上海市十二校2016届高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）
　
一、填空题
1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=　　　　　　．
　
2．计算： =　　　　　　．
　
3．方程9x=3x+2的解为　　　　　　．
　
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为　　　　　　．
　
5．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则an=　　　　　　
　
6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）=　　　　　　．
　
7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）=　　　　　　．
　
8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=　　　　　　．
　
9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）=　　　　　　．
　
10．函数y=1+2x+4xa在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是　　　　　　．
　
11．在△AnBnCn中，记角An、Bn、Cn所对的边分别为an、bn、cn，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边an=n+1，则Cn=　　　　　　．
　
12．定义一种新运算：a?b=，已知函数f（x）=（1+）?log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为　　　　　　．
　
13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号aij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则aij=　　　　　　．

　
14．定义：min{a1，a2，a3，…，an}表示a1，a2，a3，…，an中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是　　　　　　．
　
　
二、选择题
15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
　
16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（　　）
A． B． C．D．
　
17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（　　）
A．（，） B．（1，） C．（，2） D．（0，2）
　
18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log2x}；
④M={（x，y）|y=ex﹣2}．
其中是“垂直对点集”的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
　
　
三、解答题
19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；
（1）求集合A和B；
（2）若A?B，求实数a的取值范围．
　
20．已知函数f（x）=sincos+cos2．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．
　
21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；
（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；
（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；
（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？
　
22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；
（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a的取值范围．
　
23．已知等差数列{an}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=an与x轴和指数函数的图象分别交于点An与Bn（如图所示），记Bn的坐标为（an，bn），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn．
（1）求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{an}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以bn，bn+1，bn+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）（理科做，文科不做）设{an}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）

　
　

2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题
1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=　{x|x＜4}　．
【考点】并集及其运算．
【分析】由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B
【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，
∴A∪B={x|x＜4}．
故答案为{x|x＜4}．
【点评】本题主要考查了集合的并运算，较为简单．
　
2．计算： =　　．
【考点】极限及其运算．
【专题】计算题．
【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．
【解答】解：
故答案为：．
【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．
　
3．方程9x=3x+2的解为　x=log32　．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】计算题．
【分析】由9x=3x+2，知（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，由此能求出方程9x=3x+2的解．
【解答】解：∵9x=3x+2，
∴（3x）2﹣3x﹣2=0，
解得3x=﹣1（舍），或3x=2，
∴x=log32．
故答案为：x=log32．
【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．
　
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为　?　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．
【分析】根据一元二次方程与对应二次函数和一元二次不等式的关系，即可得出解集．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，
∴二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象是抛物线，且开口向上，
与x轴无交点，
∴一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为?．
故答案为：?．
【点评】本题考查了一元二次方程与二次函数和一元二次不等式的应用问题，是基础题目．
　
5．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则an=　2n﹣1　
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．
【解答】解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，
则1×（1+4d）=（1+d）2，
∴d=2，
∴an=2n﹣1，
故答案为：2n﹣1．
【点评】考查的是等差数列和等比数列的定义，把形式很接近的两个数列放在一起考查，同学们一定要分清两者，加以区别．
　
6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）=　﹣3　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0可求m，从而可求x≥0时的函数的解析式，再由f（﹣1）=﹣f（1）可求
【解答】解：由函数为奇函数可得f（0）=1+m=0
∴m=﹣1
∵x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查了奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）在函数求值中的应用，解题的关键是利用f（0）=0求出m．
　
7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）=　﹣2　．
【考点】反函数．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由于函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，故可得f（1+x）+f（1﹣x）=4，用引恒等式建立相关的方程即可解出f﹣1（4）的值．
【解答】解：由函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，可得 f（x+1）+f（1﹣x）=4，对任何x都成立在上式中，
取x=3，得到 f（4）+f（﹣2）=4，又f （4）=0
∴f（﹣2）=4∴f﹣1（4）=﹣2
故应填﹣2
【点评】本题考查函数的对称性与反函数的性质，知识性较强．
　
8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=　　．
【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），由此求得θ的值．
【解答】解：∵sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），∴sin（2x﹣）=cos（2x﹣θ），
即 cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），∴θ=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．
　
9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）=　﹣+　．
【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件求得∠α的终边经过点P（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得cosα、sinα、tanα的值，再利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵两曲线y=和y=的交点为P（﹣1，），故∠α的终边经过点P（﹣1，），
故cosα==﹣，sinα==，tanα=﹣，
∴cos2α+cot（+α）=2cos2α﹣1﹣tanα=2?﹣1+=﹣+，
故答案为：﹣ +．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．
　
10．函数y=1+2x+4xa在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是　（﹣，+∞）　．
【考点】指数型复合函数的性质及应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题设条件可化为∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求出﹣在x∈（﹣∞，1]上的最大值即可．
【解答】解：由题意，得1+2x+4xa＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，
∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．
又∵t=﹣=﹣（）2x﹣（）x=﹣[（）x+]2+，
当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，
∴a＞﹣；
即a的取值范围是（﹣，+∞）；
故答案为：（﹣，+∞）．
【点评】本题考查了应用函数的性质将不等式恒成立转化为求函数值域的问题，是基础题．
　
11．在△AnBnCn中，记角An、Bn、Cn所对的边分别为an、bn、cn，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边an=n+1，则Cn=　　．
【考点】极限及其运算；等差数列的通项公式．
【专题】计算题；分类讨论；等差数列与等比数列；解三角形．
【分析】不妨设cn是边长最大的，即an=n+1，bn=n+2，cn=n+3，再根据余弦定理得出Cn的表达式，最后求极限．
【解答】解：因为最小的边长为n+1，且三边成公差为1的等差数列，
所以，三边分别为n+1，n+2，n+3，
不妨设cn是边长最大的，即an=n+1，bn=n+2，cn=n+3，
由余弦定理，cosCn=，
整理得，cosCn=，
又==，
所以， cosCn=，
若bn是最大的边，解法同上，结果一致，
故填：．
【点评】本题主要考查了运用余弦定理解三角形和等差数列的性质，以及数列极限的求解，涉及分类讨论思想，属于中档题．
　
12．定义一种新运算：a?b=，已知函数f（x）=（1+）?log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为　（1，2）　．
【考点】函数零点的判定定理；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；作图题；方案型；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】化简f（x）=（1+）?log2x=，从而作函数f（x）与y=k的图象，利用数形结合求解．
【解答】解：由题意得，
f（x）=（1+）?log2x=，
作函数f（x）与y=k的图象如下，
，
结合图象可知，1＜k＜2，
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用．
　
13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号aij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则aij=　　．

