上海市七宝中学2016届高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年上海市七宝中学高三（上）期中数学试卷（理科）
　
一、填空题
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=　　　　　　．
　
2．已知P1（1，a1）、P2（2，a2）…Pn（n，an）、…是直线上的一列点，且a1=﹣2，a2=﹣1.2，则这个数列{an}的通项公式是　　　　　　．
　
3．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=　　　　　　．
　
4．函数的定义域是　　　　　　．
　
5．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=　　　　　　．
　
6．函数y=3，（﹣1≤x≤0）的反函数是　　　　　　．
　
7．方程lg（4x+2）=lg2x+lg3的解集为　　　　　　．
　
8．a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是　　　　　　．
　
9．数列{an}中，a1=2，且an+1=（a1+a2+a3+…+an），则其前n项和Sn=　　　　　　．
　
10．若向量与夹角为，||=4，（ +2）（﹣3）=﹣72，则||=　　　　　　．
　
11．若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为　　　　　　．
　
12．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若?=1，则λ的值为　　　　　　．
　
13．已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，．当x∈[﹣2，0）∪（0，2]时，，则方程的解的个数为　　　　　　．
　
14．已知函数f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，（m≥2，m∈N+），当m取最小值时，n的最小值为　　　　　　．
　
　
二、选择题
15．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）的图象关于y轴对称，并且对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0．则当n∈N﹡时，有（　　）
A．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）
C．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）
　
16．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）

A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z
　
17．已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=?+?+?+?+?，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中
（1）S有5个不同的值；（2）若⊥则Smin与||无关；（3）若∥则Smin与||无关；（4）若||＞4||，则Smin＞0；（5）若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为．正确的是（　　）
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（5） D．（1）（4）
　
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]
　
　
三、解答题
19．函数f（x）是这样定义的：对于任意整数m，当实数x满足不等式|x﹣m|＜时，有f（x）=m．
（1）求函数f（x）的定义域D，并画出它在x∈D∩[0，3]上的图象；
（2）若数列an=2+10?（）n，记Sn=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（an），求Sn．
　
20．如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

　
21．已知函数f（x）=2sin（+）sin（﹣）﹣sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．
（1）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0成立，求实数m的最大值和最小值
（2）若当x∈[0，]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范围．
　
22．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．
　
23．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x），（k≥2，k∈N+）成立，则称f（x）为k阶缩放函数．
（1）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f（x）=1+logx，求f（2）的值；
（2）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f（x）=，求证：函数y=f（x）﹣x在（1，+∞）上无零点；
（3）已知函数f（x）为k阶缩放函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范围．
　
　

2015-2016学年上海市七宝中学高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=　[0，1]　．
【考点】并集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后取并集得答案．
【解答】解：∵M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，
则M∪N=[0，1]．
故答案为：[0，1]．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了一元二次方程与对数不等式的解法，是基础题．
　
2．已知P1（1，a1）、P2（2，a2）…Pn（n，an）、…是直线上的一列点，且a1=﹣2，a2=﹣1.2，则这个数列{an}的通项公式是　an=0.8n﹣2.8　．
【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】通过设直线方程并代入P1（1，﹣2）、P2（2，﹣1.2）计算，进而可得结论．
【解答】解：设所在直线方程为：y=kx+b，
∵a1=﹣2，a2=﹣1.2，
∴，解得，
∴直线方程为：y=0.8x﹣2.8，
∴an=0.8n﹣2.8，
故答案为：an=0.8n﹣2.8．
【点评】本题借助直线考查数列，求出直线方程是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．
　
3．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=　　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），
