lnx- 2< 1,
得 e< x< e3,
故选：C.
26. (多选题) (广东省五校 2023- 2024学年高三 10月联考 (二)数学试题)若 x，y满足 x2+ y2- xy= 1，则
( )
A. x+ y≤ 1 B. x+ y≥-2 C. x2+ y2≤ 2 D. x2+ y2≥ 1
【答案】BC
2 2 2 2
【解析】因为 ab≤ a+b ≤ a +b (a,
x+y
b∈R)，由 x2+ y2- xy= 1可变形为， x+y 2 - 1= 3xy≤ 3 ，解2 2 2
得-2≤ x+ y≤ 2，当且仅当 x= y=-1时，x+ y=-2，当且仅当 x= y= 1时，x+ y= 2，所以A错误，B正
确；
2 2
由 x2+ y2- xy= 1可变形为 x2+y2 - = ≤
x +y
1 xy ，解得 x2+ y2≤ 2，当且仅当 x= y=±1时取等号，所
2
以C正确；
因为 x2+ y2
2
- xy= 1变形可得 x-
y + 3 y2= y1，设 x- = cosθ, 3 y= sinθ 1，所以 x= cosθ+ sinθ,
2 4 2 2 3
y= 2 sinθ，因此 x2+ y2= cos2θ+ 5 sin2θ+ 2 sinθcosθ= 1+ 1 sin2θ- 1 cos2θ+ 1
3 3 3 3 3 3
= 4 + 2 sin 2θ- π ∈ 2 ,2 x= 3 3 ，所以当 ,y=- 时满足等式，但是 x2+ y2≥ 1不成立，所以D错误．3 3 6 3 3 3
故选：BC．
27. (多选题) (广东省五校 2023 - 2024学年高三 10月联考 (二)数学试题)若正实数 x，y满足 xex-1=
y 1+lny ，则下列不等式中可能成立的是 ( )
A. 1< x< y B. 1< y< x C. x< y< 1 D. y< x< 1
【答案】AC
【解析】因为 xex-1= y 1+lny ，所以 xex-1= 1+lny e 1+lny -1 ，
因为 x> 0，所以 xex-1> 0，则 1+ lny> 0，
令 f x = xex-1，x∈ 0,+∞ ，则 f x = x+1 ex-1> 0，
所以 f x = xex-1在 0,+∞ 上单调递增，
由 f x = f 1+lny ，可得 x= 1+ lny，
令 g x
1 1-x
= lnx+ 1- x，则 g x = - 1= ，所以当 0< x< 1时 g x > 0，当 x> 1时 g x < 0，
x x
所以 g x 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，
所以 g x max= g 1 = 0，则 g x = lnx+ 1- x≤ 0，即 lnx+ 1≤ x当且仅当 x= 1时取等号，
14
即 1+ lny≤ y当且仅当 y= 1时取等号，
又 x= 1+ lny，所以 x≤ y，当且仅当 x= y= 1时取等号，
当 y≠ 1时 1< x< y或 x< y< 1，
结合 y= lnx+ 1与 y= x的图象也可得到
所以 1< x< y或 x< y< 1.
故选：AC
28. (多选题) (广东省七校 2024届高三第二次联考数学试卷)如图，在棱长为 4的正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是 ( )
A. 若DP 平面CEF，则点P的轨迹长度为 2 2
B. 若DP 平面CEF，则三棱锥P-DEF的体积为定值
C. 若AP= 17，则点P的轨迹长度为 2π
D. 若P是棱A1B1的中点，则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是 41π
【答案】ABD
【解析】对A选项，如图，
分别取A1D1，A1B1的中点N，M，
则易得MN EF，MN DB，DN CE，
MN∩DN=N，EF∩CE=E，
MN ,DN 平面MNDB，EF,CE 平面CEF
15
从而易得平面MNDB 平面CEF，
又P是正方形A1B1C1D1内的动点，且DP 平面CEF，
∴P点的轨迹为线段NM，又MN= 2 2，∴A选项正确；
对B选项，由A选项分析可知P点的轨迹为线段NM，MN EF，
∴三角形PEF的面积为定值，又D到平面PEF的距离也为定值，
∴三棱锥P-DEF的体积为定值，∴B选项正确；
对C选项，如图，若AP= 17，又AA1= 4，且AA1⊥平面A1B1C1D1，
则A 21P= AP -AA21 = 17-16= 1，
∴P点的轨迹是正方形A1B1C1D1内以A1为圆心，1为半径的四分之一圆弧，
∴P 1的轨迹长度为 × 2π× 1= π，∴C选项错误；
4 2
对D选项，如图，
若P是棱A1B1的中点，取PF的中点G，AC的中点H，
则FE⊥PE，∴G到E，F，P的距离相等，又GH⊥平面PEF，
∴三棱锥P-CEF的外接球的球心O在GH上，
设GO= t，则OH= 4- t，又PG= 2，HC= 2 2，
设三棱锥P-CEF的外接球的半径为R，则PO=CO=R，
∴在Rt△PGO与Rt△HCO中，根据勾股定理可得：
R2= 22+ t2= 2 2 2 5 + 4-t 2 ，解得 t= ，
2
∴R2= 4+ t2= 4+ 25 = 41，
4 4
∴三棱锥P-CEF的外接球的表面积是 4πR2= 41π，∴D选项正确.
故选：ABD.
