【提升版】北师大版数学九上 4.1成比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·覃塘期中）若四条线段a，b，c，d成比例，且a＝2cm，b cm，c cm，则线段d的长是（ ）
A． cm B．3 cm C． cm D．2 cm
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：四条线段a，b，c，d成比例，
∴ 即 ，
∴ cm.
故答案为：C.
【分析】根据成比例线段的定义先列出比例式，再代值求解即可.
2．（2021九上·温州期末）若 ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用比例的基本性质合比性质，进行变形后即可得出结果.
3．（2019九上·正定期中）已知线段 ， ，线段 是 ， 的比例中项，则 等于（ ）
A．36 B．6 C．-6 D．6或-6
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，
∴
∴
∴x=±6，x= 6(舍去).
故答案为：B.
【分析】根据已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
4．（2021九上·石景山期末）若，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、，得，A不符合题意；
B、 ，得，B不符合题意；
C、，得，C符合题意；
D、，得，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
5．（2024九上·攀枝花期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．如果，那么
B．
C．方程的根是
D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；因式分解法解一元二次方程；比例的性质
6．（2024九上·六安月考）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
解得，，舍去，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到，进而解一元二次方程即可求解。
7．（2023九上·黄岛期中）按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取。则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】
解：∵，
∴ AD=
∵ DE=DB
∴ AE=AD-DE=
∵ AC=AE
∴
故答案为B
【分析】本题考查比例线段---黄金分割，根据，得AD=，由 DE=DB得AE=，由 AC=AE得 .
8．下列说法中不正确的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．若线段a=5 cm，b=2 cm，则a ： b=5 ： 2
C．若线段AB= cm，C 是线段AB的黄金分割点，且AC> BC，则AC=cm
D．四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是比例线段
【答案】A
【知识点】比例线段；黄金分割；相似三角形的判定；线段的比
【解析】【解答】解：A、所有的等腰三角形对应角不一定相等， 所以它们不一定相似，故符合题意；
B、 若线段a=5 cm，b=2 cm，则a ： b=5 ： 2，正确， 故不符合题意；
C、若线段AB= cm，C 是线段AB的黄金分割点，且AC> BC，
则AC=AB=cm ，正确，故不符合题意；
D、∵1×4=2×2，
∴ 四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是比例线段 ，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定，成比例线段，黄金分割逐项判断即可.
二、填空题
9．（浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题）若，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：7.
【分析】先根据等式用表示出，得到：，然后代入比例式进行计算即可得解．
10．（2019九上·正定期中）若 （ ， ， 均不为0），则 的值为
【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：已知 （ ， ， 均不为0），由比例的性质得：
；
；
则 = + =
故答案为：1．
【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出 ， ，然后将 化为： + - ，再代入求值．
11．（2023九上·青神期中）已知，则的值是 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴13（a-b）=4（a+b），
∴13a-13b=4a+4b，
∴13a-4a=4b+13b，
∴9a=17b，
∴b：a=9：17，
故答案为：.
【分析】利用比例的性质可得13（a-b）=4（a+b），求出9a=17b，再求出b：a=9：17即可.
12．（2023九上·黄浦期中）如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
【答案】16
【知识点】比例线段
【解析】【解答】
解：
设实际距离为x千米，根据题意得，
解得，x=16
故答案为：16
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，设实际距离为x千米，列方程求解即可。注意列方程时千米要化为厘米。
13．若，则x的值为 .
【答案】-1或
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当a+b+c=0时，则b+c=-a，a+c=-b，b+a=-c，
∴=-1，
当a+b+c≠0时，x==.
综上可知： x的值为-1或.
故答案为： -1或.
【分析】分两种情况：a+b+c=0和a+b+c≠0，再根据比例的性质分别求解即可.
三、解答题
14．（2023九上·青龙期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？
【答案】解：如图所示，雕像高为，上部为，下部为．
由题可知．设下部，则，
，
去分母得，，
，
解得，（舍），
检验，方程解为，
答：它的下部应设计为高．
【知识点】分式方程的实际应用；比例线段
【解析】【分析】列分式方程解实际问题，设下部BC的长后，根据题意所给的比例（）列方程，求得BC长，注意分式方程需检验。
15．（2023九上·临平月考）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
【答案】（1）解：∵＝，
∴＝，
∴＝，
（2）解：设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3．
【知识点】比例线段；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
(1)根据已知得出a：b的值，再求a+b/b的值即可。
(2)设比值为k，用k表示出 a，b，c，再根据a+b+c=27列方程求出k .
16．我们把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．如图，将一张标准纸ABCD(AB【答案】解：成比例；理由如下：
由题意可得：，
∵ 一张标准纸ABCD(AB∴EF=DC，，
则，
即，
故图中两个矩形的长与宽成比例.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；比例线段
【解析】【分析】根据题意先求出，根据折叠的性质可得EF=DC，，求得；推得，即可证明图中两个矩形的长与宽成比例.
