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第07讲 抛物线及其性质
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 抛物线的定义、几何形状、标准方程 (2) 抛物线的简单几何性质 2024年Ⅱ卷5分2024年北京卷5分2024年上海卷5分2024年天津卷5分2023年II卷5分2023年乙卷5分2023年北京卷5分2022年I卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是抛物线的定义、几何形状、标准方程和抛物线的简单几何性质，主要考查 抛物线的定义、几何形状、标准方程的理解，范围、对称性、顶点、离心率等抛物线的简单几何性质的应用.
(
考试要求
小
)
1、理解抛物线的定义、几何形状、标准方程；
2、掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；
3、掌握抛物线的简单应用。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 抛物线定义
1、抛物线定义：
（1）到定点与定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线；
（2）离心率：；
（3）焦点弦长：；
【在题目中，与焦点有关就用定义！】
知识点2: 抛物线的标准方程
2、抛物线的标准方程
(
题型展示
小
)
题型一: 抛物线的定义和应用
【例1】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
设抛物线的焦点为F，由定义知，即，解得；答案为C.
【变式1】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】
抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，
；答案为D．
题型二: 抛物线的标准方程
【例2】已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由抛物线得准线，准线经过点，，
抛物线焦点坐标为，答案为.
【变式2】已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .
【答案】
【解析】
由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得，，
由抛物线方程可得：， 焦点坐标为.
题型三: 抛物线的几何性质
【例3】（2022·全国乙卷）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
由题意得，，则，即点到准线的距离为2，
点的横坐标为，设点在轴上方，代入得，
，答案为B
【变式3】已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【解析】
抛物线： ()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，
P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,设,
Q为轴上一点，且，Q在F的右侧，又，
，，,
，的准线方程为，答案为.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·北京）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【解析】
由题意抛物线的标准方程为，其焦点坐标为；答案为.
【真题2】（2024·上海）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【解析】
由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，
代入，得，解得，则点到轴的距离为；答案为．
【真题3】（2024·天津）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【解析】
圆的圆心为，故即，
或（舍），，
直线即或，，答案为.
【真题4】（2024·全国新Ⅱ卷）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】
A，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A正确；
B项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，
切线长，B正确；
C项，当时，，，故或，
当时，，，，不满足；
当时，，，，不满足；
不成立，C选项错误；
D项，设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，，
则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D正确；答案为ABD
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【答案】AC
【解析】
A项：直线过点，抛物线的焦点，
，则A正确，且抛物线的方程为.
B项：设，由，
解得，，B错；
C项：设的中点为，到直线的距离分别为，
，
即到直线的距离等于的一半，以为直径的圆与直线相切，C正确.
D项：直线，即，到直线的距离为，
三角形的面积为，可知，
，
三角形不是等腰三角形，D错；答案为AC.
【真题6】（2023·全国乙卷）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【解析】
由题意可得：，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为；答案为.
【真题7】（2023·北京）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】
抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
到准线的距离为，又到直线的距离为，
，故；答案为D.
【真题8】（2022·全国新Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】
将点的代入抛物线方程得，抛物线方程为，故准线方程为，A错；
，直线的方程为，
联立，可得，解得，B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，，或，，
又，，
，C正确；
，，
，而，故D正确，答案为BCD
【真题9】（2022·全国新Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
对A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，直线的斜率为，A正确；
对B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，
解得，则，则，B错；
对C，由抛物线定义知：，C正确；
对D，，则为钝角，
，为钝角，
又，则，D正确；答案为ACD.
【真题10】（2021·全国新Ⅱ卷）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】
抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，
解得：(舍去)；答案为B.
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第07讲 抛物线及其性质
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(1) 抛物线的定义、几何形状、标准方程 (2) 抛物线的简单几何性质 2024年Ⅱ卷5分2024年北京卷5分2024年上海卷5分2024年天津卷5分2023年II卷5分2023年乙卷5分2023年北京卷5分2022年I卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是抛物线的定义、几何形状、标准方程和抛物线的简单几何性质，主要考查 抛物线的定义、几何形状、标准方程的理解，范围、对称性、顶点、离心率等抛物线的简单几何性质的应用.
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考试要求
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1、理解抛物线的定义、几何形状、标准方程；
2、掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；
3、掌握抛物线的简单应用。
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考点突破考纲解读
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考点梳理
小
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知识点1: 抛物线定义
1、抛物线定义：
（1）到定点与定直线的距离相等的点的轨迹称为 ；
（2）离心率：；
（3）焦点弦长： ；
【在题目中，与焦点有关就用定义！】
知识点2: 抛物线的标准方程
1、抛物线的标准方程
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题型展示
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题型一: 抛物线的定义和应用
【例1】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【变式1】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
题型二: 抛物线的标准方程
【例2】已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .
题型三: 抛物线的几何性质
【例3】（2022·全国乙卷）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式3】已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
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考场演练
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【真题1】（2024·北京）抛物线的焦点坐标为 ．
【真题2】（2024·上海）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【真题3】（2024·天津）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
【真题4】（2024·全国新Ⅱ卷）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【真题6】（2023·全国乙卷）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【真题7】（2023·北京）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【真题8】（2022·全国新Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【真题9】（2022·全国新Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【真题10】（2021·全国新Ⅱ卷）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
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