2.3.1直线与平面垂直的判定
课前预习学案
一、预习目标：
借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．
?问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？
问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么
直线与直线垂直是的定义________________________________________________________________
?思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
（1）探究出直线与平面垂直的判定定理
（2）利用定理解决实际问题
学习重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
学习难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、学习过程
1、探究判定定理
学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
????????????????
问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
?
问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？
?
思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？
如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
问题3：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证?，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？
直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）
问题4： （1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么??
2、直线与平面垂直判定定理的应用
?如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？
?
思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．
练习：如图７，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．
?
求证：AC⊥平面VKB
思考：
?(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
?(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
? (3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，对吗？
3、当堂检测设计
?1．课本探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．
?2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．
? ?
3．课本练习2
课后练习与提高
1．下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ）
若且，则 若且，则
若且，则 且，则
2．已知直线a、b和平面M、N，且，那么 （ ）
（A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M
（C）N⊥Ma∥N （D）
3．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 （ ）
线段 线段
的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段
4．三条不同的直线，、、为三个不同的平面
①若∥ ②若∥.
③若、 ④若∥
上面四个命题中真命题的个数是
5．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，
（1）求证：平面； （2）求证：
（3）若，求证：平面
参考答案1B2A34②④5略
2. 3.1直线与平面垂直的判定
【教学目标】
?1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
?2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
【教学重难点】
教学重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
教学难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
【教学过程】
1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象
?问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
?问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．
?设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义．
2.提炼直线与平面垂直的定义
?问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？
?设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？
?问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
?(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
?(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么
设计意图：主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．
?（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
?思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
?（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)
?设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法．
?通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法．
?3.探究直线与平面垂直的判定定理
?创设情境? 猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？
设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理．
?学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
????????????????
问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
? （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）
?设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直．
?问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？
对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）
?设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线．
问题7：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证
?，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？
?设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．
?根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．
?（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
?问题8：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么??
设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.
?思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？
如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
?设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解．
?4.直线与平面垂直判定定理的应用
?如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？
??
思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．?（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）
?设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．
练习：如图７，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．
?
求证：AC⊥平面VKB
思考：
?(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
?(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
? (3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，对吗？
?设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理． 3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通．
5.总结反思，当堂检测
（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．
（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？
? 检测设计
?1．课本探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．
?2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．
? ?
【板书设计】
一、直线与平面垂直的定义
二、直线与平面垂直的判定定理
三、例题
例1
变式1
【作业布置】课本练习2
2．3.1 直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直．
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α.
如右图所示，PA⊥CD，ABCD是正方形，求证：CD⊥平面PAD.
证明：因为PA⊥CD，又ABCD是正方形，所以AD⊥CD，又PA与AD相交，所以CD⊥平面PAD.
2．直线与平面所成的角．
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．
(3)直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．
直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？
答案：能
两条直线垂直就一定相交吗？
答案：错
?思考应用
1．“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面．”这个结论对吗？
解析：不正确．实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．
2．异面直线所成的角的定义及范围是什么？
解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a与b所成的角，在空间中任取一点O，过O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0°，90°]．
1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(A)
A．①③ B．② C．②④ D．①②④
解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．
2．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是(A)
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：AB与平面α所成的角，即AB与其在平面α射影所成的角，由已知得为60°.
3．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是(D)
A．l?α B．l与α相交
C．l∥α D．都有可能
4．已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是(D)
A．存在无数个平面与a，b都平行
B．存在一个平面与a，b等距离
C．存在无数条直线与a，b都垂直
D．存在一个平面与a，b都垂直
5．三条直线两两垂直，下列四个命题：
①三条直线必共点；
②其中必有两条直线是异面直线；
③三条直线不可能在同一平面内；
④其中必有两条直线在同一平面内．
其中真命题的序号是③．
解析：两条直线垂直不一定相交，只有③正确．
1．下列说法中错误的是(D)
①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；
②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；
③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；
④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．
A．①② B．②③④
C．①②④ D．①②③
解析：由线面垂直的判定定理可得①②③错误．
2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(B)
A．(0°，90°) B．[0°，90°]
C．[0°，180°] D．[0°，180°)
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：取AD的中点F，连接EF、BF，
则EF∥PA，
由侧棱PA⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
则∠EBF为BE与平面ABCD所成角．
答案：
4．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．
答案：垂直
5．给出下列命题：
①若直线a⊥平面α，且直线a⊥直线b，则b⊥平面α；
②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
③如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
其中正确命题的序号是________．
解析：解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义，对不正确的命题，可通过举反例说明．①b与平面α可以平行或者b?α.②直线垂直于平面α内的无数条平行直线时，直线与平面不一定垂直．③由反证法可知正确．
答案：③
6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．
解析：由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.
