【培优版】2024-2025学年北师大版九上4.1成比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2015九上·句容竞赛）已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．（2024九上·威远期末）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·合肥期中）下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4．（2017九上·和平期末）两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000
5．（2023九上·石家庄期中）小丽和小强在阳光下行走，小强身高1.6米，他的影长2.0米，小强比小丽高10cm，此刻小丽的影长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2023九上·怀远期中）已知a，b，c为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（ ）．
A．：1 B．1： C．2：1 D．1：2
8．（2021九上·怀宁期末）下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
二、填空题
9．（2019九上·宝安期中）已知＝＝＝k，则k的值是 ．
10．（2023九上·岳阳月考）已知线段a，b，c，d成比例，且，其中a＝8cm，b＝4cm，c＝12cm，则d＝ cm．
11．两把按不同比例尺标记刻度的尺子如图所示，每把尺子的刻度都是均匀的.已知两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面的尺子在刻度13处与下面的尺子在刻度15处也刚好对齐，则上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是 .
12．（2021九上·海曙期末）在芯片制作过程中， 需要对 的矩形区域进行划区处理， 划成如图所示的“ ” 的形式， 其中 为竖式矩形 为横式矩形 ， 则芯片被利用区域的长 的值为 cm .
13．（2021九上·江油期中）如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且，，，则AE的长为 ．
三、解答题
14．（2023九上·灞桥开学考）已知、、是的三边，且满足，，试判断的形状，并说明理由．
15．（2022九上·奉贤期中）已知实数a、b、c满足，且．求：的值．
16．如图，在线段AB上存在一点C，满足AC：CB=CB：AB=k．
（1）求k的值．
（2）若三条线段a，b，c满足a：b=b：c=k，问：这三条线段能否首尾相接构成一个三角形？如果能，指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
17．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.2 比例线段 同步练习）若a、b、c是非零实数，且满足 ，直线y=kx+b经过点（4，0），求直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．
18．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.1 成比例线段（2） 同步练习）已知线段a，b，c满足 ，且a＋2b＋c＝26.
（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；
（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.1成比例线段（1） 同步练习）如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．
（1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；
（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．
20．为了测得图甲和图乙中旗杆的高度，小明和小红在查阅资料后，得到一种测量旗杆高度的方法：找到旗杆的影子并找出其顶部，并在影子中间某处放置一竹竿，使得竹竿顶部的影子和旗杆顶部的影子重合，此时竹竿长度和竹竿影长之比即旗杆长度和旗杆影长之比.在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了以上操作，测得竹竿CD长0.9m，其影长CE为1m.
（1）如图甲所示，若小明测得旗杆影长AE为3m，求图甲中旗杆高AB为多少米.(CD⊥AE，AB⊥AE，点B，D，E在一条直线上)
（2）如图乙所示，若小红测得旗杆落在地面上的影长FG为3m，落在墙上的影子GH的高为1.1m，则直接写出图乙中旗杆高FP为 m.()
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比例的性质
【解析】【解答】由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，
三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．
∴有p=2或a+b+c=0．
当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．
当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p= =-1，（c≠0），
∴y=-x-1，
∴直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．
答案为：B．
【分析】可分a+b+c=0与不等于0，两种情况，再利用等比性质，可求出p值为2或-1，进而得出答案.
2．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴3（x+y）=5y，
解得：3x=2y，
∴，
故答案为：C.
【分析】将代数式变形为3（x+y）=5y，求出3x=2y，再求出即可.
3．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A. a = 3，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，A不符合题意；
B. ，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，B不符合题意；
C. ，，，；
，，，a、b、c、d是成比例线段，C符合题意；
D. ，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据比例线段的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
4．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：2000m=200000cm，
所以这幅地图的比例尺为2：200000=1：100000．
故选B．
【分析】先把2000m化为200000cm，然后根据比例尺的定义求解．
5．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵小强身高1.6米，小强比小丽高10cm，
∴小丽身高为1.6-0.1=1.5（米），
设小丽的影长是x米，
由题意可得：，
解得：，
即此刻小丽的影长是米，
故答案为：D.
