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第08讲 二项分布、超几何分布与正态分布
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 二项分布 (2) 超几何分布 (3) 正态分布 2024年I卷5分2024年北京卷12分2023年I卷12分2022年II卷5分2021年II卷5分2021年北京卷12分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、解答题为主； （2）重点是二项分布、超几何分布和正态分布，主要考查二项分布、超几何分布的概念理解和应用，正态分布的概念以及正态分布曲线的特点；注意区分分布类型.
(
考试要求
小
)
1、理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题；
2、借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 二项分布
1、二项分布
（1）伯努利试验
只包含 可能的结果的试验叫做伯努利试验；
将一个伯努利试验独立地重复进行次，所组成的随机试验称为 ；
（2）二项分布
在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为；
若随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从 ，记作 ；
（3）两点分布与二项分布的均值、方差
1）若随机变量服从两点分布，则；
2）若，则 ；
知识点2: 超几何分布
1、超几何分布
假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中；
若随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从 ；
知识点3: 正态分布
1、正态分布
（1）定义
若随机变量的概率分布密度函数为，其中为参数，则称随机变量服从正态分布，记为
（2）正态曲线的特点
1）曲线是单峰的，关于 对称；
2）曲线在处达到峰值；
3）当无限增大时，曲线无限接近轴；
（3）原则
1）；
2）；
3）；
（4）正态分布的均值与方差
若，则 .
(
题型展示
小
)
题型一: 二项分布
【例1】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【变式1】已知随机变量，则等于 （ ）
A. B. C. D.
题型二: 超几何分布
【例2】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【变式2】在含有3件次品的10件产品中，任取4件，表示取到的次品的个数，则 .
题型三: 正态分布
【例3】（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）
（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
【变式3】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（若随机变量ξ服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）
（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
【真题2】（2024·北京）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【真题3】（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【真题4】（2022·全国新Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
【真题5】（2021·全国新Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【真题6】（2021·北京）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【真题7】（2020·江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求和；
（2）求与的递推关系式和的数学期望(用表示) ．
【真题8】（2019·山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（若随机变量ξ服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【真题9】（2019·天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【真题10】（2017·山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 二项分布 (2) 超几何分布 (3) 正态分布 2024年I卷5分2024年北京卷12分2023年I卷12分2022年II卷5分2021年II卷5分2021年北京卷12分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、解答题为主； （2）重点是二项分布、超几何分布和正态分布，主要考查二项分布、超几何分布的概念理解和应用，正态分布的概念以及正态分布曲线的特点；注意区分分布类型.
(
考试要求
小
)
1、理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题；
2、借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 二项分布
1、二项分布
（1）伯努利试验
只包含两个可能的结果的试验叫做伯努利试验；
将一个伯努利试验独立地重复进行次，所组成的随机试验称为重伯努利试验；
（2）二项分布
在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为；
若随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作；
（3）两点分布与二项分布的均值、方差
1）若随机变量服从两点分布，则；
2）若，则；
知识点2: 超几何分布
1、超几何分布
假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中；
若随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从超几何分布；
知识点3: 正态分布
1、正态分布
（1）定义
若随机变量的概率分布密度函数为，其中为参数，则称随机变量服从正态分布，记为
（2）正态曲线的特点
1）曲线是单峰的，关于直线对称；
2）曲线在处达到峰值；
3）当无限增大时，曲线无限接近轴；
（3）原则
1）；
2）；
3）；
（4）正态分布的均值与方差
若，则.
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题型展示
小
)
题型一: 二项分布
【例1】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则，
且，由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：
.
【变式1】已知随机变量，则等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
；
；答案为A.
题型二: 超几何分布
【例2】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则；
（II）由题意知X可取的值为：，则
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
=
【变式2】在含有3件次品的10件产品中，任取4件，表示取到的次品的个数，则 .
【答案】
【解析】
服从超几何分布，；答案为
题型三: 正态分布
【例3】（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）
（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
由题意得，，，
，C正确，D错；
，，
，，
而，B正确，A错，答案为BC．
【变式3】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（若随机变量ξ服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【解析】
，答案为B．
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考场演练
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【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）
（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
由题意得，，，
，C正确，D错；
，，
，，
而，B正确，A错，答案为BC．
【真题2】（2024·北京）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)(2)(i)0.122万元；(ii)数学期望估计值大于(i)中估计值
【解析】
（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，则；
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
，，，
，，
（万元）.
（ⅱ）保费的变化为，
（万元），从而.
【真题3】（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【答案】(1)；(2)；(3)；
【解析】
（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，.
（2）设，，则，
即，构造等比数列，
设，解得，则，
又，是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3），，
当时，，
．
【真题4】（2022·全国新Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
【答案】/．
【解析】
，，；答案为．
【真题5】（2021·全国新Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【解析】
对A，为数据的方差，越小，数据在附近越集中，
测量结果落在内的概率越大，A正确；
对B，该物理量一次测量大于10的概率为，B正确；
对C，该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，C正确；
对D，该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，
一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，D错；答案为D.
【真题6】（2021·北京）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
【解析】
（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，则的分布列:
；
（2）由题意，可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，
不在同一组的概率为，.
【真题7】（2020·江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求和；
（2）求与的递推关系式和的数学期望(用表示) ．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），，
；
（2），
，
，，
；又的分布列为
0 1 2
.
【真题8】（2019·山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（若随机变量ξ服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【解析】
，答案为B．
【真题9】（2019·天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则，
且，由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：
.
【真题10】（2017·山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则
（II）由题意知X可取的值为：.则
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
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