方程的根与函数的零点
一、选择题
1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 令log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是2，故选C.
【答案】 C
2．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 注意到f(－1)×f(0)＝×(－1)＜0，因此函数f(x)在(－1，0)上必有零点，又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3，故选D.
【答案】 D
3．函数f(x)＝lnx＋2x－8的零点所在区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
【解析】 ∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0，
f(3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f(4)·f(3)<0.
又f(x)在(3，4)上连续，
∴f(x)在区间(3，4)内有零点．
【答案】 C
4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
【解析】 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C.
【答案】 C
二、填空题
5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．
【解析】 由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a>0，即a<1.
【答案】 (－∞，1)
6．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
【解析】 由题意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a.
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)＝0，
∴x＝0或x＝－.
【答案】 0或－
7．(2014·温州高一检测)根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________.
x
1
2
3
4
5
ln x
0
0.69
1.10
1.39
1.61
【解析】 f(1)＝ln1－1＋2＝1＞0，
f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69＞0，
f(3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.10＞0，
f(4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61＜0，
f(5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39＜0，
所以f(3)·f(4)＜0.
所以函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(3，4)内有一个零点，所以k＝3.
【答案】 3
三、解答题
8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝.(2)f(x)＝x2＋2x＋4.
(3)f(x)＝2x－3.(4)f(x)＝1－log3x.
【解】 (1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，
由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
9．(2014·西安高一检测)已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点．
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0得x＝－1或x＝2.
即函数f(x)的零点为－1与2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－.
所以a的取值范围是a≥－.
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
【解析】 根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．
【答案】 C
2．(2013·重庆高考)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【解析】 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，
∵a0，f(b)<0，f(c)>0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
【答案】 A
3．(2014·杭州高一检测)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】 画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
【答案】 a＜b＜c
4．(2014·渭南高一检测)方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0【解】 因为方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0据图象有f(0)＝1－3k>0，且f(1)＝－4k<0，且f(2)＝1－5k>0，所以0所以实数k的取值范围为.
3．1.1 方程的根与函数的零点
[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．
[知识链接]
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？
答案
方程
x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝0
x2－2x＋3＝0
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的图象
方程的实数根
x1＝－1，x2＝3
x1＝x2＝1
无实数根
函数的图象与
x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
[预习导引]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系；
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．
要点一 求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
解
规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
跟踪演练1 判断下列说法是否正确：
(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；
(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错．
(2)虽然f(1)＝0，但1?[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．
要点二 判断函数零点所在区间
例2 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．
2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
跟踪演练2 函数f(x)＝ex＋x－2所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
要点三 判断函数零点的个数
例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
解
跟踪演练3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
1．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2 B．(－2,0)
C. D.
2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
4．方程2x－x2＝0的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．
1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
一、基础达标
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
4．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
6．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
7．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
二、能力提升
8．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
9．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝__________.
10．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
11．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
三、探究与创新
12．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围．
解
13．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4 ，求下列条件下，实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解
3．1.1 方程的根与函数的零点
[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．
[知识链接]
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？
答案
方程
x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝0
x2－2x＋3＝0
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的图象
方程的实数根
x1＝－1，x2＝3
x1＝x2＝1
无实数根
函数的图象与
x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
[预习导引]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系；
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．
要点一 求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
解 (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，
所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，
所以函数的零点为－6.
规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
跟踪演练1 判断下列说法是否正确：
(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；
(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错．
(2)虽然f(1)＝0，但1?[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．
要点二 判断函数零点所在区间
例2 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵f＝－2＜0，
f()＝－1＞0，∴f·f＜0，
∴零点在上．
规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．
2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
跟踪演练2 函数f(x)＝ex＋x－2所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
答案 C
解析 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0,1)内有零点．
要点三 判断函数零点的个数
例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
解 方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．
跟踪演练3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，
可得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
1．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2 B．(－2,0)
C. D.
答案 D
解析 令y＝4x－2＝0，得x＝.
∴函数y＝4x－2的零点为.
2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
答案 D
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．
3．函数y＝lg x－的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
答案 D
解析 因为f(9)＝lg 9－1＜0，
f(10)＝lg 10－＝1－＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y＝lg x－在区间(9,10)上有零点，故选D.
4．方程2x－x2＝0的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.
5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．
答案 (－∞，1)
解析 由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，
故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.
1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
一、基础达标
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
答案 A
解析 B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 C
解析 由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，
f(2)＝7.39－4＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点．
4．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案 B
解析 f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，
f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f(2)·f(3)＜0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
6．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
答案 0
解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.
7．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
解 令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，
即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示，
有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
二、能力提升
8．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋
(x－c)(x－a)，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，
f(c)＝(c－a)(c－b)，
∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
9．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝__________.
