5.8三元一次方程组
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 ，这样的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20
2.含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做 ．
概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
三元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个三元一次方程组的解．
3.类比学习，探究新知：三元一次方程组解法的基本指导思想是 ，方法有 ．
二、题目速练
1.解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应( )
A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.先消常数项
2.三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是( )
A. B. C. D.
3.感悟思想：
有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题：
已知实数x,y满足①,②,求和的值.
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组,解得x,y的值再代入欲求值的代数式得到答案,有的问题用常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值.
如①-②可得①+②×2可得.
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
体会思想：
(1)已知二元一次方程组,则______,______.
(2)解方程组：.
(3)某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
4.解方程组：.
5.解方程组
下面是马虎同学的解题过程，请问他的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程.
解：①+②,得,即.④
,得,即.⑤
联立④⑤得方程组无法求解，故原方程组无解.
答案及解析
一、知识详解
1.三；1
2.三元一次方程组；公共解
3.消元；代入法，加减法
二、题目速练
1.答案：B
解析：观察未知数的系数特点发现：
未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，
故选B
2.答案：A
解析：
得，，
得：，
三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是，
故选A.
3.答案：(1)-1,5
(2)
(3)30元
解析：(1)
①+②得,解得,
①-②得,
故答案为：-1,5.
(2),
①+②+③得,,即④,
④-①得,,
④-②得,,
④-③得,,
方程组的解为.
(3)设购买1支铅笔a元,1块橡皮b元,1本日记本c元,
根据题意列方程组得,.
①×2-②得,,则；
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
4.答案：.
①②得④，②③得⑤，④⑤得，把代入④得，把、代入③得，由此得到答案.
解析：根据题意：
由①②得④，
由②③得⑤，
④⑤得，
得，
把代入④得，
得，
把、代入③得，
得，
原方程组的解为.
5.答案：不正确，
解析：不正确，正确的解题过程如下：
①+②,得，即.④
③-①×2,得.⑤
联立④⑤，得方程组
解这个二元一次方程组，得
把代入①，得.
所以原方程组的解为5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为 ；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为 ．
2.一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为 ．
3.有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 ．
二、题目速练
1.A地至B地的航线长1200千米,一艘轮船从A地顺水开往B地需30小时,它逆水返回需要40小时,设轮船在静水中的速度为x千米/小时,水速为y千米/小时,可列方程组( )
A. B.
C. D.
2.在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图(如图1)浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为( )
A.7 B.9 C.13 D.15
3.小明从家到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走米，下坡路每分钟走米，上坡路每分钟走米，从家里到学校需分钟，从学校到家里需分钟.小明从家到学校的下坡路长______米.
4.小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9.”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
5.甲,乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行,经过3小时两车相遇,此时甲车比乙车多行18千米,相遇后,甲车再行2.5小时就到达B站.求甲,乙两车速度.
答案及解析
一、知识详解
1.；
2.
3.；
二、题目速练
1.答案：B
解析：设轮船在静水中的平均速度为x千米/小时,水速为y千米/小时,则：
船顺水行驶速度为：千米/小时.
船顺水行驶速度为：千米/小时.
依题意,得：.
故选：B.
2.答案：C
解析：根据题意得：，
解得：，
.
故选：C.
3.答案：800
解析：设从小华家到学校的下坡路长x米、平路为y米，
根据题意得：，
解得：.
所以，从小明家到学校的下坡路长800米.
故答案为：800.
4.答案：(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5
(2)第一次他们拼成的两位数为45
解析：（1）设他们取出的两个数字分别为x、y.
第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为.
根据题意得：
，
由②，得：③，
得：.
把代入①得：，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5.
（2）根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45.
5.答案：甲车速度为36千米/小时,乙车速度为30千米/小时
解析：设甲车速度为x千米/小时,乙车速度为y千米/小时,
由题意可得：,
解得：,
∴甲车速度为36千米/小时,乙车速度为30千米/小时.5.6二元一次方程与一次函数
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.一次函数与二元一次方程的关系：
①方程x＋y＝2可化为y＝ ；
②直线y＝2－x上的任意一点的坐标（x，y）都是方程 的解；
③任何一个二元一次方程都可以化为 的形式．
2.一次函数与二元一次方程组的关系：
①方程5x－y＝20可以化为y＝ ，方程5x＋y＝120可以化为y＝ ；
②如图，直线y＝5x－20与直线y＝－5x＋120的交点坐标为（m，n），则m，n符合方程组 ；
③解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当 为何值时，两个函数的值相等以及 为多少；从“形”的角度看，相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的 ．
二、题目速练
1.如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为( )
A. B. C. D.
2.已知直线与的交点为,则方程组的解为( )
A. B. C. D.
3.如图,直线和直线相交于点,则方程组的解是( )
A. B. C. D.
4.已知函数和的图象交于点,则二元一次方程组的解是______
5.已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点.
（1）求点A，B的坐标.
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象直接写出当x取何值时，.
（3）判断在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与一次函数的图象是否相交.若相交，请求出交点坐标；若不相交，请说明理由.
