2.3.2平面与平面垂直的判定
课前预习学案
一、预习目标：（1）明确角的定义及推广。
（2）初步知道什么是二面角。
二、预习内容
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
问题3、二面角的有关概念
角
二面角
图形
A
边
顶点 O B
边
A
β
棱 l
B α
定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
构成
射线 — 点（顶点）一 射线
表示
∠AOB
问题4、二面角如何度量？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
学习重点：平面与平面垂直的判定。
学习难点：找出二面角的平面角。
二、学习过程
（一）、二面角的平面角
1、 如何找出二面角的平面角？
2、二面角的平面角为 说明了什么？
（二）、平面与平面垂直的判定定理（文字，符号及图形表示）
（三）、定理的应用
例1（课本中的例3）
变式1、课本的探究问题
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC(平面PBD。
变式2、课本的练习
当堂达标测试
P81习题 2.3 A组 第4、6、7题, B组 第1题
课后练习与提高
1．过平面外两点且垂直于平面的平面 （ ）
有且只有一个 不是一个便是两个 有且仅有两个 一个或无数个
2．若平面平面，直线，,，则 （ ）
且 与中至少有一个成立
3．对于直线和平面，的一个充分条件是 （ ）
，
4．设表示三条直线，表示三个平面，给出下列四个命题：
①若，则；②若是在内的射影，，则；
③若，则； ④若，则． 其中真命题是 （ ）
①② ②③ ①③ ③④
5．如图正方体中，分别是的中点，
求证：平面平面。
6．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，为的中点，且，
（1）求证：平面平面
（2）求点到平面的距离
参考答案
1、D2、D3、B4、A 5，6（略）
2. 3.2平面与平面垂直的判定
【教学目标】
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
【教学重难点】
重点：平面与平面垂直的判定。
难点：找出二面角的平面角。
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角
二面角
图形
A
边
顶点 O B
边
A
β
棱 l
B α
定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成
射线 — 点（顶点）一 射线
半平面 一 线（棱）一 半平面
表示
∠AOB
二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求OA⊥L ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 图2.3-3
（三）实际应用,巩固深化
例1、（课本69页例3）设AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBC.
变式： 课本的探究问题
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC(平面PBD。
说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BC⊥平面PAC和BD⊥平面PAC是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直线面垂直面面垂直”转化途径进行．
变式. 课本的练习
（四）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（五）当堂检测
P81习题 2.3 A组 第4、6、7题, B组 第1题
【板书设计】
二面角的概念
两个平面垂直的定义
两个平面垂直的判定定理
三种形式描述
例1
例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1．二面角．
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．
如图，记作：二面角αlβ或PABQ或PlQ．
(2)二面角的平面角．
如图，二面角αlβ，
若有：①O∈l；
②OA?α，OB?β；
③OA⊥l，OB⊥l.
则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．
若α⊥β，a?α，则a⊥β，对吗？
答案：错
若α⊥β，a?α，b?β，a⊥b，则a⊥β，对吗？
答案：错
若a∥b，a⊥α，则b⊥α，对吗？
答案：对
2．面面垂直．
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
记作：α⊥β．
(3)面面垂直的判定定理．
文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
符号表示：?α⊥β
?思考应用
1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
解析：如图，在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′，OB∥O′B′，所以∠AOB与∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，即∠AOB＝A′O′B′.
上述结论说明了按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关．
2．应用面面垂直的判定定理的关键是什么？
解析：应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(D)
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．
2．下列说法：
①二面角的大小是用平面角来度量的；
②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的；
③二面角的大小由其平面角的顶点在棱上的位置确定．
其中正确说法的个数是(C)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由二面角的定义可知，①②正确；③不正确．
3．已知a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，则(D)
A．α⊥β B．α与β相交
C．α∥β D．以上都有可能
4．若平面α与平面β不垂直，那么α内能与β垂直的直线(A)
A．有0条 B．有一条
C．有2条 D．有无数条
5．若α∥β，a⊥α，则a与β的位置关系是垂直．
1．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(B)
A．相等 B．互补
C．互余 D．无法确定
解析：如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角αlβ的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(C)
A．有一个 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
解析：经过l的任一平面都和α垂直．
3．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有(B)
A．8对 B．7对
C．6对 D．5对
解析：如图，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.
4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(D)
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交，但不垂直
D．以上都有可能
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(D)
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
6．将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为________．
解析：设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.
∴BD⊥CE，BD⊥A1E.
∴∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角．
∴∠A1EC＝60°.又A1E＝CE，
∴△A1EC是等边三角形．
∴A1E＝CE＝A1C＝a.
即折叠后点A到C之间的距离为a.
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为(C)
A. B. C. D.
解析：如图所示
连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，
∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，
A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝.
∴tan∠A1OA＝＝.
8．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和CC1于E，F两点．
(1)求证：A1E＝CF；
(2)若E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1.
证明：(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1，
又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
∴D1E∥BF，同理BE∥D1F，
∴四边形EBFD1为平行四边形，
∴D1E＝BF，
∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，
∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，
∴A1E＝CF.
