2.3.3直线与平面垂直的性质
课前预习学案
一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质
二、预习内容：
1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？
2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？
3、判断题（判断下列命题是否正确）
（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。
（4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。
4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
（1）明确直线与平面垂直的性质定理。
（2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。
学习重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
二、学习过程
探究一、直线与平面垂直的性质
1、 如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
2、 已知：a，b。求证：b∥a（由1让学生自行证明）
得直线与平面垂直的性质定理
三种语言刻画
探究二、定理的应用
例1已知
变式1：
下列命题中错误的是（）
A、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
B、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
C、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。（四）课堂检测
1、课本页：1、2.
2、设直线a,b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,
欲使b∥a,a、b应满足什么条件？
课后巩固练习与提高
1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ）
2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。上述判断正确的是 （ ）
①②③ ②③④ ①③④ ②④
3．下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ）
若且，则 若且，则
若且，则 且，则
4．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
5.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：
①若，，则是的垂心
②若两两互相垂直，则是的垂心
③若，是的中点，则
④若，则是的外心
其中正确命题的命题是
6如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，
求证：平面
2. 3.3直线与平面垂直的性质
【教学目标】
（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.
（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
【教学重难点】
重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】
复习引入
师：判断直线和平面垂直的方法有几种？
师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？
师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？
判断下列命题是否正确：
1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
垂直于同一平面的两直线互相平行。
垂直于同一直线的两平面互相平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？
创设情景
如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
（三）讲解新课
例1 已知：a，b。求证：b∥a
师：此问题是在a，b的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.
生:证明:假定b不平行于a,设, b’是经过点O的两直线a平行的直线.
∥b’, a, b’
即经过同一点O的两直线b ,b’都与垂直,这是不可能的,因此b∥a.
有了上述证明,师生可共同得到结论.:
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.
利用三种形式去描述它
下列命题中错误的是（C）
若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。
（四）课堂检测
课本页：1、2.
拓展练习：设直线a,b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,
欲使b∥a,a、b应满足什么条件？
分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a、b满足的条件。
解：a、b满足下面条件中的任何一个，都能使b∥a
（１）a、b同垂直于正方体的一个面
（２）a、b分别在正方体两个相对的面内且共面。
（３）a、b平行于同一条棱。
（４）Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为B′C′、ＣC′、ＡA′、ＡＤ的中点，
ＥＦ所在直线为a，ＧＨ所在直线为b，等等。
（五）课堂小结
本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法。直接证法长依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法。关于直线与平面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得到要证的结论。
【板书设计】
一、直线和平面垂直的性质定理及其推论
二、例题
例1
例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2．3.3 直线与平面垂直性质
1．直线与平面垂直的性质定理．
正方体ABCDA1B1C1D1中，求证AC⊥平面BB1D1D.
证明：由正方体的性质可知AC⊥BD，BB1⊥平面AC，所以BB1⊥AC，因为BD与BB1相交，所以AC⊥平面BB1D1D.
2．平面与平面垂直的性质定理．
直线与平面不垂直，那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗？
答案：错
?思考应用
1．垂直于同一平面的两平面平行吗？
解析：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．
2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？
解析：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面．
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(D)
A．b∥α B．b?α C．b⊥α D．b∥α或b?α
2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(D)
A．垂直
B．平行
C．平行或相交
D．平行或相交或直线在另一个平面内
3．若直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下列四个命题：
①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m?α⊥β
④l⊥m?α∥β
其中正确的命题的序号是(D)
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
4．如图，?ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝．
解析：∵AF∥ED，AF⊥平面ABCD，
∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥DC.
在Rt△EDC中，ED＝2，CD＝3，
∴CE＝＝.
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(C)
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析：?l⊥a，?m⊥a.
由线面垂直的性质定理得m∥l，故选C.