29. (多选题) (广东省七校 2024届高三第二次联考数学试卷)已知抛物线C:x2= 4y的焦点为F，A，B，P为

抛物线C上的点，cos FA,FB =-1，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为 k1,k2，且两切线交于
点M．N为抛物线C的准线与 y轴的交点．则以下结论正确的是 ( )

A. 若 AF + BF = 4，则AF BF =-1
16
B. 直线PN π的倾斜角 α≥
4
C. 若 k1+ k2= 2，则直线AB的方程为 x- y+ 1= 0
D. |MF|的最小值为 2
【答案】BCD

【解析】由题 cos FA,FB =-1，则向量FA,FB的夹角为 π，故F，A，B三点共线，
设AB:y= kx+ 1，与C的方程联立得 x2- 4kx- 4= 0，设A x1,y1 ,B x2,y2 ，
则 x1+ x2= 4k，x1x2=-4，故 y1+ y2= 4k2+ 2,y1y2= 1，
由抛物线的定义得 |AF| = y1+ 1,|BF| = y2+ 1，
故 AF + BF = y + y + 2= 4k21 2 + 4= 4，k= 0，FA·FB=-4，所以A错误；
x2
设P x 0 π0, ，N (0, -1)，当 x0≤ 0时，直线PN倾斜角大于等于 ，4 2
x20
当 x > 0时，k = 4
+1
= x00 PN +
1 ≥ x2 0 × 1 = 1 PN π，所以直线 的倾斜角 α≥ ，B正确；
x0 4 x0 4 x0 4
1
记直线AB的斜率为 k，令 f(x) = x2，则 f (x) = 1 x，则 k = f 11 x1 = x1,k2= f 1 x2 = x2，4 2 2 2
x22-x21
y
k= 2-y1 = 4 = 1又 - - x2+x1 ，所以 k1+ k = 2k，所以 k= 1，x2 x1 x2 x 21 4
又直线AB过点F(0,1)，故直线AB的方程为 x- y+ 1= 0,C正确；
x x2 x x2
MA:y- y1= 1 x-x1 ，又 y1= 1 ，所以MA:y= 1 x- 1 ，2 4 2 4
2
同理MB:y= x2 x- x2 ，
2 4
x1+x2 , x x联立解得M 1 2 ，即M (2k, -1)，又F(0,1)，2 4
所以 |MF| = 4k2+4≥ 2，
当 k= 0时，等号成立，所以 MF 的最小值为 2，D正确；
故选:BCD.
30. (多选题) (广东省 (上进联考)2024届高三 10月阶段检测考数学试题)已知函数 f x 不是常函数，且图象
是一条连续不断的曲线，记 f x 的导函数为 f x ，则 ( )
A. 存在 f x 和实数 t，使得 f x = tf x
B. 不存在 f x 和实数 t，满足 f x + f t = f 2x
C. 存在 f x 和实数 t，满足 f xt = tf x
D. 若存在实数 t满足 f x = f x+t ，则 f x 只能是指数函数
【答案】AC
【解析】令 f x = ax，则存在实数 lna使得 f x = axlna，A正确；
存在 t= 2,f x = logax,f x + f t = logax+ loga2= loga2x= f 2x ，故B错误；
令 f x = logax，则 f xt = log xta = tlogax= tf x ，C正确；
若 f x = sinx，f x = cosx= sin x+ π ，故D错误．2
故选：AC．
17
31. (多选题) (广东省 (上进联考)2024届高三 10月阶段检测考数学试题)已知F 1,0 ，圆M :(x+ 1)2+ y2=
1，点P为圆M上一动点，以PF为直径的圆N交 y轴于A,B两点，设A xA,yA ,B xB,yB ,P xP,yP ，则
( )
A. 1 3当点N在 y轴上时， PF = 5 B. MN 的取值范围是 , 2 2
C. yAy
1
B= xP D. cos∠AFP=
BF
【答案】ACD
【解析】
当N在 y轴上时， xN-xF = 1，则 xP-xF = 2 xP=-1,yP=±1，则 PF = 5，故A正确；
设N xN,yN 且 xN≠ 1，则P 2xN-1,2y
1
N ，代入得 x
2
N+ y2N= ，4
可得N 1在以坐标原点O为圆心、 为半径的圆上运动，又圆N交 y轴于A,B，故 MN ∈ 1 ,
3 ，故B错误；2 2 2
以PF为直径的圆N的方程可写为 x-xP x-1 + y y-yP = 0，
令 x= 0，可得 xP+ y y-yP = 0，即 y2- yPy+ xP= 0，
则 yA,yB分别为方程的两根，由韦达定理得 yAyB= xP，故C正确；
AF 1
要证 cos∠AFP= = ，即证 PF = FA FB ，
PF BF
FA FB = y2 2 2 2 2 2A+1 yB+1= yAyB+ yA+yB +1= 1-4xP，
PF = xP-1 2 +y2P = 1-4xP，
所以 PF = FA FB 1 ，即 cos∠AFP= ，故D正确．
BF
故选：ACD．
32. (多选题) (广东省顺德区高中第四联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)设函数 f x = 2x3-
3ax2+ 1，则 ( )
A. 存在 a，b，使得 x= b为曲线 y= f x 的对称轴
B. 存在 a，使得点 1,f 1 为曲线 y= f x 的对称中心
C. 当 a< 0时，x= a是 f x 的极大值点
D. 当 a> 1时，f x 有三个零点
【答案】BCD
【解析】对于选项A，假设存在这样的 a,b，使得 x= b为 f(x)的对称轴，
即存在这样的 a,b使得 f(x) = f(2b- x)，
即 2x3- 3ax2+ 1= 2(2b- x)3- 3a(2b- x)2+ 1，
18
因为等式右边 2 2b-x 3 展开式含有 x3的项为 2C3 03 2b -x 3 =-2x3，
可知等式左右两边 x3的系数不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 a,b，使得 x= b为 f(x)的对称轴，故A错误；
对于选项B：因为 f(1) = 3- 3a，
若存在 a，使得 (1,3- 3a)为 f(x)的对称中心，则 f(x) + f(2- x) = 6- 6a，
且 f(x) + f(2- x) = 2x3- 3ax2+ 1+ 2(2- x)3- 3a(2- x)2+ 1= (12- 6a)x2+ (12a- 24)x+ 18- 12a，
12-6a=0可得 6- 6a= (12- 6a)x2+ (12a- 24)x+ 18- 12a，则 12a-24=0 ，解得 a= 2，18-12a=6-6a
所以存在 a= 2使得 (1,f(1))是 f(x)的对称中心，故B正确；
对于选项C：因为 f (x) = 6x(x- a)，
若 a< 0，当 x∈ (a,0)时，f (x)< 0，当 x∈ (-∞,a)时，f (x)> 0，
可知 f(x)在 (a,0)内单调递减，在 (-∞,a)内单调递增，
所有 f(x)在 x= a处取到极大值，x= a是 f x 的极大值点，C选项正确；
对于选项D，由题意可知：f(x)的定义域为R，且 f (x) = 6x2- 6ax= 6x(x- a)，
因为 a> 1，当 x∈ -∞,0 ∪ a,+∞ 时，f (x)> 0；x∈ (0,a)时，f (x)< 0；
可知 f(x)在 -∞,0 , a,+∞ 上单调递增，在 (0,a)上单调递减，
则 f(x)在 x= 0处取到极大值，在 x= a处取到极小值，
且 f(0) = 1> 0，f(a) = 1- a3< 0，f -1 =-1- 3a 0,f 2a =4a3+1 0，
则 f(x)在 -∞,0 ,(0,a), a,+∞ 上各有一个零点，
所以当 a> 1时，f(x)有三个零点，故D正确；
故选：BCD.
