函数模型的应用实例
一、选择题
1．下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图；那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系，用下列哪个函数模型拟合最好？
图3-2-7
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
【解析】 结合图象的变化趋势可以看出，红豆生长时间与枝数的关系大约成指数函数关系，故选A.
【答案】 A
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图3-2-8所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
图3-2-8
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
【解析】 设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，
则解得
∴y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
∴营销人员没有销售量时的收入是300元．
【答案】 B
3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1 000个细胞时的时刻t最接近于( )
A．200 B．220 C．240 D．260
【解析】 由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n＝2，令n＝1 000，则2＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故答案应选A.
【答案】 A
4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
【答案】 D
二、填空题
5．(2014·徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.301 0)．
【解析】 设至少要洗x次，则≤，
∴x≥≈3.322，所以需4次．
【答案】 4
6．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如下图3-2-9表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________．
图3-2-9
【解析】 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y＝f(x)＝
【答案】 y＝f(x)＝
7．(2014·宿迁高一检测)如图3-2-10所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．
图3-2-10
【解析】 设四边形EFGH的面积为S，则
S＝13×3－2
＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，x∈(0，3]．
因为S＝－2(x－4)2＋32在(0，3]上是增函数，
所以当x＝3时，S有最大值为30.
【答案】 3 30
三、解答题
8．(2014·茂名高一检测)“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间．假设“学习曲线”符合函数t＝5log2(B为常数)，N(单位：字)表示某一英文词汇量水平，t(单位：天)表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间．
(1)已知某人练习达到40个词汇量时需要10天，求该人的学习曲线解析式．
(2)他学习几天能掌握160个词汇量？
(3)如果他学习时间大于30天，他的词汇量情况如何？
【解】 (1)把t＝10，N＝40代入t＝5log2，得10＝5log2，
解得B＝10.
所以t＝5log2(N＞0)．
(2)当N＝160时，t＝5log2＝5log216＝20(天)．
(3)当t＞30时，5log2＞30，
解得N＞640.
所以学习时间大于30天，他的词汇量大于640个．
9．某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图3-2-11所示的曲线．
图3-2-11
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
【解】 (1)由题图得，当t∈[0，1]时，函数的解析式为y＝kt，将M(1，4)代入得k＝4，∴y＝4t.
又当t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y＝，
将点(3，1)代入得a＝3，∴y＝.
综上有y＝f(t)＝
(2)由f(t)≥0.25，
解得≤t≤5.
∴服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝4个小时．
1．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
【解析】 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
【答案】 C
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
【解析】 若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．
【答案】 C
3．(2014·温州高一检测)某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于________．(取lg 2＝0.3进行计算)
图3-2-12
【解析】 由记录的部分数据可知
x＝1.6×1019时，y＝5.0，
x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b①
5．2＝alg(3.2×1019)＋b②
②－①得0.2＝alg，0.2＝alg 2.
所以a＝＝＝.
【答案】
4．设在海拔xm处大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是y＝Cekx，其中C，k是常量．已知某地某日在海平面的大气压强为1.01×105Pa，1 000m高空的大气压强为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．
【解】 将x＝0，y＝1.01×105，x＝1 000，y＝0.90×105分别代入y＝Cekx，得
即
将C＝1.01×105代入0.90×105＝Ce1 000k，得
0．90×105＝1.01×105e1 000k，即0.9＝1.01e1 000k.
两边取以e为底的对数(自然对数)，
得k＝ln≈－1.15×10－4，
所以y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将x＝600代入，得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600≈0.943×105.
答：在600m高空的大气压强约为0.943×105Pa.
3．2.2 函数模型的应用实例
[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．
[预习导引]
1．解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
2．数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
解决学生疑难点
要点一 用已知函数模型解决问题
例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解
跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
解
要点二 建立函数模型解决实际问题
例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解
跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝ ，N＝t，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求总利润y的最大值．
解
1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )
3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________．
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
一、基础达标
1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )
答
2．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离
x(km)
0＜x≤
500
500＜x≤
1 000
1 000＜x≤
1 500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )
A．30 B．40 C．50 D．60
4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
解
二、能力提升
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)．
10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下几种说法：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等．
其中正确的命题序号是________．
11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
三、探究与创新
12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min，那么降温到35℃时，需要多少时间？
解
13．今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt (P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)
解
3．2.2 函数模型的应用实例
[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．
[预习导引]
1．解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
2．数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
解决学生疑难点
要点一 用已知函数模型解决问题
例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解 (1)当0＜x≤10时，
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16＜x≤30时，f(x)单调递减，
f(x)＜－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5)．
因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．
(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，
则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，
故x＝6.
当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.
所以x＝17 .
因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为
17 －6＝11 ＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．
规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．
解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．
第二步：根据所给模型，列出函数关系式．
根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．
跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
解 当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，要耗油×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升．
要点二 建立函数模型解决实际问题
例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)
＝－x2＋x＝－(x2－200x)
＝－(x－100)2＋，
所以当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．
跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝ ，N＝t，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求总利润y的最大值．
解 (1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝(3－x)(亿元)，则有y＝＋(3－x)，x∈[0,3]．
(2)令＝t，t∈[0，]，则x＝t2，
此时y＝t＋(3－t2)＝－(t－1)2＋.
∵t∈[0，]，∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值为.
