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第02讲 等差数列及其前n项和
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 等差数列的概念和性质 (2) 等差数列的通项与前n项和 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年I卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年乙卷5分2022年北京卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是等差数列的概念和性质，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，主要考查等差数列基本量的运算，等差数列的判定和证明，等差数列的通项与前n项和的性质；
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考试要求
小
)
1、理解等差数列的概念；
2、掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4、了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1:等差数列的概念
1、等差数列定义与基本量
（1）定义：（为常数）
（2）通项： ；
（3）前n项和： ；
知识点2:等差数列的性质
1、等差数列通项性质
若是等差数列，则：
（1）若，则 ；
（2）等差中项：成等差数列 ；若三个数成等差数列，可设为
2、等差数列前n项和性质
设等差数列的前项和为，则有以下性质：
（1）数列仍为等差数列，仍为 ，公差为 ；
（2）项数为偶数的等差数列，有：
（为中间两项）；
.
（3）项数为奇数-1的等差数列，有：
（为中间项）；
.
（4）若是等差数列，且前项之和分别为，则有 ;
知识点3:等差数列前n项和的最值
1、等差数列前n项和的最值
（1）求最值：
方法1、是等差数列
（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
可以通过求二次函数（）的最值来求出的最值.
方法2、 求出的正负分界项
当由不等式组可解得达到最大值时的；
当由不等式组可解得达到最小值时的.
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题型展示
小
)
题型一: 等差数列基本量的运算
【例1】（2024·全国甲卷）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】设是数列的前项和，且，，则 ．
题型二: 等差数列的判定和证明
【例2】（2023·全国新Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式2】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，（）若的面积（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
题型三: 等差数列的性质
【例3】（2024·全国甲卷）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【变式3】已知等差数列的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B．2b4=b2+b6 C． D．
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【真题2】（2024·全国甲卷）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2024·全国乙卷）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【真题4】（2023·全国甲卷）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【真题5】（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【真题6】（2023·全国新Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【真题7】（2022·全国乙卷）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【真题8】（2022·北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【真题9】（2020·浙江）已知等差数列的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B．2b4=b2+b6 C． D．
【真题10】（2019·全国）记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第02讲 等差数列及其前n项和
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 等差数列的概念和性质 (2) 等差数列的通项与前n项和 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年I卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年乙卷5分2022年北京卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是等差数列的概念和性质，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，主要考查等差数列基本量的运算，等差数列的判定和证明，等差数列的通项与前n项和的性质；
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考试要求
小
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1、理解等差数列的概念；
2、掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4、了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
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考点突破考纲解读
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(
考点梳理
小
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知识点1:等差数列的概念
1、等差数列定义与基本量
（1）定义：（为常数）
（2）通项：
（3）前n项和：
知识点2:等差数列的性质
1、等差数列通项性质
若是等差数列，则：
（1）若，则；
（2）等差中项：成等差数列；若三个数成等差数列，可设为
2、等差数列前n项和性质
设等差数列的前项和为，则有以下性质：
（1）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
（2）项数为偶数的等差数列，有：
（为中间两项）；
.
（3）项数为奇数-1的等差数列，有：
（为中间项）；
（4）若是等差数列，且前项之和分别为，则有
知识点3:等差数列前n项和的最值
1、等差数列前n项和的最值
（1）求最值：
方法1、是等差数列
（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
可以通过求二次函数（）的最值来求出的最值.
方法2、 求出的正负分界项
当由不等式组可解得达到最大值时的；
当由不等式组可解得达到最小值时的.
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题型展示
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题型一: 等差数列基本量的运算
【例1】（2024·全国甲卷）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，则，
则等差数列的公差，故；答案为B.
【变式1】设是数列的前项和，且，，则 ．
【答案】
【解析】
原式为 ，即，
即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列， ，即.
题型二: 等差数列的判定和证明
【例2】（2023·全国新Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，为等差数列，即甲是乙的充分条件；
乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
，又为常数，
为等差数列，则甲是乙的必要条件；甲是乙的充要条件；答案为C
【变式2】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，（）若的面积（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
【答案】A
【解析】
表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，
即，由题目中条件可知的长度为定值，
和两个垂足构成了直角梯形， ，
其中为两条线的夹角，即为定值，，
，
作差：，都为定值，为定值；答案为A．
题型三: 等差数列的性质
【例3】（2024·全国甲卷）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
根据等差数列的性质，，由， ，
故；答案为D.
【变式3】已知等差数列的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B．2b4=b2+b6 C． D．
【答案】D
【解析】
对A，数列为等差数列，，A正确；
对B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，，，B正确；
对C，当时，，C正确；
对D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，D错；答案为D.
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【解析】
数列为等差数列，则由题意得，解得，
；故答案为.
【真题2】（2024·全国甲卷）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，则，
则等差数列的公差，；答案为B.
【真题3】（2024·全国乙卷）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
，由，
，故；答案为D.
【真题4】（2023·全国甲卷）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】
，，，，
，，;答案为C.
【真题5】（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】
，
函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，
，即有，解得，
;答案为B
【真题6】（2023·全国新Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，为等差数列，即甲是乙的充分条件；
乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
，又为常数，
为等差数列，则甲是乙的必要条件；甲是乙的充要条件；答案为C
【真题7】（2022·全国乙卷）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【解析】
由可得，化简得，
即，解得；故答案为2.
【真题8】（2022·北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件；答案为C.
【真题9】（2020·浙江）已知等差数列的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B．2b4=b2+b6 C． D．
【答案】D
【解析】
对A，数列为等差数列，，A正确；
对B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，，，B正确；
对C，当时，，C正确；
对D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，D错；答案为D.
【真题10】（2019·全国）记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，解得，∴，答案为A．
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