几类不同增长的函数模型
一、选择题
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50 B．y＝1 000x
C．y＝2x－1 D．y＝ln x
【解析】 指数函数模型增长速度最快，故选C.
【答案】 C
2．今有一组数据如下：
t
2
3
4
5
6
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
【解析】 ∵log24＝2可排除A；log4＝－2，可排除B；2×6－2＝10；可排除D.代入一些数据检验知C最接近．
【答案】 C
3．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lgx B．2x>lgx>x
C．x>2x>lgx D．lgx>x>2x
【解析】 如图所示，由图可知当x∈(0，1)时，2x>x>lgx.
【答案】 A
4．某商品降价20%，由于原材料上涨，欲恢复原价，则需提价( )
A．10% B．15%
C．20% D．25%
【解析】 设该商品原价为a，需提价x，依题意得
a(1－0.2)(1＋x)＝a，
∴＋x＝1，
得x＝＝25%，故选D.
【答案】 D
二、填空题
5．已知甲、乙两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函数表达式为________．
【解析】 当0≤t≤2.5时s＝60t，当2.5＜t＜3.5时，s＝150，当35≤t≤6.5时，t＝150－50(t－3.5)＝325－50t，
综上所述，s＝
【答案】 s＝
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
【解析】 当v＝12 000时，2 000×ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
【答案】 e6－1
7．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量x(kg)与运费y(元)由图3-2-4的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为________．
图3-2-4
【解析】 设y＝kx＋b，将点(30，330)、(40，630)代入得y＝30x－570，令y＝0，得x＝19.故最大质量为19 kg.
【答案】 19 kg
三、解答题
8．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
【解】 据表中数据作出散点图如图
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
不妨将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
9．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图3-2-5(1)、图(2)所示．
图(1) 图(2)
图3-2-5
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．
【解】 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，
把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1，y2得
k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，
即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，即便民卡便宜；
当x>96时，y1
1．(2014·郑州高一检测)某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【解析】 取x＝1，2，3代入各选项函数解析式中检验即可．
【答案】 C
2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是( )
【解析】 兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点．故选B.
【答案】 B
图3-2-6
3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3-2-6所示．现给出下列说法：
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
【解析】 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
【答案】 ②④
4．(2014·阜阳高一检测)有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲中心健身活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元，试求f(x)和g(x)．
(2)问：选择哪家比较合算？为什么？
【解】 (1)f(x)＝5x，15≤x≤40，
g(x)＝
(2)当5x＝90时，x＝18，
即当15≤x＜18时，f(x)＜g(x)；
当x＝18时，f(x)＝g(x)，
当18＜x≤40时，f(x)＞g(x)；
所以当15≤x＜18时，选甲比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当18＜x≤40时，选乙比较合算．
3．2.1 几类不同增长的函数模型
[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
[预习导引]
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐
渐变陡
随x增大逐
渐变缓
随n值
而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
要点一 函数模型的增长差异
例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝10 000x B．y＝log2x
C．y＝x1 000 D．y＝x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2010
2011
2012
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
解
跟踪演练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解 (
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
一、基础达标
1．下列函数中，增长速度最慢的是( )
2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为( )
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9m D．y＝(1－0.150x)m
4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件．
6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
7．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解
二、能力提升
8．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是( )
A．2x＞x＞lg x B．2x＞lg x＞x
C．x＞2x＞lg x D．x＞lg x＞2x
9.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解
三、探究与创新
12．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明．
(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
解
13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10 lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解
3．2.1 几类不同增长的函数模型
[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
[预习导引]
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐
渐变陡
随x增大逐
渐变缓
随n值
而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
要点一 函数模型的增长差异
例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝10 000x B．y＝log2x
C．y＝x1 000 D．y＝x
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
答案 (1)D (2)y2
解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快．
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜xn＜ax.
跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
答案 A
解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数．
要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2010
2011
2012
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，
可得解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42.
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．
规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．
2．理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
跟踪演练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知
曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x，
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
答案 D
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
答案 B
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.
方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
答案 A
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，
得y＝300.
5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．
答案 y＝－x＋50(0＜x＜200)．
解析 设解析式为y＝kx＋b，
由解得k＝－，b＝50，
∴y＝－x＋50(0＜x＜200)．
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
一、基础达标
1．下列函数中，增长速度最慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x
答案 B
解析 对数函数增长的越来越慢，故选B.
2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为( )
答案 B
解析 ∵v1＜v2，
∴前半段路程用的时间长．
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9m D．y＝(1－0.150x)m
答案 C
解析 设每年湖水量为上一年的q%，
则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9.
∴x年后的湖水量为y＝0.9m.
4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
答案 C
解析 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件．
答案 1.75
解析 由
得
∴y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75万件．
6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
答案 ②④
解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
7．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，
旅游收费y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)a＝(x＋3)a；
乙旅行社收费：y＝(x＋2)a.