即总利润y的最大值是亿元．
1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
答案 B
解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )
答案 D
3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案 D
解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．
4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________．
答案
解析 S＝(3＋x)(2－)＝－＋＋6
＝－(x－)2＋，
∴x＝时，Smax＝.
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
一、基础达标
1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )
答案 C
解析 由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．
2．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离
x(km)
0＜x≤
500
500＜x≤
1 000
1 000＜x≤
1 500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
答案 C
解析 由题意可知，当x＝1 200时，y＝7.00元．
3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )
A．30 B．40 C．50 D．60
答案 C
解析 设安排生产x台，则获得利润
f(x)＝25x－y＝－x2＋100x
＝－(x－50)2＋2 500.
故当x＝50台时，获利润最大．
4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
答案 D
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.
5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－
＝x2＋(a－5)x－1 000(x＞0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
∴解得
6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
答案 甲
解析 对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，
对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．
7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
解 设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元(x为正整数)．
当x≤250时，y＝0.1×30×x＝3x.
当250≤x≤400时，
y＝0.1×20×x＋0.1×10×250－(x－250)×0.32×10
＝2x＋250－3.2x＋800
＝1 050－1.2x.
当x≥400时，
y＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x－400)×0.32×20－(x－250)×0.32×10
＝800＋250－6.4x＋2 560－3.2x＋800
＝－9.6x＋4 410.
当x≤250时，取x＝250，ymax＝3×250＝750(元)．
当250≤x≤400时，取x＝250，ymax＝750(元)．
当x≥400时，取x＝400，ymax＝570(元)．
故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．
二、能力提升
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
答案 C
解析 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则
a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，
∴＝，t1＝75.
9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)．
答案 36.72
解析 当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg ＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72.
10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at，有以下几种说法：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等．
其中正确的命题序号是________．
答案 ①②
解析 由图象知，t＝2时，y＝4，
∴a2＝4，故a＝2，①正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，
当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，
当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.
t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；
浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．
11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解 设该店月利润余额为L，则由题设得：
L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000.①
由销量图易得：Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450(元)，
此时P＝19.5(元)；
当20＜P≤26时，Lmax＝(元)，此时P＝(元)．
故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元．
(2)设可在n年后脱贫，依题意有
12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．
三、探究与创新
12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min，那么降温到35℃时，需要多少时间？
解 由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝，解得h＝10.
故T－24＝(88－24)·.
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·，
即＝.
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25 min，可降温到35℃.
13．今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt (P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)
解 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k.
解得k＝－ln 0.9(或0.022)．
(2)由(1)得，知P＝.
当P＝40%P0时，有0.4P0＝.
解得t＝≈＝≈41.82.
故污染物减少到40%至少需要42小时．
课件37张PPT。自主学习·基础知识解题模板·规范示例合作探究·重难疑点课时作业3．2.2 函数模型的应用实例
[学习目标] 1.会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2.能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题(重点、难点)．一、几类函数模型二、应用函数模型解决问题的基本过程2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有1个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
【解析】 分裂一次后由1个变成2个，分裂两次后2×2＝22个，……，分裂x次后y＝2x个．
【答案】 C3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．600只 D．700只
【解析】 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
【答案】 A预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)(2)渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
①写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
②求鱼群年增长量的最大值．【解析】 (1)由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
2．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数模型后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．【思路探究】 由收费标准可知，水费与用水量之间存在两种不同对应关系，所以应分类讨论，建立分段函数模型．
1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．
2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起． 已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．【解】 (1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)．它的图象如图(1)所示．(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．
2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基数，p为增长率，x为时间)的形式．本题中为了达到比较理想的睡眠环境声强I的取值范围是什么？1．解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决问题．解决问题时要注意自变量的取值范围．
2．(1)解应用题的一般思路可表示如下： (2)解应用题的一般步骤：
①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；
②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；
③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；
④答：将数学结论还原为实际问题的结论．拟合函数模型的建立与应用
(12分)某企业常年生产一种出口产品，自2010年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2010年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：(1)画出2010～2013年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2014年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量为多少？∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化.8分
(3)根据所建的函数模型，预计2014年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2014年的年产量为7万件.12分函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．[类题尝试]
(2014·安徽师大附中期中)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x【解析】 当x＝4时，A中，y＝400，B中，y＝700，C中，y＝800，D中，y＝1004.故选C.
【答案】 C课件32张PPT。第三章——函数的应用3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例[学习目标]
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.栏目索引
CONTENTS PAGE 1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功 预习导学 挑战自我，点点落实[预习导引]
1.解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：2.数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述. 课堂讲义 重点难点，个个击破要点一 用已知函数模型解决问题
例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
解 当0＜x≤10时，
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16＜x≤30时，f(x)单调递减，
f(x)＜－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
解 f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5).
因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些.(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解 当0＜x≤10时，令f(x)＝55，
则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，
故x＝6.
当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.
解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景.在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题.第二步：根据所给模型，列出函数关系式.
根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.
第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答.要点二 建立函数模型解决实际问题
例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；解 由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示.(2)求总利润y的最大值. 当堂检测 当堂训练，体验成功12341.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元 B.300元
C.390元 D.280元1234解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
答案 B12342.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )D12343.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A.y＝2x B.y＝2x－1
C.y＝2x D.y＝2x＋1
解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个.D1234课堂小结
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.* 3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.