(2)∵四边形EBFD1是平行四边形．AE＝A1E，FC＝FC1，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．
连接EF，BD1，A1C1
∵四边形EBFD1为菱形，
∴EF⊥BD1，
在正方体ABCDA1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，
∴B1D1⊥平面A1ACC1，又EF?平面A1ACC1，
∴EF⊥B1D1，又B1D1∩BD1＝D1，
∴EF⊥平面BB1D1，
又EF?平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1.
9．如图甲，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图乙．
(1)求二面角ABCD的正切值；
(2)求证：AD⊥平面BDE.
(1)解析：取AE中点O，BC中点F，连接DO，OF，DF(如图)．
由题知：AB＝2AD，DE＝EC，
∴AD＝DE，∴DO⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，
∴DO⊥平面ABCE，
又∵AB⊥BC，OF∥AB，
∴OF⊥BC，
由三垂线定理得DF⊥BC，
∴∠DFO为二面角ABCD的平面角．
在Rt△DOF中，DO＝a，OF＝＝a，
∴tan∠DFO＝＝.
即二面角ABCD的正切值是.
(2)证明：连接BE，则BE＝＝a，
又AE＝a，AB＝2a，∴AB2＝AE2＋EB2，
∴AE⊥EB.
由(1)知DO⊥平面ABCE，
∴DO⊥BE，
又∵DO∩AE＝O，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD，
又∵AD⊥DE，BE∩DE＝E，
∴AD⊥平面BDE.
1．二面角是从一条直线出发的两个半平面组成的图形．
其大小是用二面角的平面角来度量的．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两边分别与二面角的棱垂直．求二面角的平面角的难点和关键在于正确地作出二面角的平面角，其过程是“一作、二证、三计算”．
2．面面垂直的判定有两个方法，其一是根据定义，其二是根据判定定理．根据定义，判定实质上转化成了求二面角的平面角；根据判定定理判定面面垂直，难点和关键是在其中一个平面内找到另一个平面的垂线．
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是( )
A．AO⊥BO，AO?α，BO?β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO?α，BO?β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
答案：D
2．长方体ABCD—A1B1C1D1的六个面中，与平面AC垂直的面的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：平面AC是长方体的一个底面，四个侧面均与底面垂直．
答案：D
3.在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
解析：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．
答案：C
4．已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是( )
A. B.
C. D.
解析：如图，根据已知，BD＝CD＝，AD＝BC＝2.取BC中点为E，连接DE，AE.则DE⊥BC，AE⊥BC，∠DEA为所求．
∵AE＝DE＝ ＝.
∴AE2＋DE2＝AD2，∴∠AED＝.
答案：C
5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1个或无数个
6.如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，
则二面角α－AB－β的大小是________．
解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a，
∵∠BPM＝∠BPN＝45°，
∴△OPM≌△OPN，∴ON⊥AB，
∴∠MON为所求二面角的平面角，连接MN，
∵∠MPN＝60°，∴MN＝a，
又MO＝NO＝a，
∴MO2＋NO2＝MN2，
∴∠MON＝90°.
答案：90°
7．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC，求证：平面PAC⊥平面PBD.
证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵AO＝OC，PA＝PC，
∴PO⊥AC.
∵BD∩PO＝O，
∴AC⊥平面PBD.
又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.
8．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，
∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A′M＝M，
∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N?平面A′BE，
∴平面A′BE⊥平面BCDE.
2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β
3．设有直线M、n和平面α、β，则下列结论中正确的是( )
①若M∥n，n⊥β，M?α，则α⊥β；
②若M⊥n，α∩β＝M，n?α，则α⊥β；
③若M⊥α，n⊥β，M⊥n，则α⊥β．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为( )
A． B． C． D．
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
二、填空题
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
9．已知α、β是两个不同的平面，M、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①M⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④M⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．
三、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．
2．3．2 平面与平面垂直的判定 答案
知识梳理
1．两个半平面 这条直线 这两个半平面
2．垂足 ∠AOB
3．(1)直二面角 (2)垂线 a?α
作业设计
1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B．]
2．C
3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]
4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]
5．B [
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝，
∴∠BOD＝60°．]
6．C [
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴D正确．]
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．
因为EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
课件62张PPT。点、直线、平面之间的位置关系第二章2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.2 平面与平面垂直的判定1．直线与平面垂直的判定方法：①定义；②判定定理即：a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，__________，则a⊥α.
2．两平面的位置关系：____________．
3．角的定义：从平面内一点出发的两条________所成的图形．
4．线面角的定义：一条直线与它在平面内的_______所成的锐角或直角．●知识衔接b∩c＝A平行与相交射线射影
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面AC所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] D6．如右图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面________；直线BD⊥平面________；直线CD⊥平面________.
[答案] BDC ADC ABD1．二面角●自主预习半平面半平面棱面棱角平面角直角α－l－βP－l－Q
[破疑点] 二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角定量地反映了两个相交平面的位置关系．
[知识拓展] (1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作__________.