33. (多选题) (广东省肇庆市肇庆中学 2024届高三 10月月考数学试卷)如图，在平面直角坐标系 xOy中，点
B1，B2，B3， ，Bn均在 x轴正半轴上，点C1，C2，C3， ，Cn均在 y轴正半轴上．已知OB1= 1，B1B2=
2，B2B3= 3， ，Bn-1Bn= n(n≥ 2)，OC1= 1，C1C 22=C2C3= =Cn-1Cn= (n≥ 2)，四边形OB1D3 1C1，
OB2D2C2，OB3D3C3， ，OBnDnCn均为长方形．当 n≥ 2时，记Bn-1BnDnCnCn-1为第n- 1个倒“L”形，
则 ( )

A. 第 10个倒“L”形的面积为 100
n(n+1)(2n+1)
B. 长方形OBnDnCn的面积为 6
C. 点D1，D
8 1
2，D
2
3， ，Dn均在曲线 y = x+ 上9 9
60
D. i2能被 110整除
i=1
【答案】BCD
19
n n+1
x = 1+ 2+ 3+ +n= ,y = 1+ 2 n-1 = 2n+1【解析】 D ，n 2 Dn 3 3
8 2x + 1 = 4n +4n+1 = y 2D D ，所以C正确.9 n 9 9 n
n n+1
= S 2n+1
n n+1 2n+1
OB D C =

，所以B正确.
n n n 2 3 6
第 10个倒“L 11×12×23-10×11×21”形的面积为SOB11D C -S = = 121，所以A错误.11 11 OB10D10C10 6
n n+1 2n+1
由于 12+ 22+ +n2= ，
6
60 61 121
12+22+ +602
所以 = 6 = 671，所以D正确.
110 110
故选：BCD
34. (多选题) (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)如图，透明塑料制成的长方体容器
ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下
面几个结论，其中正确的命题有 ( )

A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
C. 随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D. 当容器倾斜如图 (3)所示时，AE AH为定值
【答案】AD
【解析】由于AB始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A正确；
图 (2)中水面面积比 (1)中水面面积大，B错；
图 (3)中A1C1与水面就不平行，C错；
图 (3)中，水体积不变，因此△AEH面积不变，从而AE AH为定值，D正确．
故选：AD．
35. (多选题) (湖南省长沙市雅礼中学 2024届高三月考 (二)数学试题)已知奇函数 f x 在R上单调递增，
f x = g x ，g x = f x ，若 f 2x = 2f x g x ，则 ( )
A. g x 的图象关于直线 x= 0对称 B. g 2x = g2 x + f2 x
C. g 0 = 0或 1 D. g2 x - f2 x = 1
20
【答案】ABD
【解析】对于A，由 f x 为R上的奇函数，则 f 0 = 0，f x + f -x = 0，
则 f x - f -x = 0，所以 g x - g -x = 0，即 g x 为偶函数，因此关于直线 x= 0对称，故A正确；
对于B，由 f 2x = 2f x g x ，则两边同时求导得：2f 2x = 2f x g x + 2f x g x ，即 g 2x = g2 x +
f2 x ，故B正确；
由 g x f x - f x g x = 0，则 2g x g x - 2f x f x = 0，即 g2 x - f2 x = 0，即 g2 x - f2 x =
0，
则 g2 x - f2 x =C(C为常数)，设 h x = g2 x - f2 x =C(C为常数)，
对于C，由 g 2x = g2 x + f2 x ，则 g 0 = g2 0 + f2 0 ，即 g 0 g 0 -1 = 0，解得 g 0 = 0或 g 0 = 1，
当 g 0 = 0，则 h 0 = g2 0 - f2 0 = 0，则 h x = g2 x - f2 x = 0，即 f x =±g x ，
又 g x 为偶函数，则 f x 即是奇函数也是偶函数，与 f x 在R上单调递增矛盾，
因此 g 0 = 0不符合题意，则 g 0 = 1，故C错误；
对于D，当 g 0 = 1时，则 h 0 = g2 0 - f2 0 = 1，则 h x = g2 x - f2 x = 1，即 g2 x - f2 x = 1，故D正
确；
故选：ABD.
