九年级阶段性数学课堂练习（2024.10）
说明：1.本试卷共 5 页，满分 120 分。考试时间 100 分钟。
2.考生必须在答卷纸上指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效。
一．填空题（每小题 2 分，共 24 分）
1．将一元二次方程 x2+2（x﹣1）＝3x化为一般形式为 ．
2．用配方法解一元二次方程 x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则 a+b的值
是 ．
3．已知等腰三角形底边长为 9，腰长为方程 x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的周长
为 ．
4．已知 y1＝x2﹣2x与 y2＝2﹣x，当 y1＝y2时，x＝ ．
5．已知关于 x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则 k的取值范
围是 ．
6．已知 a、b、c是△ABC的三边长，那么关于 x的方程 x2﹣（a﹣b）x+c2＝0的根的情况
是 ．
7．已知α，β是方程 x2+2024x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为 ．
8．如图，在⊙O中，若∠AOB＝120°，则弦 AB所对的弧的度数为 ．
9．如图，已知⊙O的半径为 10，⊙O的一条弦 AB＝16，若⊙O内的一点 P恰好在弦 AB上，
则长度为整数的线段 OP有 条．
10．如图，⊙O的直径 AB＝4，半径 OC⊥AB，点 D在弧 BC上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂
足分别为 E、F，若点 E为 OC的中点，弧 CD的度数为 ．
第 8题 第 9题 第 10 题
11．已知关于 x的一元二次方程 a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为 x1＝﹣4，x2＝3，
则关于 x方程 a（x+m+1）2+n＝0（a≠0）的两根分别为 ．
1
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12．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为
完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负
数的意义来解决一些问题．已知实数 x、y满足 ，则 x﹣2y的最大值为 ．
二．选择题（每小题 3 分，共 18 分）
13．下列方程中，关于 x的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x＝x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．3（x+1）2＝2（x+1） D． + ﹣2＝0
14．已知关于 x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的一个根为 0，则 m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．m≠1
15．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为 AB的中点．以 A为圆心，r
为半径作⊙A，若 B、C、D三点中只．有．一点在⊙A内，则⊙A的半径 r的值不能是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．3
16．如图，CD是⊙O的直径，弦 AB垂直 CD于点 E，连接 AC，BC，AD，BD，则下列结
论不一定的是（ ）
A．AE＝BE B．AD＝BD C．AC＝BC D．CE＝OE
17．绍兴市是著名的桥乡，如图，有一座圆弧形石拱桥，桥顶到水面的距离 CD为 8m，它
的跨度 AB也为 8m，则桥拱半径为（ ）
A．4m B．5 C．6 D．8
第 15 题 第 16 题
第 17 题
18．对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若 a+c＝b，则 b2﹣4ac≥0；
2
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②若方程 ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若 x＝c是方程 ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有 ac+b+1＝0成立；
④若 x＝x0是一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根，则 ；
其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②
三．解答题
19．（每小题 4 分，共 16 分）解下列一元二次方程：
（1）3x2+8x﹣3＝0（用公式法）； （2） 3x2﹣4x＝0（用因式分解法）；
（3）x2﹣4x＝﹣1；（用适当的方法）；（4）（x﹣3）2＝3x﹣9（用适当的方法）．
20．（共 8 分）已知关于 x的一元二次方程 x2﹣（k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于 0，求 k的取值范围．
21．（共 8 分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商
场以 20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以 30元每个的价格售出，每周可以卖出 500
