2.3.4 平面与平面垂直的性质
课前预习导学案
一、预习目标
明确平面与平面垂直的判定定理。
直线与平面垂直的性质定理
预习内容
1、平面与平面垂直的判定定理
2、直线与平面垂直的性质定理
3、思考题：
（1）黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
（2）在长方体中，平面与平面垂直，直线垂直于其交线。平面内的直线与平面垂直吗？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
（1）探究平面与平面垂直的性质定理
（2）应用平面与平面垂直的性质定理解决问题
学习重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
学习难点：运用性质定理解决实际问题。
二、学习过程
探究一
已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，
求证：AB⊥β
(让学生思考怎样证明，小组间可以相互讨论)
由证明结果的平面与平面垂直的性质定理（三种形式的表达）
探究二、性质的应用
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
证明（略）
变式 练习 第1题
例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,
试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)
解：（略）
变式 练习 2题（略）
A组 第1题（略）
当堂检测
1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD (2) DD′⊥ 面ABCD (3)AD′⊥ 面ABCD
2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由
课后练习与提高
1．已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有 （ ）
5对 6对 7对 8对
2．平面⊥平面，=，点，点，那么是的（ ）
充分但不必要条件 必要但不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
3．若三个平面，之间有，，则与 （ ）
垂直 平行 相交 以上三种可能都有
4．已知，是两个平面，直线，，设（1），（2），（3），若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( )
0 1 2 3
5．在四棱锥中，底面，
底面各边都相等，是上的一动点，
当点满足__________时，平面平面。
6．三棱锥中，，点为中点，于点，连，求证：平面平面
参考答案:1B 2C 3D 4C 5中点 6略
2. 3.4 平面与平面垂直的性质
【教学目标】
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；
（2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
【教学重难点】
重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
难点：运用性质定理解决实际问题。
【教学过程】
(一) 复习提问
1.线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
2.面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(二)引入新课
已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！
（三）探求新知
已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，
求证：AB⊥β
(让学生思考怎样证明)
分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.
证明：在平面β内过B作BE⊥a，
又∵AB⊥a，
∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，
又∵α⊥β，
∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE
又∵AB⊥a, BE∩a = B,
∴AB⊥β
面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
（用符号语言表述） 若α⊥β，α∩β=a, ABα, AB⊥a于 B，则 AB⊥β
师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面
我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。
（四）拓展应用
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,
试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)
分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)
解：在α内作垂直于α 、β交线AB的直线b，
∵ α⊥β ∴b⊥β
∵ a⊥β ∴ a ∥b ,
又∵aα ∴ a ∥α
课堂练习：
练习 第1、2题
A组 第1题
（四）当堂检测
1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD (2) DD′⊥ 面ABCD (3)AD′⊥ 面ABCD
2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由
参考答案
2解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，
连结AE，则AE为BD的中线
∴AE⊥BD
又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD
∴AE⊥面BCD
（五）课堂小结
1. 面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
2. 面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
② 利用性质定理解决问题
【板书设计】
一、平面与平面垂直的性质定理
二、三种形式表达
三、性质定理的应用
【作业布置】课后练习与提高
2．4 平行与垂直综合问题
1．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则(D)
A．n⊥β B．n∥β或n?β
C．n⊥α D．n∥α或n?α
解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又m⊥α，所以l∥m.若m?β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n?α；同理m?β，仍有n∥α或n?α.综上所述，D正确．
2．若三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，则α与β(A)
A．垂直 B．平行
C．相交 D．以上三种可能都有
3．对于任意的直线l与平面α相交，在平面α内不可能有直线m，使m与l(A)
A．平行 B．相交
C．垂直 D．互为异面直线
4．给出以下四个命题， 其中真命题有①②④(填序号)．
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
1．已知平面α外不共线的三点A，B，C，且AB∥α，则正确的结论是(D)
A．平面ABC必平行于α
B．平面ABC必与α相交
C．平面ABC必不垂直于α
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
2．设直线l?平面α，过平面α外一点A且与l，α都成30°角的直线有且只有(B)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：如图所示
与α成30°
角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件，故选B.
3.下列命题中，正确的是(C)
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
4．用α表示一个平面，l表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l(D)
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
5．若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为(C)
①?n⊥α ②?m∥n
③?m⊥n ④?n⊥α
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(B)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是(C)
A．{2} B．{}
C．{t|2≤t≤2} D．{t|≤t≤2}
解析：取CC1，C1D1的中点G，H，连接B1G，B1H，GH，则平面B1GH∥平面A1BE，所以满足题意的点F在GH上移动．则B1G与平面CDD1C1所成角的正切值最小且最小值为2，设GH的中点为M，则B1M与平面CDD1C1所成角的正切值最大且最大值为2，故选C.