36. (多选题) (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)已知函数 f(x) = sinωx+ acosωx(x
∈R,ω> 0)的最大值为 2，其部分图象如图所示，则 ( )

A. a> 0 B. f x- π函数 6 为偶函数
C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. f(x)是周期函数，且最小正周期为 π
【答案】ACD
【解析】由函数 f(x) = sinωx+ acosωx= 1+a2 sin(ωx+ φ)，且 tanφ= a，
因为函数 f x 的最大值为 2，可得 1+a2= 2，解得 a=± 3，
又因为 f(0) = a> 0，所以 a= 3，所以A正确；
f x = sinωx+ 3cosωx= 2sin ωx+ π3
f π = 2sin π ω+ π = 1 f x π因为 ，且函数 在 的附近单调递减，4 4 3 4
π
所以 ω+ π = 5 π+ 2kπ,k∈ Z，所以ω= 2+ 8k,k∈ Z，
4 3 6
T π π 2π π
又因为 > ，可得T> ，所以 > ，解得 0<ω< 4，所以ω= 2，
2 4 2 ω 2
f(x) = 2sin 2x+ π此时 ，其最小正周期为T= π，所以C、D正确；3
π
设F x = f x- = 2sin 2 x- π + π = 2sin2x，6 6 3
F -x = 2sin[2(-x)]=-2sin2x=-F x ，所以F x 为奇函数，
21
即函数 f x- π 为奇函数，所以B不正确.6
故选：ACD.
37. (多选题) (湖南省长沙市长郡中学 2024届高三月考 (二)数学试卷)已知抛物线C :y2= 2px(p> 0)的焦
点为F，准线交 x轴于点D，直线 l经过F且与C交于A,B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点
M在 y轴上的射影为点N .若 MN = NF ，则 ( )
A. l的斜率为 3 B. △ABD是锐角三角形
C. 四边形MNDF的面积是 3 p2 D. BF FA > |FD|2
【答案】ABD
p p p
【解析】由题意可知：抛物线的焦点为F ,0 ，准线为 x=- ，即D - ,0 ，2 2 2
设A x1,y1 ,B x2,y2 ,y1> 0,y2< 0，
x则M 1 + p ,
y1 , yN 0, 1 ，可得，
2 4 2 2
因为 MN = NF ，即 MN = NF = MF ，
可知△MNF为等边三角形，即∠NMF= 60°，
且MN∥ x轴，可知直线 l的倾斜角为 60°，斜率为 k= tan60° = 3，故A正确；
p
则直线 l:y= 3 x- 2 ，
y= 3 x-
p x= 3p x=
p
联立方程 2 ，解得 2 或
6 ，
y2=2px y= 3p y=- 33 p
3p p
即A , 3p 3，B ,- p ，则M p, 3 p ,N 0, 3 p ，2 6 3 2 2
可得 DF = p, AD = 7 p, BD = 7 p, FA = 2p, 2 8 FB = p, AB = p，
3 3 3
在△ABD中， BD < AD < AB ，且 BD 2+ AD 2 - AB 2 < 0，
可知∠ADB为最大角，且为锐角，所以△ABD是锐角三角形，故B正确；
四边形MNDF S =S +S = 1 × p× 3 p+ 1 × 3的面积为 MNDF △BDF △MNF p× p=
3 p2，故C错误；
2 2 2 2 2
4
因为 FB FA = p2, FD = p2，所以 BF FA > |FD|2，故D正确；
3
故选：ABD.
38. (多选题) (湖北省云学部分重点高中联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)已知 a> b> c，且
2a+ b+ c= 0，则 ( )
A. a> 0,c< 0 B. c + a <-2 C. a+ c> 0 D. a+2c
a c a+ <-1b
【答案】ABD
【解析】对于A：因为 a> b> c，且 2a+ b+ c= 0，
若 c≥ 0，则 a> b> c≥ 0，则 2a+ b+ c> 0，不合题意，所以 c< 0；
若 a≤ 0，则 0≥ a> b> c，则 2a+ b+ c< 0，不合题意，所以 a> 0；
综上所述：a> 0,c< 0，故A正确；
对于C：因为 a> b> c，则 a+ b> a+ c，可得 2a+ b+ c> 2 a+c ，
即 0> 2 a+c ，可得 a+ c< 0，故C错误；
22
对于B：由选项AC可知：a> 0> c，且 a+ c< 0，得 a+c 2 > 0，
即 a2+ c2>-2ac，且 ac< 0 c a，所以 + <-2，故B正确；
a c
对于D：因为 a+2c + a+b = 2a+b+c + c= c< 0，可得 a+ 2c<- a+b ，
又因为 2a+ b+ c= a+b + a+c = 0，可得 a+ b=- a+c > 0，
a+2c
所以 + <-1，故D正确；a b
故选：ABD.
39. (多选题) (湖北省云学部分重点高中联盟 2023- 2024学年高三 10月联考数学试卷)设 α,β是锐角三角
形的两个内角，且 α> β，则下列不等式中正确的有 ( )
A. sinα+ sinβ> 1 B. tanα tanβ< 1
C. cosα+ α-βcosβ< 2 D. 1 tan α-β > tan
2 2
【答案】ACD
【解析】因为 α,β是锐角三角形的两个内角，且 α> β，
可得：0< β< α< π，且 α+ β> π π， < α< π，
2 2 4 2
对于选项A：因为 β> π - α π π，且 0< - α< ，则 sinβ> sin π -α = cosα，2 2 2 2
可得 sinα+ sinβ> sinα+ cosα= 2sin α+ π ，4
π π π π 3π 2
因为 < α< ，则 < α+ < ，可得 < sin α+ π < 1，4 2 2 4 4 2 4
所以 sinα+ sinβ> 2sin α+ π > 1，故A正确；4
+ = tanα+tanβ对于选项B：因为 tan α β - < 0，1 tanα tanβ
且 tanα,tanβ> 0，即 tanα+ tanβ> 0，
则 1- tanα tanβ< 0，即 tanα tanβ> 1，故B错误；
π π
对于选项C：因为 β> - α，则 cosβ< cos -α2 2 = sinα，
π
则 cosα+ cosβ< cosα+ sinα= 2sin α+ ，4
2 π
由选项A可知： < sin α+ < 1，
2 4
π
所以 cosα+ cosβ< 2sin α+ < 2，故C正确；4
tan α-β
对于选项D 1：因为 tan α-β = 2 ，
2 1-tan2 α-β2
又因为 0< α- β< π α-β，则 0< < π，
2 2 4
< α-β < < - 2 α-β可得 0 tan 1，即 0 1 tan < 1，
2 2
1 tan
α-β
- = 2 > α-β所以 tan α β tan ，故D正确；
2 1-tan2 α-β 22
故选：ACD
23
40. (多选题) (湖北省武汉外国语学校 2023- 2024学年高三 10月月考数学试题)设函数 f(x) = 2x3- 3ax2
+ 1，则 ( )
A. 当 a= 0时，直线 y= 1是曲线 y= f(x)的切线
B. 若 f(x)有三个不同的零点 x1,x2,x3，则 x1 x2 x 13=- 2
C. 存在 a,b，使得 x= b为曲线 y= f(x)的对称轴
D. a当 x0≠ 时，f x 在 x= x0处的切线与函数 y= f x 的图象有且仅有两个交点2
【答案】ABD
【解析】A选项，当 a= 0时，f x = 2x3+ 1，
令 f x = 6x2= 0解得 x= 0，且 f 0 = 1，
此时 f x 在 x= 0处的切线方程为 y- 1= 0，即 y= 1，正确.