个，经过市场调查发现，价格每涨 10元，就少卖 100个．
（1）若商场计划一周的利润达到 8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少
钱？
（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销
售量达到了 484个，求这两周的平均增长率．
22．（共 7 分）如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝100°，则 的度数为 °；
（2）若 AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．
3
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23．（共 9 分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点 P从点 A开始沿
AB边向点 B以 1cm/s的速度移动，同时点 Q从点 B开始沿 BC边向点 C以 2cm/s的速度
移动，其中一个动点到达终点时，另一个也随之停止运动．
（1）几秒后，△PBQ的面积等于 4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于 8cm2？说明理由．
（3）几秒后，PQ的长度等于 2 10 cm？
24．（共 10 分）阅读下面的材料：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为 ．，
．∴ ， ．
综上所述得，设 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为 x1、x2，则有 ， ．
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若矩形的长和宽是方程 4x2﹣13x+3＝0的两个根，则矩形的周长为 ，
面积为 ．
（2）若 是 x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及 c的值．
（3）直角三角形的斜边长是 5，另两条直角边的长分别是 x的方程：x2+（2m﹣1）x+m2+3
＝0的解，求 m的值．
4
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25．（共 10 分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思
想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例
如，一元三次方程 x3﹣2x2﹣3x＝0通过因式分解可以把它转化 x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方
程 x＝0和 x2﹣2x﹣3＝0，可得方程 x2﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程 x3﹣2x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）求方程 x3＝6x2+16x的解；
（3）拓展：解方程：x2+2x+4 ﹣5＝0时，可以用“换元法”转化．设
＝t（t≥0），则有 x2+2x＝t2，原方程可化为：t2+4t﹣5＝0．将解方程的过程补充完整，
求出 x的值．
26．（共 10 分）某科研单位准备将院内一块长 30m，宽 20m的矩形 ABCD空地，建成一个
矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相
等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
（1）如图 1，要使种植花草的面积为 532m2，求小道进出口的宽度为多少米；
（2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图 2所示，△AEQ、△BGF、△CMH、
△DPN均为全等的直角三角形，其中 AE＝BF＝CM＝DN，设 EF＝HG＝MN＝PQ＝a米，
竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为 2m，且竖向道路出口位于 MN和 EF之间，
横向弯折道路出口位于 PQ和 HG之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有 a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是 100元/米 2、建造花草区域的总成本为 42000元，求
a的值．
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{#{QQABJQSEggAAAIIAAQgCQwHYCkAQkAAACQgOxFAEIAAAiRFABCA=}#}九年级阶段性数学课堂练习答题卡（2024.10）
一、填空题（本大题共 12小题，每小题 2分，共计 24分）
1． x2-x-2=0 2． 13 3． 19
4． 2或-1 5． k<2且 k≠0 6． 没有实数根
7． 1 8．120°或 240° 9． 7
10． 60° 11． x1=-5,x2=2 12． 2
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分）
13 14 15 16 17 18
C B D D B A
三、解答题（本大题共 8小题，共 78分）
19．（每小题 4分，共 16分）解下列一元二次方程：
