课件34张PPT。2.1.1平面 1、初中《几何》中我们认识了哪些平面几何图形？三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。平面内基本图形：点、线空间中基本图形：点、线、面2、高中《几何》中我们认识了哪些立体几何图形？棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。复习引入451.特点:平面是无限延展,没有厚度的.2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.3.记法:①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）②平面ABCD、平面AC或平面BD（但常用平面的一部分表示平面）一、平面的表示方法 判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打 ，否则打 .
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界； ( )
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、平面是无限延展、没有厚度的 ； ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )巩固:点在直线上点在直线外点在平面内 点在平面外结论1：空间中点与线、点与面的位置关系思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?表示两平面相交的画法点与平面的位置关系点A 在平面内，记作：点B 在平面外，记作：二、平面的基本性质公理1：若一条直线的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内,
即:这条直线在这个平面内。作用:用于判定线在面内即: A∈a且B∈ a AB aAB直线a在平面a内记作：a a直线a在平面a外结论2 ：空间中线与面的位置关系强调:
空间中点与线(面)只有∈和 关系
空间中线与面只有 与 的关系条件?结论推导符号“?”的使用：思考2:固定一扇门需要几样东西？回答:确定一个平面需要什么条件?公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 ? A、B、C确定一个平面A、B、C不共线强调:推导符号跟着结论一起换行。作用:用于确定一个平面.推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。推论2.两条相交直线确定一个平面。推论3.两条平行直线确定一个平面。公理2.不共线的三点确定一个平面.确定一平面还有哪些方法？应用1: 几位同学的一次野炊活动,带去一张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一生提议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示）,问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？答:至少3根 应用2:过空间中一点可以做几个平面？
过空间中两点呢？三点呢？ 结论：过空间中一点或两点可以做无数个平面，过空间中不共线的三点只能做一个，否则有无数个。思考3:如图所示，两个平面?、?,若相交于一点,则会发生什么现象? ?P?公理3：若两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。作用:用于证明点在线上或多点共线. 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，典型例题201.正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面
,分别记作 ，试用适当的符号填空． (6)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=OO1练习back 例2：求证两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内(共面问题)已知: AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.求证:直线AB、BC、AC共面.证明∵AB∩AC=A∴直线AB、BC、AC共面于a∴AB和AC确定一平面a(公理2的推论2) ∵B∈AB a,C∈AC a∴BC a(公理1)证法二：因为A? 直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面? .（推论1）因为B∈BC，所以B∈? . 又A∈?， 故AB ??，同理AC ? ?，所以AB，AC，BC共面.例2 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面?.（公理2）因为A∈?，B∈?，所以AB ? ?.（公理1）同理BC ? ?，AC ? ?，所以AB，BC，CA三直线共面. 例3:△ABC在平面a外, AB∩a =Ｐ, BC ∩a=Ｑ， AC∩a =Ｒ,求证:Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线.(共线问题)ABC又P∈a证明:∵P∈AB 且 AB 平面ABCQPR∴ P∈平面ABC∴ P∈平面ABC∩a (公理3)设平面ABC∩a = l则 P∈ l同理 Q∈l 且R∈l故P、Q、R三点共线于直线l三线共点的问题练习：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.分析：
已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点.
即要证明B，D，K三点共线.而BD是面ABD和面CBD的交线.
所以往证K∈面ABD∩面CBD.而显然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD.