B选项，f(x) = 2x3- 3ax2+ 1,f x = 6x2- 6ax= 6x x-a ，
要使 f x 有三个零点，则 a≠ 0，
若 f(x) = 2x3- 3ax2+ 1有三个不同的零点 x1,x2,x3，
则 f x = 2 x-x1 x-x2 x-x3
= 2x3- 2 x1+x2+x3 x2+ x1x2+x2x3+x1x3 x- 2x1x2x3，
1
通过对比系数可得-2x1x2x3= 1 x1x2x3=- ，正确.2
C选项，若存在 a,b，使得 x= b为曲线 y= f(x)的对称轴，
则 f x = f 2b-x ，即 2x3- 3ax2+ 1= 2 2b-x 3 - 3a 2b-x 2 + 1，
即 2x3- 3ax2= 16b3- 24b2x+ 12bx2- 2x3- 12ab2+ 12ab- 3ax2，
即 x3- 3bx2+ 6b2x- 4b2-3ab+3a b= 0，此方程不恒为零，
所以不存在符合题意的 a,b，使得 x= b为曲线 y= f(x)的对称轴，错误.
D a选项，当 x0≠ 时，f(x) = 2x3- 3ax2+ 1,f x = 6x2- 6ax，2
则 f(x0) = 2x30- 3ax20+ 1,f x0 = 6x20- 6ax0，
所以 f x 在 x= x0处的切线方程为 y- 2x3 2 20-3ax0+1 = 6x0-6ax0 x-x0 ，
y= 6x20-6ax0 x-x0 + 2x30-3ax20+1 ，
y= 6x2 0-6ax0 x-x0 + 2x
3
0-3ax2+1 由 0 3 2 ，y=2x -3ax +1
消去 y得 2x3- 3ax2+ 1= 2x30- 3ax20+ 1+ 6x20-6ax0 x-x0 ①，
由于 2x3- 2x3 30= 2 x -x30 = 2 x-x0 x2+xx0+x20 ，
-3ax2+ 3ax2 20=-3a x -x20 =-3a x-x0 x+x0 ，
所以①可化为 2 x-x 20 x +xx 20+x0 - 3a x-x0 x+x0 - 6x20-6ax0 x-x0 = 0，
提公因式 x- x0得 x-x0 2 x2+xx0+x20 -3a x+x0 - 6x20-6ax0 = 0，
化简得 x-x 2x20 + 2x0-3a x- 4x20-3ax0 = 0，
3a-4x
进一步因式分解得 x-x 20 2x+4x0-3a = 0，解得 x1= x0,x = 02 ，2
a
由于 x0≠ ，所以 2x0- a≠ 0，2
3a-4x0 6x0-3a 3 2x0-a 所以 x1- x2= x0- = = ≠ 0，所以 x ≠ x2 2 2 1 2，
a
所以当 x0≠ 时，f x 在 x= x0处的切线与函数 y= f x 的图象有且仅有两个交点，正确.2
24
故选：ABD
41. (多选题) (湖北省新八校协作体 2023- 2024学年高三 10月联考数学试题)设函数 f x 的定义域为R，
f x+ π 为奇函数，f x+π 为偶函数．当 x∈ 0,π 时，f x = cosx，则下列结论正确的有 ( )2
A. f x
7π
在 3π,4π 上单调递减 B. f = 02
C. - 5点 π,0 是函数 f x 的一个对称中心 D. 方程 f x + lgx= 0有 5个实数解2
【答案】BCD
π π π
【解析】因为 f x+ 为奇函数，所以 f -x+ =-f x+ ，即 f -x =-f x+π ，2 2 2
因为 f x+π 为偶函数，所以 f -x+π = f x+π ，
所以 f(-x+ π) =-f(-x)，即 f(x+ π) =-f(x) f(x+ 2π) = f(x)，则 f(x)周期为 2π，
由 f -x+π = f x+π 得，f(x)的一条对称轴为直线 x= π，
因为当 x∈ 0,π 时，f x = cosx，所以当 x∈R时，f x = cosx，
对于A，f x 在 π,2π 上单调递增，所以 f x 在 3π,4π 上单调递增，故A错误；
对于B，f 7π = cos 7π = 0，故B正确；2 2
5 5
对于C，由 f - π = cos - π = 0 5得，点 - π,0 是函数 f x 的一个对称中心，故C正确；2 2 2
对于D，在同一直角坐标系中作出 y= cosx,y=-lgx的图象，如图所示，
因为 y= cosx与 y=-lgx有 5个交点，所以方程 f x + lgx= 0有 5个实数解，故D正确；
故选：BCD．
42. (多选题) (湖北省新八校协作体 2023- 2024学年高三 10月联考数学试题) x 表示不超过 x的最大整
数，例如，[-0.5]=-1， 1.1 = 1，已知函数 f x = x ，下列结论正确的有 ( )
A. 若 x∈ 0,1 1 ，则 f -x + <- f x +
1
4 4

B. f x+y < f x + f y
2 20
C. g x = f 2 5x + f x设 ，则∑g k = 40120 k=1