∴sin2θ﹣cos2θ=0，
∴2sinθcosθ=cos2θ，
∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．
∴2tanθ=1，
∴tanθ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
　
4．函数的定义域是　　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】偶次开方一定非负，对数函数的真数要保证大于0．
【解答】解：由知，3x﹣2≤1，又因为3x﹣2＞0，所以解得，
函数的定义域为（，1]
【点评】求定义域时注意使得函数表达式有意义的条件．
　
5．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=　　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．
【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，
=3﹣2=（），=3﹣=（），
∴cosβ===．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．
　
6．函数y=3，（﹣1≤x≤0）的反函数是　y=，x∈[，1]　．
【考点】反函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数y=3，用y表示x，进而可得原函数的反函数．
【解答】解：∵﹣1≤x≤0时，y=3∈[，1]，
则x2﹣1=log3y，
则x2=log3y+1，
则x=，y∈[，1]，
即函数y=3，（﹣1≤x≤0）的反函数是y=，x∈[，1]，
故答案为：y=，x∈[，1]
【点评】本题考查反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的互相转化，正确掌握原函数和反函数互换定义域和值域．
　
7．方程lg（4x+2）=lg2x+lg3的解集为　{0，1}　．
【考点】对数的运算性质；指、对数不等式的解法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据对数和指数的运算法则即可得到结论．
【解答】解：∵lg（4x+2）=lg2x+lg3，
∴lg（4x+2）=lg（3?2x），
即4x+2=3?2x，
即4x﹣3?2x+2=0，
即（2x﹣1）（2x﹣2）=0，
则2x=1或2x=2，
解得x=0或x=1，
故方程的解集为{0，1}，
故答案为：{0，1}
【点评】本题主要考查指数方程和对数方程的求解，要求熟练掌握相应的运算法则．
　
8．a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是　（0，2）　．
【考点】极限及其运算．
【专题】计算题；分类讨论；极限思想．
【分析】当a＞b时， ==a，进而求出b的范围．
【解答】解：a，b是不等的两正数，且=2，
须对a，b作如下讨论：
①当a＞b时， =0，则==a，
所以，a=2，因此，b∈（0，2），
②当a＜b时，则=﹣b=2，
而b＞0，故不合题意，舍去．
综合以上讨论得，b∈（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及应用常用极限|q|＜1， qn=0解题，属于基础题．
　
9．数列{an}中，a1=2，且an+1=（a1+a2+a3+…+an），则其前n项和Sn=　　．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由数列递推式得到2an+1=Sn，取n=n﹣1后得另一递推式，作差后可得数列{an}从第二项起构成以为公比的等比数列，然后由等比数列的前n项和得答案．
【解答】解：由an+1=（a1+a2+a3+…+an），得
2an+1=Sn，
当n≥2时，有2an=Sn﹣1，
作差得：2an+1=3an（n≥2），
即．
又a1=2，且an+1=（a1+a2+a3+…+an），
∴，
．
∴数列{an}从第二项起构成以为公比的等比数列，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列的前n项和，是中档题．
　
10．若向量与夹角为，||=4，（ +2）（﹣3）=﹣72，则||=　6　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用多项式乘多项式把（+2）（﹣3）=﹣72的左边展开，再把与夹角为，||=4代入化为关于的一元二次方程，则答案可求．
【解答】解：由（+2）（﹣3）=﹣72，得，
即，
又与夹角为，||=4，
∴，解得||=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆，是中档题．
　
11．若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为　0　．
【考点】极限及其运算；等差数列的性质；等比数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由等差中项的概念和等比中项的概念列式求得a，c的值，然后代入数列极限求得答案．
【解答】解：∵a，1，c成等差数列，
∴a+c=2 ①
又a2，1，c2成等比数列，
∴a2c2=1 ②
联立①②得： 或或，
∵a≠c，
∴或，
则a+c=2，．
∴=．
故答案为：0．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了方程组的解法，训练了数列极限的求法，是基础的计算题．
　
12．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若?=1，则λ的值为　2　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【解答】解：∵BC=3BE，DC=λDF，
∴=， =，
=+=+=+， =+=+=+，
∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，
∴||=||=2， ?=2×2×cos120°=﹣2，
∵?=1，
∴（+）?（+）=++（1+）?=1，
即×4+×4﹣2（1+）=1，
整理得，
解得λ=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．
　
13．已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，．当x∈[﹣2，0）∪（0，2]时，，则方程的解的个数为　2　．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】综合题．
【分析】由已知，g（x）的定义域为x∈[﹣2，6]，利用f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，且通过转化可以 再求出x∈[2，6]时解析式，便确定了g（x），最后结合函数大致图象得出交点个数，即为解的个数．
【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，由x﹣2∈[﹣4，4]，得g（x）的定义域为x∈[﹣2，6]．∵①
∴f（x﹣2）=g（x）﹣= x﹣2∈[﹣4，0]，当x∈[2，6]时，2﹣x∈[﹣4，0]
②
①②合起来即为函数g（x）在定义域x∈[﹣2，6]上的解析式，结合得出两图象交点个数是2
即方程的解的个数为 2
故答案为：2
