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第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 相互独立事件 (2) 条件概率 (3) 全概率公式 2024年Ⅱ卷5分2024年天津卷5分2024年上海卷5分2023年甲卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分2022年II卷5分2022年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题和解答题为主； （2）重点是两个事件相互独立，条件概率和全概率公式，主要考查两个事件相互独立的含义，随机事件的独立性和条件的概率的关系以及利用全概率公式计算概率.
1、了解两个事件相互独立的含义；
2、理解随机事件的独立性和条件的概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
知识点1: 相互独立事件
1、相互独立事件
（1）定义：对任意两个事件与，若 成立，则称事件与事件相互独立，简称独立；
（2）性质：若事件与事件相互独立，则 与 ，事件与 ，事件与事件也相互独立；
知识点2: 条件概率
1、条件概率
（1）定义：设与是两个随机事件，且，称 为在事件发生条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率；
（2）两个公式
1）利用古典概型：；
2）概率的乘法公式： ；
知识点3: 全概率公式
1、全概率公式
设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 ；
题型一: 相互独立事件的概率
【例1】甲乙两人独立地解同一道题，解答出这道题的概率分别为，则这题没被破解出的概率（ ）
A. B. C. D.1
【变式1】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
题型二: 条件概率
【例2】（2024·天津）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
【变式2】52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 .
题型三: 全概率公式的应用
【例3】（2024·上海）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【变式3】设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4，0.6，汽车和动车正点到达的概率分别为0.7，0.9，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A. 0.78 B. 0.8 C. 0.82 D. 0.84
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
【真题2】（2024·天津）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
【真题3】（2024·上海）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
【真题5】（2023·全国甲卷）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【真题6】（2022·天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【真题7】（2022·全国新Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【真题8】（2022·全国新Ⅱ卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【真题9】（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【真题10】（2020·全国）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
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第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 相互独立事件 (2) 条件概率 (3) 全概率公式 2024年Ⅱ卷5分2024年天津卷5分2024年上海卷5分2023年甲卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分2022年II卷5分2022年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题和解答题为主； （2）重点是两个事件相互独立，条件概率和全概率公式，主要考查两个事件相互独立的含义，随机事件的独立性和条件的概率的关系以及利用全概率公式计算概率.
1、了解两个事件相互独立的含义；
2、理解随机事件的独立性和条件的概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
知识点1: 相互独立事件
1、相互独立事件
（1）定义：对任意两个事件与，若成立，则称事件与事件相互独立，简称独立；
（2）性质：若事件与事件相互独立，则事件与事件，事件与事件，事件与事件也相互独立；
知识点2: 条件概率
1、条件概率
（1）定义：设与是两个随机事件，且，称为在事件发生条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率；
（2）两个公式
1）利用古典概型：
2）概率的乘法公式：
知识点3: 全概率公式
1、全概率公式
设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有；
题型一: 相互独立事件的概率
【例1】甲乙两人独立地解同一道题，解答出这道题的概率分别为，则这题没被破解出的概率（ ）
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】
甲乙都没解出，则这题没被破解出，概率为，答案为A.
【变式1】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为
，
需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢包括：、、、、、、、，
甲赢的概率为；由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
丙赢的概率为.
题型二: 条件概率
【例2】（2024·天津）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
【答案】；.
【解析】
设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为；故答案为：；
【变式2】52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【答案】；
【解析】
由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则；答案为；.
题型三: 全概率公式的应用
【例3】（2024·上海）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【解析】
由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，
；答案为0.85．
【变式3】设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4，0.6，汽车和动车正点到达的概率分别为0.7，0.9，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A. 0.78 B. 0.8 C. 0.82 D. 0.84
【答案】A
【解析】
由全概率公式得，；答案为C.
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
【答案】(1)
【解析】
（1）甲、乙所在队比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
【真题2】（2024·天津）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
【答案】；.
【解析】
设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为；故答案为：；
【真题3】（2024·上海）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【解析】
由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，
；答案为0.85．
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
【答案】(1)；
【解析】
（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
；
【真题5】（2023·全国甲卷）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【解析】
同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，则，
；答案为.
【真题6】（2022·天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【答案】；
【解析】
由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则；答案为；.
【真题7】（2022·全国新Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)见解析；(2)（i）见解析；(ii)；
【解析】
（1）由已知，
又，，
有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；
（2）(i)，
；
(ii) 由已知，，
，，.
【真题8】（2022·全国新Ⅱ卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1)岁；(2)；(3)．
【解析】
（1）平均年龄
（岁）；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，
．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
,
则由条件概率公式可得．
【真题9】（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，
甲学校获得冠军的概率为
；
（2）依题可知，的可能取值为，
,，
，；
的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
.
【真题10】（2020·全国）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为
，
需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢包括：、、、、、、、，
甲赢的概率为；由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
丙赢的概率为.
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