【分析】先求出小丽身高为1.5米，再根据同一时刻阳光下，物体的高度和影长成正比例，求出，最后计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】比例的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，由等比性质可得：此时直线为y=2x+3，经过第一、二、三象限；
当时，即则k=-1，此时直线y=-x，经过第二、四象限.
综上：该直线必经过第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据题意：分或两种情况进行讨论，求出k的值，就知道函数图象经过的象限.
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；比例线段
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，AD=BC=b，
∵ E，F分别是AB，CD的中点 ，
∴DF=AE=，
∵ 矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比 ，
∴b∶=a∶b，
∴2=b2，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质得AB=CD=a，AD=BC=b，由中点定义得DF=AE=，然后根据矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比 ，列出比例式，求解可得，从而就不难求出a与b的比值了.
8．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，而，，不合题意；
B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，不合题意；
C、若（b﹣d≠0），则，则，不合题意；
D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比例的性质逐项判断即可。
9．【答案】2或-1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】1.当a+b+c=0时，k=-1；
2. 当a+b+c≠0时，a+b=ck，a+c=ak，b+c=ak，把这三个式子相加得：2（a+b+c）=（a+b+c）k
∴k=2
综上所述：k=2或-1.
【分析】分两种情况：（1）当a+b+c=0时，k=-1；（2）当a+b+c≠0时，可求出k的值.
10．【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：将cm，cm，cm代入中得，
，
故
故，
故答案为：6
【分析】根据，代入cm，cm，cm即可求解。
11．【答案】20
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度13处与下面的尺子在刻度15处也刚好对齐，所以下面尺子5个单位与上面尺子3个单位相等，
设上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是x，由题意得，，解得，x=20
答：上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度20.
故答案为：20.
【分析】由两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度13处与下面的尺子在刻度15处也刚好对齐，可得下面尺子5个单位与上面尺子3个单位相等，设上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是x，从而列出比例式，求解可得答案.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；比例的性质
【解析】【解答】解：设EF=x，
，
∴，AB=2x=1
解之：x=1，
∴EF=1
∵
∴
∴.
故答案为：.
【分析】设EF=x，可表示出AE，根据AB=1，可求出x的值，可得到EF的长；从而可求出EG的长，然后求出AG的长.
13．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，
∵AC2=BC AB，
∴x2=1-x，
解得：（不合题意，舍去），
∴AC= ，
∵AD2=CD AC，
∴同理可得AD= ，
∵AE2=DE AD，
∴同理可得AE=；
故答案为：．
【分析】设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，由AC2=BC AB建立方程并解之，即得AC= ，再利用AD2=CD AC求出AD的长，最后利用AE2=DE AD即可求出AE的长.
14．【答案】解：是直角三角形，理由是：
设，
，，，
，
，
，
，，，
，
是直角三角形．
【知识点】解一元一次方程；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】用设k法求解，设，用k分别表示出a、b、c，根据“”，转化为k方程求解，求得a、b、c的值，分别求出各边的平方，比较较小两个之和与最大的值是否相等，再作判断.
15．【答案】解：设，则，．
∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∴．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设，则，，结合求出，可得 ，，， 再将a、b、c的值代入计算即可。
16．【答案】（1）解：∵AC ： CB=CB ：AB=k，
若设AB=1，则CB=k，AC=k2．
又∵AC+ BC=AB，
∴k2+k=1，
解得k=，
∵ k>0，
∴k=；
（2）解：线段a，b，c不能首尾相接构成一个三角形，理由如下：
∵a ： b=b： c=k，
∴b=kc=c，a=kb=()2c=c
∵a+b=c，
∴线段a，b，c不能构成三角形．
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；比例线段
【解析】【分析】（1）根据AC ： CB=CB ：AB=k，若设AB=1，则CB=k，AC=k2，进而根据AC+ BC=AB，建立方程求解得出k的值，再根据实际情况进行取舍即可；
（2）根据等比性质及（1）中所求的k的值分别用含c的式子表示出a、b，进而根据a+b=c判断线段a，b，c不能首尾相接构成一个三角形.
