函数的表示方法
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文档简介
正整数指数函数
一、教材分析
１．教材背景
正整数指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，为将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习指数函数的一个基本初等函数。本节内容1课时完成。
２．本课的地位和作用
本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习指数函数、对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。在正整数指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。
二、重难点分析
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：
重点：正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。
难点：函正整数指数数图像的特征。
三、目标分析
１．知识技能目标
了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征。
２．过程性目标
通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
３．情感、价值观目标
让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
四、学情分析
１．有利因素
学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。
２．不利因素
本节内容对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，同时要求学生勤动手，要求学生有好的学习习惯。
五、教法学法
根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，确定以下教法、学法：
探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。依据本节为概念学习的特点，类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程设计
复习旧知→新课引入→探索新知→知识扩展→课堂练习→课堂小结→课后作业
七、教学过程
１．复习旧知
函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？
答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象上的点越高。
２．新课引入
观看多媒体解答下面两个问题：
问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：y=2x（x∈N+）
问题2：2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为y=0.85x（x∈N+）
提问：y=2x与y=0.85x这类函数的解析式有何共同特征？
答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。
（若用a代换两个式子中的底数，由实际例子看自变量的取值范围均为N+，则得到……）
３．探索新知
正整数指数函数的定义
一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1，x∈N+)，叫做正整数指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是N+。
提问：在本定义中要注意哪些要点？
1 自变量 x
2 定义域 N+
3 a的范围 a>0，且a≠1
4 定义的形式（对应法则） y=ax
练一练：判断下列函数是否为正整数指数函数.
(1) y=3x (x∈N+)
(2) y=3－x (x∈N+)
(3) y=2×3x (x∈N+)
(4) y=x3 (x∈N+)
（通过练习，让同学们巩固所学的概念）
４、知识扩展
正整数指数函数图像、性质
（1）．正整数指数函数的图像是怎样的呢？先看引例1、2。请同学们分两组用描点法分别画出下列函数的图像。其中函数的x∈N+
画出，的图象；
（及时指导学生作图，然后播放已经做好的函数图象，让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点。）
提问：此这组图像上引例图像有何共同特征？当底数和时图象有何区别？
（2）．根据正整数指数函数的图像特征，由特殊到一般的推理方法提炼正整数指数函数的性质。
（说明：教材对于正整数指数函数性质的处理，仅是观察图象发现的，其正确性理应严格证明，但教材不做要求）
用一用：下面给出的四个正整数指数函数中，是减函数的为( )
(A)y=1.2x (x∈N+)
(B) y=3x (x∈N+)
(C) y=0.999x (x∈N+)
(D) y=πx(x∈N+)
（3）．指数函数性质的简单应用
例题 某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为1000hm2,每年增长5％，经过x年，森林面积为yhm2。
(1)写出x,y间的函数关系式;
(2)求出经过5年后，森林面积;
（板书）
５、课堂练习
练一练
1．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p％，写出成本y随经过年数变化的函数关系式。
2．抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的0.1％，则至少要抽( )
(A)6次 (B)7次 ( C)8次 (D)9次
６．课堂小结
设问：本课我们主要学习了哪些内容？应当注意些什么？
本节课主要学习了正整数指数函数的定义、图象和性质。弄清楚底数和时函数图象的不同特征及性质是学好本节课的关键所在。
７．课后作业
①课本第63页习题3-1： 1、2、3
②收集关于正整数指数函数及其应用的相关资料，分析整理，并和同学交流。
**在教学过程中有几个问题值得注意：
１．学生可能把自变量（为正整数）在指数上的函数都认为是正整数指数函数，应予以及时纠正。
２．若学生质疑正整数指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质疑是正确的，因为用图象观察归纳出来的结论，必须经过严格证明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励学有余力的同学可自己尝试证明。
用心 爱心 专心
一、教材分析
１．教材背景
正整数指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，为将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习指数函数的一个基本初等函数。本节内容1课时完成。
２．本课的地位和作用
本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习指数函数、对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。在正整数指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。
二、重难点分析
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：
重点：正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。
难点：函正整数指数数图像的特征。
三、目标分析
１．知识技能目标
了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征。
２．过程性目标
通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
３．情感、价值观目标
让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
四、学情分析
１．有利因素
学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。
２．不利因素
本节内容对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，同时要求学生勤动手，要求学生有好的学习习惯。
五、教法学法
根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，确定以下教法、学法：
探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。依据本节为概念学习的特点，类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程设计
复习旧知→新课引入→探索新知→知识扩展→课堂练习→课堂小结→课后作业
七、教学过程
１．复习旧知
函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？
答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象上的点越高。
２．新课引入
观看多媒体解答下面两个问题：
问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：y=2x（x∈N+）
问题2：2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为y=0.85x（x∈N+）
提问：y=2x与y=0.85x这类函数的解析式有何共同特征？
答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。
（若用a代换两个式子中的底数，由实际例子看自变量的取值范围均为N+，则得到……）
３．探索新知
正整数指数函数的定义
一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1，x∈N+)，叫做正整数指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是N+。
提问：在本定义中要注意哪些要点？
1 自变量 x
2 定义域 N+
3 a的范围 a>0，且a≠1
4 定义的形式（对应法则） y=ax
练一练：判断下列函数是否为正整数指数函数.
(1) y=3x (x∈N+)
(2) y=3－x (x∈N+)
(3) y=2×3x (x∈N+)
(4) y=x3 (x∈N+)
（通过练习，让同学们巩固所学的概念）
４、知识扩展
正整数指数函数图像、性质
（1）．正整数指数函数的图像是怎样的呢？先看引例1、2。请同学们分两组用描点法分别画出下列函数的图像。其中函数的x∈N+
画出，的图象；
（及时指导学生作图，然后播放已经做好的函数图象，让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点。）
提问：此这组图像上引例图像有何共同特征？当底数和时图象有何区别？
（2）．根据正整数指数函数的图像特征，由特殊到一般的推理方法提炼正整数指数函数的性质。
（说明：教材对于正整数指数函数性质的处理，仅是观察图象发现的，其正确性理应严格证明，但教材不做要求）
用一用：下面给出的四个正整数指数函数中，是减函数的为( )
(A)y=1.2x (x∈N+)
(B) y=3x (x∈N+)
(C) y=0.999x (x∈N+)
(D) y=πx(x∈N+)
（3）．指数函数性质的简单应用
例题 某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为1000hm2,每年增长5％，经过x年，森林面积为yhm2。
(1)写出x,y间的函数关系式;
(2)求出经过5年后，森林面积;
（板书）
５、课堂练习
练一练
1．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p％，写出成本y随经过年数变化的函数关系式。
2．抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的0.1％，则至少要抽( )
(A)6次 (B)7次 ( C)8次 (D)9次
６．课堂小结
设问：本课我们主要学习了哪些内容？应当注意些什么？
本节课主要学习了正整数指数函数的定义、图象和性质。弄清楚底数和时函数图象的不同特征及性质是学好本节课的关键所在。
７．课后作业
①课本第63页习题3-1： 1、2、3
②收集关于正整数指数函数及其应用的相关资料，分析整理，并和同学交流。
**在教学过程中有几个问题值得注意：
１．学生可能把自变量（为正整数）在指数上的函数都认为是正整数指数函数，应予以及时纠正。
２．若学生质疑正整数指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质疑是正确的，因为用图象观察归纳出来的结论，必须经过严格证明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励学有余力的同学可自己尝试证明。
用心 爱心 专心