【考点】归纳推理．
【专题】规律型；等差数列与等比数列；推理和证明．
【分析】设第一行公差为d，第一列的公比为q，根据已知求出d，q利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
【解答】解：设第一行公差为d，第一列的公比为q，
∵a11=，a24=1，a32=，
∴，
解出d=q=，
则aij==，
故答案为：
【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
　
14．定义：min{a1，a2，a3，…，an}表示a1，a2，a3，…，an中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是　　．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】依题意，对n=1，2，3，4，5，6，…的情况分别进行讨论，得到规律，即可求得常数k的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，
∴当n=1时，f（1）=﹣2，f（2）=﹣1；
∴f（1）+f（2）≤kf（1），即﹣3≤﹣2k，
解得：k≤；
当n=2时，f（3）=min{3，5﹣3，32﹣2×3﹣1}=2，f（4）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）≤kf（2），即﹣2﹣1+2+1≤k×（﹣1），
解得：k≤0；
当n=3时，f（5）=0，f（6）=﹣1，f（1）+f（2）+…+f（5）+f（6）=﹣1≤kf（3）=2k，
解得：k≥﹣；
同理可得，当n=4时，f（7）=﹣2，f（8）=﹣3，依题意，可解得k≥﹣6；
当n=5时，f（9）=﹣4，f（10）=﹣5，同理解得k∈R；
当n=6时，f（11）=﹣6，f（12）=﹣7，依题意得k≤15；
…
∵对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，
∴常数k的取值范围是[﹣，0]．
故答案为：[﹣，0]．
【点评】本题考查数列的求和，着重考查对函数概念的理解与综合应用，突出考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．
　
二、选择题
15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．
【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，
若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，
故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．
　
16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象；正弦函数的图象．
【专题】作图题；压轴题；分类讨论．
【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．
【解答】解：由题意可知：，
当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；
又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；
当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；
又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；
又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A选项对应的图象符合．
故选A．
【点评】本题考查的是函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．
　
17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（　　）
A．（，） B．（1，） C．（，2） D．（0，2）
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．
【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，
∴0＜2A＜，且B+A=3A，
∴＜3A＜π．
∴＜A＜，
∴＜cosA＜，
∵a=1，B=2A，
∴由正弦定理可得： =b==2cosA，
∴＜2cosA＜，
则b的取值范围为（，）．
故选A
【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．
　
18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log2x}；
④M={（x，y）|y=ex﹣2}．
其中是“垂直对点集”的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】新定义．
【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；
【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．
对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．
对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．
对于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．

