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第06讲 双曲线及其性质
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 双曲线的定义、几何形状、标准方程 (2) 双曲线的简单几何性质 2024年天津卷5分2024年甲卷5分2023年天津卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是双曲线的定义、几何形状、标准方程和双曲线的简单几何性质，主要考查双曲线的定义和标准方程的理解，范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等双曲线的简单几何性质应用.
(
考试要求
小
)
1、理解双曲线的定义、几何形状、标准方程；
2、掌握双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）；
3、掌握双曲线的简单应用。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 双曲线定义
1、双曲线定义：
平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定值（小于）的点的轨迹称为双曲线；
即：．
【在题目中，与焦点有关就用定义！】
知识点2: 双曲线的标准方程与性质
1、双曲线的标准方程与性质
(
题型展示
小
)
题型一: 双曲线的定义和标准方程
【例1】已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
抛物线的准线方程为，则，则、，
设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
且，则为等腰直角三角形，，即，得，
，双曲线的标准方程为；答案为C.
【变式1】若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，，，双曲线的方程为，
将点代入可得，，
双曲线的方程为；答案为B.
题型二: 双曲线的离心率
【例2】已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
则有∴，，，∴；答案为D．
【变式2】已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【解析】
∵双曲线的离心率， ，∴，解得；答案为D.
题型三: 双曲线中的范围与最值
【例3】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
，双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
设为在第一象限，在第四象限，联立，解得
故，联立，解得，，
双曲线
，当且仅当取等号
的焦距的最小值；答案为B.
【变式3】若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，，，；答案为C.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】
由题意，设、、，则，，，则，则；答案为C.
【真题2】（2024·天津）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
， ，即，
，由正弦定理：，
则由得，由得，
则，
，，方程为；答案为C
【真题3】（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，一条渐近线为，
，；答案为D.
【真题4】（2023·全国乙卷）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设，则的中点，，
在双曲线上，，.
对A： 可得，则，，
，直线AB与双曲线没有交点，A错；
对B：可得，则，，
，直线AB与双曲线没有交点，B错；
对C：可得，则，可得，则为双曲线的渐近线，
直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对D：，则， ，
，直线AB与双曲线有交两个交点，D正确；答案为D.
【真题5】（2023·天津）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
如图，，设渐近线方程为，即，，
设,则，，，,
，，，
，，
方程为；答案为D.
【真题6】（2022·全国乙卷）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
情况1：M、N在双曲线的同一支
设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，，
，在双曲线的左支，，， ，
设，由即，则，，，，A正确；
情况2：M、N在双曲线的两支
，在双曲线的右支，，， ，设，
由，即，则，，
，即，双曲线的离心率，C正确；
【真题7】（2021·全国甲卷）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，，；
；答案为A.
【真题8】（2021·天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
设与的公共焦点为，的准线为，
令，则，,
又双曲线的渐近线方程为，，
，即，所以，双曲线的离心率;答案为A.
【真题9】（2021·北京）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，则，，则双曲线的方程为，
将点代入得双曲线的方程为,答案为B.
【真题10】（2020·全国）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
设为在第一象限，在第四象限
联立，解得故;联立，解得故
面积为：
双曲线其焦距为
当且仅当取等号,的焦距的最小值;答案为B.
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第06讲 双曲线及其性质
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小
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(1) 双曲线的定义、几何形状、标准方程 (2) 双曲线的简单几何性质 2024年天津卷5分2024年甲卷5分2023年天津卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是双曲线的定义、几何形状、标准方程和双曲线的简单几何性质，主要考查双曲线的定义和标准方程的理解，范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等双曲线的简单几何性质应用.
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考试要求
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1、理解双曲线的定义、几何形状、标准方程；
2、掌握双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）；
3、掌握双曲线的简单应用。
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考点突破考纲解读
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考点梳理
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知识点1: 双曲线定义
1、双曲线定义：
平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于 （小于）的点的轨迹称为 ；
即：．
【在题目中，与焦点有关就用定义！】
知识点2: 双曲线的标准方程与性质
1、双曲线的标准方程与性质
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题型展示
小
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题型一: 双曲线的定义和标准方程
【例1】已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型二: 双曲线的离心率
【例2】已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2】已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=（ ）
A． B．4 C．2 D．
题型三: 双曲线中的范围与最值
【例3】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【变式3】若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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考场演练
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【真题1】（2024·全国甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【真题2】（2024·天津）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2023·全国乙卷）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【真题5】（2023·天津）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【真题6】（2022·全国乙卷）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【真题7】（2021·全国甲卷）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2021·天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【真题9】（2021·北京）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【真题10】（2020·全国）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
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