17．【答案】解：∵∴a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，∴a+b+c=2（a+b+c）k，∴①当a+b+c≠0时，k= ，∴y=kx+b变为：y= x+b，∵经过点（4，0），∴ ×4+b=0，b=-2，∴y= x-2，图象如图：S△ABO= ×AO×BO= ×2×4=4．②当a+b+c=0时，a=-（b+c），k= =-1同法可请求：y=-x+4，S△ADO=8，即直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是4或8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】根据已知可得出a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，就可得出a+b+c=2（a+b+c）k，再根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得出y=kx+b中的k的值，将（4，0）代入函数解析式求出b的值，从而可得到函数解析式，然后分别求出函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。
18．【答案】（1）解：设 ，则a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。
（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，
∴x2=6×4，
∴x=．
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2，然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。
（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。
19．【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)，
可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm
（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 ，
由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0.
∵a>b，
∴a－b≠0，
∴x＝0，
又∵x>0，
∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。
（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。
20．【答案】（1）解：∵ 竹竿长度和竹竿影长之比即旗杆长度和旗杆影长之比 ，
∴，
即，
∴AB=2.7米；
（2）3.8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】（2）解：设墙上的影子落在地面上时的长度为x米，
∵小明与小红是在同时测量，
∴竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，
∴，
解得x=，
∴旗杆的影长为3+=米，
∴，
∴PF=3.8米.
故答案为：3.8.
【分析】（1）根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，列出比例式，求解可得答案；
（2）设墙上的影子落在地面上时的长度为x米，根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，建立比例式可求出x的值，进而再根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，建立比例式可求出PF的长.
1 / 1【培优版】2024-2025学年北师大版九上4.1成比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2015九上·句容竞赛）已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比例的性质
【解析】【解答】由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，
三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．
∴有p=2或a+b+c=0．
当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．
当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p= =-1，（c≠0），
∴y=-x-1，
∴直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．
答案为：B．
【分析】可分a+b+c=0与不等于0，两种情况，再利用等比性质，可求出p值为2或-1，进而得出答案.
2．（2024九上·威远期末）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴3（x+y）=5y，
解得：3x=2y，
∴，
故答案为：C.
【分析】将代数式变形为3（x+y）=5y，求出3x=2y，再求出即可.
3．（2024九上·合肥期中）下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A. a = 3，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，A不符合题意；
B. ，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，B不符合题意；
C. ，，，；
，，，a、b、c、d是成比例线段，C符合题意；
D. ，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据比例线段的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
4．（2017九上·和平期末）两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：2000m=200000cm，
所以这幅地图的比例尺为2：200000=1：100000．
故选B．
【分析】先把2000m化为200000cm，然后根据比例尺的定义求解．
5．（2023九上·石家庄期中）小丽和小强在阳光下行走，小强身高1.6米，他的影长2.0米，小强比小丽高10cm，此刻小丽的影长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵小强身高1.6米，小强比小丽高10cm，
∴小丽身高为1.6-0.1=1.5（米），
设小丽的影长是x米，
由题意可得：，
解得：，
即此刻小丽的影长是米，
故答案为：D.
【分析】先求出小丽身高为1.5米，再根据同一时刻阳光下，物体的高度和影长成正比例，求出，最后计算求解即可。
6．（2023九上·怀远期中）已知a，b，c为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】比例的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，由等比性质可得：此时直线为y=2x+3，经过第一、二、三象限；
当时，即则k=-1，此时直线y=-x，经过第二、四象限.
综上：该直线必经过第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据题意：分或两种情况进行讨论，求出k的值，就知道函数图象经过的象限.