又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC.
又AC?平面PAC，所以BD⊥AC.
又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．
答案：菱形
7．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的(D)
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
解析：连接AH并延长交BC于D，如图所示．
由于PH⊥平面ABC，则BC⊥PH，
又PA⊥PB，PA⊥PC，则PA⊥平面PBC，
所以BC⊥PA.
所以BC⊥平面PAD，又AH?平面PAD，所以AH⊥BC.
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，所以垂足H是△ABC的垂心．
8．如图，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．
(1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)证明：EF⊥平面PAB.
证明：(1)∵PH为△PAD中的高，∴PH⊥AD.
又AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，
∴PH⊥AB，AB∩AD＝A.
∴PH⊥平面ABCD.
(2)取PA的中点Q，连接EQ，DQ，
∵E是PB的中点，
∴EQ∥AB且EQ＝AB.
又DF＝AB且DF∥AB，
∴EQ綊DF，∴四边形EQDF是平行四边形．
∴EF∥DQ.
由(1)知AB⊥平面PAD，
∴AB⊥DQ.
又∵PD＝AD，∴DQ⊥PA.
∵PA∩AB＝A，∴DQ⊥平面PAB.
∵EF∥DQ，∴EF⊥平面PAB.
9．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.
(1)求证：AB⊥平面ADE；
(2)求凸多面体ABCDE的体积．
(1)证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.
∵AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE.
(2)解析：
在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝6，
∴DE＝＝3.
如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB.
∵AD∩AB＝A，
∴EF⊥平面ABCD.
∵AD·EF＝AE·DE，
∴EF＝＝＝.
又正方形ABCD的面积S正方形ABCD＝36，
∴V多面体ABCDE＝VEABCD＝S正方形ABCD·EF＝×36×＝18.
故所求凸多面体ABCDE的体积为18.
1．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”，“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，这是关键．
2．判定线面垂直的两种方法：
(1)线面垂直的定义；
(2)线面垂直的判定定理．
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于( )
A．40° B．50°
C．90° D．150°
解析：∵a∥b，直线a与平面α所成的角即为直线b与平面α所成的角．
答案：B
2．下列表述正确的个数为( )
①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；
②若直线a?平面α，b?α，且a⊥b，则a⊥α；
③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内，②中a与α还可能平行或斜交，③中a还可能在平面α内．
答案：A
3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能有一个，也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析：当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．
答案：B
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是
( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：如图所示，作PD⊥BC于D，连AD.
∵PA⊥△ABC，∴PA⊥CD.
∴CB⊥面PAD，∴AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，
∴PD＝ ＝4.
答案：D
5.在三棱锥V-ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)
解析：只要VC⊥面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．
答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)
6.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有_______________________________________；
(2)与AP垂直的直线有_______________________________________．
解析：(1)∵PC⊥面ABC，AB，AC，BC?平面ABC.
∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
7．如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．
解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥AB，
又因为MA⊥AC，AB、AC?平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC，
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角，
又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，
所以sin∠MCA＝＝＝.
8.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，
求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，
∴NE∥CD且NE＝CD，
而AM∥CD，
且AM＝AB＝CD，
∴NE∥AM且NE＝AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，而AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，又AE∥MN，
∴MN⊥CD.
(2)由(1)可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，
∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，
∴MN⊥平面PCD.