答案及解析
一、知识详解
1.；；一次函数
2.①；
②
③；交点
二、题目速练
1.答案：C
解析：∵直线经过点，
∴，
解得，
∴，
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C.
2.答案：A
解析：∵直线与的交点为,
∴.
∴交点坐标为.
∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解,
而方程组,即方程组,
∴方程组的解为.
故选：A.
3.答案：A
解析：∵直线和相交于点,
∴关于x、y的方程组的解为,
故选A.
4.答案：
解析：∵函数和的图象交于点,
∴点,满足二元一次方程组；
∴方程组的解是
故答案为：.
5.答案：（1），
（2）见解析
（3）相交，交点坐标为
解析：（1）当时，.
.
当时，.解得.
.
（2）函数图象如解图.
当时，.
（3）相交.
联立方程，解得，
交点坐标为.5.1认识二元一次方程组
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.含有 未知数，且含有未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程．
2.共含有 个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
3.适合一个二元一次方程的 的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
4.二元一次方程组中各个方程的 解，叫做这个二元一次方程组的解．
5.二元一次方程有 个解；二元一次方程组 解．
二、题目速练
1.下列方程中，属于二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2.若是方程的一个解，则k的值是( )
A. B. C.3 D.
3.下列方程是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
4.已知方程是关于x,y的二元一次方程,则_____.
5.方程组的解是( )
A. B. C. D.
答案及解析
一、知识详解
1.一个；一次
2.两
3.一组未知数
4.公共
5.无穷多；有且只有一组
二、题目速练
1.答案：D
解析：A、，含有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、，未知数的最高次数为2，故本选项不符合题意；
C、，不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、，是二元一次方程，故本选项符合题意.
故选：D.
2.答案：B
解析：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
故选：B.
3.答案：A
解析：A.此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
B.此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；
C.此方程中xy的次数是2，此选项不符合题意；
D.此选项第1个方程不是整式方程，此选项不符合题意；
故选：A.
4.答案：0
解析：由题意得：
且,
解得：.
故答案为：0.
5.答案：D
解析：，，
故选：D.5.2求解二元一次方程组
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.方程，变形可得 ， ．
2.解方程组应消去y，把 代入 ，方程组的解是 ．
3.解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”．已知其中一个方程中的某个未知数用______________________________的代数式表示出来，将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为 方程求解．
4.解二元一次方程组时，通过两式相加（减），消去 ，这种解二元一次方程组的方法叫做 ，简称加减法．
5.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
（1）变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的 ，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数 ；
（2）加减消元，得到一个 方程；
（3）解一元一次方程；
（4）把求出的未知数的值代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．
二、题目速练
1.已知方程组,将①代入②得( )
A. B. C. D.
2.利用加减消元法解方程,下列做法正确的是( )
A.要消去x,可以将
B.要消去x,可以将
C.要消去y,可以将
D.要消去y,可以将
3.已知二元一次方程,若用含x的代数式表示y,可得_____.
4.课堂上老师布置了一道题目：解方程组.
(1)小组讨论时,发现有同学这么做：
解：①+②,得.解得.
把代入①,…
该同学解这个方程组的过程中使用了______消元法,目的是把二元一次方程组转化为______.
(2)请用另一种消元的方法解这个方程组.
5.解下列方程组：
(1)(代入消元法)；
(2)(加减消元法).
答案及解析
一、知识详解
1.；
2.①；②；
3.含有另一个未知数；一元一次
4.其中一个未知数；加减消元法
5.最小公倍数；相等或互为相反数；一元一次
二、题目速练
1.答案：A
解析：,
将①代入②得,,
即.故选A.
2.答案：A
解析：利用加减消元法解方程,要消去x,可以将,
要消去y,可以将,故选A.
3.答案：
解析：∵,
∴,
∴.
故答案为：.
4.答案：(1)加减；一元一次方程
(2)
解析：(1)加减；一元一次方程；
(2)由①变形,得：③,
把③代入②,得：,
解得：,
把代入③,得：,
原方程组的解为：.
5.答案：(1)
(2)
解析：(1)由①得,
把③代入②,得,
解得：,
把代入③,得,
∴；
(2)得：,
解得：,
把代入①,得
解得：,
∴.5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.一次函数表达式的确定：
方法： ；
一般步骤：
①设，设出一次函数表达式的一般形式 ；
②列，将已知点的 代入函数表达式，得到方程(组)；
③解，解方程(组)，求出待定系数；
④写出一次函数表达式．
二、题目速练
1.如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d（cm） 20 21 22 23
身高h（cm） 160 169 178 187
根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，他的指距为( )
A.26.8厘米 B.26.9厘米 C.27.5厘米 D.27.3厘米
2.小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了.这个错误的函数值是
x … 0 1 2 …
y … 8 5 2 …
A.5 B.2 C. D.
3.弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg）之间是一次函数关系，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是( )
A.9 cm B.10 cm C.10.5 cm D.11 cm
4.某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期 1 2 3 4
数量（瓶） 120 125 130 135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为_____瓶.
5.暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象如图所示.
