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第04讲 直线、平面垂直的判定与性质
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 (2) 直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质 (3) 直线与平面所成的角、二面角的理解 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年II卷5分2023年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年浙江卷5分2021年I卷5分2021年II卷5分2021年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主，常作为立体几何大题中的第1小问出现，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，主要直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质，直线与平面所成的角、二面角的求解，需要熟练掌握几何法和坐标法两种证明垂直的思路，多加练习.
(
考试要求
小
)
1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，并加以证明；
2、掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质，并会简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 线面垂直
1、线面垂直
（1）定义
若直线与平面内的所有直线都垂直，则直线与平面互相垂直；
（2）判定定理
1）如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；
2）图形语言：
3）符号语言：
（3）性质定理
1）垂直于同一个平面的两个直线平行；
2）图形语言：
3）符号语言：
2、直线和平面所成的角（线面角）
（1）定义
1）平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；
2）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
3）一条直线与平面平行，或在平面内，它们所成的角是；
（2）范围：
知识点2: 面面垂直
1、二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；
（2）二面角的平面角：
1）在二面角的棱上任取一点，过这点分别在这两个面上作垂直于棱的射线，这两条射线的夹角就是二面角的平面角；
2）范围：
2、面面垂直
（1）定义
若两个相交平面的二面角是直角，则两个平面互相垂直；
（2）判定定理
1）如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直；
2）图形语言：
3）符号语言：
（3）性质定理
1）两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直；
2）图形语言：
3）符号语言：
知识点3: 三垂线定理
6、三垂线定理
（1）三垂线定理：平面内一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；
（2）三垂线定理的逆定理：平面内一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这一条斜线的在这个平面内的射影垂直；
(
题型展示
小
)
题型一: 线线垂直证明
【例1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
【解析】
（1）在中，，，，由余弦定理可得，
，．由题意且，
平面，而平面，，又，．
【变式1】如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
【解析】
以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
、、、、、、、、
（Ⅰ）依题意，，，，；
题型二: 线面垂直证明
【例2】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
【解析】
（1）由题设，知为等边三角形，设，则，，
，，又为等边三角形，
，，，则，，
同理，又，平面；
【变式2】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
【解析】
（1）在正方形中，， 平面，平面，
平面，又平面，平面平面，，
在四棱锥中，底面是正方形，
且平面， ，平面；
题型三: 面面垂直证明
【例3】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
【解析】
（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，
在上，，
是圆内接正三角形，，≌，
，即，
平面平面，平面平面；
【变式3】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
【解析】
（1）底面，平面，，又，，
平面，而平面，平面平面．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
【解析】
（1）由，得，又，在中，
由余弦定理得,
，则，即，
，又平面，
平面，又平面，故；
【真题2】（2023·全国新Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
【解析】
（1）连接，E为BC中点，， ①，
，， 与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
平面，而平面， ．
【真题3】（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
【解析】
（1）证明：平面，平面, ,
，即，平面，,
平面，又平面, 平面平面.
【真题4】（2023·北京）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
【解析】
（1）平面平面， ，同理，
为直角三角形， ，，
，则为直角三角形，故，
，，平面.
【真题5】（2022·全国甲卷）在四棱锥中，底面
.
(1)证明：；
【解析】
（1）证明：在四边形中，作于，于，
，四边形为等腰梯形， ，
，， ， ，
平面，平面， ，又， 平面，
平面， ；
【真题6】（2022·全国乙卷）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
【解析】
（1），E为的中点， ；
在和中， ，
， ， E为的中点， ；
平面，， 平面，
平面， 平面平面.
【真题7】（2022·浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
【解析】
（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，， ，
则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，
，∴平面，而平面．
【真题8】（2021·全国新Ⅰ卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
【解析】
（1），O是中点，，平面，平面平面，
且平面平面，平面平面，.
【真题9】（2021·全国新Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
【解析】
（1）取的中点为，连接，，，则，
，，在正方形中，，，
，故，故为直角三角形且，
，平面，平面，平面平面.
【真题10】（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
【解析】
（1），，，，平面，
，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
E，F分别为和的中点， 是BC的中点，
，．
， ．
， 平面．
平面， ．
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第04讲 直线、平面垂直的判定与性质
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 (2) 直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质 (3) 直线与平面所成的角、二面角的理解 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年II卷5分2023年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年浙江卷5分2021年I卷5分2021年II卷5分2021年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主，常作为立体几何大题中的第1小问出现，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，主要直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质，直线与平面所成的角、二面角的求解，需要熟练掌握几何法和坐标法两种证明垂直的思路，多加练习.
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考试要求
小
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1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，并加以证明；
2、掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质，并会简单应用.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1: 线面垂直
1、线面垂直
（1）定义
若直线与平面内的 都垂直，则直线与平面互相垂直；
（2）判定定理
1）如果一条直线与平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直；
2）图形语言：
3）符号语言：
（3）性质定理
1）垂直于同一个平面的两个直线 ；
2）图形语言：
3）符号语言：
2、直线和平面所成的角（线面角）
（1）定义
1）平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；
2）一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；
3）一条直线与平面平行，或在平面内，它们所成的角是；
（2）范围：
知识点2: 面面垂直
1、二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；
（2）二面角的平面角：
1）在二面角的棱上任取一点，过这点分别在这两个面上作 ，这两条射线的夹角就是二面角的 ；
2）范围：
2、面面垂直
（1）定义
若两个相交平面的二面角是直角，则两个平面互相垂直；
（2）判定定理
1）如果一个平面过另外一个平面的 ，那么这两个平面垂直；
2）图形语言：
3）符号语言：
（3）性质定理
1）两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直；
2）图形语言：
3）符号语言：
知识点3: 三垂线定理
6、三垂线定理
（1）三垂线定理：平面内一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的 垂直，那么它也和这条斜线垂直；
（2）三垂线定理的逆定理：平面内一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这一条斜线的在这个平面内的射影 ；
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题型一: 线线垂直证明
【例1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
【变式1】如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
题型二: 线面垂直证明
【例2】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
【变式2】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
题型三: 面面垂直证明
【例3】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
【变式3】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
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考场演练
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【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
【真题2】（2023·全国新Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
【真题3】（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
【真题4】（2023·北京）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
【真题5】（2022·全国甲卷）在四棱锥中，底面
.
(1)证明：；
【真题6】（2022·全国乙卷）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
【真题7】（2022·浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
【真题8】（2021·全国新Ⅰ卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
【真题9】（2021·全国新Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
【真题10】（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
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