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，分段函数，考查转化、计算、分类讨论、函数与方程的思想方法和能力．
　
14．已知函数f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，（m≥2，m∈N+），当m取最小值时，n的最小值为　8　．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】函数思想；三角函数的图像与性质．
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
【解答】解：y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，
要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤nπ，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，
则按下图取值即可满足条件，

∴m的最小值为8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，属于难题．
　
二、选择题
15．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）的图象关于y轴对称，并且对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0．则当n∈N﹡时，有（　　）
A．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）
C．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】可得函数在区间（﹣∞，0]单调递增，[0，+∞）单调递减，故谁离远点近谁的函数值大，由绝对值的意义可得．
【解答】解：由题意可得函数f（x）为偶函数，且在区间（﹣∞，0]单调递增，
故在区间[0，+∞）单调递减，故只需比较自变量的绝对值大小即可，
当n∈N﹡时，有|n+1|＞|﹣n|＞|n﹣1|，
故有f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）
故选A
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，涉及绝对值的意义，属基础题．
　
16．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）

A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+?）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+?）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得+?=，k∈z，即?=，f（x）=cos（πx+）．
由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得 2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
　
17．已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=?+?+?+?+?，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中
（1）S有5个不同的值；（2）若⊥则Smin与||无关；（3）若∥则Smin与||无关；（4）若||＞4||，则Smin＞0；（5）若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为．正确的是（　　）
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（5） D．（1）（4）
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用；简易逻辑．
【分析】依题意，可求得S有3种结果：①S=2+3；②S=；③S=4．可判断（1）错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=，即S中最小为S3；再对（2）（3）（4）（5）逐一分析即可得答案．
【解答】解：∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，
∴S=xiyi可能情况有三种：①S=2+3；②S=；③S=4．故（1）错误；
∵S1﹣S2=S2﹣S3=，∴S中最小为S3．
若，则Smin=S3=，与||无关，故（2）正确；
若，则Smin=S3=4，与||有关，故（3）错误；
若||＞4||，则Smin=S3=4||?||cosθ+＞﹣4||?||+＞﹣+=0，故（4）正确；
若||=2||，Smin=S3=8cosθ+4=8，
∴2cosθ=1，∴θ=，
即与的夹角为，（5）错误．
综上所述，命题正确的是（2）（4），
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．
　
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．
【解答】解：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．
∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，．
∵对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．
　
三、解答题
19．函数f（x）是这样定义的：对于任意整数m，当实数x满足不等式|x﹣m|＜时，有f（x）=m．
（1）求函数f（x）的定义域D，并画出它在x∈D∩[0，3]上的图象；
（2）若数列an=2+10?（）n，记Sn=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（an），求Sn．
【考点】数列的求和；函数的图象．
【专题】新定义；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，解|x﹣m|＜，可得定义域，并画出图象．
（2）分别求出f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），考查数列{f（an ）} 的性质，再求和．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是D={x||x﹣m|＜}
={x|m﹣＜x＜m+，m∈Z}
图象如图所示，
（2）由于an=2+10?（）n，
所以f（an）=，
当n=1时，S1=6，
n=2时，S2=f（a1）+f（a2）=6+4=10，
n=3时，S3=f（a1）+f（a2）+f（a3）=6+4+3=13，
n＞3时，Sn=6+4+3+2（n﹣3）=2n+7，
因此Sn=．

【点评】本题考查阅读理解、计算、分类讨论思想和能力．正确理解新定义，将问题转化成已有的知识，用已有的方法解决此类问题共同的策略．
　
20．如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tanθ≤10，AF=≤10，
而且≤tanθ≤，θ∈[，]，
∴L=++，θ∈[，]．
即L=10×，θ∈[，]．
