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第05讲 空间向量及其应用
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 向量法证明立体几何中线面位置关系 (2) 向量法研究异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角 (3) 空间中点到直线以及点到平面的距离 2024年I卷5分2024年II卷5分2024年甲卷5分2024年北京卷5分2024年天津卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分
（1）本讲为新高考必考点，题型以解答题为主，基本上每年都有一道立体几何大题，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是向量法证明立体几何中线面位置关系，向量法研究异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角，空间中点到直线以及点到平面的距离，主要考查线面角、二面角的求解以及空间中点到直线和点到平面的距离求解，这类题型需重点练习.
(
考试要求
小
)
1、理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；
2、能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用；
3、会求空间中点到直线以及点到平面的距离；以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 空间位置关系的向量表示
1、空间位置关系的向量表示
（1）直线的方向向量
如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或重合，那么为直线的 ；
（2）平面的法向量
若直线垂直，取直线的方向向量，则向量为平面的 ；
（3）空间位置关系的向量表示
若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则有：
1）线线平行：；
2）线线垂直： ；
3）线面平行： ；
4）线面垂直：；
5）面面平行：；
6）面面垂直： ；
知识点2:空间角
1、异面直线所成角
若异面直线所成的角为，其方向向量分别是， ；
的范围：；
2、直线与平面所成角
如图，设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则；
的范围：；
3、二面角
平面与相交于直线，平面的法向量为，平面的法向量为，则二面角为或；设二面角大小为，则；
知识点3:空间距离
1、点到直线的距离
设为直线外一点，点为直线上任一点，直线的方向向量为，则点到直线的距离 ；
2、点到平面的距离
设为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，过点作平面的垂线，则点到平面的距离 ；
(
题型展示
小
)
题型一: 直线与平面所成的角
【例1】在四棱锥中，底面
．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【变式1】如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
题型二: 平面与平面的夹角
【例2】（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【变式2】如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
题型三: 空间距离
【例3】（2024·天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【变式3】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
【真题2】（2024·全国新Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【真题3】（2024·北京）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【真题4】（2024·天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【真题5】（2024·上海）如图为正四棱锥为底面的中心．
(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
【真题6】（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
【真题7】（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【真题8】（2023·全国新Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
【真题9】（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
【真题10】（2022·全国新Ⅰ卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
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第05讲 空间向量及其应用
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 向量法证明立体几何中线面位置关系 (2) 向量法研究异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角 (3) 空间中点到直线以及点到平面的距离 2024年I卷5分2024年II卷5分2024年甲卷5分2024年北京卷5分2024年天津卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分
（1）本讲为新高考必考点，题型以解答题为主，基本上每年都有一道立体几何大题，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是向量法证明立体几何中线面位置关系，向量法研究异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角，空间中点到直线以及点到平面的距离，主要考查线面角、二面角的求解以及空间中点到直线和点到平面的距离求解，这类题型需重点练习.
(
考试要求
小
)
1、理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；
2、能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用；
3、会求空间中点到直线以及点到平面的距离；以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 空间位置关系的向量表示
1、空间位置关系的向量表示
（1）直线的方向向量
如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或重合，那么为直线的方向向量；
（2）平面的法向量
若直线垂直，取直线的方向向量，则向量为平面的法向量；
（3）空间位置关系的向量表示
若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则有：
1）线线平行：；
2）线线垂直：；
3）线面平行：；
4）线面垂直：；
5）面面平行：；
6）面面垂直：；
知识点2:空间角
1、异面直线所成角
若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，；
的范围：；
2、直线与平面所成角
如图，设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则；
的范围：；
3、二面角
平面与相交于直线，平面的法向量为，平面的法向量为，则二面角为或；设二面角大小为，则；
知识点3:空间距离
1、点到平面的距离
设为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，过点作平面的垂线，则点到平面的距离；
(
题型展示
小
)
题型一: 直线与平面所成的角
【例1】在四棱锥中，底面
．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2).
【解析】
（1）证明：在四边形中，作于，于，
，
四边形为等腰梯形，
，故，，
，，
平面，平面，，
又，平面，又平面，；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，
则，设平面的法向量，
则有，可取，则，
与平面所成角的正弦值为.