8．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是(B)
①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m；
②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥β，α∥β，则l∥n.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于①，直线l，m可能互相平行，①不正确；对于②，直线m，n可能是平行直线，此时不能得知l⊥α，②不正确；对于③，由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③正确；对于④，由l∥m，m⊥α得l⊥α，由n⊥β，α∥β得n⊥α，因此有l∥n，④正确．综上所述，其中命题正确的个数是2，故选B.
9．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是(D)
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH的延长线经过点C1
C．AH垂直平面CB1D1
D．直线AH和BB1所成角为45°
10．如右图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：
(1)AE⊥平面BCE;
(2)AE∥平面BFD.
证明：(1)因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，又AD⊥平面ABE，所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE，因为BC与BF相交，所以AE⊥平面BCE.
(2)连接AC交BD于G，连接FG，因为EB＝BC，所以F是EC中点，
所以AE∥FG，又AE?平面BFD，
所以AE∥平面BFD.
11．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的各条棱均相等，AA1⊥平面ABC，D是BC上一点，AD⊥C1D.求证：
(1)A1B∥面ADC1；
(2)面ADC1⊥面BCC1B1.
证明：(1)连接A1C交AC1于O，则O为A1C的中点，
∵B1B⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴B1B⊥AD，又∵AD⊥C1D，B1B与C1D是平面BCC1B1内的两条相交线，
∴AD⊥平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是正三角形，
∴D为BC中点，连接OD，在△A1BC中，OD∥A1B，OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1.
(2)∵AD⊥C1D，又AD⊥C1C，C1D与C1C相交，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD?平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1.
12．如下图所示，△PAD是正三角形，ABCD是正方形，E，F分别为PC，BD中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：平面PAD⊥平面PCD.
证明：(1)取PD中点G，AD中点O，连接EG，GO，OF.
∵E、F分别是PC、BD中点，
∴GE綊DC，OF綊AB，又∵AB綊CD，
∴GE綊OF，
∴EFOG是平行四边形，
∴EF∥GO，又EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴CD⊥平面PAD.
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD.
1．立体几何证明问题书写是一个难点，应该反复练习才能够熟练，必要时可做几个样题．
2．结论为垂直的命题可将a∥α视为a?α，α∥β视为α和β是同一个平面；判断a∥α时特别留意a是否在平面α外．
2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
二、填空题
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cM、3 cM、6 cM，则点P到O的距离为________．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在__________．
三、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．
13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4．
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．
1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理，应用时应注意：
(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；
(3)直线垂直于交线．
2．此定理另一应用：由一点向一个平面引垂线，确定垂足位置是求几何体高的依据．
2．3．4 平面与平面垂直的性质 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
2．(1)第一个平面内 a?α (2)a∥α
作业设计
1．D
2．D
[在γ面内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ．]
3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
4．C 5．B
6．A
[如图：
由已知得AA′⊥面β，
∠ABA′＝，
BB′⊥面α，∠BAB′＝，
设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝．]
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7 cm
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明
在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．证明 设AC∩BD＝O，
连接EO，
则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝a，∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．
13．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，
∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，
BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．
(2)解
过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝2．
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
∴四边形ABCD为梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
此即为梯形的高．
∴S四边形ABCD＝×＝24．
∴VP—ABCD＝×24×2＝16．
课件60张PPT。点、直线、平面之间的位置关系第二章2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.4 平面与平面垂直的性质1．直二面角：二面角的平面角是__________.
2．两平面垂直的定义：两平面所成的二面角是__________．
3．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的__________，那么这两个平面垂直．●知识衔接90°直二面角一条垂线
4．下列命题正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．垂直于同一条直线的两直线垂直
C．垂直于同一个平面的两直线平行
D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
[答案] C平面与平面垂直的性质定理●自主预习一个平面内 交线垂直a?αa⊥l垂直[破疑点] 平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．
[知识拓展] 垂直关系的知识总结：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清，
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝． 先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见．
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断．
判断线和面垂直，线垂面中两交线．
两线垂直同一面，相互平行共伸展．
两面垂直同一线，一面平行另一面．
要让面和面垂直，面过另面一垂线．
面面垂直成直角，线面垂直记心间．1．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是( )
①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任何一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] C●预习自测[解析] 2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行
B．EF?平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
[答案] D
[解析] ∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1.3．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，求证：PD⊥平面ABC．
[分析] 转化为证明PD⊥AB．
[证明] ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．
又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PD⊥平面ABC． 已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.
求证：l⊥γ.
[证明] 证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，∵α⊥γ，β⊥γ，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，平面垂直性质定理的应用●互动探究∵PA与PB相交，又PA?γ，PB?γ，∴l⊥γ. 规律总结：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．
通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ.在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于过B的直线a″，
∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″，
∵a′和a″同时过B且平行于b.
∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ.如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角形．
[分析] 灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化．
[证明] 过B作BD⊥VA于D，
∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC，
∴AC⊥平面VAB，∴AC⊥BA，
即△ABC是直角三角形． 如右图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．与面面垂直有关的计算[探究] 要求CD的长，由BD⊥l，α⊥β易知△BCD为直角三角形，已知BD的长，只要知道BC的长即可．由AC⊥l知△ABC为直角三角形，从而可解． 规律总结：1.与面面垂直有关的计算问题的类型：
(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．
(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．
(3)求几何体的体积或平面图形的面积．
2．计算问题的解决方法：
(1)上述计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．
(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，且AB＝12，求A′B′的长． 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．
求证：(1)EF⊥CD；
(2)平面SCD⊥平面SCE. 线线、线面、面面垂直的综合应用●探索延拓(2)在Rt△SAE和Rt△CBE中，
∵SA＝CB，AE＝BE，
∴Rt△SAE≌△Rt△CBE，
∴SE＝EC，即△SEC为等腰三角形．
∵F为SC的中点，
∴EF⊥SC．
又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，
∴EF⊥平面SCD．
又∵EF?平面SCE，
∴平面SCD⊥平面SCE. 规律总结：(1)空间垂直关系的判定方法.(2)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
(3)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．
(2015·南昌高二检测)已知在四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB＝AD＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
证明：(1)DE⊥平面SBC；
(2)SE＝2EB．[解析] (1)如图，
因为SD⊥平面ABCD，
故BC⊥SD，又BC⊥BD，
所以BC⊥平面BDS，
所以BC⊥DE.
作BK⊥EC，K为垂足，
由平面EDC⊥平面SBC，平面EDC∩平面SBC＝EC，
故BK⊥平面EDC．
又DE?平面EDC，所以BK⊥DE.
又因为BK?平面SBC，BC?平面SBC，BK∩BC＝B，
所以DE⊥平面SBC． 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，则平EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．易错点 考虑问题不全面，导致证明过程不严谨●误区警示
[错解] 平面EBD不能垂直于平面ABCD．理由如下：
假设平面EBD垂直于平面ABCD，
过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO.
∵EO?平面EBD，EO⊥BD，
平面EBD∩平面ABCD＝BD，
∴EO⊥平面ABCD．
又∵PA⊥平面ABCD，
∴EO∥PA．
又∵E是PC的中点，
∴O是AC的中点．
又∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO.
又∵AO＝OC，∴AB＝CD，
这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．
故平面EBD不能垂直于平面ABCD．
[错因分析] 错误的原因是默认了A，O，C三点共线，而A，O，C三点若不共线，则△ABO∽△CDO不成立．事实上，很容易证A，O，C三点共线，由于A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，故P，E，C三点的投影均在直线AC上，故A，O，C三点共线，补上这一点证明就完整了．[正解] 平面EBD不能垂直于平面ABCD．理由如下：
假设平面EBD垂直于平面ABCD，
过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO.
∵EO?平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，
∴EO⊥平面ABCD．
又∵PA⊥平面ABCD，
∴EO∥PA．
∵A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，
∴P，E，C三点的投影均在直线AC上，
∴A，O，C三点共线．
又∵E是PC的中点，
∴O是AC的中点．
又∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO.
又∵AO＝OC，∴AB＝CD，
这与CD＝2AB矛盾，
∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)求证AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
[解析] (1)证明：设G为AD的中点，连接BG，PG，
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD．
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
∴BG⊥AD．
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB．
(2)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．
证明如下：
在△PBC中，∵F是PC的中点，∴EF∥PB．
在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面PGB，
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD．
1．设两个平面互相垂直，则( )
A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上
C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
[答案] B
2．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．有无数个
C．有且只有一个或无数个
D．可能不存在
[答案] C3．如右图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD?平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
[答案] B
[解析] ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．
又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，
∴PD⊥平面ABC．
4．在空间中，用x、y、z表示不同的直线或平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立，则x、y、z分别表示的元素是( )
A．x、y、z都是直线
B．x、y、z都是平面
C．x、y是平面，z是直线
D．x是直线，y、z是平面
[答案] D
[解析] 垂直于同一条直线的两直线不一定平行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，故B错；一条直线与一个平面都和同一个平面垂直时，直线可能在平面内，故C错．由线面垂直的性质知，D正确．5．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
[答案] C6．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC．
[分析] 转化为证明BC⊥平面SCD．[证明] ∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD．
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面SCD．
又∵BC?平面SBC，
∴平面SCD⊥平面SBC．
[点评] 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