（1）3x2+8x﹣3＝0（用公式法）； （2） 3x2﹣4x＝0（用因式分解法）；
x 1 41＝ ，x2＝-3 x1＝0，x2＝
3 3
（3）x2﹣4x＝﹣1；（用适当的方法）； （4）（x﹣3）2＝3x﹣9（用适当的方法）．
x1＝ 3 +2，x2＝- 3 +2 x1＝3，x2＝6
20．（共 8分）
（4分）（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（4分）（2）解：∵x2﹣（k+1）x+k＝0，即（x﹣1）（x﹣k）＝0，
∴x1＝1，x2＝k．
∵方程有一个根小于 0，
∴k＜0．
21．（共 8分）
（4分）（1）设售价应定为 x元，
由题意可得：8000＝（x﹣20）[500﹣ （x﹣30）]，
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{#{QQABJQSEggAAAIIAAQgCQwHYCkAQkAAACQgOxFAEIAAAiRFABCA=}#}
学校 班级 姓名 学号
……………………………………密……………………封…………………………线………………………………………
x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60，
∵更大优惠让利消费者，
∴x＝40，
答：售价应定为 40元；
（4分）（2）设这两周的平均增长率为 y，
由题意：[500﹣ （40﹣30）]（1+y）2＝484，
解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不合题意舍去），
答：这两周的平均增长率为 10%．
22．（共 7分）
（2分）（1）若∠BOC＝100°，则 的度数为 130 °；
（5分）（2）连接 AO，延长 AO交 BC于 D，则 AD⊥BC，BD＝CD＝ BC＝5，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得 AD＝ ＝ ＝12；
在直角△OBD中，由勾股定理，得 OB2＝（12﹣OB）2+52，
解得 OB＝ ，即⊙O的半径是 ．
23．（共 9分）
（3分）（1）设 经过 x秒以后△PBQ面积为 4
×（5﹣x）×2x＝4
整理得：x2﹣5x+4＝0
解得：x＝1或 x＝4
7
∵x≤ ∴x＝1
2
答：1秒后△PBQ的面积等于 4cm2
（3分）（2）设经过 x秒以后△PBQ面积为 8，
×（5﹣x）×2x＝8
整理得：x2﹣5x+8＝0
Δ＝25﹣32＝﹣7＜0
2
{#{QQABJQSEggAAAIIAAQgCQwHYCkAQkAAACQgOxFAEIAAAiRFABCA=}#}
∴△PQB的面积不能等于 8cm2．
（3分）（3）当 PQ＝2 10 时，在 Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝(2 10 )2，
t2﹣2t﹣3＝0，
解得 t1＝3，t2＝-1(不合题意舍去)，
∴当 t＝3时，PQ的长度等于 2 10 cm．
24．（共 10分）
（2分）（1）若矩形的长和宽是方程 4x2﹣13x+3＝0的两个根，则矩形的周长为 ，
面积为 ．
（4分）（2）设方程的另一根为 x1，依题意得：
，
解得： ；
（4分）（3）设两条直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c，依题意得：
，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝[﹣（2m﹣1）]2＝4m2﹣4m+1，
∴4m2﹣4m+1＝25+2（m2+3），即 m2﹣2m﹣15＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝5，
当 m＝5时，a+b＝﹣（2m﹣1）＝﹣（2×5﹣1）＝﹣9＜0（不合题意，舍去）
∴m的值为﹣3．
25．（共 10分）
（2分）（1）方程 x3﹣2x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝ 3 ，x3＝ ﹣1 ；
（4分）（2）求方程 x3＝6x2+16x的解；
解：由题意，∵x3＝6x2+16x，
∴x3﹣6x2﹣16x＝0．
∴x（x2﹣6x﹣16）＝0．
3
{#{QQABJQSEggAAAIIAAQgCQwHYCkAQkAAACQgOxFAEIAAAiRFABCA=}#}
∴x（x﹣8）（x+2）＝0．
∴x1＝0，x2＝8，x3＝﹣2．
（4分）（3）解： ，
设 ，则有：x2+2x＝t2，
原方程可化为 t2+4t﹣5＝0，
解得：t1＝﹣5，t2＝1，
∵t≥0，∴t＝1；
当 t＝1时， ＝1，
方程两边平方得：x2+2x＝1，
即 x2+2x﹣1＝0，
x＝ ＝ ＝﹣1 ，
经检验：x＝﹣1 都是原方程的解，
∴x1＝﹣1+ ，x2＝﹣1﹣ ．
26．（共 10分）
（4分）（1）设小道进出口的宽度为 x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532．
整理，得 x2﹣35x+34＝0．
解得 x1＝1，x2＝34．
∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．
即小道进出口的宽度应为 1米；
（2）（3分）①剩余的种植花草区域的面积＝（30﹣2×2）（20﹣2）﹣4× （30﹣a）×
× （20﹣a）＝（﹣ a2+25a+168）m2；
（3分）②根据题意得（﹣ a2+25a+168）×100＝42000，
解得 a＝14或 a＝36（不合题意舍去），
答：a的值为 14．
4
{#{QQABJQSEggAAAIIAAQgCQwHYCkAQkAAACQgOxFAEIAAAiRFABCA=}#}
