用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【解析】 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.
【答案】 B
2．(2014·河南中原名校联考)设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( )
A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)
【解析】 因为f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在性定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)＜0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)，选C.
【答案】 C
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )
A．(0，0.5)，f(0.25) B．(0，1)，f(0.25)
C．(0.5，1)，f(0.25) D．(0，0.5)，f(0.125)
【解析】 ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25)．
【答案】 A
4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
【解析】 已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
【答案】 C
二、填空题
5．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
【解析】 令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f＝ln－＜0，∴下一个含根的区间是.
【答案】
6．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在区间为________．(只填序号)
①(－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
【解析】 ∵函数f(x)的图象是连续不断的，且f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，
∴函数零点分别在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内．
【答案】 ③④⑤
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度到0.01)为________．
【解析】 注意到f(1.556 2)＝－0.029和f(1.562 5)＝0.003，
显然f(1.556 2)·f(1.562 5)＜0，区间的端点四舍五入都为1.56，故方程的一个近似解为1.56.
【答案】 1.56
三、解答题
8．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正零点(精确度为0.1)．
【解】 f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间(1，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
(1，2)
1.5
－2.625
(1.5，2)
1.75
0.234 4
(1.5，1.75)
1.625
－1.302 7
(1.625，1.75)
1.687 5
－0.561 8
(1.687 5，1.75)
1.718 75
－0.170 7
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5＜0.1，
所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．
9．(2014·天津高一检测)借助计算机或计算器，用二分法求方程log2(x＋4)＝2x的一个正根的近似值．(精确度0.1)
【解】 令f(x)＝log2(x＋4)－2x，其零点为x0，
借助计算机作出函数f(x)的图象如图所示．
取正区间[1，2]，f(1)≈0.322，f(2)≈－1.415.
取区间[1，2]的中点x1＝1.5，
计算f(1.5)≈－0.369，
所以f(1)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1，1.5)．
再取区间(1，1.5)的中点x2＝1.25，
计算f(1.25)≈0.014，
所以x0∈(1.25，1.5)．
同理可得x0∈(1.25，1.375)，
x0∈(1.25，1.312 5)，
因为|1.312 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，
故可取1.312 5作为此函数的一个零点，
所以方程log2(x＋4)＝2x精确度到0.1的正根的近似值为1.312 5.
1．(2014·合肥高一检测)函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1，0)内，则m的取值范围为( )
A．(－2，0) B．(0，2)
C．[－2，0] D．[0，2]
【解析】 由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，∴0【答案】 B
2．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
【解析】 因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
【答案】 C
3．(2014·广州高一检测)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图3-1-2所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．
图3-1-2
【解析】 第1次取中点把焊点数减半为＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为＝4(个)，第5次取中点把焊点数减半为＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6.
【答案】 6
4．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.
(1)证明：f(x)有且仅有一个零点．
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
【解】 (1)因为函数y＝ln x，y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，
所以f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)至多有一个零点，
由f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，
所以f(2)·f(3)＜0，
所以f(x)在(2，3)内至少有一个零点，
所以f(x)有且仅有一个零点．
(2)因为f(2)＜0，f(3)＞0，
取x1＝＝，
f＝ln ＋5－6＝ln －1＜0，
所以f(3)·f＜0，
所以f(x)的零点x0∈.
取x2＝＝，
f＝ln＋2×－6
＝ln－＞0，
所以f·f＜0，
所以x0∈.
因为＝≤，
所以满足题意的区间为.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
[知识链接]
现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？
[预习导引]
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
要点一 二分法概念的理解
例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
答案
跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )
(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③ C．①④ D．①②③
要点二 用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
解
2．求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求F(x)＝f(x)－g(x)的近似解问题．
跟踪演练2 用二分法求2x＋ x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
2．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或x＝b
3．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
4．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间( )
A. B. C. D．(1,2)
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
一、基础达标
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
2．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表如示：
x
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
f(x)
1.16
1.00
0.68
0.24
－0.25
－0.70
－1.00
则函数f(x)的一个零点所在的区间是( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f(0.25)
B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75)
D．(0,0.5)，f(0.125)
4．设方程2x＋2x＝10的根为β则β属于( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
5．函数y＝x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )
A．1.5 B．1.6
6．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是__________．
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．
二、能力提升
8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C. D.
9．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01?
答案 7
10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
11．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．
三、探究与创新
12．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)．
13．用二分法求的近似值(精确度0.1)．
3.1.2 用二分法求方程的近似解
[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
[知识链接]
现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？
[预习导引]
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
要点一 二分法概念的理解
例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
答案 A
解析 按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.