7．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（ ）．
A．：1 B．1： C．2：1 D．1：2
【答案】A
【知识点】矩形的性质；比例线段
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，AD=BC=b，
∵ E，F分别是AB，CD的中点 ，
∴DF=AE=，
∵ 矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比 ，
∴b∶=a∶b，
∴2=b2，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质得AB=CD=a，AD=BC=b，由中点定义得DF=AE=，然后根据矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比 ，列出比例式，求解可得，从而就不难求出a与b的比值了.
8．（2021九上·怀宁期末）下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，而，，不合题意；
B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，不合题意；
C、若（b﹣d≠0），则，则，不合题意；
D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比例的性质逐项判断即可。
二、填空题
9．（2019九上·宝安期中）已知＝＝＝k，则k的值是 ．
【答案】2或-1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】1.当a+b+c=0时，k=-1；
2. 当a+b+c≠0时，a+b=ck，a+c=ak，b+c=ak，把这三个式子相加得：2（a+b+c）=（a+b+c）k
∴k=2
综上所述：k=2或-1.
【分析】分两种情况：（1）当a+b+c=0时，k=-1；（2）当a+b+c≠0时，可求出k的值.
10．（2023九上·岳阳月考）已知线段a，b，c，d成比例，且，其中a＝8cm，b＝4cm，c＝12cm，则d＝ cm．
【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：将cm，cm，cm代入中得，
，
故
故，
故答案为：6
【分析】根据，代入cm，cm，cm即可求解。
11．两把按不同比例尺标记刻度的尺子如图所示，每把尺子的刻度都是均匀的.已知两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面的尺子在刻度13处与下面的尺子在刻度15处也刚好对齐，则上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是 .
【答案】20
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度13处与下面的尺子在刻度15处也刚好对齐，所以下面尺子5个单位与上面尺子3个单位相等，
设上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是x，由题意得，，解得，x=20
答：上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度20.
故答案为：20.
【分析】由两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度13处与下面的尺子在刻度15处也刚好对齐，可得下面尺子5个单位与上面尺子3个单位相等，设上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是x，从而列出比例式，求解可得答案.
12．（2021九上·海曙期末）在芯片制作过程中， 需要对 的矩形区域进行划区处理， 划成如图所示的“ ” 的形式， 其中 为竖式矩形 为横式矩形 ， 则芯片被利用区域的长 的值为 cm .
【答案】
【知识点】矩形的性质；比例的性质
【解析】【解答】解：设EF=x，
，
∴，AB=2x=1
解之：x=1，
∴EF=1
∵
∴
∴.
故答案为：.
【分析】设EF=x，可表示出AE，根据AB=1，可求出x的值，可得到EF的长；从而可求出EG的长，然后求出AG的长.
13．（2021九上·江油期中）如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且，，，则AE的长为 ．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，
∵AC2=BC AB，
∴x2=1-x，
解得：（不合题意，舍去），
∴AC= ，
∵AD2=CD AC，
∴同理可得AD= ，
∵AE2=DE AD，
∴同理可得AE=；
故答案为：．
【分析】设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，由AC2=BC AB建立方程并解之，即得AC= ，再利用AD2=CD AC求出AD的长，最后利用AE2=DE AD即可求出AE的长.
三、解答题
14．（2023九上·灞桥开学考）已知、、是的三边，且满足，，试判断的形状，并说明理由．
【答案】解：是直角三角形，理由是：
设，
，，，
，
，
，
，，，
，
是直角三角形．
【知识点】解一元一次方程；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】用设k法求解，设，用k分别表示出a、b、c，根据“”，转化为k方程求解，求得a、b、c的值，分别求出各边的平方，比较较小两个之和与最大的值是否相等，再作判断.