【变式1】如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2) ；
【解析】
（1），E为的中点，；
在和中，，
，，又E为的中点，；
又平面，，平面，
平面，平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，平面，
，，
当时，最小，即的面积最小，，，
又，是等边三角形，E为的中点，，，
，,在中，，，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又，，，
设与平面所成的角为，，
与平面所成的角的正弦值为.
题型二: 平面与平面的夹角
【例2】（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3).
【解析】
（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，
即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，平面.
（2）由（1）可知，则，得，
，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，平面平面.
（3）过点作交于点，设，由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
分别为的中点，为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
，即有，则，
，，在中，，
，，
二面角的正弦值为.
【变式2】如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
（1）平面平面，，同理，
为直角三角形，又，，
，则为直角三角形，故，
又，，平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，则，即
令，则，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
二面角为锐二面角，二面角的大小为.
题型三: 空间距离
【例3】（2024·天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【解析】
（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，即点到平面的距离为.
【变式3】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且，又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面平面
（2）在菱形中，为中点，，
根据题意有，，棱柱为直棱柱，有平面，
，，设点C到平面的距离为，
根据题意有，则有，
解得，点C到平面的距离为.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
【答案】(1)见详解；(2)
【解析】
（1）由题意得，，且，四边形是平行四边形，，
又平面平面，平面；
（2）取的中点，连接，，，且，
四边形是平行四边形，，
又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，
可得，
又，，故；
又平面，平面，
易知，在中，，
.
设点到平面的距离为，由，得，得，
故点到平面的距离为.
【真题2】（2024·全国新Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）由，得，又，在中，
由余弦定理得,
，则，即，
，又平面，平面，又平面，
故；
（2）连接，由，则，
在中，，得，
，由（1）知，又平面，
平面，又平面，
，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，由是的中点，得，
，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，，
令，得，所以，
，
设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为.
【真题3】（2024·北京）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，平面.
（2）
，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，则，
则
设平面的法向量为，则由可得，取，
设平面的法向量为，则由可得，取，
故，故平面与平面夹角的余弦值为.
【真题4】（2024·天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【解析】
（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，即点到平面的距离为.
【真题5】（2024·上海）如图为正四棱锥为底面的中心．
(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）正四棱锥满足且平面，由平面，则，
又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，
根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，
即圆锥的高为，底面半径为，
根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是
（2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
由是中点，则，又平面，
故平面，即平面，又平面，
直线与平面所成角的大小即为，
设，则，，
线面角的范围是，故.
【真题6】（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）如图，
底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，平面平面，
过作交于，又平面平面，平面，
平面到平面的距离为1，，
在中，，设，则，
为直角三角形，且，
，，，
，解得，，
（2），，
过B作，交于D，则为中点，由直线与距离为2，
，，，在，，
延长，使，连接，由知四边形为平行四边形，
，平面，又平面，
则在中，，，
在中，，，
,又到平面距离也为1，
与平面所成角的正弦值为.
【真题7】（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3).
【解析】
（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，
即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，平面.
（2）由（1）可知，则，得，
，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，平面平面.
（3）过点作交于点，设，由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
分别为的中点，为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
，即有，则，
，，在中，，
，，
二面角的正弦值为.
【真题8】（2023·全国新Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2)．
【解析】
（1）连接，E为BC中点，，①，
，，与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
平面，而平面，．
（2）设，，．，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
，，即有，
，取，；，取，，
，从而；二面角的正弦值为．
【真题9】（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）证明：平面，平面,,
又，即，平面，,
平面，又平面,平面平面.
（2）如图，过点作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，
平面，四棱锥的高为.
平面，平面,,,
又，为公共边，与全等，.
设，则，为中点，,又,,
，，四棱锥的高为．
【真题10】（2022·全国新Ⅰ卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，解得，
点A到平面的距离为；
（2）取的中点E,连接AE,如图，，,
又平面平面，平面平面，
且平面，平面，在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，平面，
两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，，，，
则,的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
取，设平面的一个法向量，则，
取，，
二面角的正弦值为.
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