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第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线与圆锥曲线位置关系 (2)弦长公式 2024年北京卷5分2024年I卷15分2023年I卷15分2023年II卷20分2023年天津卷5分2022年浙江卷12分2022年II卷15分
（1）本讲为新高考命题必考点，题型以解答题为主，也会出现选择题和填空题； （2）重点是直线与圆锥曲线位置关系和弦长公式，主要考查直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，圆锥曲线所截的弦长公式以及利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题，点差法等.
(
考试要求
小
)
1、了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；
2、掌握圆锥曲线所截的弦长公式；
3、能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 直线与圆锥曲线的位置
1、直线与圆锥曲线的位置判断
（1）联立：将直线方程与圆锥曲线方程联立；
（2）消元化简：消去（或），化简得到的一元二次方程，则
1）直线与圆锥曲线相交；
2）直线与圆锥曲线相切；
3）直线与圆锥曲线相离；
知识点2: 弦长公式
1、弦长公式
已知，直线的斜率为,则
；
(
题型展示
小
)
题型一: 直线与圆锥曲线位置关系
【例1】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 .
【答案】
【解析】
由题意知，由中位线定理得，设，得，
联立方程（舍），点在椭圆上且在轴的上方，
求得，；
【变式1】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，，
代入抛物线方程，焦点坐标为；答案为B.
题型二: 圆锥曲线所截的弦长
【例2】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设直线方程为：，，，，
联立，
直线的方程为，即；
（2）设，则可设直线方程为：
联立，，；
，
则
【变式2】已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】
(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意得，椭圆方程为.
(Ⅱ)①当直线l与x轴重合，设，，
．
②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，
．设，联立得．由题意知，．且．
由题意知直线的斜率存在．．
当时，．
同理，．．
，．
题型三: 焦点弦、中点弦问题
【例3】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【答案】2
【解析】
记抛物线的焦点为F，，则以为直径的圆与准线相切于点M，
由抛物线的焦点弦性质可知，．
【变式3】16．（2020·山东）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ．
【答案】
【解析】
∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为，
代入抛物线方程消去y并化简得，解得
(
考场演练
)
【真题1】（2024·北京）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】
联立，化简并整理得：，
由题意得或，解得或无解，即，
经检验，符合题意.故答案为（或，答案不唯一）.
【真题2】（2024·全国新Ⅰ卷）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
【答案】(1)；(2)直线的方程为或.
【解析】
（1）由题意得，.
（2），则直线的方程为，即，
，由（1）知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，则，解得或，
当时，联立，解得或，即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点；
综上直线的方程为或.
【真题3】（2023·全国新Ⅱ卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
将直线与椭圆联立，消去可得，
直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，，
解得或（舍去）；答案为C.
【真题4】（2023·天津）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为；(2).
【解析】
（1）如图，由题意得，解得，，
椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，，，.
,,，
，，即，
解得，直线的方程为.
【真题5】（2023·天津）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
【答案】
【解析】
易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
，解得：，由解得：或，
．当时，同理可得；答案为．
【真题6】（2023·全国新Ⅰ卷）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)；(2)见解析
【解析】
（1）设,则，两边同平方化简得，故.
（2）设矩形的三个顶点在上,且，
易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则，
易知则令,
令，解得，当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，则，
故,即.当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证.
【真题7】（2023·全国新Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【真题8】（2022·浙江）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
（1）设是椭圆上任意一点,,
，
当且仅当时取等号，故的最大值是.
（2）设直线,直线方程与椭圆联立,可得,
设，，与交于,
则,同理可得,.则
，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
【真题9】（2022·全国新Ⅱ卷）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【解析】
令的中点为，，，
设，，则，，
，即，
，即，设直线，，，
令得，令得，即，，，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
直线，即；故答案为：
【真题10】（2021·全国乙卷）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
设点，，，
，
而，当时，的最大值为；答案为A．
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第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系
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(1) 直线与圆锥曲线位置关系 (2)弦长公式 2024年北京卷5分2024年I卷15分2023年I卷15分2023年II卷20分2023年天津卷5分2022年浙江卷12分2022年II卷15分
（1）本讲为新高考命题必考点，题型以解答题为主，也会出现选择题和填空题； （2）重点是直线与圆锥曲线位置关系和弦长公式，主要考查直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，圆锥曲线所截的弦长公式以及利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题，点差法等.
(
考试要求
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1、了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；
2、掌握圆锥曲线所截的弦长公式；
3、能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
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知识点1: 直线与圆锥曲线的位置
1、直线与圆锥曲线的位置判断
（1）联立：将直线方程与圆锥曲线方程联立；
（2）消元化简：消去（或），化简得到的一元二次方程，则
1）直线与圆锥曲线 ；
2）直线与圆锥曲线 ；
3）直线与圆锥曲线 ；
知识点2: 弦长公式
1、弦长公式
已知，直线的斜率为,则
；
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题型一: 直线与圆锥曲线位置关系
【例1】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 .
【变式1】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型二: 圆锥曲线所截的弦长
【例2】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【变式2】已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点，求的值．
题型三: 焦点弦、中点弦问题
【例3】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【变式3】16．（2020·山东）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ．
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考场演练
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【真题1】（2024·北京）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【真题2】（2024·全国新Ⅰ卷）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
【真题3】（2023·全国新Ⅱ卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
【真题4】（2023·天津）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【真题5】（2023·天津）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
【真题6】（2023·全国新Ⅰ卷）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【真题7】（2023·全国新Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【真题8】（2022·浙江）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
【真题9】（2022·全国新Ⅱ）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【真题10】（2021·全国乙）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
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