∵(x＋2)a－(x＋3)a＝(x－1)a，
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．
当x＞1时甲旅行社更优惠．
二、能力提升
8．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是( )
A．2x＞x＞lg x B．2x＞lg x＞x
C．x＞2x＞lg x D．x＞lg x＞2x
答案 A
解析 ∵x∈(1,2)，
∴2x＞2.
∴x∈(1，)，
lg x∈(0,1)．
∴2x＞x＞lg x.
9.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
答案 B
解析 取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．
10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
答案 e6－1
解析 由题意2 000ln＝12 000.
∴ln＝6，从而＝e6－1.
11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解 (1)设V＝k·log3，
∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，∴Q＝2 700，
所以，一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．
三、探究与创新
12．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明．
(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
解 设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，
∵y1＜y2，
∴应选择方案二处理污水．
(2)当x＝6 000时，y1＝114 000，
y2＝108 000，
∵y1＞y2，
∴应选择方案一处理污水．
13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10 lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L2＝10 lg＝10 lg 1＝0(分贝)；
耳语的强度水平为
L3＝10 lg＝10 lg102＝20(分贝)；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10lg＝10lg104＝40(分贝)；
(2)由题意知0≤L1＜50，
即0≤10lg＜50，
所以1≤＜105，
即1×10－12≤I＜1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I的范围为
[1×10－12,1×10－7)．
课件31张PPT。自主学习·基础知识易误警示·规范指导合作探究·重难疑点课时作业3．2.1 几类不同增长的函数模型
[学习目标] 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)一、三种函数模型的性质变陡变缓二、三种函数的增长速度的比较
1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是_________，但__________不同，且不在同一个“档次”上．
2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会_________．
3．存在一个x0，使得当x>x0时，有___________ ．增函数增长速度越来越慢logax(1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．( )
(2)当x＞100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．( )
(3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
【解析】 结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
【答案】 C3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.
【答案】 D4．已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．
【解析】 ∵[1－3(x＋1)]－(1－3x)＝－3，
∴当x增加1个单位时，y减少3个单位．
【答案】 减少3个单位预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
【解析】 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2 015·2x增长速度最快．(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
【答案】 (1)D (2)C1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．
2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．
3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【解】 借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
【解】 (1)设工厂每月生产x件产品时，方案一的利润为y1元，方案二的利润为y2元，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水．
(2)当x＝6 000时，y1＝114 000，y2＝108 000，
∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图3-2-1所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 015)，g(2 015)的大小．
【思路探究】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，
∴x1＜6＜x2，2 015＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 015)＞g(2 015)．
又g(2 015)＞g(6)，
∴f(2 015)＞g(2 015)＞g(6)＞f(6)．根据图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数．本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a、b的值，并说明理由．
【解】 a＝1，b＝9.理由如下：
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点．由于φ(x)在[1，13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1，2]，x2∈[9，10]．因此，a＝1，b＝9.1．常见的函数模型及增长特点．
(1)直线y＝kx＋b(k＞0)模型，其增长特点是直线上升；
(2)对数函数y＝logax(a＞1)模型，其增长缓慢；
(3)指数函数y＝ax(a＞1)模型，其增长迅速．
2．函数模型选取的择优意识
解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．
图形信息题的求解误区
(2014·福建高一检测)如图3-2-2，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【易错分析】 不能准确的从图形中提取信息，不会把水的高度的变化速度与图象的变化趋势结合起来，是本题的求解误区．
【防范措施】 (1)要根据几何体的结构特征判断水面的高度h和时间t之间的关系，判断h变化速度的快慢．
(2)准确把握常见函数模型的增长速度的差异和图象特征：增长速度越来越快的函数．图象如指数函数图象(下凸型)，增长速度越来越慢的函数，图象如对数函数图象(上凸型)【解析】 图1不对，因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的．
图2正确．因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面增加得慢，即图象应越来越来缓．
图3正确．球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图象先平缓再变陡．图4正确．图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，先快后慢，即图象先变陡再平缓．
【答案】 C[类题尝试]
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图3-2-3所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，
若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )【解析】 当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选B.
【答案】 B课件30张PPT。函数的应用3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标]
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.
2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.栏目索引
CONTENTS PAGE 1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功 预习导学
挑战自我，点点落实[预习导引]
1.三种函数模型的性质变陡变缓2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是 ，但 不同，且不在同一个“档次”上.
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会 .
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.增函数增长速度越来越慢 课堂讲义 重点难点，个个击破答案 D(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是________.
解析 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.y2规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜xn＜ax.跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2
解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.
答案 A要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.
2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.跟踪演练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1
的图象如图.
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
解 由函数图象特征及变化趋势，知
曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x，(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解 当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x).
函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长. 当堂检测 当堂训练，体验成功12345D1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A.y＝100x B.y＝log100x
C.y＝x100 D.y＝100x
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.123452.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A.2x＞x2＞log2x B.x2＞2x＞log2x
C.2x＞log2x＞x2 D.x2＞log2x＞2x
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.12345方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.
答案 B123453.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )12345解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.
答案 D123454.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，
得y＝300.A123455.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.
解析 设解析式为y＝kx＋b，12345课堂小结
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.