17．已知a：b：c=3：4：5．
（1）求代数式的值．
（2）若a-b+c=24，求a，b，c的值．
【答案】解： ∵a：b：c=3：4：5，
∴可设a=3k，b=4k，c=5k，
（1） ，
（2） a-b+c=3k-4k+5k=24，
解得：k=6，
∴a=18，b=24，c=30.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】由a：b：c=3：4：5，可设a=3k，b=4k，c=5k，（1）将a、b、c的值代入化简即可；（2）将a、b、c的值代入a-b+c=24中，求出k值，继而求出a、b、c的值.
18．如图，一幅矩形油画的长为40cm，宽为25 cm，在油画的外围镶有宽为5cm的画框，则画框内外所构成的两个矩形的长和宽是成比例线段吗？请说明理由．
【答案】解：画框内外所构成的两个矩形的长和宽不构成比例线段，理由如下：
∵ 一幅矩形油画的长为40cm，宽为25cm，在油画的外围镶有宽为5cm的画框，
∴外框两边长分别为50cm，35cm，内框两边长分别为40cm，25cm，
∵，
∴画框内外所构成的两个矩形的长和宽不构成比例线段．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据题意算出画框外矩形的长与宽，然后算出画框内外所构成的两个矩形的长和宽的比值，即可根据成比例线段的定义判断得出答案.
19．（湘教版九年级数学上册 3.1 比例线段（2） 同步练习）已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．
（1）求线段a与线段b的比．
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？
【答案】（1）解：∵a=0.3m=30cm；b=60cm，
∴a：b=30：60=1：2
（2）解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴ = ，
∵c=12dm=120cm，
∴ = ，
∴d=240cm
（3）解：是，理由：
∵b2=3600，ac=30×120=3600，
∴b2=ac，
∴b是a和c的比例中项
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）首先统一单位，即a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；
（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得a：b=c：d，据此可求得d的值；
（3）首先计算出b2=3600，ac=30×120=3600，从而可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．
20．已知与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1.
（1）求的值.
（2）求的周长与的周长之比.
（3）在这六条线段中，指出其中三组成比例线段.
【答案】（1）解：易知，
；
（2）解：，
，
的周长与的周长之比为2：1；
（3）解：∴是成比例线段；
是成比例线段；
是成比例线段.
【知识点】勾股定理；比例线段
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及勾股定理分别算出AB、BC、AC、DE、EF及DF的长，再分别求出对应的比值即可；
（2）根据等比的性质即可求出答案；
（3）根据成比例线段的概念找出成比例的线段即可.
1 / 1【提升版】北师大版数学九上 4.1成比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·覃塘期中）若四条线段a，b，c，d成比例，且a＝2cm，b cm，c cm，则线段d的长是（ ）
A． cm B．3 cm C． cm D．2 cm
2．（2021九上·温州期末）若 ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九上·正定期中）已知线段 ， ，线段 是 ， 的比例中项，则 等于（ ）
A．36 B．6 C．-6 D．6或-6
4．（2021九上·石景山期末）若，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·攀枝花期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．如果，那么
B．
C．方程的根是
D．
6．（2024九上·六安月考）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·黄岛期中）按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取。则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中不正确的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．若线段a=5 cm，b=2 cm，则a ： b=5 ： 2
C．若线段AB= cm，C 是线段AB的黄金分割点，且AC> BC，则AC=cm
D．四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是比例线段
二、填空题
9．（浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题）若，则的值为 ．
10．（2019九上·正定期中）若 （ ， ， 均不为0），则 的值为
11．（2023九上·青神期中）已知，则的值是 ．
12．（2023九上·黄浦期中）如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
13．若，则x的值为 .
三、解答题
14．（2023九上·青龙期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？
15．（2023九上·临平月考）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
16．我们把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．如图，将一张标准纸ABCD(AB17．已知a：b：c=3：4：5．
（1）求代数式的值．
（2）若a-b+c=24，求a，b，c的值．
18．如图，一幅矩形油画的长为40cm，宽为25 cm，在油画的外围镶有宽为5cm的画框，则画框内外所构成的两个矩形的长和宽是成比例线段吗？请说明理由．
19．（湘教版九年级数学上册 3.1 比例线段（2） 同步练习）已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．
（1）求线段a与线段b的比．
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？
20．已知与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1.
（1）求的值.
（2）求的周长与的周长之比.
（3）在这六条线段中，指出其中三组成比例线段.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：四条线段a，b，c，d成比例，
∴ 即 ，
∴ cm.
故答案为：C.
【分析】根据成比例线段的定义先列出比例式，再代值求解即可.
2．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用比例的基本性质合比性质，进行变形后即可得出结果.
3．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，
∴
∴
∴x=±6，x= 6(舍去).
故答案为：B.
【分析】根据已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
4．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、，得，A不符合题意；
B、 ，得，B不符合题意；
C、，得，C符合题意；
D、，得，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；因式分解法解一元二次方程；比例的性质
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
解得，，舍去，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到，进而解一元二次方程即可求解。
7．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】
解：∵，
∴ AD=
∵ DE=DB
∴ AE=AD-DE=
∵ AC=AE
∴
故答案为B
【分析】本题考查比例线段---黄金分割，根据，得AD=，由 DE=DB得AE=，由 AC=AE得 .