同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.三线共点的问题练习：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．∵ EH是△ABD的中位线，∴EH ∥FG且EH =FG．∴EFGH是一个平行四边形．证明：连结BD，同理，FG ∥BD且FG = BD． ∴EH ∥BD且EH = BD．菱形问2:若上例中四边形EFGH为矩形，AC与BD垂直吗？另注：平行线段成比例练习例4：证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求证：直线a，b，c共面.证明：因为a//b，所以直线a，b确定一个平面? .（推论3）因为A∈a，B∈b，所以A∈?，B∈?.又因为A∈c，B∈c.故AB?? .（公理1）因此直线a，b，c共面.点线共面问题练 已知a ??，b ??，a∩b=A，P∈b，PQ//a . 求证：PQ ?? .点线共面问题补充练习：1、A为直线 上的点，又点A不在平面 内，则 与 的公共点最多有 _______个.12、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作_____________个不同的平面 .1或4或6 若一条直线的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内,
即:这条直线在这个平面内 小结:平面的基本性质 公理1：作用:用于判定线在面内即: A∈a且B∈ a AB aAB作用:用于确定一个平面.小结：公理2及其推论公理3：若两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。作用:用于证明点在线上或多点共线点在直线上点在直线外点在平面内 点在平面外结论1:空间中点与线、点与面的位置关系直线a在平面a内记作：a a直线a在平面a外结论2 ：空间中线与面的位置关系强调:
空间中点与线(面)只有∈和 关系
空间中线与面只有 与 的关系条件?结论推导符号“?”的使用：课件15张PPT。2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系请叙述三条公理和三条推论回顾如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 问题：平面几何中，两条直线的位置关系：平行或相交在空间中是否还是如此呢？一、复习引入在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系（1）AB和C1D1；
（2）A1C1和AC；
（3）A1C和D1B：
（4）AB和CC1；
（5）BD1和A1C1；定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。注：1 概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面” .或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．一、异面直线:2.简单地说，异面直线为既不平行也不相交的直线6a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？合作探究一NEXTBACK
两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.练习1：在教室里找出几对异面直线的例子。
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.注1NEXTBACK2.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分同在一个平面内相交直线平行直线 不同在任何一个平面内:异面直线 有一个公共点: 按公共点个数分相交直线无 公 共 点平行直线异面直线NEXTBACK2.异面直线的画法说明: 画异面直线时 , 为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.如图：(1)(3)(2)NEXTBACK如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？请你与同学们共同探究？看谁说得最多？共3对：AB与CD，AB与GH，GH与EF合作探究1、空间中两条直线的位置关系有（ ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种 2、空间中两条平行或相交的直线一定（ ）
A、 共面
B、异面
C、可能共面也可能异面
D、既不共面也不异面课堂练习 3、“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
② a ? 平面?，b ? 平面?且a∩b=Φ
③ a ? 平面?，b ? 平面?
④ 不存在平面?，能使a ? ?且b ? ?成立
上述结论中，正确的是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④注意：不能误认为分别在不同平面内的两直线 就是异面直线.如：课堂练习3、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
（A）异面 （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能
4、异面直线a，b满足a??，b??，?∩?=l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
（A）l与a，b都相交
（B）l至少与a，b中的一条相交
（C）l至多与a，b中的一条相交
（D）l至少与a，b中的一条平行5：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？解：1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， ∴ AB ∥ C1D1 2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1 ∴ ABC1D1为平行四边形故AD1 ∥ BC1 练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？异面直线的判定方法：
定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后推出 矛盾即可。
定理法：即用判定定理，用该方法证明时，必须阐述定理满足的条件： 然后可以推出
归纳总结课件23张PPT。空间中直线与直线之间的位置关系2同一平面内，平行于第三条直线的两条直线互相平行平行线的传递性公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线所成的角 在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它
们的夹角, 用以刻画两直线的错开
程度, 如图. 在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?(2)问题提出(1)复习回顾NEXTBACK(3)解决问题异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).O思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?NEXTBACK㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?NEXTBACK例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，
求证EFGH是一个平行四边形。解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。变式一： 在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? EHFG分析：
在例题1的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形变式二： 空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ，
求证:四边形ABCD为梯形.ABCDEHFG分析：需要证明四边形ABCD有
一组对边平行，但不相等。练习:?如图， 是平面 外的一点 分别是
的重心，
求证： 。 证明：连结 分别交
于 ,连结 ,
∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分别是BC,CD的中点,
∴MN//BD,
又∵
∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.
例2:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，
E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线 AD与 EF所成角的大小；②异面直线 B’C与 EF所成角的大小；③异面直线 B’D与 EF
所成角的大小.平
移
法OGAC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’DB’D 与EF所成的角
即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.练习;在正方体ABCD—A1B1C1D1中，练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；2、与直线BB1垂直的棱有多少条？指出下列各对线段所成的角：1）AB与CC1；2）A1 B1与AC；3）A1B与D1B1。1）AB与CC1所成的角= 9 0°2）A1 B1与AC所成的角= 4 5°3）A1B与D1B1所成的角= 6 0°2）与棱BB1垂直的棱有：ABCDA1B1C1D1AD、A1D1、DC、D1C1、A1B1、AB、B1C1、BC、相交：异面：垂直相交垂直异面垂直1）直线AD1与B1C所成的夹角= 9 0°练习 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？ NEXTBACK连接HA、AF，(2)连接FH，∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角则AH=HF=FA∴ △AFH为等边△NEXTBACK 如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?解答：NEXTBACK练习G思考题如图，正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC 的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角？∴ ?EGF 中, 有EG2 +EF2 = EF2 ,
∴ ?EGF为等腰直角三角形.