2．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是(C)
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PO⊥BD D．PA⊥BD
3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是(D)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
解析：选项A缺少了条件：l?α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．
4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则a与β的位置关系为__________．
答案：a∥β或a?β或a与β相交
5．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．
答案：5
6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．
解析：连接AD，在Rt△ABD中，BD＝12，AB＝4，
∴AD＝＝4(cm)．
∵AC⊥l，AC?面α，α⊥β，α∩β＝l，
∴AC⊥Β.
又AD?β，∴CA⊥AD.
在Rt△ADC中，AC＝3，AD＝4，
∴CD＝＝＝13(cm)．
7．已知，△ABC所在平面外一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC.求证：AC⊥BA.
证明：过B作BD⊥VA于D，
∵平面VAB⊥平面VAC，
∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥AC，
又∵VB⊥平面ABC，
∴VB⊥AC，
又∵BD∩VB＝B，
∴AC⊥平面VBA，
∴AC⊥BA.
8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF.
(3)当AD＝时，求三棱锥FDEG的体积VF－DEG.
解析：(1)在等边三角形ABC中，AD＝AE，
∴＝，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，
∴DE∥BC.
又∵DE?平面BCF，BC?平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF，①
且BF＝CF＝.
∵在三棱锥ABCF中，BC＝，
∴BC2＝BF2＋CF2.
∴CF⊥BF.②
∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知，GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.
∴VFDEG＝VEDFG＝××DG×FG×GE＝××××＝.
1．(1)直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b?α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b⊥α，则a∥b；③a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平面与平面垂直的性质：①性质定理：α⊥β，α∩β＝l，m?β，m⊥l，则m⊥α.②如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
2．直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化．
2.3.3 直线与平面垂直的性质
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行
D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若M、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
①?n⊥α； ②?M∥n；
③?M⊥n; ④?n⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF?α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是( )
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE
C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．
能力提升
12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，
求证：平面DMN∥平面ABC．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．
1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直?线面垂直?线线平行?线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题．
2．3．3 直线与平面垂直的性质 答案
知识梳理
平行 a∥b
作业设计
1．B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：n?α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]
3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF
∴有PG4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．
∴选C．]
5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选B．]
6．C [设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO?AO＝BO＝CO．]
7．4
解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．
8．①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
9．6
解析 由题意知CO⊥AB，
∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．
10．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1．
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC．
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM．
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．
∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．
11．证明
连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
∴＝，∴GG′∥AA′，
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．
12．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，
又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC．
13．
(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．
连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．
(2)解 如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，
连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．
设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a．
在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，
所以∠C1BD＝30°，
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．
课件50张PPT。点、直线、平面之间的位置关系第二章2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.3 直线与平面垂直的性质1．直线垂直于平面的定义：如果一条直线垂直于一个平面内的__________一条直线，则称这条直线垂直于这个平面．
2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条________直线，则这条直线垂直于这个平面．●知识衔接任意相交3．如图，长方体AC1中，二面角D1－AB－D的平面角是( )
A．∠D1AB
B．∠D1BA
C．∠D1AD
D．∠D1DA
[答案] C
4．把等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，那么此二面角的大小是________.
[答案] 90°直线与平面垂直的性质定理●自主预习平行a∥b平行[破疑点] 直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
[答案] B
●预习自测2．下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①②③均正确．3.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD．
求证：EF∥AA1.[分析] 只需证明AA1⊥平面ABCD即可．[证明] ∵AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AA1⊥平面ABCD．
又∵EF⊥平面ABCD，
∴EF∥AA1. 规律总结：证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面． 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.利用线面垂直的性质证明平行问题 ●互动探究[探究] 要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C． 规律总结：当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．[分析] (1)证明MN∥AD1，转化为证明AD1⊥平面A1DC，MN⊥平面A1DC．
(2)利用平行公理和三角形的中位线定理证四边形AMNO为平行四边形．
[证明] (1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.(2)如图，设AD1与A1D的交点为O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC， 已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R.
