课件51张PPT。§4.2.1直线与圆的位置关系教学目标 1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点：
直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
难点：
用坐标法判直线与圆的位置关系．学.科.网zxxk 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 为解决这个问题，我们以台风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．实例引入问题实例引入问题轮船航线所在直线 l 的方程为： 问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点学.科.网 这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定 思考1:在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 思考2:在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ dr思考3:如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？ 两个公共点一个公共点没有公共点zxxkw思考4:在平面直角坐标系中，我们用方程表示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？方法一:根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断； 方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断.思考5:上述两种判断方法的操作步骤分别如何？ 代数法：1.将直线方程与圆方程联立成方程组；2.通过消元，得到一个一元二次方程；3.求出其判别式△的值；4.比较△与0的大小关系：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断： 直线与圆的位置关系的判定方法几何法：直线l：Ax+By+C=0圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交例1：如图，已知直线l： 和圆心为C的圆： ，判断直线l与圆的位置关系； zxxk理论迁移：如果相交，求它们交点的坐标。解法一：由直线l与圆的方程，得：
消去y，得：
因为
∴直线与圆相交，
有两个公共点。联立方程组消元（x或y）求解△比大小作结论求圆心与半径求距离比大小作结论解法二：圆
可化为 ，
其圆心C的坐标为（0，1），
半径成为 ，
点C（0，1）到直线l的距离
∴直线与圆相交，
有两个公共点。 直线与圆位置关系的判断
例 2：当 k 为何值时，直线 l：y＝kx＋5 与圆 C：(x－1)2＋
y2＝1：(1)相交？(2)相切？(3)相离？ 思维突破：判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法
和代数法，使用时以几何法为主．(1)当Δ>0，即 k<－(3)当Δ<0，即 k>－故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k.12
5时，直线与圆相交．(2)当Δ＝0，即 k＝－12
5时，直线与圆相切．12
5时，直线与圆相离．(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0.解法二(几何法)：圆心 C 的坐标为 C(1,0)，半径 r＝1，圆心1－1.求实数 b 的范围，使直线 y＝x＋b 和圆 x2＋y2＝2：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．变式2：求实数 b 的范围，使直线 y＝x＋b 和圆 x2＋y2＝2：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．得 2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝－4(b2－4)．
(1)当Δ>0，即－2(2)当Δ＝0，即 b＝－2 或 b＝2 时，直线与圆相切．
(3)当Δ<0，即 b<－2 或 b>2 时，直线与圆相离． (1)几何法：用弦心距d，半径r及
半弦构成直角三角形的三边三、直线与圆相交时弦长的求法：(2)代数法：用弦长公式 弦长问题
例 3：直线 l：x＋y＋1＝0 被圆(x－3)2＋y2＝9 截得的弦长
为________．答案：2 3－1.(2010 年四川)直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于
A、B 两点，则|AB|＝_____.例4、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 ，求直线l的方程。对于圆:T解：(1)若斜率存在，因为直线l 过点M,可设所求直线l 的方程为:如图:解得:所求直线为:(2):若直线l的斜率不存在，则l：x=-3,练习、已知过点 的直线 被圆
所截得的弦长为 ，求直线 的方程并画出图形。 分析：圆心（1，1），半径 r=1解：由直线被圆所截得的弦长为 得圆心到直线的距离为若直线 的斜率不存在，易知直线与圆相离，不符合题意则直线 的斜率存在且设为 ，则直线方程为即由圆心到直线的距离得解得：注意：当直线的斜率不知道而要设时，必须考虑直线的斜率是否存在。知识探究（二）：圆的切线方程 思考1:过圆上一点、圆外一点作圆的切线，分别可作多少条？ 思考2:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2上一点，如何求过点M的圆的切线方程？x0x+y0y=r2思考3:设点M(x0，y0)为圆 x2＋y2=r2外一点，如何求过点M的圆的切线方程？Zxx，k
思考4:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程如何？ x0x+y0y=r2例5 写出过圆O：x2＋y2＝10上一点M（2， ），
且与圆相切的直线 l 的方程．解：显然，直线 l 与直线 OM
是垂直的，而直线 OM 的斜
率为即由此可知直线 l 的斜率为 由直线的点斜式方程可知
直线 l 的方程为例5 写出过圆O：x2＋y2＝10上一点M（2， ），
且与圆相切的直线 l 的方程．解：当直线的斜率存在时，设其
方程为y-4=k(x-2),直线与圆的位置关系典型例题练习：直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程. 22Oxy(2,2)解：①当k不存在时，过(2,2)的直线x=2也与 圆相切。②当K存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-2），
由已知得圆心的坐标为（1，0），因为
直线l与圆相切，所以有：
解得：所以直线方程为： 变式演练+ 例 6：求经过点(1，－7)且与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程． 思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：(1)
设切线斜率，用判别式法．(2)设切线斜率，用圆心到直线的距
离等于半径法．(3)设切点坐标，用切线公式法．解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1
所以 ＝1，即|k＋4|＝ ，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1.
解得k＝ .所以切线方程为y＋3＝ (x－4)，
即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
2－1.求由下列条件所决定的圆 x2＋y2＝4 的切线方程：
相离相切相交d>rd=rd0△=0△<0课堂小结：代数法：联立方程组消元（x或y） 求解△若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．几何法：求圆心坐标和半径r求圆心到直线的距离比大小当dr时，直线与圆相交。 课堂小结：因此所证命题成立解法1：代 数 方 法圆的弦长ABl解法2:(1)由圆方程可知，圆心为（0，1），半径为 r = 则 圆心到直线 l 的距离为 因此所证命题成立几何方法lAB解法3：mx-y+1-m=0过定点（1，1）而（1，1）在圆内，所以直线与圆相交。(2)由平面解析几何的垂径定理可知lAB解：（2）如图，有平面几何垂径定理知变式演练1思考：
1.求过点A（1,2）和圆
相切的直线方程
2.求和圆 相切且切点为P
（1,1）的直线方程
3.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，求该圆的标准方程课件10张PPT。直线与圆的方程的应用例1：如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造时每隔4ｍ需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度（精确到0.01m）.