（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin（θ+）∈[，]．
由于L= 在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ= 或θ= 时，L取得最大值为 20（+1）米．
【点评】本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．
　
21．已知函数f（x）=2sin（+）sin（﹣）﹣sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．
（1）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0成立，求实数m的最大值和最小值
（2）若当x∈[0，]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】综合题；转化思想；综合法．
【分析】（1）先求出f（x），g（x）的解析式，确定g（x）∈[1，2]，等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0，可化为m=y+，即可求实数m的最大值和最小值
（2）当x∈[0，]时，f（x）∈[﹣，1]，g（﹣x）∈[﹣1，1]，利用当x∈[0，]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=sin（x+）+sinx=cosx+sinx=2sin（x+）．
函数y=g（x）的图象上取点（x，y），关于直线x=对称点的坐标为（﹣x，y），
代入f（x）=2sin（x+），可得y=2sin（﹣x），
x∈[0，），则﹣x∈[，]，∴y∈[1，2]，
等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0，可化为m=y+，
∴y=时，m的最小值为2；m=1或2时，m的最大值为3；
（2）当x∈[0，]时，f（x）∈[﹣，1]，g（﹣x）∈[﹣1，1]，
∵当x∈[0，]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，
∴a或a．
【点评】本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查恒成立，正确求出函数的解析式是关键．
　
22．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．
【考点】数列的应用；等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对?n∈N*，?m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；
（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．
【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，
当n=1时，a1=S1=2．
当n=1时，S1=a1．
当n≥2时，Sn=an+1．
∴数列{an}是“H”数列．
（2）Sn==，
对?n∈N*，?m∈N*使Sn=am，即，
取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，
∵d＜0，∴m＜2，
又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．
（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，
对?n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，
cn=（n﹣1）（a1+d），
对?n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，
则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．
数列{bn}的前n项和Tn=，
令Tn=（2﹣m）a1，则．
当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．
当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．
因此对?n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列．
数列{cn}的前n项和Rn=，
令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=．
∵对?n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．
因此对?n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列．
因此命题得证．
【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．
　
23．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x），（k≥2，k∈N+）成立，则称f（x）为k阶缩放函数．
（1）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f（x）=1+logx，求f（2）的值；
（2）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f（x）=，求证：函数y=f（x）﹣x在（1，+∞）上无零点；
（3）已知函数f（x）为k阶缩放函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范围．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据二阶缩放函数的定义，直接代入进行求值即可；
（2）根据函数零点的定义和性质判断函数y=f（x）﹣x在（1，+∞）上无零点；
（3）根据k阶缩放函数成立的条件建立条件关系即可求出结论．
【解答】解：（1）由∈（1，2]得，f（）=1+1+log=…
由题中条件得f（2）=2f（）=2×=1…
（2）当x∈（2i，2i+1]（i=0，1，2）时，∈（1，2]，依题意可得：f（x）=2f（）=22f（）=…=2if（）=2i=．…
方程f（x）﹣x=0?=x?x=0或x=2i，0与2i均不属于（2i，2i+1]（（i=0，1，2））…
当x∈（2i，2i+1]（（i=0，1，2））时，方程f（x）﹣x=0无实数解．
注意到（1，+∞）=（20，21]∪（21，22]∪（22，23）∪…，所以函数y=f（x）﹣x在（1，+∞）上无零点．…
（3）当x∈（kj，kj+1]，j∈Z时，有∈（1，k]，依题意可得：f（x）=kf（）=k2f（）=…=kjf（）
当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）…
所以当x∈（kj，kj+1]，j∈Z时，f（x）的取值范围是[0，kj）．…
由于（0，kn+1]=（kn，kn+1]∪（kn﹣1，kn]∪…∪（k0，k]∪（k﹣1，k0]∪…
所以函数f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范围是：[0，kn）∪[0，kn﹣1）∪…∪[0，k0）∪[0，k﹣1）∪…=[0，kn）．…
【点评】本题主要考查新定义的应用，正确理解k阶缩放函数的定义是解决本题的关键，综合性强，难度较大．