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：
①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；
③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥平面EAB．
11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD．
能力提升
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．
13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；
(2)PQ⊥SC．
1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直?线面垂直”．
2．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．
3．线线垂直的判定方法
(1)异面直线所成的角是90°．
(2)线面垂直，则线线垂直．
§2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．3．1 直线与平面垂直的判定
答案
知识梳理
1．(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面
(2)两条相交直线 a?α b?α a∩b＝A
2．(1)射影 锐角 ∠PAO
(2)0° [0°，90°]
作业设计
1．B [只有④正确．]
2．D
3．C [取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C．]
4．B [易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]
5．A [?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]
6．A [PO⊥面ABC．
则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，
OA＝OB＝OC，
O为△ABC外心．
只有③正确．]
7．(1)45° (2)30° (3)90°
解析
(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．
(2)连接A1D、AD1，交点为O，
则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，
∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，
∵A1O＝A1B，
∴∠A1BO＝30°．
(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B与面AB1C1D所成的角为90°．
8．∠A1C1B1＝90°
解析
如图所示，连接B1C，
由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，
即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．
(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
9．90°
解析 ∵B1C1⊥面ABB1A1，
∴B1C1⊥MN．
又∵MN⊥B1M，
∴MN⊥面C1B1M，
∴MN⊥C1M．
∴∠C1MN＝90°．
10．证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD．
(2)取PD的中点G，连接AG，FG．
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
∴GF綊CD，∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF．
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．
12．证明 连接AB1，CB1，设AB＝1．
∴AB1＝CB1＝，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．
连接PB1．
∵OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
∴OB＋OP2＝PB．∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，
∴B1O⊥平面PAC．
13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC．
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵AQ?平面SAB，
∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，
∴AQ⊥平面SBC．
(2)∵AQ⊥平面SBC，SC?平面SBC，
∴AQ⊥SC．
又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，
∴SC⊥平面APQ．∵PQ?平面APQ，∴PQ⊥SC．
课件52张PPT。点、直线、平面之间的位置关系第二章2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定1．在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：①等腰三角形底边上的中线__________底边；②菱形对角线互相__________；③正方形对角线互相__________；④圆的直径所对圆角等于__________.
2．在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)反证法．●知识衔接垂直平分垂直平分垂直平分90°1．直线与平面垂直●自主预习任意一条垂线垂面垂足
[破疑点] (1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
2．判定定理相交a∩b＝P垂直
[破疑点] 直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．3．直线和平面所成的角
(1)定义：一条直线和一个平面________，但不和这个平面________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引______，过________和________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．相交垂直交点垂线垂足斜足锐角90°0°1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
[答案] A
[解析] ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，
又∵m?α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．●预习自测2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
[答案] D
[解析] 如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D．3.如右图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
[答案] A
[点评] 垂线段、斜线段及其射影构成直角三角形．4．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BDD1B1.
[分析] 转化为证明AC⊥BD，AC⊥BB1.[证明] ∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴BB1⊥平面AC，
又AC?平面AC，∴BB1⊥AC．
又四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1. 如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.线面垂直的判定●互动探究
[探究] 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．
[证明] (1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．
(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC．
(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，
∴PC⊥平面AEF. 规律总结：线面垂直的判定定理的应用
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：
①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论．
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
[探究] 题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用．
[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC．
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC． 规律总结：利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤：
(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．线面角[探究] 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求． 规律总结：求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．[答案] D 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．
(1)求证：EF⊥平面PAB；线面垂直的综合应用●探索延拓
[探究] (1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EF⊥PB，EF⊥AF，所以本题得证；(2)要求线面角，得先找出或作出这个角．根据条件易得BP⊥平面EFA．故在△BEF中，只需过AC与BE的交点G作BF的平行线GH，则GH⊥平面EFA，∠GAH为所求角．[解析] (1)证明：连结BE，EP.
∵ED＝CE，PD＝AD＝BC，
∴Rt△PDE≌Rt△BCE，∴PE＝BE.