练习课本144页
2、3课本例5已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，
求证：圆心到一边的距离等于 这条边所对边长的一半。
过四边形ABCD外接圆的圆心O’ 分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为
M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点。由中点坐标公式，得
所以又 所以坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建系，几何问题代数化；
第二步：解决代数问题；
第三步：还原结论。课件39张PPT。4.2.3圆与圆的位置关系学 科网学习目标:1、理解圆和圆的位置关系有哪几种位置及判定方法;
2、理解并掌握过交点的圆系方程。1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。复习提问:设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,
圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:代数法:点在圆内?(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2
点在圆上?(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2
点在圆外?(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2几何法:点在圆内?d 点在圆上?d=r
点在圆外?d>r2.判断直线和圆的位置关系:几何方法求圆心坐标及
半径r(配方法) 圆心到直线的距离d
(点到直线距离公式)代数方法 消去y(或x) 类比猜想
zxxkwEnd 两圆的五种位置关系 00112BAAA内切内含学科网zxxkw两圆位置关系的代数表示口答 圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米,设(1) o1o2 =8厘米;(2) o1o2 =7厘米; (3) o1o2 =5厘米;(4) o1o2 =1厘米; (5) o1o2 =0.5厘米; 圆O1和圆2的位置关系怎样?外离外切相交内切内含学科网zxxkw例1. 已知圆试判断圆 与圆 的关系.圆分析：方法一，圆C1与圆C2有几个公共点，由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；
方法二，可以依据连心线的长与两个半径
长的和 或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系。解法一：圆与圆的方程联立，得到方程组???-?,得?由?，得把上式代入?，并整理，得?方程?的根的判别式所以，方程?有两个不相等的实数根，把分别代入方程?，得到因此圆与圆有两个不同的公共点解法二：把圆 的方程化为标准方程，得圆的圆心是点半径长把圆 的方程化为标准方程，得圆的圆心是点半径长圆与圆的连心线的长为圆与圆的两半径之差是而即圆与圆的两半径之和是所以圆的两半径之差是与圆相交，它们有两个公共点Ａ，Ｂ.公共弦练1判断圆 和圆
的位置关系解:圆心C1: 半径r1:圆心C2: 半径r2:因而两圆内切.练习21.判断圆 与圆 的位置关系.
2.判断圆 与圆
的位置关系.外切相交共点圆系方程:此圆系方程少一个圆C2 若圆O：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线Ax+By+C=0有公共点，则经过它们
的交点的圆系方程是：知识探究例2:求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和
x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，(1)过点 (－ 1 , 1)的圆的方程。解：设所求圆方程为故所求圆方程为例2:求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和
x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，解：设所求圆方程为故所求圆方程为(2)圆心在直线 2x + 4y = 1上的圆方程。练3 求圆心在直线 上，
并且经过圆 与圆 的交点
的圆的方程.练4．已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y－40=0 相交于A、B两点，求公共弦AB的长.解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程，此方程即为公共弦AB所在的直线方程，4x+3y=10.由 所以两点的坐标是A(－2，6)、B(4，－2)故|AB|=圆C1的圆心C1(5，5 )，半径r1=5，则|C1D|=所以AB=2|AD|=解法二：同解法一，先求出公共弦所在直线的方程：4x+3y=10. 过C1作C1D⊥AB于D. 例4．已知圆C1：x2+y2－2mx+m2=4和圆C2：x2+y2+2x－4my=8－4m2相交，求实数m的取值范围.解：由题意得C1(m，0)，C2(－1，2m)，r1=2，r2=3，而两圆相交，有|r1－r2|<|C1C2|两圆的半径分别为r1＝1和r2＝r(r＞1)．
因为两圆相交，所以r2－r1＜d＜r1＋r2，
即r－1＜5＜1＋r，
即 解得
从而实数r的取值范围为(4,6)．6．圆x2+y2=1和圆(x－1)2+(y－1)2=1的公共弦长为 .7．若圆：x2+y2－2ax+a2=2和x2+y2－2by +b2=1外离，则a、b满足的条件是 . a2+b2≥3+2 例6半径为3的圆 与圆 内切,
切点为(0,2)，求此圆的方程.因为两圆内切因为(0,2)为切点,所以(0,2)在圆C1上,即①和②联合方程组, 解得a = 0, b = 5练6：求过点A(0,6)且与
圆C:
切与原点的圆方程。几何方法两圆心坐标及半径（配方法） 圆心距d
（两点间距离公式） 比较d和r1，r2的大小，下结论外离d>R+rd=R+rR-r（两点间距离公式） 比较d和r1，r2的大小，下结论代数方法 消去y（或x）2．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( )．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析 C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,5)，r2＝4，
|C1C2|＝ ＝5，
r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2，
圆C1与圆C2相交，故选B.
答案 B4．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
解析 ∵两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，
∴|O1O2|＝ ＝2＝r1＋r2，
两圆外切．
答案 外切5．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.
答案 1解析 如下图．9．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
解析 由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，
则 ＝－1，得m＝5，
∴弦中点坐标为(3,1)，
∴3－1＋c＝0，得c＝－2，
∴m＋c＝3.
答案 310．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短距离为________．
解析 A关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，
A′与圆心的距离为 ＝5，
最短距离为5－1＝4.
答案 4