D. 所有满足 f m = f n m,n∈ 0, 14 40 的点 m,n 组成的区域的面积和为3 9
【答案】AD
【解析】A选项，由题 x∈ 0,1 时，f x = 0，f -x =-1，
1
则 f -x + =-1+ 1 =- 3 < 0=- 1
4 4 4
f x + ，故A正确；4
B选项，取 x= 2.5，y= 3.5，则 f x+y = f 6 = 6> 5= f 2.5 + f 3.5 ，
故B错误；
25
C选项， 5 ≈ 2.236 2 5 ≈ 4.472，则当 x> 0时，f 2 5x ≥ f 4x ，
20 20 (4+80)×20
则∑ f 2 5k ≥∑ f 4k = 4+ 8+ +80= = 840，
k=1 k=1 2
x2 20 20 20 2
又 f ≥ 0，则∑g k =∑ f 2 5k +∑ f k ≥ 840≠ 401，故C错误；20 k=1 k=1 k=1 20
D选项，由题要使 f m = f n ，则m,n∈ 0,1 ，或m,n∈ 1,2 ，或m,n∈ 2,3 ，
或m,n∈ 3,4 ，或m,n∈ 14 4, ，所表示区域如下图阴影部分所示：3
2
则 m,n 区域面积为：4+ 14 -4 = 40 ，故D正确.3 9
故选：AD
43. (多选题) (河南省七校联考 2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)已知函数 f x 的定义域为
R，且满足 f x + f y = f x+y - 2xy+ 1,f 1 = 3，则下列结论正确的是 ( )
A. f 4 = 21 B. 方程 f x = x有整数解
C. f x+1 是偶函数 D. f x-1 是偶函数
【答案】A
【解析】对于A，因为函数 f(x)的定义域为R，且满足 f(x) + f(y) = f(x+ y) - 2xy+ 1,f(1) = 3，f(0) = 1
取 x= y= 0，得：f(0) + f(0) = f(0) - 0+ 1，则 f(0) = 1
取 x= y= 1，得 f(1) + f(1) = f(2) - 2+ 1，则 f(2) = 7，
取 x= y= 2，得 f(2) + f(2) = f(4) - 8+ 1，则 f(4) = 21，故A正确；
对于B，取 y= 1，得 f(x) + f(1) = f(x+ 1) - 2x+ 1，则 f(x+ 1) - f(x) = 2x+ 2，
当 x> 1时，有：
f(x) - f(x- 1) = 2(x- 1) + 2,f(x- 1) - f(x- 2) = 2(x- 2) + 2, ,f(2) - f(1) = 2+ 2，
2 x-1 +2 x-1
以上各式相加得 f x - =

f 1 + 2 x-1 = x2- x+ 2 x-1 = x2+ x- 2，
2
所以 f x = x2- x+ 1,x≠ 1，
而 f -x + f x = 2+ 2x2，故当 x<-1时，有 f x = 2+ 2x2- f -x = x2- x+ 1
x2-x+1,x≠±1
所以 f x = 3,x=1 ,1,x=-1
所以当 x≠±1时，令 f(x) = x2- x+ 1= x，得 x2- 2x+ 1= 0，此方程无解，
当 x= 1时，3≠ 1，也无解，当 x=-1时，1≠-1，也无解，故B错误.
对于C,若 f x+1 是偶函数，则应有 f 0 = f 2 ，而 f 0 = 1≠ f 2 = 7，故C错误;
对于D,若 f x-1 是偶函数，则应有 f 0 = f -2 ，
由 f(x) + f(y) = f(x+ y) - 2xy+ 1,，f(0) = 1，f(2) = 7
26
取 x= 2,y=-2，得 f(2) + f(-2) = f(0) + 8+ 1,所以 f(-2) = 3
而 f 0 = 1≠ f -2 = 3，故D错误;
故选：A
44. (多选题) (河南省七校联考 2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)如图，在长方体ABCD-
A B C D 中，AB=BC= 2，AA = 4，N为棱C D 中点，D M= 1 ，P为线段A B上一动点，下列结论正
2
确的是 ( )

A. 线段DP 6 5长度的最小值为
5
B. 存在点P，使AP+PC= 2 3
C. 存在点P，使A C⊥平面MNP
D. 以B 17为球心， 为半径的球体被平面AB C所截的截面面积为 6π
6
【答案】AC
【解析】选项A，由已知BD= 2 2，A D=A B= 2 5，如图 1，
△A BD 2 10是等腰三角形，cos∠A BD= = ，则 sin∠A BD= 3 10 ，
2 5 10 10
所以边A B上高为BDsin∠A BD= 2 2 × 3 10 = 6 5 ，A正确；
10 5
选项B，把矩形A BCD 沿A B摊平到平面ABA 上，如图 2