规律方法 1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )
(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③ C．①④ D．①②③
答案 (1)B (2)A
解析 (1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．
(2)由二分法的意义，知选A.
要点二 用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f()
(0,1)
0.5
f(0)＜0
f(1)＞0
f(0.5)＜0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)＜0
f(1)＞0
f(0.75)＞0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)＜0
f(0.75)＞0
f(0.625)＜0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)＜0
f(0.75)＞0
f(0.687 5)＜0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
规律方法 1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示：
2．求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求F(x)＝f(x)－g(x)的近似解问题．
跟踪演练2 用二分法求2x＋ x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解 令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，
f(2)＝22＋2－4＞0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33＞0
(1,1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37＜0
(1.25,1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035＜0
(1.375,1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
答案 A
解析 ∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
2．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或x＝b
答案 B
解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f＝0，知选B.
3．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
答案 A
解析 由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．
4．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间( )
A. B. C. D．(1,2)
答案 C
解析 f＝－＜0，f＝－＜0，f＝－1＜0，f(1)＝1＞0，f(2)＝4＞0，
∴函数零点落在区间上．
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
答案 (2,2.5)
解析 f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5)．
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
一、基础达标
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
2．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表如示：
x
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
f(x)
1.16
1.00
0.68
0.24
－0.25
－0.70
－1.00
则函数f(x)的一个零点所在的区间是( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
答案 C
解析 ∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，
∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C.
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f(0.25)
B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75)
D．(0,0.5)，f(0.125)
答案 A
解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．
4．设方程2x＋2x＝10的根为β则β属于( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点．f(0)＝－9，f(1)＝－6，
f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)＜0.∴β∈(2,3)．
5．函数y＝x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
答案 D
解析 设f(x)＝lg x－x，经计算f(1)＝－＜0，f(2)＝lg 2－＞0，所以方程lg x－x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．
6．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是__________．
答案
解析 令f(x)＝ln x－2＋x，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，f＝ln －<0，∴下一个含根的区间是.
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．
解 由表中f(1.562 5)＝0.003，f(1.556 2)＝－0.029.
∴f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.
又|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，
∴一个零点近似值为1.562 5(不唯一)．
二、能力提升
8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C. D.
答案 D
解析 由于第一次所取的区间为[－2,4]，
∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，
第三次所取区间为
，，或.
9．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01?
答案 7
解析 设n次“二分”后精确度达到0.01，
∵区间(2,3)的长度为1，∴<0.01，即2n>100.
注意到26＝64<100,27＝128>100.
故要经过7次二分后精确度达到0.01.
10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
答案 4
解析 设等分的最少次数为n，则由＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值为4.
11．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．
解 图象如图所示，
因为f(0)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1＜0，所以f(1)·f(2)＜0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25＜0，所以f(1.5)·f(2)＜0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312 5＞0，所以f(1.5)·f(1.75)＜0，根x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．
三、探究与创新
12．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)．
解 令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点．
∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.416
(2,2.5)
2.25
0.061
(2,2.25)
2.125
－0.121
(2.125,2.25)
2.187 5
－0.030
∵2.25－2.187 5＝0.062 5＜0.1，
∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.
13．用二分法求的近似值(精确度0.1)．
解 设x＝，则x2＝5，即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5.
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以的近似值可取为2.25.
课件38张PPT。自主学习·基础知识易误警示·规范指导合作探究·重难疑点课时作业3．1.2 用二分法求方程的近似解
[学习目标] 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3.会用二分法求一个函数给在定区间内的零点．从而求得方程的近似解．(易混点)一、二分法的定义
对于在区间[a，b]上_______________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点_______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．连续不断且f(a)·f(b)＜0一分为二逐步逼近零点二、二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下
(1)确定区间[a，b]，验证___________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)，
若f(c)＝0，则__________；
若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈_______)；
若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈_______)．f(a)·f(b)＜0c就是零点(a，c)(c，b)(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4)．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×2．已知函数f(x)的图象如图3-1-1，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3【解析】 由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
【答案】 D
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为( )
A．[－2，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[1，2]
【解析】 由f(－2)·f(1)<0知初始区间可以取[－2，1]．
【答案】 A预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是( )(2)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx
【解析】 (1)A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.