所以②④正确．
故选D．
【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．
　
三、解答题
19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；
（1）求集合A和B；
（2）若A?B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合．
【分析】（1）分别解不等式，即可求集合A和B；
（2）若A?B，结合（1）求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由≥1，可得A=[﹣，2）；
由＞0，可得B=（﹣∞，a）∪（a2+1，+∞）；
（2）∵A?B，
∴a＞2．
【点评】本题考查函数的定义域，考查集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
20．已知函数f（x）=sincos+cos2．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用两种方法解：法1：令f（x）=0得到一个方程，将方程左边提取cos化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，利用余弦函数的图象与性质及正切函数的图象与性质分别求出x的范围，即可得到方程的解集；法2：将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，令f（x）=0，整理后利用正弦函数的图象与性质求出x的范围，即为方程的解集．
（2）利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式b2=ac代入，利用基本不等式变形得到cosB的范围，由B为三角形的内角，利用余弦函数的图象与性质得出此时B的范围，即为x的范围，将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出f（x）的值域．
【解答】解：（1）法1：由f（x）=0，
得sincos+cos2=cos（sin+cos）=0，
由cos=0，得=kπ+，
∴x=2kπ+π（k∈Z）；
由sin+cos=0，得tan=﹣，
∴=kπ﹣，即x=2kπ﹣（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ﹣（k∈Z）}；
法2：f（x）=sinx+（cosx+1）
=sinx+cosx+=sin（x+）+，
由f（x）=0，得sin（x+）=﹣，
可得x+=kπ﹣（﹣1）k（k∈Z），即x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z）}；
（2）∵b2=ac，且a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），
∴由余弦定理得cosB==≥，
又B为三角形的内角，
∴0＜B≤，
由题意得x=B，即x∈（0，]，
f（x）=sinx+（cosx+1）
=sinx+cosx+=sin（x+）+，
∵x+∈（，]，
则此时函数f（x）的值域为[， +1]．
【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，余弦、正切函数的图象与性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
　
21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；
（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；
（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；
（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？
【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】应用题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）分类讨论，当0＜v≤30时，设P=kv，从而解得P=10v；再求当30≤v≤36时的解析式即可；
（2）分类讨论求总费用Y的值，从而利用分段函数写出即可；
（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可．
【解答】解：（1）由题意，当0＜v≤30时，设P=kv，
由300=30k解得，k=10；
故P=10v，
当30≤v≤36时，设P=mv2，
由300=302m解得，m=；
故P=；
（2）当0＜v≤30时，
Y=（10v+480）=1000+，
当30≤v≤36时，
Y=（v2+480）?=v+；
故Y=；
（3）当0＜v≤30时，Y=1000+是减函数，
当30≤v≤36时，Y=v+在[30，36]上是减函数；
故Y在（0，36]上是减函数，
故当x=36时，Y有最小值为×36+=（元）．
【点评】本题考查了分段函数在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用．
　
22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；
（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a的取值范围．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据f（x）为偶函数容易得到b=0，从而得到g（x）=，从而可判断出g（x）为奇函数；
（2）由方程g（x）=x可以得到a2x2+bx+1=0，而根据该方程有两个不等实根便可得到b2＞4a2，由a＞0，便可得出b＞2a，或b＜﹣2a，进一步可以求出的范围，从而可判断出f（x）在（﹣1，1）上的单调性；
（3）先得到，可设α为x1，x2中的一个数，从而可以得到，而根据便可得到．这时可讨论a，从而可以化简：a＞0时会得到a﹣a2＞0，可解出0＜a＜1；a＜0时会得到a﹣a2＜0，可以解出a＜0，这样便可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1；
∴b=0；
∴；
g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）=g（x）；
∴g（x）为奇函数；
（2）由g（x）=x得，；
整理得，a2x2+bx+1=0，该方程有两个不等实根；
∴△=b2﹣4a2＞0，a＞0；
∴b＞2a，或b＜﹣2a；
∴；
f（x）的对称轴为；
∴b＞2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，b＜﹣2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；
（3）由得，；
设α为x1，x2中的一个数，则：；
∵；
∴；
①若a＞0，则；
两式联立可得（a﹣a2）α2＞0；
∴a﹣a2＞0；
∴0＜a＜1；
②若a＜0，则；
联立两式得（a﹣a2）α2＜0；
∴a﹣a2＜0；
∴a＞1，或a＜0；
∴a＜0；
∴综上得，a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，1）．
【点评】考查偶函数、奇函数的定义及判断过程，一元二次方程实根的个数和判别式△的关系，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性及单调区间，韦达定理，解一元二次不等式．
　
23．已知等差数列{an}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=an与x轴和指数函数的图象分别交于点An与Bn（如图所示），记Bn的坐标为（an，bn），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn．
（1）求证数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{an}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以bn，bn+1，bn+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）（理科做，文科不做）设{an}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）

【考点】数列与函数的综合；归纳推理．
【分析】（1）an=p+（n﹣1）d，直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的两底长度AnBn=f（an），An+1Bn+1=f（an+1）．高为AnAn+1 =d，利用梯形面积公式表示出sn．利用等比数列定义进行证明即可．
（2）an=﹣1+（n﹣1）=n﹣2，bn=（）n﹣2，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，则bn+2+bn+1＞bn考查次不等式解的情况作解答．
（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 S=＞2010，探讨p的存在性．
【解答】解：（1）由等差数列通项公式可得an=p+（n﹣1）d，
…
，
对于任意自然数n， =，
所以数列{sn}是等比数列且公比，因为d＞0，所以|q|＜1．…
（写成，得公比也可）
（2）an=p+（n﹣1）=n+p﹣1，，对每个正整数n，bn＞bn+1＞bn+2
若以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，则bn+2+bn+1＞bn，
即，令n=﹣1，得1+2＞4，这是不可能的．
所以对每一个正整数n，以bn，bn+1，bn+2为边长不能构成三角形．…
（3）（理科做，文科不做），所以=
如果存在p使得，即
两边取对数得：p＜﹣log21340，
因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=﹣11等．…
说明：通过具体的p值，验证也可．
【点评】本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力