8．【答案】A
【知识点】比例线段；黄金分割；相似三角形的判定；线段的比
【解析】【解答】解：A、所有的等腰三角形对应角不一定相等， 所以它们不一定相似，故符合题意；
B、 若线段a=5 cm，b=2 cm，则a ： b=5 ： 2，正确， 故不符合题意；
C、若线段AB= cm，C 是线段AB的黄金分割点，且AC> BC，
则AC=AB=cm ，正确，故不符合题意；
D、∵1×4=2×2，
∴ 四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是比例线段 ，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定，成比例线段，黄金分割逐项判断即可.
9．【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：7.
【分析】先根据等式用表示出，得到：，然后代入比例式进行计算即可得解．
10．【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：已知 （ ， ， 均不为0），由比例的性质得：
；
；
则 = + =
故答案为：1．
【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出 ， ，然后将 化为： + - ，再代入求值．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴13（a-b）=4（a+b），
∴13a-13b=4a+4b，
∴13a-4a=4b+13b，
∴9a=17b，
∴b：a=9：17，
故答案为：.
【分析】利用比例的性质可得13（a-b）=4（a+b），求出9a=17b，再求出b：a=9：17即可.
12．【答案】16
【知识点】比例线段
【解析】【解答】
解：
设实际距离为x千米，根据题意得，
解得，x=16
故答案为：16
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，设实际距离为x千米，列方程求解即可。注意列方程时千米要化为厘米。
13．【答案】-1或
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当a+b+c=0时，则b+c=-a，a+c=-b，b+a=-c，
∴=-1，
当a+b+c≠0时，x==.
综上可知： x的值为-1或.
故答案为： -1或.
【分析】分两种情况：a+b+c=0和a+b+c≠0，再根据比例的性质分别求解即可.
14．【答案】解：如图所示，雕像高为，上部为，下部为．
由题可知．设下部，则，
，
去分母得，，
，
解得，（舍），
检验，方程解为，
答：它的下部应设计为高．
【知识点】分式方程的实际应用；比例线段
【解析】【分析】列分式方程解实际问题，设下部BC的长后，根据题意所给的比例（）列方程，求得BC长，注意分式方程需检验。
15．【答案】（1）解：∵＝，
∴＝，
∴＝，
（2）解：设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3．
【知识点】比例线段；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
(1)根据已知得出a：b的值，再求a+b/b的值即可。
(2)设比值为k，用k表示出 a，b，c，再根据a+b+c=27列方程求出k .
16．【答案】解：成比例；理由如下：
由题意可得：，
∵ 一张标准纸ABCD(AB∴EF=DC，，
则，
即，
故图中两个矩形的长与宽成比例.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；比例线段
【解析】【分析】根据题意先求出，根据折叠的性质可得EF=DC，，求得；推得，即可证明图中两个矩形的长与宽成比例.
17．【答案】解： ∵a：b：c=3：4：5，
∴可设a=3k，b=4k，c=5k，
（1） ，
（2） a-b+c=3k-4k+5k=24，
解得：k=6，
∴a=18，b=24，c=30.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】由a：b：c=3：4：5，可设a=3k，b=4k，c=5k，（1）将a、b、c的值代入化简即可；（2）将a、b、c的值代入a-b+c=24中，求出k值，继而求出a、b、c的值.
18．【答案】解：画框内外所构成的两个矩形的长和宽不构成比例线段，理由如下：
∵ 一幅矩形油画的长为40cm，宽为25cm，在油画的外围镶有宽为5cm的画框，
∴外框两边长分别为50cm，35cm，内框两边长分别为40cm，25cm，
∵，
∴画框内外所构成的两个矩形的长和宽不构成比例线段．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据题意算出画框外矩形的长与宽，然后算出画框内外所构成的两个矩形的长和宽的比值，即可根据成比例线段的定义判断得出答案.
19．【答案】（1）解：∵a=0.3m=30cm；b=60cm，
∴a：b=30：60=1：2
（2）解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴ = ，
∵c=12dm=120cm，
∴ = ，
∴d=240cm
（3）解：是，理由：
∵b2=3600，ac=30×120=3600，
∴b2=ac，
∴b是a和c的比例中项
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）首先统一单位，即a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；
（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得a：b=c：d，据此可求得d的值；
（3）首先计算出b2=3600，ac=30×120=3600，从而可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．
20．【答案】（1）解：易知，
；
（2）解：，
，
的周长与的周长之比为2：1；
（3）解：∴是成比例线段；
是成比例线段；
是成比例线段.
【知识点】勾股定理；比例线段
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及勾股定理分别算出AB、BC、AC、DE、EF及DF的长，再分别求出对应的比值即可；
（2）根据等比的性质即可求出答案；
（3）根据成比例线段的概念找出成比例的线段即可.
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