2024-2025学年北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形 单元测试(含答案)

第一章 特殊平行四边形 单元测试 2024-2025学年北师大版九年级数学上册
一、单选题
1．两条对角线互相垂直平分的四边形是（　　）
A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝AD B．AO2＋BO2＝AB2
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB
3．如图，为庆祝“五·一”劳动节，某单位要在广场上布置一个矩形的花坛美化环境，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了51盆红花，则另一条对角线还需要红花盆数是（　　）
A．49盆 B．50盆 C．51盆 D．52盆
4．菱形中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是（　　）
A．24 B．12 C．36 D．10
5．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（　　）．
A．8 B． C． D．10
6．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点 是矩形 内一点， ， .下列错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形中，点P在对角线上，，，E，F分别为垂足，连结，，则下列命题：①若，则；②若，则；③若正方形边长为4，则的最小值为2，其中正确的命题是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝ BC；④三角形BDF是直角三角形.其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形中，M是边上一点，E是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在矩形中，，连接，分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线分别交于点E、F，连接．给出下面四个结论：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　．
12．如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是　 　．
13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则的最小值为　 　．
14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC =BC= 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中．四边形OABC为正方形，点A的坐标为．若直线：和直线：被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，写山一组满足条件的与的值　 　．
16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为　 　．
17．如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=2，延长BA至点E，使AE=1，现以点D为圆心，以DE的长为半径画弧，与直线BC相交于点M，则CM的长为　 　.
18．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是　 　．
三、解答题
19．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点，，．
（1）求的长；
（2）求菱形的高．
20．如图，小亮将升旗的绳子拉到杆底端，绳子末刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面．请你求出杆的高度（滑轮上方的高度忽略不计，解题时请在图中标注字母）
21．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，求菱形的高的长度是多少？
22．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，AC 的中点，且BE=2DE.延长 DE 至点 F，使得EF=BE，连结CF.
（1）求证：四边形 BCFE 是菱形.
（2）若 CE= 6，∠BEF =120°，求四边形BCFE的面积.
23．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且AE∥CF，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD=180°，求证：四边形AECF是矩形.
24．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使分别落在x，y轴的正半轴上，其中，对角线AC所在直线解析式为，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，如不存在，请说明理由．
25．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 ，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得.
（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 轴时，求点C的坐标.
（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 上的一点P旋转后的对应点为 ，当 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】①②④
12．【答案】不唯一
13．【答案】
14．【答案】12
15．【答案】b1=1，b2=5（答案不唯一）
16．【答案】
17．【答案】1或3
18．【答案】1或或
19．【答案】（1）
（2）
20．【答案】
21．【答案】
22．【答案】（1）证明：∵ 在△ABC中，D，E分别是边 AB，AC 的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵ BE=2DE，
∴BE=BC，
∵EF=BE，
∴BC=EF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
而BE=BC，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：由（1）得：DE∥BC，
∴∠BEF+∠EBC=180°，
∵ ∠BEF =120°，
∴∠EBC=60°，
由（1）得：BE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∵CE=6，
∴BC=BE=6，
过E作ET⊥BC于T，
∴∠BET=30°，
∴BT=3，
∴ET=，
∴S菱形BCFE=BC×ET=6×3=18.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO.
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）证明：∵∠EAO+∠CFD=180°，
∠CFO+∠CFD=180°，
∴∠EAO=∠CFO.
∵∠EAO=∠FCO，
∴∠FCO=∠CFO，
∴OC=OF，
由(1)可知四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形.
24．【答案】（1）B（6，10）
（2）
（3）
25．【答案】A解：（Ⅰ）如图①中，作 轴于H.
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅱ）如图②中，作 于K.
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（Ⅲ）如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．
由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．
，
∴直线A′D的解析式为 ，
点P坐标