sin∠ABA = 4 = 2 5 ，则 cos∠ABC= cos ∠ABA + π =-sin∠ABA =- 2 5 ，2 5 5 2 5
AC= 22+22-2×2×2× - 2 5 = 2 2+ 4 5 ，这是AP+PC 4 5的最小值，显然 2+ > 3，即5 5 5
2 2+ 4 5 > 2 3，因此B错；
5
27
选项C，连接CD ，设CD ∩MN=Q，在平面A BCD 上过Q作QP⊥A C交A B于点P，如图 3，
长方体中易知A B CD ，由已知D M= 1 ，D N= 1，又DD = 4,DC= 2且∠MD N=∠D DC= π，
2 2
因此△DD C △D NM，则∠D NM=∠MD Q，
所以∠D MQ+∠MD Q=∠D MQ+∠D NM= π，所以D C⊥MN，
2
又长方体中BC与侧面DCC D 垂直，MN 侧面DCC D ，因此BC⊥MN，
BC与CD 是平面BCD A 内两条相交直线，因此MN⊥平面BCD A ，又A C 平面BCD A ，所以MN⊥
A C，
PQ∩MN=Q，且PQ,MN 平面PMN，所以A C⊥平面PMN，C正确；
选项D，设AC∩BD=O，连接OB ，作BH⊥OB ，垂足为H，如图 4，
由BB ⊥平面ABCD，AC 平面ABCD得BB ⊥AC，
又正方形ABCD中，AC⊥BD，BD∩BB =B，BD,BB 平面BDD B ，
所以AC⊥平面BDD B ，而BH 平面BDD B ，所以AC⊥BH，
AC∩B O=O，AC,B O 平面AB C，所以BH⊥平面AB C，
由已知BO= 2，BB = 4，则BH= 4 2 = 4 ，
42+( 2)2 3
2 2 5
平面AB C截球所得截面圆半径为 r，则 r= 17 - 4 = ，6 3 2
2
所以截面圆面积为S= π× 5 = 25π，D错．2 4
故选：AC．
45. (多选题) (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)已知函数 f(x) = sin2x+
1
，则 ( )
sinxcosx
A. f(x)为奇函数 B. f(x)的值域为 (-∞,-2 2]∪ [2 2 , +∞)
28
C. f(x) 3π的图象关于直线 x= 对称 D. f(x)以 π为周期
4
【答案】ACD
2
【解析】f x = sin2x+ ，
sin2x
sin2x≠ 0，则 2x≠ kπ x≠ kπ，k∈ Z kπ，则函数的定义域为 x x≠ ,k∈Z ，函数的定义域关于原点对称，且2 2
满足 f -x =-f x ，所以函数是奇函数，故A正确；
设 t= sin2x∈ -1,0 ∪ 0,1 ，y= t+ 2 在区间 0,1 单调递减，y∈ 3,+∞ ，因为函数是奇函数，所以函数
t
的值域是 -∞,-3 ∪ 3,+∞ ，故B错误；
f 3π -x = sin 2 2 3π 3π-2x + = sin2x+ = f x ，所以函数 f x 关于 x= 对称，故C正2 sin 3π-2x sin2x 4
确；
f x+π 2 2 = sin 2x+2π + = sin2x+ = f x ，所以函数 f x 的周期为 π，故D正确.
sin 2x+2π sin2x
故选：ACD
46. (多选题) (河南省部分名校 2023- 2024学年高三阶段性测试 (二)数学试题)已知对任意 x> 0，不等式
ex- ax3+ 2ax2lnx≥ 0恒成立，则实数 a的可能取值为 ( )
A. 1 B. e C. e D. e2
2
【答案】ABC
x
【解析】由 x> 0，ex- ax3+ 2ax2lnx≥ 0 e可化为 - ax+ 2alnx≥ 0，
x2
ex ex ex
则又可化为 - a x-lnx2 ≥ 0 - aln ≥ 0，
x2 x2 x2
x x
( ) = e ( ) = e (x-2)令 φ x ，则 φ x ，令 φ (x) = 0，得 x= 2，
x2 x3
当 0< x< 2时，φ (x)< 0，则 φ(x)在 (0,2)单调递减；
当 x> 2时，φ (x)> 0，则 φ(x)在 (2, +∞)单调递增；
2
故 φ(x)min= φ(2) = e ，且当 x→+∞，φ(x) →+∞.4
ex e2
再令 t= ，则 t∈
x2
,+∞ ，4
2
则关于 t的不等式 t- alnt≥ 0 e在 ,+∞4 恒成立，
t e2即 a≤ 在
lnt
,+∞ 恒成立，4
2
令 h(t) = t ，t∈ e ,+∞ ，lnt 4
则 h (t) = lnt-1，由 h (t) = 0解得 t= e，
(lnt)2
e2 2
当 ≤ t< e时，h (t)< 0 e，则 h(t)在 ,e
4 4 单调递减；
当 t> e时，h (t)> 0，则 h(t)在 (e, +∞)单调递增；
所以 h(t)min= h(e) = e，
a≤ t e
2
要使 在 ,+∞ 恒成立，则 a≤ e.lnt 4
29
故选：ABC.