15．（2022九上·奉贤期中）已知实数a、b、c满足，且．求：的值．
【答案】解：设，则，．
∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∴．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设，则，，结合求出，可得 ，，， 再将a、b、c的值代入计算即可。
16．如图，在线段AB上存在一点C，满足AC：CB=CB：AB=k．
（1）求k的值．
（2）若三条线段a，b，c满足a：b=b：c=k，问：这三条线段能否首尾相接构成一个三角形？如果能，指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵AC ： CB=CB ：AB=k，
若设AB=1，则CB=k，AC=k2．
又∵AC+ BC=AB，
∴k2+k=1，
解得k=，
∵ k>0，
∴k=；
（2）解：线段a，b，c不能首尾相接构成一个三角形，理由如下：
∵a ： b=b： c=k，
∴b=kc=c，a=kb=()2c=c
∵a+b=c，
∴线段a，b，c不能构成三角形．
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；比例线段
【解析】【分析】（1）根据AC ： CB=CB ：AB=k，若设AB=1，则CB=k，AC=k2，进而根据AC+ BC=AB，建立方程求解得出k的值，再根据实际情况进行取舍即可；
（2）根据等比性质及（1）中所求的k的值分别用含c的式子表示出a、b，进而根据a+b=c判断线段a，b，c不能首尾相接构成一个三角形.
17．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.2 比例线段 同步练习）若a、b、c是非零实数，且满足 ，直线y=kx+b经过点（4，0），求直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】解：∵∴a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，∴a+b+c=2（a+b+c）k，∴①当a+b+c≠0时，k= ，∴y=kx+b变为：y= x+b，∵经过点（4，0），∴ ×4+b=0，b=-2，∴y= x-2，图象如图：S△ABO= ×AO×BO= ×2×4=4．②当a+b+c=0时，a=-（b+c），k= =-1同法可请求：y=-x+4，S△ADO=8，即直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是4或8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】根据已知可得出a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，就可得出a+b+c=2（a+b+c）k，再根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得出y=kx+b中的k的值，将（4，0）代入函数解析式求出b的值，从而可得到函数解析式，然后分别求出函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。
18．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.1 成比例线段（2） 同步练习）已知线段a，b，c满足 ，且a＋2b＋c＝26.
（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；
（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：设 ，则a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。
（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，
∴x2=6×4，
∴x=．
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2，然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。
（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.1成比例线段（1） 同步练习）如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．
（1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；
（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．
【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)，
可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm
（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 ，
由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0.
∵a>b，
∴a－b≠0，
∴x＝0，
又∵x>0，
∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。
（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。
20．为了测得图甲和图乙中旗杆的高度，小明和小红在查阅资料后，得到一种测量旗杆高度的方法：找到旗杆的影子并找出其顶部，并在影子中间某处放置一竹竿，使得竹竿顶部的影子和旗杆顶部的影子重合，此时竹竿长度和竹竿影长之比即旗杆长度和旗杆影长之比.在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了以上操作，测得竹竿CD长0.9m，其影长CE为1m.
（1）如图甲所示，若小明测得旗杆影长AE为3m，求图甲中旗杆高AB为多少米.(CD⊥AE，AB⊥AE，点B，D，E在一条直线上)
（2）如图乙所示，若小红测得旗杆落在地面上的影长FG为3m，落在墙上的影子GH的高为1.1m，则直接写出图乙中旗杆高FP为 m.()
【答案】（1）解：∵ 竹竿长度和竹竿影长之比即旗杆长度和旗杆影长之比 ，
∴，
即，
∴AB=2.7米；
（2）3.8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】（2）解：设墙上的影子落在地面上时的长度为x米，
∵小明与小红是在同时测量，
∴竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，
∴，
解得x=，
∴旗杆的影长为3+=米，
∴，
∴PF=3.8米.
故答案为：3.8.
【分析】（1）根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，列出比例式，求解可得答案；
（2）设墙上的影子落在地面上时的长度为x米，根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，建立比例式可求出x的值，进而再根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，建立比例式可求出PF的长.
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