∵F为PB中点，∴EF⊥PB．
∵PD⊥底面ABCD，DA⊥AB，∴PA⊥AB．
在Rt△PAB中，∵PF＝BF，∴PF＝AF.
又∵PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA．
∵PB∩AF＝F，∴EF⊥平面PAB． 规律总结：(1)中还可取AB中点Q，连结EQ，FQ，证明AB⊥平面EFQ，则AB⊥EF，加上EF⊥PB，则EF⊥平面PAB．(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．[探究] 根据PA⊥平面ABM，证得BM⊥平面PAM，再利用线面垂直的判定定理证明AN⊥平面PBM.而证线线垂直，可先证线面垂直．
[证明] (1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
又AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，∴AN⊥PB．
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
规律总结：证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关键，同时注意判定定理的条件． 已知四边形ABCD中，四个角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角，求证：四边形ABCD是矩形．
[错解] ∵四边形ABCD中，四个角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角，∴四边形ABCD是矩形．
[错因分析] 把ABCD当作平面四边形(未加共面证明)就得出结论． 易错点一 在几何题的证明中，只考虑平面情形，而忽略空间情形●误区警示[思路分析] 四边形ABCD有两种存在形式：平面四边形ABCD和空间四边形ABCD，需分类证明．
[正解] 当四边形ABCD是平面图形时，它显然是矩形．若四边形ABCD是空间四边形时，可设点C在平面ABD之外．如图，过点C作CC1⊥平面ABD，则AB⊥面BCC1，∴∠ABC1＝90°.同理，∠ADC1＝90°.如图所示，a∥b，点P在a，b所确定的平面外，PA⊥a于点A，AB⊥b于点B．求证PB⊥b.
[错解] ∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b，
∴PA⊥平面α，∴PB⊥b.
[错因分析] 上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由PA⊥a，PA⊥b，得PA⊥α，忽略了a与b不相交．
[正解] ∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b.
又∵AB⊥b，且PA∩AB＝A，∴b⊥平面PAB．
又∵PB?平面PAB，∴PB⊥b.
1．若直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．斜交或在平面内 D．以上均有可能
[答案] D
[解析] ∵a与α内的两条直线垂直，而这两条直线的位置关系不确定，∴a与α可能平行、垂直、斜交或a在α内．2．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直( )
A．①③ B．①②
C．②④ D．①④
[答案] A
[解析] 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.3．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 只有④正确．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________.
[答案] 45°[解析] 如图所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°. 规律总结：求直线与平面所成的角的关键是找出平面的垂线，从而找出直线在平面内的射影．课件15张PPT。直线和平面垂直的判定
如果一条直线 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 和平面 互相垂直。记作一、概念：1、定义：叫做 的垂线叫做 的垂面3、相关概念：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。关键：由线线垂直转化为线面垂直二、判定定理：例1.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。证明：设m是 内的任意一条直线。???例2.已知AB、CD是两条不在同一个平面内的线段，且AC=AD，BC=BD，
求证：AB⊥CD.例3 MN与异面直线a、b均垂直相交，且a、b 均平行于面 ，求证：MN⊥面例4. 已知E、F分别是正方形ABCD边
AD，AB的中点，EF交AC于M，GC
垂直于ABCD所在平面。
求证：EF⊥平面GMC；
例5 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，O为底面ABCD 的中心，B'H⊥D'O，H是垂足，求证：B'H⊥平面AD'C；一、直线与平面的位置关系
1、直线在平面内
2、直线与平面平行
3、直线与平面相交
2、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角直线和平面所成的角：直线和平面所成的角：1)2)3)是平面的一斜线与它在平面内的射影的夹角关键在于作线面垂直找射影特例：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影O1) P到三顶点距离相等3) P到三边AB、BC、AC距离相等2) 对棱相互垂直PA、PB、PC两两垂直D1DCBAC1B1A1P66 探究归纳小结2、线面垂直的判定定理1、线面垂直的定义3、证明线面垂直(1)由线面垂直得到线线垂直；(2)由线线垂直得到线面垂直；体现了转化的思想