(2)结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．
【答案】 (1)C (2)C二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．所以x0∈(6.75，7)．
再取区间(6.75，7)的中点x3＝6.875，
用计算器算得f(6.875)≈0.094，
因为f(6.75)·f(6.875)＜0，
所以x0∈(6.75，6.875)．
再取区间(6.75，6.875)的中点x4＝6.812 5，用计算器算得f(6.812 5)≈0.443，
因为f(6.812 5)·f(6.75)＜0，
所以x0∈(6.75，6.812 5)．由于|6.75－6.812 5|＝0.062 5＜0.1，
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算． 本题中将函数改为“f(x)＝log2x＋x－4”，试判断函数零点个数；并求零点的近似值．(精确度0.1)由图知，y1＝log2x与y2＝4－x的图象只有一个交点，因为f(2)＝log22＋2－4＝－1＜0，
f(3)＝log23＋3－4＝log23－1＞log22－1＝0，
所以函数f(x)＝log2x＋x－4只有一个零点，在区间(2，3)内．
取区间(2，3)的中点x1＝2.5，
用计算器算得f(2.5)≈－0.178，
因为f(2.5)·f(3)＜0，
所以x0∈(2.5，3)．
再取区间(2.5，3)的中点x2＝2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.209，
因为f(2.5)·f(2.75)＜0，
所以x0∈(2.5，2.75)．
再取区间(2.5，2.75)的中点x3＝2.625，
用计算器算得f(2.625)≈0.017，
因为f(2.5)·f(2.625)＜0，
所以x0∈(2.5，2.625)．
再取区间(2.5，2.625)的中点x4＝2.562 5，
用计算器算得f(2.562 5)≈－0.080，因为f(2.562 5)·f(2.625)＜0，
所以x0∈(2.562 5，2.625)．
由于|2.625－2.562 5|＝0.062 5＜0.1，
所以函数f(x)＝log2x＋x－4零点的近似值可取2.562 5.用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
【思路探究】 构造函数f(x)＝2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论
【解】 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：1．根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
2．对于解方程f(x)＝g(x)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0.上述两条的函数方程可采用二分法求得零点的近似值．
3．确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．对精确度理解不准确致误
用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度0.1)．
【易错分析】 解答本题的易错点是对“精确度0.1”理解不正确，忽视阴影处区间长度与精确度的比较，无法确定零点最终所在区间导致错误．
【防范措施】 要时刻关注区间两个端点之差的绝对值，只有此值小于精确度ε时，才能停止计算，否则还要继续计算下去．如本例区间(2.2，2.25)的长度为0.05，它小于给定的精确度0.1，所以此区间内任意实数都可以作为原方程的近似解．
【解】 令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2，2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，
所以x0∈(2.2，2.3)．再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，
所以x0∈(2.2，2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
因此原方程的近似正解可取为2.25.[类题尝试] 计算f(9.5)≈0.030 4，
因为f(9)f(9.5)＜0，
所以零点x0∈(9，9.5)．
取区间(9，9.5)的中点x2＝9.25，
计算f(9.25)≈－0.006 8，
因为f(9.25)f(9.5)＜0，
所以零点x0∈(9.25，9.5)．
取区间(9.25，9.5)的中点x3＝9.375，
计算f(9.375)≈0.012 0，因为f(9.25)f(9.375)＜0，
所以零点x0∈(9.25，9.375)．
取区间(9.25，9.375)的中点x4＝9.312 5，
计算f(9.312 5)≈0.002 6，
因为f(9.25)f(9.312 5)＜0，
所以零点x0∈(9.25，9.312 5)，
因为|9.312 5－9.25|＝0.062 5＜0.1，
所以原函数零点的近似值可取为9.312 5.
【答案】 9.312 5(不唯一)课件26张PPT。第三章——函数的应用3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解[学习目标]
1.能用二分法求出方程的近似解.
2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.栏目索引
CONTENTS PAGE 1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？[预习导引]
1.二分法的定义
对于在区间[a，b]上 且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.连续不断f(a)·f(b)＜0一分为二零点2.二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则 就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈ ).f(a)·f(b)＜0c(a，c)③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈ ).
(4)判断是否达到精确度ε：即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).(c，b)|a－b|＜ε 课堂讲义 重点难点，个个击破要点一 二分法概念的理解
例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )解析 按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.
答案 A规律方法 1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )解析 函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.B(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.
A.①② B.①③ C.①④ D.①②③
解析 由二分法的意义，知选A.A要点二 用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.规律方法 1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示：2.求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求F(x)＝f(x)－g(x)的近似解问题.跟踪演练2 用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：解 令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，
f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375. 当堂检测 当堂训练，体验成功12345A1.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A.[－2,1] B.[－1,0] C.[0,1] D.[1,2]
解析 ∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.123451234512345答案 B123453.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为( )
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)
C.(1.5,2) D.不能确定
解析 由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).A12345C123455.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.
解析 f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5).(2,2.5)课堂小结
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