(1)求线段对应的函数解析式；
(2)小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
答案及解析
一、知识详解
1.待定系数法；；坐标
二、题目速练
1.答案：D
解析：设这个一次函数的解析式是：，
，
解得：，
一次函数的解析式是：，
当时，
，
.
故选：D.
2.答案：C
解析：设一次函数的表达式为：，
由表得：，
解得：，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
这个错误的函数值为，
故选：C.
3.答案：B
解析：设y与x的关系式为.
将，代入，
得解得
所以.当时，，
即弹簧不挂在物体时的长度10cm.故选B.
4.答案：150
解析：这是一个一次函数模型，设，则有
解得.表格中其他数据也满足此函数关系.当时，
，预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶.
5.答案：(1)
(2)出发时离目的地
解析：(1)设段图象的函数表达式为.
∵，在上，
∴，解得，
∴；
(2)当时，
，
.
故小刚一家出发2.5小时时离目的地远.5.3应用二元一次方程组—鸡兔同笼
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？
(1)“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”呢？
(2)你能根据（1）中的数量关系列出方程组吗？
(3)你能解决这个有趣的问题吗？
二、题目速练
1.《孙子算经》中有一道题,原文是：“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺,木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木,长木还剩余l尺,问木长多少尺？若设木长尺,绳子长尺,则可列方程组为( )
A. B. C. D.
2.学校的篮球数比排球数的2倍少3个,篮球数与排球数的比是,求两种球各有多少个？若设篮球有x个,排球有y个,根据题意得方程组( )
A. B. C. D.
3.《九章算术》中有这样一道题，原文如下：
今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；若甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲、乙各有多少钱？
请解答上述问题.
4.一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车.已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（辆） 2 5
乙种货车辆数（辆） 3 6
累计运货吨数（吨） 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？
答案及解析
一、知识详解
1.（1）“上有三十五头”的意思是鸡和兔的头共有35个，“下有九十四足”的意思是鸡和兔的脚共有94只
（2）
（3）能
二、题目速练
1.答案：C
解析：设木长x尺,绳子长y尺,
∵用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺,
∴.
∵将绳子对折再量长木,长木还剩余l尺,
∴,
∴可列方程组为.
故选C.
2.答案：D
解析：设篮球有x个,排球有y个,根据题意得：
,
故选D.
3.答案：甲有钱，乙有钱.
解析：设甲有钱，乙有钱.
由题意得： ，
解方程组得： ，
答：甲有钱，乙有钱.
4.答案：货主应付运费735元
解析：设甲、乙两种货车载重量分别为x吨、y吨
根据题意得，
解得
答：货主应付运费735元.5.4应用二元一次方程组—增收节支
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.例：某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入、总支出各是多少万元？
我们可以注意到这个例子中蕴涵的数量关系比较复杂，我们是否可以用列表的形式将今年和去年的总支出和总收入列表进行对比，从而使它们的关系一目了然．
设去年的总收入是x万元，总支出是y万元，根据题意，填充下面表格：
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 （1＋20%）x （1－10%）y 780
根据上表，可以列出方程组 ，
解得 ．
因此，去年的总收入是万元 ，总支出是 万元．
二、题目速练
1.某工厂去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为780万元，今年的总收入、总支出各是多少万元 设今年的总收入为x万元，总支出为y万元，可以列出方程组( )
A. B.
C. D.
2.甲、乙两种商品原来的单价和为元.因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了.设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，可列出的方程组是( )
A.
B.
C.
D.
3.甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为__________________元.
4.甲、乙两个玩具的成本共400元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的9折出售，这样商店共获利158元.
(1)小丽按老师要求，勾画了两句等量关系句(题中带横线的句子)，并把它们写成等量关系式表述正确的是( )
①甲玩具按的利润率标价：甲的标价=甲玩具成本价；
②乙玩具按标价的9折出售：乙玩具的售价=乙玩具的标价；
A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确
C.①②不正确 D.①②都正确
(2)甲的成本为x元，乙的成本是y元.用含x，y的代数式表示表格中字母处的代数式；
玩具类型 成本价 标价 售价
甲玩具 x A
乙玩具 y B
(3)在(2)的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元？
答案及解析
一、知识详解
1.；；2000；1800
二、题目速练
1.答案：C
解析：已知去年的总产值x万元、总支出y万元，根据题意，得
，
故选：C.
2.答案：D
解析：由题意得：甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，
甲、乙两种商品原来的单价和为元，
，
甲商品降价即为，
乙商品提价即为，
调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了即为，
，
综上，.
故选：D.
3.答案：
解析：根据题意，设乙店的耳机进价为x元，标价为y元，
则甲店的耳机进价为：元；标价为：元；
甲乙两店的利润率分别为和，
，
解得：，
乙店每副耳机的进价为元；
故答案为：.
4.答案：(1)B
(2)；
(3)甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元
解析：(1)甲的售价=甲玩具成本价，故①错误，
乙玩具的标价=乙玩具的成本价，故②正确，
故选：B.
(2)，
.
(3)根据题意：得
解得：，
答：甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元.