答案 0或－
解析 a＝0时，f(x)只有一个零点－1，
a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
10．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
答案 2
解析 令f(x)＝ln x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4＜0，
f(3)＝ln 3－1＞0.
∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.
11．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
解 (1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.
∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，
故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
三、探究与创新
12．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，
∴c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3.
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，
f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，
∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，
∴解得a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋3.
(2)由(1)，得g(x)＝x2－|x|＋3＋m，
在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，
由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点．
由图象得
解得－3＜m＜－，
即实数m的范围是.
13．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4 ，求下列条件下，实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解 (1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，
结合二次函数的单调性与零点存在定理，得
解得2≤a＜.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，
结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，
结合二次函数的单调性与零点存在定理，得
解得＜a＜.
课件30张PPT。函数的应用3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点[学习目标]
1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.
2.掌握函数零点的判定方法.
3.了解函数的零点与方程的根的联系.栏目索引
CONTENTS PAGE 1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功 预习导学 挑战自我，点点落实[知识链接]
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案[预习导引]
1.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.方程、函数、图象之间的关系；
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与 有交点?函数y＝f(x) .f(x)＝0x轴有零点3.函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立.连续不断f(a)·f(b)＜0f(c)＝0 课堂讲义 重点难点，个个击破要点一 求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
解 解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
解 解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，
所以函数的零点是－1.
(3)f(x)＝2x－1－3；
解 解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.所以函数的零点为－6.规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.跟踪演练1 判断下列说法是否正确：
(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；
解 函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错.(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
解 虽然f(1)＝0，但1?[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.答案 C规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.
2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.跟踪演练2 函数f(x)＝ex＋x－2所在的一个区间是( )
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0,1)内有零点.C要点三 判断函数零点的个数
例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.
解 方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.
方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.跟踪演练3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，答案 B 当堂检测 当堂训练，体验成功12345D123452.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A.方程f(x)＝0一定有实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实根
D.方程f(x)＝0可能无实数解
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解.D12345D解析 因为f(9)＝lg 9－1＜0，123454.方程2x－x2＝0的解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.C123455.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是___________.
解析 由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，
故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.(－∞，1)课堂小结
1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
2.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.谢谢观看课件36张PPT。自主学习·基础知识奇思妙想·一题多解合作探究·重难疑点课时作业3．1.1 方程的根与函数的零点
[学习目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)一、函数的零点
1．定义
对于函数y＝f(x)，把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与____有交点?函数y＝f(x)有______．f(x)＝0x轴零点二、函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有______，即存在c∈(a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)＜0零点f(c)＝0三、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系(x1，0) (x2，0)(x1，0)21 01．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数都有零点．( )
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×3．若函数f(x)在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2，5)上零点的个数是________．
【解析】 由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(x)在区间(2，5)上有且只有一个零点．
【答案】 14．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，则可以确定零点所在区间为________．
【解析】 ∵y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)·f(3)＜0，∴函数零点所在区间为(2，3)．
【答案】 (2，3)预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中求函数零点的方法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象相结合，即图象与x轴的交点的横坐标为函数的零点．【解】 (1)令f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0.
Δ＝49－4×12＝1＞0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根，
∴函数f(x)有两个零点．
判断函数零点个数的主要方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断函数零点的个数．即转化成两个函数图象的交点问题．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判断y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
【解析】 ∵Δ＝b2－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，故函数有两个零点．
【答案】 B确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．(1)(2014·怀化高一检测)函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
(2)函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．
【思路探究】 (1)由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，转化为y＝a－1与y＝2|x|－x2图象交点的个数问题．
(2)此方程不一定是一元二次方程．可以分a＝0，a≠0且Δ＝0，a≠0且Δ＞0三种情况讨论．【解析】 (1)由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 若题(1)中的函数有两个不同的零点，试求实数a的取值范围．
【解】 观察题(1)解析中的图象可知，a－1＝1或a－1＜0，所以a＝2或a＜1.1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．(1)求函数f(x)的零点，通常转化为解方程f(x)＝0；(2)确定函数的零点、所在的区间，通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，体现了函数与方程思想的应用．【妙解点拨】 先将函数零点的问题转化为方程的解的问题，再将方程适当变形后转化为两个函数图象交点横坐标所在区间的问题．
巧用函数图象分析函数零点所在的区间
(1)使用前提：在方程F(x)＝0不易解答，且只要求判断函数零点的个数或所在区间时，可以用画函数图象的方法解答．[类题尝试]
函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数为________．
【常规解法】 因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＞0，
所以f(x)在(0，2)上必定存在零点，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
【答案】 1【巧妙解法】 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