∴∠GEF=450 为异面直线 EF与AC 所成的角.思考:对棱AC与BD所成的角为多少度?解：取BC中点G ，连接EG则EG∥AC, ∴∠GEF(或其补角)为异面直线 EF与AC 所成的角,连FG,设正四面体的棱长为2,则EG =FG =1,连接AF,DF则? AFD中,AF =DF = 又E为AD中点 , ∴FE⊥AD, Rt ?AEF中,得EF =NEXTBACK6.课堂小结NEXTBACK作业： P56：4,61．空间两直线平行是指它们（ ）
A．无交点 B．共面且无交点
C．和同一条直线垂直 D．以上都不对练习 2．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边
分别平行，则这两个角（ ）
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．既不相等也不互补 3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，
那么它与另一条的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面
C．相交或异面或平行 D．相交或异面BCD 4．如图， 是长方体的一条棱，这个长方体中与
异面的棱共有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条B5．两条异面直线是指（????? ）
A．空间两条没有公共点的直线
B．平面内一直线与这个平面外的一直线
C．分别在两个平面内的两条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线D
6.正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,
则OD1与A1C1所成的角的度数为A1D1C1B1ABCDO9007.在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且 SA=BC,
E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF
与SA 所成的角等于（ ）CD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900B 且PE//BC, PF//AD
解:设P为AC中点,连结EP、FP. 则 ∴ PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角.在△PEF中, PE=PF=1, EF=即异面直线AD和BC成600角∴G课件21张PPT。空间中直线与平面之间的位置关系 3、下图是一个长方体，则B′B所在的直线与D′D所在的直线的位置关系是 ，则A′A所在的直线与C′D′所在的直线所成的角是 度；若∠BA′B′=30o, 则A′B所在的直线与D′D所在的直线所成的夹角是 度。一、课前练习1、空间中两条直线的位置关系
有 、 、 。2、相交直线的特点是① 共面；② 有且只有一个公共点，则平行直线的特点是：①
②异面直线的特点是： 。ABCDA′B′C′D′30o相交平行异面共面没有公共点异面没有公共点平行9060探究性练习如下图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，（1）A′B所在的直线与平面A′A B B′有 个公共点；（3）A′B所在的直线与平面C′CDD′有 个公共点；无数一一一一零③直线与平面平行——没有公共点；1、交流归纳:直线与平面的位置关系有且只有三种：①直线在平面内——有无数个公共点（交点）；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?aa①二、新课3、如何用符号语言表示直线与平面的位置关系。①直线a在平面α内，记作a α；②直线a与平面α相交于A点，记作a∩α=A；③直线a与平面α平行，记作a∥α；例1.空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另
外两边的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的
中点．
求证：EF∥平面BCD．证明：连结BD．性，这三个条件是证明直线和平面平行的条件，缺一不可．例2 判断下列四个命题的对错.
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，
则l∥α.
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内
的任意一条直线都平行.
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内
的任意一条直线都没有公共点.
(4)若两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. (×)(×) (×)9随堂练习1、若直线a不平行于平面α ，且a α，
则下列结论成立的是（ ）：(A)α内的所有直线与a异面； (B)α内不存在与a平行的直线；
(C)α内存在唯一的直线与a平行； (D)α内的直线与a都相交；2、判断题：（1）a∥α，b α，则a∥b；（ ）（2）a α，则a∥α或a和α 相交；（ ）（3）a∩α=A， a α； （ ）（4）若a α，b α，则a、b无公共点。 （ ）B×√√×四、小结：1、空间中直线与平面的三种位置关系：直线在平面内——有无数个公共点（交点）；2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系：3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系：1.?已知直线a在平面α外，则 （??? ）
（A）a∥α??? ?（B）直线a与平面α至少有一个公共点 （C）a?α=A
（D）直线a与平面α至多有一个公共点。随堂检测D2．选择题
（1）以下命题（其中a,b表示直线，a表示平面）
①若a∥b，bìa，则a∥a???②若a∥a，b∥a，则a∥b ③若a∥b，b∥a，则a∥a???④若a∥a，bìa，则a∥b 其中正确命题的个数是 （ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个A123.已知a∥a，b∥a，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；
④相交；⑤不垂直且不相交.??
其中可能成立的有 （??? ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
4.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是（???）
（A）平行 （B）相交???
（C）平行或相交?? （D）AB ìaDC5.已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，则l （???）
（A）与m，n都相交??????
（B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交???
（D）与m，n中一条相交C探究（一）平面与平面之间的位置关系思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？15思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？（1）两个平面平行---没有公共点；
（2）两个平面相交---有一条公共直线.16思考4:下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？17思考5:已知平面α，β和直线a，b，且α∥β, ,则直线a与平面 β的位置关系如何？直线a与直线b的位置关系如何？18一个长方体切一刀最多可以分成多少块？
一个长方体切两刀最多可以分成多少块？
一个长方体切三刀最多可以分成多少块？
248例题讲练:19例2 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为8，M，N，P分别是A′B′，AD，
B B′的中点.
（1）画出过点M，N，P的平面与平面
ABCD的交线以及与平面BB′C′C的交线；
（2）设平面PMN与棱BC交于点Q，求PQ的长.2021小结：两个平面的位置关系是:没有公共点有一条公共直线∥