求证：QR⊥AB．
[探究] 证AB与QR所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可证明QR⊥AB．利用线面垂直的性质证明垂直问题[证明] 如图所示，因为α∩β＝AB，PO⊥β于O，所以PO⊥AB．
因为PQ⊥α于Q，所以PQ⊥AB．
因为PO∩PQ＝P，
所以AB⊥平面PQO.
因为OR⊥α于R，所以PQ∥OR.
因为PQ与OR确定平面PQRO.
又因为QR?平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR. 规律总结：要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论．因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用．如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若SD交平面AEF于G，求证：AG⊥SD．[分析] (1)要证明AF⊥SC，转化成证明SC⊥平面AEF，充分利用其中的垂直关系．
(2)要证AG⊥SD，转化成AG⊥平面SDC．[证明] (1)因为SA⊥平面AC，BC?平面AC，所以SA⊥BC．
因为ABCD是矩形，所以AB⊥BC．
又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因为AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC．
因为SC?平面SBC，所以AE⊥SC．
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF.
所以AF⊥SC．
(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．
又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD．因为AG?平面SAD，所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF.
所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC．因为SD?平面SCD，
所以AG⊥SD． 如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
(1)求证：D1C⊥AC1；线面垂直的性质的综合应用●探索延拓(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
[探究] (1)关键先证明线面垂直，然后证明线线垂直；(2)关键构造中位线得线面平行．[解析] (1)证明：连接C1D．
∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C．
∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C?平面DCC1D1，∴AD⊥D1C．又AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.
又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)如图，连接AD1、AE、D1E，
设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.
∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，
要使D1E∥平面A1BD，
须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，
∴N是AE的中点．
又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.
即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD． 规律总结：线面垂直与平行的相互转化：
(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的．如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．
(1)求证：MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.
(2)连接BD，
由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，
可知A1A⊥平面ABCD．
又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，故AC⊥BD．
又∵AC∩A1A＝A，
AC，A1A?平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD．
∴NA⊥平面ACC1A1.
又NA?平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1. 已知a?α，a⊥b，b⊥α，求证a∥α.
[错解] ∵b⊥α，a⊥b，∴a?α或a∥α.
又∵a?α，∴a∥α.
[错因分析] 推理逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当．
[思路分析] 本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何知识解决．易错点 证明说理过程不清晰，理由与结论衔接不恰当●误区警示[正解] 如图，在a上任取一点A，过点A作直线b′∥b.设b′∩α＝B，过直线a，b′作平面β，β∩α＝l.
∵b⊥α，∴b⊥l.
又∵b⊥a，b∥b′，
∴b′⊥a，b′⊥l.
又∵a，l同在β内，
∴a∥l.
又∵a?α，l?α，∴a∥α.如图，设平面α与β相交于直线l，AC⊥α，BD⊥β，垂足分别为C、D，直线AB⊥AC，AB⊥BD，
求证：AB∥l.
[证明] ∵AC⊥α，BD⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥l，BD⊥l；
过A作AE⊥β垂足为E，则AE∥BD，
∵AB⊥BD，∴AB⊥AE，∴AB⊥平面ACE；
∵AE⊥β，α∩β＝l，∴AE⊥l，
又AC⊥l，∴l⊥平面ACE，∴AB∥l.
规律总结：要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面γ、l⊥γ、AB⊥γ，于是作辅助线围绕找γ展开．
1．下列说法中不正确的是( )
A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边
B．同一个平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
[答案] D
2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b?α
C．b⊥α D．b∩α＝A
[答案] C
3．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个说法中正确的是( )
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
A．②④ B．①②
C．③④ D．①③
[答案] D4.已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
[答案] 6
[解析] 因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.5.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．
求证：(1)DF∥平面ABC；
(2)AF⊥BD．
(2)由(1)知CG⊥GF，又CG⊥AB，
∴CG⊥面ABE，
∴CG⊥AF，DF∥CG，∴AF⊥DF
在Rt△ABE中，AF⊥BE，
∴AF⊥面BDF，∴AF⊥BD．