47. (多选题) (河南省部分名校 2023- 2024 1学年高三 10月月考数学试卷)已知函数 f x = + 1，则下列
lnx
说法正确的是 ( )
A. f x 的图象无对称中心
B. f x + f 1 = 2x
C. f x 的图象与 g x =- 1 - 1的图象关于原点对称
ln -x
D. f x 的图象与 h x = ex-1的图象关于直线 y= x对称
【答案】BC
【解析】选项A，由已知 f(x)的定义域是 {x|x> 0且 x≠ 1}，
假设 f x 的图象有对称中心 (x0,y0)，取P(x,y)，其中 x> 2x0，P关于点 (x0,y0)的对称点是Q(2x0- x,2y0-
y)，但 2x0- x不在 f(x)的定义域内，即Q不是 f(x)图象上的点，与对称性矛盾，因此假设错误，所以A正确；
B f(x) + f 1 = 1 + 1+ 1 + 1= 1 + 1选项 ， - + 2= 2，B正确；x lnx ln 1 lnx lnxx
选项C，设P(x,y)是 f(x)图象关于原点对称的图象上任一点，它关于原点的对称点为Q(-x, -y)在 f(x)的
图象上，
因此-y= 1 + 1 1，即 y=- - 1，
ln(-x) ln(-x)
所以 f(x)的图象上任一点关于原点的对称点在 g(x)的图象上，
同理可证 g(x)的图象上任一点关于原点的对称点都在 f(x)的图象上，C正确；
D y= 1
1
选项 ，由 + 1得 lnx= 1 ，x= e y-1，所以 f(x)的图象关于直线 y= x对称的图象的函数式为 y=
lnx y-1
1
ex-1，D错，
故选：BC．
48. (多选题) (河南省部分名校 2023- 2024 1学年高三 10月月考数学试卷)记函数 f x = ex- 的零点为
x
x0，则下列说法正确的是 ( )
A. x0- lnx0= 0 B. x 10∈ , 32 4
1
x
C. 当 x> 3 时，f x > x+ 1 D. x e +xlnx0为函数 g x = + 的极值点2 x 1
【答案】BC
x 1 x 1
【解析】A选项，由题 e 0- = 0 e 0= x
x x 0
=-lnx0 x0+ lnx0= 0，故A错误；
0 0
B 1选项，f x = ex+ > 0，则 f2 x 在 0,+∞ 上单调递增，即 f x 在 0,+∞ 上有唯一零点 x0.x
1 1 3 3
又 f = e 2 - 2< 0，f 3 = e 4 - 4 3，因 e≈ 2.718，则 e3≈ 2.7183> 16 e 4> 2 f > 0.2 4 3 4
1 3
则由零点存在性定理，x0∈ , ，故B正确；2 4
C 1选项，令 h x = f x - x- 1= ex- x- - 1，x∈ 0,+∞ .
x
30
g x = ex- 1+ 1则 > 0，得 g x 在 0,+∞ 上单调递增，
x2
3 3
h 3 = e 2 - 19，由B选项分析 e3≈ 2.7183> 16 e 2> 4 h2 6
3
2 > 0，
3 3
则当 x> 时，h x = f x - x- 1> h > 0 f x > x+ 1，故C正确；2 2
1 y 1 1
D 1 1 1 1选项，设 y= ex lny= ，两边求导得 =- y =- y ex =- ex.x y x2 x2 x2
1 1
- 1+ 1x + 12 ex+x+
x
lnx+1 - 1+ 1 + 1x 2 e 0+x0+lnx0+1
则 g x = x ，g 0 x x = 0 .
x+ 2
0
1 x0+1 2
1 1
由A 1 1选项分析，- 1+ + ex0 + x0+ lnx0+ 1=- 1+ 1 + 1 ex0 + 1，x x20 0 x0 x20
1 x + 10
又 ex0= 1 ，则 ex0 x = 1 1 = e2x， 00 - ex0x0+ex0+e2x0 ex0=- x0+ 1 +1 e x0.x 20 x0 x0
1 1 x + 1 1 x + 10 0
又由B分析，x0+ > 2 x 10 = 2 x0+ + 1> 3，又 e x0> 1，则- x + +1 e x00 <-3，x0 x0 x0 x0
1
- 1+ 1 + 1
1 x
ex0 + 1<-2≠ 0 x g x = e +xlnx得 ，则 0不为函数 + 的极值点，D错误.x x20 0 x 1
故选：BC
49. (多选题) (河南省部分名校 2024届高三月考 (一)数学试题)已知定义在实数集R上的函数 f x ，其导函
数为 f x ，且满足 f x+y = f x + f y + xy，f 1 = 0,f 1 1 = ，则 ( )
2
A. f x
3
的图像关于点 1,0 成中心对称 B. f 2 =
2
2024
C. f 2024 = 1012× 2023 D. f (k)=1012×2024
k=1
【答案】BCD
【解析】对A：令 x= y= 0，则有 f 0 = f 0 + f 0 + 0，即 f 0 = 0，
令 x= y= 1，则有 f 2 = f 1 + f 1 + 1，又 f 1 = 0，故 f 2 = 1，f x 不关于 1,0 对称，故A错误；
对于B，令 y= 1，则有 f x+1 = f x + f 1 + x= f x + x，
两边同时求导，得 f x+1 = f x + 1，
令 x= 1，则有 f 2 = f 1 1 + 1= + 1= 3 ，故B正确；
2 2
对C：令 y= 1，则有 f x+1 = f x + f 1 + x，即 f x+1 - f x = x，
则 f 2024 = f 2024 - f 2023 + f 2023 - f 2022 + -f 1 + f 1
2023+1 ×2023= 2023+ 2022+ +1+ 0= = 1012× 2023，故C正确；
2
对D：令 y= 1，则有 f x+1 = f x + f 1 + x，即 f x+1 = f x + x，
则 f x+1 = f x + 1，即 f x+1 - f x = 1，
1 1 1
又 f 1 = ，故 f k = + k- 1= k- ，
2 2 2
2024 12 +2024-
1
∑ 2
×2024
则 f k = = 1012× 2024，故D正确.
k=1 2
故选：BCD.
31
50. ( π多选题) (河南省部分名校 2024届高三月考 (一)数学试题)设函数 f(x)的定义域为R，f x- 为奇函4
数，f x+ π π π为偶函数，当 x∈ - , f(x) = cos 4 时， x，则 ( )4 4 4 3
A. f(x+ 4π) = f(x) B. f(x) 3π的图象关于直线 x= 对称
4
C. f(x) 3π在区间 ,2π 上为增函数 D. 方程 f(x) - lgx= 0仅有 4个实数解2
【答案】ACD
π π
【解析】因为 f x- 为奇函数，所以 f(x)的图象关于点4 - ,0 中心对称，4
f x+ π因为 π为偶函数，所以 f(x)的图象关于直线 x= 对称．4 4
π
可画出 y= f(x)的部分图象大致如下 (图中 x轴上相邻刻度间距离均为 )：
4
对于A，由图可知 f(x)的最小正周期为 2π，所以 f(x+ 4π) = f(x)，故A正确．
3π
对于B，f(x)的