(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的__________垂直．如图所示．直二面角α⊥β横边(3)判定定理垂线l?β垂直
[破疑点] 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决．1．如图所示的二面角可记为( )
A．α－β－l B．M－l－N
C．l－M－N D．l－β－α
[答案] B●预习自测2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角是( )
A．∠ABC
B．∠ABB1
C．∠ABA1
D．∠ABC1
[答案] C
[解析] 3.如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有( )对
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．
又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．
∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD．
故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面ABCD⊥平面BDD1B1.
[证明] ∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，AB∩BC＝B，
∴BB1⊥平面ABCD．又BB1?平面 BDD1B1，
∴平面ABCD⊥平面BDD1B1. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
[探究] 1．证面面垂直关键让线面垂直，找平面的垂线．
2．平面A1B1M的垂线是谁？面面垂直的判定●互动探究 规律总结：证明平面与平面垂直的方法
根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC．求证：平面PAC⊥平面ABC．[分析] 设P在平面ABC内射影为O，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O为Rt△ABC的外心，即AC中点．
[证明] 取AC中点O，连接PO，OB．因为AO＝OC，PA＝PC，所以PO⊥AC．因为∠ABC＝90°，所以OB＝OA．又PB＝PA，PO＝PO，所以△POB≌△POA，所以∠POB＝∠POA，即PO⊥OB．所以PO⊥平面ABC．因为PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC． 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．
(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；
(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．求二面角的大小
[探究] 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．
[解析] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD．又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD．
又CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．
所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA．所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°. 规律总结：1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．大小关系不确定
[答案] C
[解析] 可作出这两个二面角的平面角，易知这两个平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补．(2)已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．[解析] 如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD．
设OC＝a，∵AO⊥α，BC?α，
∴AO⊥BC．又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD．
而AD?平面AOD，
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB?α，OC?α知AO⊥OB，AO⊥OC． 如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D－AP－C的正弦值；
(3)若M为PB的中点，求三棱锥M－ BCD的体积．线面、面面垂直的综合问题●探索延拓
[探究] 本题的题设条件有三个：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应作出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解．(2013·辽宁)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．
[分析] (1)要证面面垂直，只要证明平面PBC内的直线BC垂直于平面PAC；(2)要求二面角C－PB－A的余弦值，先作出它的平面角，再证明，最后计算．
[解析] (1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC．易错点 不能正确找出二面角的平面角●误区警示[错解] 过A在底面ABCD内作AE⊥CD于E，连接PE.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE.
又∵PE?平面PAE，∴CD⊥PE，
∴∠PEA为二面角P－CD－B的平面角．
(以下略)
[错因分析] 点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出．在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
[解析] ∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥AC，SA⊥BC，SA⊥AB，SA⊥BD．
由已知得SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC，
∴SC⊥BE，∴SC⊥平面BED，
∴SC⊥BD．
又∵BD⊥SA，SA∩SC＝S，
∴BD⊥平面SAC，∴BD⊥AC，BD⊥DE，
1．二面角是指( )
A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形
B．一个半平面与另一个半平面组成的图形
C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
D．两个相交的平行四边形组成的图形
[答案] C
2．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B3．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有
( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
[答案] D
[解析] 平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面PBC，故选D．4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于________.5.如图，在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD．
[分析] 证明本题的关键是在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．
[证明] ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA．
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
又∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
[点评] 证明平面与平面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义法：证明平面角为直角；
(2)面面垂直的判定定理：在一个面内找另一个面的垂线．
根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，即要证明面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．课件22张PPT。2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直 问题：直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？我们从理论上作些探讨.知识探究（一）：两个平面垂直的概念 思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？知识探究（二）：两个平面垂直的判定 思考1:根据定义判断两个平面是否
垂直需要解决什么问题？思考3：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？思考3、两个平面互相垂直观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。两个平面互相垂直的画法及其表示:思考4:根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.思考4、两个平面垂直的判定判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．注：这个定理简称
“线面垂直，则面面垂直”下面我们来证明这个定理求证：α⊥β．分析：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．求证：α⊥β．证明：设a∩β=CD，则B∈CD．∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．αβCDAB特别注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．思考5:结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？思考6:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？应用举例，强化所学?例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC证明：设⊙O所在平面为α，
由已知条件，有
PA⊥α，BC在α内，
所以，PA⊥BC，
因为，点C是不同于A，B的任意
一点，AB为⊙O的直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC，
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC。探究：你还能发现哪些面互相垂直？ 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.例3 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，
求证：平面ABC⊥平面ACD.课堂诊断:1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的两条直线，则α⊥β.（ ）3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ ）4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )××√√5.二面角指的是（ ）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。B附:角与二面角之间的关系 角图形构成表示法?O顶点边边AB二面角从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.从空间一条直线出
发的两个半平面所
组成的图形.定义射线点射线半平面—棱—半平面?AOB二面角?-a-??-AB-?a??棱面面AB运用反馈，深化巩固1.指导完成课本P.69的探究问题
2.指导完成课本P.69的练习小结归纳，整体认识1.比较角与二面角之间的关系2.二面角的度量；
3.两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？想一想:怎样求二面角?
